2026年高考数学二轮复习题型归纳与变式演练专题15 数列求和（解析版）

第第页专题15数列求和题型一：分组求和法【例题1-1】在等差数列中，，前12项的和.(1)求数列的通项公式；(2)若数列为以1为首项，3为公比的等比数列，求数列前8项的和.【答案】(1)；(2)3332.【详解】（1）解：设公差为，因为，前12项的和，所以，解得，所以.（2）解：由题意得，所以，所以数列前8项的和为=.【例题1-2】已知数列的前项和为，，．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．【答案】(1)；(2)【详解】（1）∵，①∴．②①-②得，即又，，∴，∴，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴．（2）由（1）得，，∴．【提分秘籍】1如果一个数列可写成的形式，而数列，是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么可用分组求和法.2如果一个数列可写成的形式，在求和时可以使用分组求和法.【变式1-1】在等差数列中，，且，，构成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)令，记为数列的前项和，若，求正整数的最小值．【答案】(1)；(2)6【详解】（1）设等差数列的公差为，则由，，成等比数列及，得，即，解得．当时，，，构成等比数列，符合条件；当时，，，不能构成等比数列，不符合条件．因此，于是数列的通项公式为；（2）由（1）知，故，所以易知在正整数集上严格递增，且，．故满足的正整数的最小值为6．【变式1-2】给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.若数列满足：；(1)判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)是，证明见解析；(2)【详解】（1）将两边同除得：，是以为首项，公比为的等比数列，是“指数型数列”（2）因为，则.题型二：裂项相消法【例题2-1】已知数列为等差数列，.(1)求的通项公式；(2)设，求的前项和.【答案】(1)；(2).【详解】（1）设的公差为，首项为，得.解得，故；（2）由，.【例题2-2】记是公差不为0的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且.(1)求的通项公式，并证明数列是等比数列；(2)若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.(3)求证：对于任意正整数，.【答案】(1)，证明见解析；(2)最大值为，最小值为；(3)证明见解析【详解】（1）解：设等差数列的公差为，由，可得，解得或（舍去），．又，则，由，可得，，数列是以为首项，为公比的等比数列；（2）解：由（1）可得，设的前项和为，则，当为奇数时，随着的增大而减小，可得，当为偶数时，随着的增大而增大，可得，的最大值为，最小值为．（3）证明：因为数列是以为首项，为公比的等比数列，，．所以，所以，所以．【提分秘籍】常见的裂项技巧类型一：等差型=1\*GB3①特别注意②如：（尤其要注意不能丢前边的）类型二：无理型=1\*GB3①如：类型三：指数型①如：类型四：通项裂项为“”型如：①②本类模型典型标志在通项中含有乘以一个分式.【变式2-1】已知为正项数列的前n项的乘积，且．(1)求的通项公式；(2)若，求证：．【答案】(1)；(2)证明见解析【详解】（1），所以，所以，所以，即，所以，当时，，解得，所以，所以数列是常数列，所以，所以，所以．（2）证明：因为，所以【变式2-2】已知正项数列的前项和为，且和满足：.(1)求的通项公式；(2)设，的前项和为，若对任意，都成立，求整数的最大值.【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：∵，①当时，解得，∴，②①－②得，∴，化简.∵，∴.∴是以1为首项，2为公差的等差数列.∴.（2）解：由（1）可得.∴.所以.∴数列是递增数列，则，∴，解得，∴整数的最大值是.题型三：错位相减法【例题3-1】己知数列的前项和为，且，________________．请在①；②，，成等比数列；③，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2)【详解】（1），所以，即，所以数列是首项为，公差为1的等差数列．若选①：由，得，即，所以，解得．所以，即数列的通项公式为．若选②：由，，成等比数列，得，则，所以，所以．若选③：因为，所以，所以，所以．（2），则，则，，两式相减得：，故．【例题3-1】已知数列满足且.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求的前项和为.【答案】(1).(2).【详解】（1）由题意知数列满足且，是首项为，公比为的等比数列，；（2）由，得，所以，则两式相减得，所以.【提分秘籍】错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求.倍错位相减法：若数列的通项公式，其中、中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫倍错位相减法．温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合.2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留.【变式3-1】数列是各项均为正数的等比数列，且，，，(1)求数列的通项公式，并证明数列是等差数列；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)；证明见解析;(2)【详解】（1）设等比数列的公比为，，，所以，所以，，（常数），，所以数列是首项为3，公差为1的等差数列；（2），

两式相减得，所以.【变式3-2】已知等差数列满足，，且，，成等比数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列的通项公式为，求数列的前项和．【答案】(1);(2)【详解】（1）等差数列的首项，公差设为，由，，成等比数列，则，即，即，解得，所以.（2）由题意，，设数列的前项和为，则，，两式相减得即，化简得.题型四：奇偶项分类讨论【例题4-1】数列的前项和为，数列的前项积为，且．(1)求和的通项公式；(2)若，求的前项和．【答案】(1)；;(2)（1）当时，，当时，，所以，因为，所以，所以是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；当时，，当时，，时也符合，所以．（2）由（1）知，，所以，当即为偶数时，，即；当为奇数时，，所以．【例题4-2】数列的首项，．(1)证明：数列是等比数列；(2)设，求数列的前项和【答案】(1)证明见解析;(2)(1)证明：对任意的，，则且，故数列为等比数列，且该数列的首项为，公比也为，故.(2)解法一:当为奇数时，当为偶数时，解法二:,所以①上式两边乘以可得:

②①-②得:，【提分秘籍】类型一：通项公式分奇、偶项有不同表达式；例如：角度1：求的前项和角度2：求的前项和类型二：通项含有的类型；例如：【变式4-1】已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)设数列满足求最小的实数m，使得对一切正整数k均成立．【答案】(1)证明见解析;(2)【详解】（1）由已知得，，所以．因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列．（2）证明：（2）由（1），当n为偶数时，，当n为奇数时，，故，由所以m的最小值为．【变式4-2】已知数列满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)当n为偶数时，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析；(2).(1)证明：因为，，所以，所以数列是首项为4，公比为4的等比数列；(2)由（1）可得，即，则.当n为偶数时，，则.题型五：插入新数列求和【例题5-1】设数列的前项和为，，，.(1)证明：为等差数列；(2)设，在和之间插入个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前项和.【答案】(1)证明见解析；(2)（1）证明：因为时，，则，即，，·因为，·则①，所以②，则①②得，即，·所以为等差数列.（2）解：由（1）可得的首项为，公差为，所以，所以，所以，则，记的前n项和为，则①，所以②，则①②得，·所以，所以.【例题5-2】已知数列的前项和为，(1)求的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.【答案】(1)；(2)142【详解】（1）解：∵的前n项和为，当n=1时，，当时，，则=，经验证当n=1时，满足.故；（2）因为与之间插入个1，所以在中对应的项数为，当k＝6时，，当k＝7时，，所以，，且．因此.【变式5-1】已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，求的值.【答案】(1)；(2)2101【详解】（1）设数列的公差为，因为是和的等比中项，所以，即，因为所以或（舍）所以，所以通项公式（2）由（1）得，因为与（）之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，所以【变式5-2】已知公差不为0的等差数列中，，是和的等比中项.(1)求数列的通项公式：(2)保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前n项和为，求的值.【答案】(1)；(2)【详解】（1）设数列的公差为，因为是和的等比中项，则且则或（舍）则，即通项公式（2）因为与（，2，…）之间插入，所以在数列中有10项来自，10项来自，所以.专题15数列求和课后巩固练习1．等比数列的各项均为正数，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，若数列为的前n项和，比较与的大小.【答案】(1)；(2).【详解】（1）设数列的公比为q,由得=,所以.由条件可知q＞0,故q=.由得,所以.故数列的通项公式为.（2）－（1＋2＋＋n）=－.故...故.2．已知等差数列的前项和为，不等式的解集为.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)；(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，关于的不等式的解集为.和4是方程的两个根，由韦达定理有，解得，所以，.数列的通项公式为.（2）由（1）可得，，则.数列的前项和.3．已知等比数列的公比，且，是，的等差中项，数列满足：数列的前项和为.(1)求数列、的通项公式；(2)若，，求数列的前项和.【答案】(1)，；，；(2)，.【详解】（1）设首项为，公比为.由，是，的等差中项可得，两式相除得，又，得.将代入，得，故，.设的前项和为，则，得，.又则，结合，得，.综上：通项公式为，，通项公式为，.（2）由（1）可得，，.则，.注意到，则，.故，.4．给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______．(1)求的通项公式；(2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2).【详解】（1）选