2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题13 立体几何中外接球内切球问题（原卷版）

第第页专题13立体几何中外接球内切球问题题型一：外接球公式法【例题1-1】长方体的三个相邻面的面积分别是8，8，16，则该长方体外接球的体积为（

）A．24πB．32πC．36πD．48π【例题1-2】一个棱长为2的正方体，其外接球的体积为（

）A．B．C．D．【例题1-3】若体积为12的长方体的每个顶点都在球的球面上，且此长方体的高为2，则球的表面积的最小值为___________.【变式1-1】长方体的过一个顶点的三条棱长分别是2，4，4，则该长方体外接球的表面积为（

）A．B．C．D．【变式1-2】已知长方体的外接球的表面积为，若，，则直线与直线所成角的余弦值为__________．【变式1-3】已知长方体的三条棱长分别为1，，，则该长方体外接球的表面积为___．（结果用含的式子表示）题型二：外接球补型法【例题2-1】在四面体中，已知点，分别为棱，中点，且，，若，，则该四面体外接球半径为__________．【例题2-2】在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A．B．C．D．【例题2-3】已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为___________；若､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最大值为___________.【变式2-1】已知正方形的边长为2，点为边的中点，点为边的中点，将，分别沿折起，使三点重合于点，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A．B．C．D．【变式2-2】三棱锥中，平面，为直角三角形，，，，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A．B．C．D．【变式2-3】已知三棱锥中，面，则三棱锥的外接球的体积为___________.题型三：外接球单面定球心法【例题3-1】在正三棱锥中，为的中心，已知，，则该正三棱锥的外接球的表面积为（

）A．B．C．D．【例题3-2】在三棱锥中，，平面，则三棱锥的外接球的体积为______．【例题3-3】在四面体中，，，，设，则该几何体的外接球的体积为_________【变式3-1】设三棱锥满足，且，当三棱锥体积最大时，则三棱锥外接球的表面积为（

）A．B．C．D．【变式3-2】已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，点M在上，且，那么外接球的半径为______；过点M作四边形外接球的截面.则截面面积最大值与最小值之比为______.【变式3-3】已知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，其内切球的体积为，则该正四棱锥的高为___________，外接球的表面积为___________.题型四：外接球双面定球心法【例题4-1】在三棱锥中，平面平面，与都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.【变式4-1】已知四边形是边长为3的菱形且一个内角为，把等边沿折起，使得点到达点，则三棱锥体积最大时，其外接球半径为______．题型五：内切球问题【例题5-1】已知正三棱锥中，侧面与底面所成角的正切值为，，这个三棱锥的内切球和外接球的半径之比为（

）A．B．C．D．【例题5-2】已知某圆锥的内切球（球与圆锥侧面､底面均相切）的体积为，则该圆锥的表面积的最小值为（

）A．B．C．D．【变式5-1】在四棱锥中，平面平面，为边长为1的等边三角形，底面为矩形.若四棱锥存在一个内切球（内切球定义：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切球），则内切球的表面积为（

）A．B．C．D．【变式5-2】如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD棱长为，则模型中九个球的体积和为__________.【变式5-3】如图所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且分别与正方体内切，则两球半径之和为.专题13立体几何中外接球内切球问题课后巩固练习一、单选题1．在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（

）A．100πB．50πC．144πD．72π2．金刚石的成分为纯碳，是自然界中存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体.若某金刚石的棱长为2，则它外接球的体积为（

）A．B．C．D．3．古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为（

）A．B．C．D．4．如图，已知球是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为（

）A．B．C．D．5．已知一圆台高为7，下底面半径长4，此圆台外接球的表面积为，则此圆台的体积为（

）A．B．C．D．6．1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（

）A．B．C．D．7．已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，该圆锥的内切球也是棱长为a的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a为（

）A．B．C．3D．二、填空题8．在四边形中，，为等边三角形，将沿边折起，使得，则三棱锥外接球的体积为______.9．在正三棱锥S－ABC中，，△ABC的边长为2，则该正三棱锥外接球的表面积为______．10．连接正方体的每个面的中心构成一个正八面体（如图所示），该正八面体内切球与原正方体内切球的表面积之比为__________.11．在高为2的直三棱柱中，AB⊥