2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题07 正余弦定理中的高频小题归类（解析版）

第第页专题07正余弦定理中的高频小题归类题型一：利用正弦定理边角互化【例题1-1】在中，角、、所对的边分别为、、.已知，且为锐角，若，则（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由正弦定理可知，，，又在中，，即，为锐角，，，所以由正弦定理得：，又，即，，故可得，即，故选：A【例题1-2】在锐角中，若，则的取值范围是______.【答案】【详解】，根据正弦定理，得：，，，即，为锐角，，又，，，即，则的取值范围是.故答案为：.【提分秘籍】利用正弦定理边角互化主要思路：；；;化成角后，再进行相应的运算。【变式1-1】在中，D为边上一点，，若，则______．【答案】【详解】在中，由正弦定理可得．又，可得，且，则有①．又②，①②联立，得，即，则，整理得，解得或．因为，D为边上一点，所以为钝角，所以角为锐角，所以，所以舍去，故．故答案为：【变式1-2】记的内角的对边分别为，已知的面积为S，且，则______．【答案】【详解】，则，由正弦定理得，故，∵，∴，∵，∴.故答案为：【变式1-3】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，若点M满足，且∠MAB=∠MBA，则AMC的面积为_____________.【答案】【详解】化简得：又,∠MAB=∠MBA，,在中，，解之：，，故答案为：题型二：利用余弦定理边角互化【例题2-1】设分别为内角的对边，若，且，则角________.【答案】【详解】因为,所以,即，即,所以所以或因为,所以若,则若,则,与矛盾，所以故答案为：【例题2-2】中，，则最大值______．【答案】【详解】设，，，由余弦定理：，所以，设，则，代入上式得，方程有解，所以，故，当时，此时，，符合题意，因此最大值为.故答案为：.【例题2-3】在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为___________.【答案】4【详解】解：由余弦定理得，又，所以由正､余弦定理可得，即，则.又，所以，解得(负值舍).故答案为：4【提分秘籍】在中，内角，所对的边分别是,则：；；余弦定理的推论；；【变式2-1】在中，，则（

）A．B．C．或D．以上都不对【答案】B【详解】因为，由正弦定理得,由余弦定理得即又则当且仅当时，即时取等，因为,所以.故选:B.【变式2-2】若△的边长成等差数列，且边a，c的等差中项为1，则的取值范围是________．【答案】【详解】，由余弦定理可得：由题可知，即，且，故，由，即可得，又在单调递增，在单调递减，且，故当时，，令，又单调递增，当时，，当时，，故，即.故答案为：.【变式2-3】在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若；则当角A最大时，的面积为______.【答案】【详解】由，，根据正弦定理以及余弦定理，则可得，整理可得，即，根据余弦定理，可得，由，当且仅当等号成立，可得，由函数在上单调递减，则当时，取最大，故，则.故答案为：.题型三：利用正余弦定理解三角形【例题3-1】在中，内角，，所对的边分别为，，．点为的中点，，且的面积为，则（

）A．1B．2C．3D．4【答案】A【详解】因为，由余弦定理得，即，又，得，所以，即，故，则，所以，故．故选：A.【例题3-2】在中，角，，所对的边分别为，，，，是的平分线，，，则的最小值是（

）A．6B．C．D．10【答案】C【详解】如下图所示：由题意可得，AD是∠A的平分线，则.则，，而,代入化简得，，即.则，当且仅当，即时，等号成立.故最小值为.故选：C【例题3-3】在中，，，，是边上的一点，且，则的长为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】解：如图由题意可知；，所以由正弦定理得：，在中，由余弦定理可知，．所以．故选：C．【提分秘籍】解三角形问题，综合应用正弦定理，余弦定理，有时候需要将边化为角，利用三角函数来解三角形问题；求最值问题时也涉及到基本不等式.【变式3-1】记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（

）A．B．C．D．【答案】D【详解】依题意，作出图形，因为点是的重心，所以是的中点，故，由已知得，因为，所以，又因为点是的重心，所以，则，又因为，所以，则，又由余弦定理得，所以，整理得，因为，令，则，所以，则.故选：D..【变式3-2】已知中，角A、B、C的对边分别为、、，若，则的值为（

）A．3B．4C．7D．8【答案】C【详解】因为，所以即，由正弦定理得：，由余弦定理得：，整理得：，所以故选：C【变式3-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线的长为3，则的最小值为（

）A．21B．24C．27D．36【答案】C【详解】在中，，由正弦定理得，即，由余弦定理得，而，则，因角A的内角平分线的长为3，由得：，即，因此，则，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值27.故选：C题型四：利用正余弦定理判断三角形形状【例题4-1】在中，角的对边分别为，，则的形状是（

）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰三角形【答案】D【详解】由及正弦定理，得,在中，，所以,所以，即，于是有，因为所以所以,即，所以的形状是等腰三角形.故选：D.【例题4-2】已知分别为三个内角的对边，且，则是（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【详解】由及正弦定理，得,因为，所以,所以,即，当时，因为，所以，当时，所以，即，因为所以，所以为等腰或直角三角形.故选：D.【例题4-3】已知内角､､所对的边分别为､､面积为，若，，则的形状是（

）A．钝角三角形B．直角三角形C．正三角形D．等腰直角三角形【答案】C【详解】由题设及正弦定理边角关系有，而且，所以，又，可得，所以，故，而，又，所以，故，，可得，综上，为正三角形.故选：C【提分秘籍】①，为钝角三角形；②③④【变式4-1】在中，若，则的形状为（

）A．钝角三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【答案】B【详解】由二倍角公式可得,由正弦定理可得，由余弦定理边角互化可得：，化简得，因此或，故为直角三角形，故选：B【变式4-2】已知的三个内角所对应的边分别为，且满足，且，且的形状是（

）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．顶角为的等腰三角形D．顶角为的等腰三角形【答案】D【详解】由题得：，即，由正弦定理及余弦定理得，又,整理得，

故为顶角为的等腰三角形，故选：D【变式4-3】在中，角A，B，C对应边分别为a，b，c，已知三个向量，，共线，则形状为（

）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】A【详解】解：向量，共线，．由正弦定理得：．．，所以则．，即．同理由，共线，可得．形状为等边三角形．故选：A．题型五：三角形周长，面积问题【例题5-1】钝角的内角，，的对边分别是，若，则的面积为（

）A．B．C．D．或【答案】C【详解】由及余弦定理可知，，整理得，解得或；又因为是钝角三角形，比较三边大小可知，为最大边，所以C角为最大角，即C为钝角；①当时，，符合题意，此时的面积为；②当时，，不符合题意；综上可知，的面积为.故选：C.【例题5-2】在中，的平分线交于点D，，，则周长的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】根据题意，设，因为，，，所以，即，所以，因为根据基本不等式有，所以，，当且仅当时等号成立，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立.所以周长的最小值为.故选：C【例题5-3】已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且．若，则面积的最小值是（

）A．16B．C．64D．【答案】B【详解】∵，∴，即，又，，∴，即，又，∴，由题可知，，所以，即，又，即，当且仅当取等号，所以.故选：B.【提分秘籍】1、三角形面积的计算公式：①；②；③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）；④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径).2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式，再代入面积公式.3、三角形面积取值范围：核心技巧：利用正弦定理，，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.4、利用正弦定理化角核心技巧：利用正弦定理，，代入周长（边长）公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求周长（边长）的取值范围.【变式5-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（

）A．24B．25C．27D．28【答案】D【详解】易知的外接圆半径.由可得，所以，，由，结合正弦定理可得，所以.故选：D【变式5-2】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，，△ABC的面积为，则的周长为（

）A．6B．8C．D．【答案】C【详解】因为△ABC的面积为，，故，即，由于，故，故，所以，所以的周长为，故选：C【变式5-3】若，则的最大值是（

）A．B．C．3D．【答案】B【详解】解：设，则，，又，代入上式得，又，则，所以当时，取最大值．故选：B.【变式5-4】在中，已知为边上的一点，且满足，，的面积是面积的两倍，则的面积为（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为，所以，因为的面积是面积的两倍，所以，所以，又由题意是的平分线，所以，不妨设，，结合已知得，由余弦定理得，解得，负值舍去，所以，所以，因为所以，所以，故选：C.题型六：正余弦定理实际应用【例题6-1】某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度.在过点的水平面上确定两观测点，在处测得的仰角为30°，在的北偏东60°方向上，在的正东方向30米处，在处测得在北偏西60°方向上，则（

）A．10米B．12米C．16米D．18米【答案】A【详解】由已知得，，，米，在中，由正弦定理可得，求得米，在直角中，米，故选：A【例题6-2】我国无人机技术处于世界领先水平，并广泛民用于抢险救灾､视频拍摄､环保监测等领域．如图，有一个从地面处垂直上升的无人机，对地面两受灾点的视角为，且．已知地面上三处受灾点共线，且，，则无人机到地面受灾点处的遥测距离PD的长度是（

）A．B．C．D．【答案】B【详解】提示：法一：由题意，得面．设记，，解得或，又在中有选．法二：由题，面．设，则．由，在中，由余弦定理得，解得，进而选B.故选：B.【变式6-1】雷峰塔又名黄妃塔､西关砖塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山（海拔46米）之上.是吴越国王钱俶为供奉佛螺髻发舍利､祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年（977年），历代屡加重修.现存建筑以原雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.李华同学为测量塔高，在西湖边相距的､两处（海拔均约16米）各放置一架垂直于地面高为米的测角仪､（如图所示）.在测角仪处测得两个数据：塔顶仰角及塔顶与观测仪点的视角在测角仪处测得塔顶与观测仪点的视角，李华根据以上数据能估计雷锋塔的高度约为（

）（参考数据：，）A．70.5B．71C．71.5D．72【答案】C【详解】在中，，，所以，由正弦定理得，所以，在直角中，，将平面画成平面图如图所示：由题意知：，，，，故选：C.【变式6-2】如图甲，圣索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球､圆柱､棱柱于一体，极具对称之美.为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为40，如图乙，在它们之间的地面上的点（三点共线）处测得楼顶､教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则估算索菲亚教堂的高度约为（

）A．50B．55C．60D．70【答案】C【详解】由题意知：，，所以，在中，，在中，由正弦定理得，所以，在中，故选：C【变式6-3】如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点距地面的距离，小明同学在场馆内的A点测得的仰角为，，，（单位：），（点在同一水平地面上），则大跳台最高高度（

）A．B．C．D．【答案】C【详解】在中,，，所以，又，由正弦定理可得,,,在中，,所以，（m）故选：C.专题07正余弦定理中的高频小题归类课后巩固练习一、单选题1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且外接圆的周长为，则的周长为（

）A．20B．C．27D．【答案】D【详解】设的外接圆半径为，则，解得：，因为，由，，可得，，所以，，因为，由正弦定理可得：，所以的周长为.故选：D.2．材料一：已知三角形三边长分别为，则三角形的面积为，其中.这个公式被称为海伦一秦九韶公式.材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.根据材料一或材料二解答：已知中，，则面积的最大值为（

）A．6B．10C．12D．2【答案】C【详解】用材料一：根据海伦-秦九韶公式，，其中，由题意，可知，，，且，故，当且仅当，即时取等号.用材料二：以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，由椭圆的定义易知，椭圆方程为，所以面积（为到的距离），可知当点位于短轴的顶点时，取到最大值为4，所以，当且仅当时取等号.故选：C.3．在中，角的对边分别为，若，，则面积的最大值为（

）A．B．C．D