2026年高一数学寒假自学课（沪教版）专题02 函数的概念性质及应用 （原卷版）

专题02函数的概念性质及应用

内容导航

串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点

1.函数的概念与三要素

1.定义：设A、B是非空数集，按确定对应关系f，对A中任意x，B中都有唯一f(x)与之对应，称f:AB

为函数，记作yf(x),xA.

2.三要素（核心）：

定义域：自变量x的取值范围，遵循“定义域优先”原则，常见限制：分式分母0，偶次根式被开方数0，

对数真数0等.

对应关系f：函数的核心，可用解析式、图像、表格表示.

值域：函数值的集合{f(x)|xA}，由定义域与对应关系共同确定.

3.表示方法：解析法、列表法、图像法，分段函数是解析法的特殊形式.

2.函数的基本性质

性

定义判定方法核心结论

质

区间内，任意，都有

单Ix1x2

定义法（作差/作商）、

调f(x)f(x)（增函数）或增+增=增，减+减=减；

12图像法、复合函数法则

性

f(x1)f(x2)（减函数）

奇定义域关于原点对称，∀x，定义法、图像法（偶函奇函数f(0)0（若0在定义

偶f(x)f(x)（偶函数）或数对称y轴，奇函数对域内）；奇偶函数和差积商有相

性f(x)f(x)（奇函数）称原点）应奇偶性

区间内存在x，对任意x，都有

最0单调性法、配方法、图闭区间上的连续函数必有最大

（最大值）或

值f(x0)f(x)f(x0)f(x)像法值和最小值

（最小值）

3.函数的应用与反函数

1.函数应用：构建函数模型解决实际问题，常见模型有一次函数（线性增长/衰减）、二次函数（最值优化）、

分段函数（阶梯收费、分段计费）等，核心步骤为：审题→设变量→建函数→定定义域→求解→检验.

2.反函数：

存在条件：函数为一一映射（单调函数必存在反函数）.

求解步骤：①求原函数值域（即反函数定义域）→②反解xf1(y)→③互换x、y得yf1(x)→④注明

反函数定义域.

核心性质：原函数与反函数图像关于直线yx对称；f(f1(x))x（x在反函数定义域内）；

f1(f(x))x（x在原函数定义域内）.

二、概念比较（易混概念辨析）

函数与映射：映射中$A、B$可为任意非空集合，函数是特殊的映射，限定$A、B$均为非空数集.

定义域与值域：定义域是自变量x的取值范围，由题目条件直接限定；值域是函数值f(x)的集合，由定义

域与对应关系共同决定，求值域必须先确定定义域.

单调性与奇偶性：单调性是局部性质（依赖具体区间），奇偶性是整体性质（依赖整个定义域关于原点对

称）.

反函数与原函数：反函数是“逆对应”关系，原函数的定义域=反函数的值域，原函数的值域=反函数的定

义域，二者图像关于yx对称.

分段函数与复合函数：分段函数是同一函数在不同区间对应关系不同，定义域为各区间并集；复合函数是

yf(g(x))的形式（函数套函数），定义域需满足内层函数值域与外层函数定义域的交集非空.

三、易错辨析（高频错误+规避方法）

1.忽略定义域致错

x2

错误示例：判断f(x)奇偶性时，未考虑x0，直接代入f(x)判断；求复合函数yx1x1

x

定义域时，误写为x1（正确应为x1，此处需注意：若为y(x1)(x1)，定义域为x1或x1）.

规避方法：所有函数问题先求定义域，尤其是判断奇偶性、求单调区间、求值域时，第一步必须明确定义

域范围.

2.对“唯一对应”理解偏差

错误示例：认为“多对一”对应不是函数，如yx2中，一个y对应两个x，误判为非函数.

规避方法：紧扣函数定义，函数要求的是“x到y的单值对应”，即一个x只能对应一个y，允许“多个x

对应一个y”，禁止“一个x对应多个y”.

3.奇偶性判定逻辑错误

错误示例：未验证定义域对称性，直接代入f(x)判断，如判断f(x)x奇偶性时，未注意定义域[0,)

不关于原点对称，误判为非奇非偶（虽结论正确，但逻辑缺失）；或判断f(x)x3,x[1,2]时，未发现

定义域不对称，误判为奇函数.

规避方法：判定奇偶性分两步：①先验证定义域是否关于原点对称，不对称则直接判定为非奇非偶；②对

称再验证f(x)与f(x)的关系.

4.反函数求解遗漏值域

错误示例：求yx2(x0)的反函数时，未求原函数值域[0,)，直接反解为xy，互换后写为yx

但未注明定义域x0，或误写为yx.

规避方法：严格遵循反函数求解四步流程，尤其注意“求原函数值域”是确定反函数定义域的关键，不可

遗漏.

5.复合函数单调性判断失误

错误示例：判断yx22x的单调性时，未拆分内外层函数，直接判断为“在[0,2]上单调递增”（正

确应为：内层ux22x在[0,1]递增、[1,2]递减，外层yu在[0,)递增，由“同增异减”得复合

函数在[0,1]递增、[1,2]递减）.

规避方法：判断复合函数单调性时，先拆分为“内层函数ug(x)”和“外层函数yf(u)”，分别判断

二者在对应区间的单调性，再根据“同增异减”法则确定复合函数单调性，同时注意定义域限制.

四、重点内容记忆清单（含常考结论）

1.核心定义记忆

函数本质：非空数集间的单值对应，两函数相等的充要条件是定义域与对应关系完全相同（值域由前两者

决定，无需额外判断）.

奇偶性核心：定义域关于原点对称是前提，再满足f(x)f(x)（偶）或f(x)f(x)（奇）.

反函数核心：仅一一映射函数有反函数，单调函数必为一一映射，故单调函数必存在反函数（反之不成立）.

2.常考结论记忆

定义域优先原则：所有函数问题的“第一步操作”，忽略定义域会导致后续所有判断失误.

奇偶函数运算性质：奇奇奇，偶+偶偶；奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇（注：运

算后定义域需关于原点对称，否则无奇偶性）.

单调函数性质：若f(x)在区间I上单调递增，则f(x1)f(x2)?x1x2(x1,x2I)；单调递减则反之，可

用于比较函数值大小或解不等式.

反函数衍生结论：原函数与反函数的单调性一致；若(a,b)是原函数图像上的点，则(b,a)必是反函数图像

上的点；原函数与反函数的交点要么在直线yx上，要么关于直线yx对称.

b4acb2

二次函数最值结论：对于yax2bxc(a0)，当a0时，在x处取最小值；当a0

2a4a

b4acb2

时，在x处取最大值；若在闭区间[m,n]上求最值，需比较顶点横坐标与区间[m,n]的位

2a4a

置关系（顶点在区间内则顶点为最值点，在区间外则区间端点为最值点）.

复合函数定义域结论：若yf(g(x))的定义域为[a,b]，则g(x)的值域即为yf(t)的定义域；反之，

若yf(t)的定义域为[c,d]，则yf(g(x))的定义域是g(x)[c,d]的x取值范围.

抽象函数单调性判定结论：若f(xy)f(x)f(y)且x0时f(x)0，则f(x)为增函数；若

f(xy)f(x)f(y)且x1时f(x)0，则f(x)在(0,)上为增函数.

分段函数奇偶性判定结论：需分别验证各分段区间内f(x)与f(x)的关系，且定义域需关于原点对称，所

有分段均满足奇偶性定义才为相应奇偶函数.

常见函数单调性结论：①一次函数ykxb(k0)：k0时在R上递增，k0时在R上递减；②反比

k

例函数y(k0)：k0时在(,0)和(0,)上递减，k0时在(,0)和(0,)上递增（注意：

x

不能说在定义域上单调）.

函数图像变换与性质关系结论：①yf(xa)是yf(x)左右平移，不改变单调性和奇偶性（平移后定

义域对称则奇偶性保留）；②yf(x)与yf(x)关于x轴对称，单调性相反，奇偶性相同；③yf(x)

与yf(x)关于y轴对称，单调性相反，奇偶性相同.

3.常用方法记忆

求定义域：列限制条件（分母≠0、偶次根式被开方数≥0、对数真数>0等）→解不等式（组）→写出定义

域（区间/集合形式）.

证明单调性：取值（x1x2I）→作差（f(x?)f(x?)）→变形（因式分解、配方等）→定号（判断

差的正负）→下结论.

axb

求值域常用方法：单调性法、配方法（二次函数）、换元法、分离常数法（分式函数，如y）、

cxd

判别式法（二次分式函数）.

【考点1复合函数的定义域】

例1（25-26高三上·上海杨浦·开学考试）函数的定义域是．

2�

�=ln�−1

变式1．（23-24高一上·上海·课后作业）已知函数，则

1

22

�(�)=2−�−�,�(�)=�+�−2

.

�变(�式)⋅2�．(�（)2=024高一·上海·专题练习）已知函数的定义域为求函数的

11�

定义域.��−2,2,�=���+�� �>1

【考点2抽象函数的定义域】

例2（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数的定义域是，则函数的定

1

义域为.�=�2�+12,4��=�2�

变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若的定义域为，值域，则的定义域

1

为，值域为．�=��1,20,2�=��+1

变式．（高一上上海单元测试）（）函数的定义域是；

224-25··10

(�+3)

��=�−�+lg1−�

（2）若，，则；

2

�−��+3

（3）若函��数=�+的3定�义�域为=�，�则�函⋅数��=的定义域为．

11�

【考点3换�元�法求值域】−2,2�=���+��(�>1)

例3（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（）．

2

A．B．�=C2．−−�+4��∈0D,4．

−2,21,20,2−2,2

变式1．（23-24高一上·上海徐汇·期末）（1）求函数的值域；

2

�+�+1

（2）求函数的值域.�=�

2.（23-24高一�·=上�海+·假2期2作−业�）函数的值域是

22

变式2．（25-26高三上·上海·月考）�已=知�集合+41−2�，，则

22

.�=�|�=�−2�−1�=�|�=−�+4�−5

�∩�=

【考点4常见函数的值域】

例4（24-25高一上·上海·随堂练习）求下列函数的值域：

(1)，；

2

(2)��=3�−�+2�；∈1,3

2

(3)��=−�．−6�−5

3�+1

��=�−2

变式1．（2024高三·上海·专题练习）求下列函数的值域：

（1）；（2）；（3）；

22

2�−1�

22

�=�+1�=�−1�=7−−�+�+1

（）；（）；（）．

4�−�56

10−10

�−�

�=10+10�=�−2+�−3�=�−2+3−�

变式2．（23-24高二下·上海·期末）若函数的定义域与值域都是，则实数

2

．�(�)=�−2��+�(�>1)[1,�]

�=

【考点5根据值域求参数范围】

例5（24-25高一上·上海·月考）已知，若函数的值域为，则的取值范

2

围是．�∈��=��−2��+30,+∞�

变式．（23-24高三上·上海浦东新·月考）若函数的值域为，则的值为.

12

�+��−2

2

��=�−�+1−2,2�

【考点6复合函数的值域问题】

例6（23-24高一上·上海浦东新·月考）函数的值域为.

1

�

�=3+2

变式1．（23-24高二上·上海徐汇·开学考试）若函数的值域是，则函数的值域

11

是（）�(�)[4,4]�(�)=�(�)+�(�)

A．B．

117

C．[4,4]D．[4,4]

1717

变式2．[（0,243-]24高一上·上海奉贤·期末）将函数[2,4]中的自变量用替换，替换后所得的函数

与原函数的值域相同，则函数��可=以是�下列函数中�的�=��(只填序号).

�①�=��；②��；③；�④�.

�−�

【考�点�=7换�元法�+方�程=组2法+配�凑�法=求3�函−数5解析�式�】=2−1

例7（23-24高一上·上海闵行·期末）存在函数，满足对任意都有（）

A．B�．=�(�)�∈�

C．�(|�|−1)=|�+1|D．�(|�−1|)=|�+1|

22

��+2�=|�+1|��−1=|�+1|

变式1．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求

的解析式；��3�(�+1)−2�(�−1)=2�+17��

（2）已知，求的解析式；

11

2244

（3）若对任�意�实+数�x，=均�有+���，求的解析式.

�(�)−2�(−�)=9�+2��

变式2．（24-25高一上·上海浦东新·月考）已知函数满足，则的解析式为.

�+11

����=log3���

【考点8函数的奇偶性判断】

例8（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：

(1)．

(2)�=3�+2+3�−2．

22

�=�−16+16−�

变式1．（24-25高三上·上海·期中）函数的奇偶性为.

21

变式2．（24-25高一上·上海徐汇·期中）下��列函=数1中−，�偶+函数1−的�序号为

①

22

②�=1−�+�−1

2

9−�

�+5+3−�

③�=

�1−�,�<0

�=

④�1+�,�>0

�2−�,�>0,

�=

−�2+�,�<0.

【考点9由奇偶性求解析式】

例9（25-26高一上·上海·月考）若是上的奇函数，当时

则当时���∈−∞,0∪0,+∞�∈0,+∞��=�1+�

�∈−∞,0��=

变式1．（24-25高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，

��

是奇函数，则.��R�=��+4e�=��−2e

�1=

变式2．（23-24高一·上海·课后作业）已知函数为偶函数，且当时，，则时，

.�(�)�<0�(�)=�+1�>0

�(�)=

【考点10由奇偶性解不等式】

例10（25-26高一上·上海·月考）设函数是上的偶函数，且在上的图象如图所示，则不

等式的解集是��−5,5��0,5

���<0

变式1．（24-25高二下·上海·期末）若是定义在R上的奇函数，且在上是严格增函数，，

则不等式的解集是��．��0,+∞�1=0

�−1��<0

变式2．（24-25高一上·上海·月考）已知定义在上的奇函数在上是严格减函数，若

，则实数的取值范围是−3,3��−3,0�(�+

1)+�(3�−2)<0�

【考点11复合函数的单调性+分段函数单调性】

例11（25-26高三上·上海·月考）已知函数在定义域上单调递减，则的单调递减区间

2

是．��0,+∞�1−�

变式．（高一上上海期末）函数的严格递减区间为．

123-24··2

1�−4�−5

变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）已知�=函数2在定义域上单调递减，则的定义域

2

是，单调递减区间是．��0,+∞�1−�

【考点12由单调性求参数】

例12（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知在上为严格减函数，并且函数值不恒为负，求

��+3

的取值范围.�=�+13,+∞

变�式1．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围

2�+4,�≤�

是．��=2R�

�+1,�>�

变式2．（24-25高一上·上海浦东新·月考）若函数在上是严格增函数，则实

2

数的取值范围是.��=lg�−4�−5�,+∞

【�考点13由单调性+奇偶性解不等式】

例1（325-26高一上·上海·月考）已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有

��1−��2

，，则不等式的解�集�为（）R0<�1<�2�1−�2<

0�A−．3=0B．���>0C．D．

变式1．．−（32,35-26高三上·上−海3·,期0中∪）0定,3义在，−∞,上−的3函∪数3,+∞满足：−对∞任,−意3的∪，3,+∞，

且，均有成立，0+，∞则不等式�=��的解集为�1�．2∈0,+∞

�2��1−�1��2

12�1−�2

变�式≠．（�2025·上海嘉定·一模）>已0知�3=9，且��>3�，则实数的取值范围是.

23

1−�2

3

��=ln1+��1−�+�1−�>0�

【考点14单调性奇偶性对称性综合】

例14（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）已知函数的图像关于点中心对称，则点的坐标是

1

�

（）��=4−2��

A．B．C．D．

1111

变式1．（2,243-24高一上·上海2,浦8东新·月考）已知0,4为上的偶函数，1且,2当时，，则

�=����≥0��=�−1

不等式的解集为.

变式2．�（⋅�24�-2<5高0一上·上海·月考）已知函数是定义在上的偶函数，在上严格增函数.

若，则实数的取值范围是��.−4,�−1−4,0

�

【�考�点+155<不�等−式2的恒成立�与有解问题】

例1（525-26高三上·上海·期中）定义在上函数满足且当时，

1

则使得在上恒成立的�的最小�值(�是)��+．2=2���∈0,2�(�)=2−�−1

1

�(�)≤5�,+∞�

变式．（高三上上海松江期中）已知函数

125-26··�.

�⋅4+1

�

(1)若函数是奇函数，求的值；��=2

(2)当�时�，关于的不等�式在上恒成立，求实数的取值范围.

2

�=1�2�⋅��>3�+1−∞,0，�

变式2．（24-25高三上·上海宝山·月考）已知函数，若在）内存在

2，

�+�+�−6�≤0

��=2[−3,+∞

，使得成立，则实数的取值范围是（）�+2��+4�>0

�A．��，≤�B．（�，C．（，D．（，

3

【考点1−6∞二分−法2求函数的−零∞点3】]−∞6]−∞7]

例16（25-26高一上·上海静安·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由

计算可得，则小丁同学在下次应计�算�的=函0数值�为∈（1,2）

A．�1<0,�1.5B．<0,�2>0C．D．

变式1．�（02.55-26高一上·上海�1青.1浦25·月考）若函数�1.25�一1个.7正5数零点附近的函数值用二分

32

法计算，其参考数据如下：�(�)=�+�−2�−2

�(1)=−2�(1.5)=0.625�(1.25)=−0.984

�那(1么.3方75程)=−0.260�的(1一.4个15近)=似0根.0（05精4确度为0.01）�(1可.4以06是)（=−0）.056

32

A．1�.25+�−2�−B．2=1.3075C．1.41D．1.5

变式2．（24-25高一上·上海·月考）用“二分法”求方程在区间内的实根，取区间中点

3

三次，可以确定根所在的最小区间是（）�−2�−5=02,3

A．B．C．D．

【考点127,2.零5点存在定理2】,2.252,2.1252.0625,2.125

例17（24-25高一上·上海·期末）已知函数在上连续，则“”是“方程在

内至少有两个解”的（）����1�2�3<0��=01,3

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充分必要条件D．非充分非必要条件

变式1．（24-25高一上·上海·期中）已知实数，则方程

的两个实根分别属于区间（）�<�<��−��−�+�−��−�+�−��−

�=A0．和B．和

C．−∞,和��,�D．�,�和�,+∞

变式2．（�,2�3-24�高,�一上·上海·期末）方程−∞,�的根�,+∞，，则．

【考点18由零点个数求范围】lg�=2024−��∈(�,�+1)�∈��=

例18（2025·上海静安·一模）设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，

且当时，�=�.设�R，若�∈函R数�−在�左=开�右�闭+区4间

1�

�∈上恰−2有,03个不�同�的=零点2，则−1实数�的�取=值�范�围−是log��+2,�．>1�=��

变−式2,61．（24-25高二下·上海黄浦·月考）�已知函数．若

2

−�−2�−6,�≤0

只有个零点，则的取值范围是��=．,��=��−2ℎ�=

2ln�,�>0

变��式⋅2�．�（24-25高二上·上海·开�学考试）已知函数，若方程有四个不

2

−�−2�+1,�<0

��=��=�

同的解，且，的lo取g2值�范,�围>是0..

16

2

123412344123

【考点�1,9�,比�较,�零点�的大<�小关<�系<】��⋅�+�+�⋅�4

例19（23-24高一上·上海虹口·期末）已知函数，，的零点依次为、、

�

，则、、的大小关系为（）�=2+��=ln�+��=lg�+��1�2

�3A．�1�2�3B．C．D．

变式1．�（12<02�42高<一�3·上海·专�2题<练�1习<）�已3知函数�2<�3<�1�1<�3，<且�2m，n是方程

的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小�关(�)系=可(能�−是�（)(�−）�)+1(�<�)�(�)=0

A．m＜a＜b＜nB．a＜m＜n＜bC．m＜a＜n＜bD．a＜m＜b＜n

【考点20指数函数与对数函数零点分布求参数范围】

例20（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的方程有负根，则a的取值范围

�1

是.�∈�5=�−�+�

变式1．（23-24高一上·上海·月考）已知函数，若，且，

log2�,0<�<4

��=�<�<���=��=��

则关于的代数式的取值范围为.−�+6,�≥4

��

�,�,�log2�

变式2．（23-24高一上·上海松江·期末）已知函数的表达式为，若方

ln�,0<�≤3

�=����=

程有四个不相等的实根，且，则�6−�,3<�取<值6范围

222

是��=�.���=1,2,3,4�1<�2<�3<�4�1+�2+�3+�4

【考点21嵌套函数的零点问题】

例21（2024·上海·模拟预测）已知函数，则函数有个

2

�+4�+1,�≤0

�(�)=�=�(�(�))+1

log2�,�>0

零点．

变式1．（23-24高一上·上海·期末）已知函数，其中.若方程

2

�−4�+2,�<�

有且只有一个解，则实数的取值范围是��=�0<�<4���=2

.2,�≥�

【考点22反函数的性�质与应用】

例22（24-25高一上·上海·期末）已知函数和其反函数的图象都过点，则．

变式1．（24-25高一上·上海虹口·期末）设�=��+�，若函数(1,2)的反函��数=为，

�−1

且函数的图象经过点，则�关(�于)=的�不+等�(式�>0,�≠1)的解集�为=�(�).�=�(�)

−1

变式2．�（=2�4-2(5�高)一上·上海·随(堂3,练1)习）已知点�在函�数(log��)≤6的反函数的图像上，则．

�

9,3�=1+��=

一、单选题

1．（25-26高三上·上海松江·期末）下列函数中，对任意的、时，均有

的是（）�=���1�2∈0,+∞�1−�2��1−

��A2．>0B．

−22

C．��=�D．��=�−4�+4

�1

2．（25�-2�6高=三2上·上海虹口·月考）已知��=log，2�若，则实数的取值范围

�−�2

是（）．��=e−e+4��−2+��<8�

A．B．C．D．

−1,2−2,1−∞,−1∪2,+∞−∞,−2∪1,+∞

二、填空题

3．（25-26高三上·上海·月考）设函数，则使得成立的实数

11

22

的取值范围．��=1+�−1+��log�>�−3log2�−2

�．（上海奉贤一模）若函数是偶函数，则实数．

42025··�

�⋅2−1

�

�=2+1�∈R�=

5．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若方程有2个根，则

�

(�+1)e 0≤�<1,

�(�)=2��−�=0

的范围是．�−2� �≥1,

6�．（25-26高三上·上海·期中）已知函数，若有四个不同的解，

2

�+2,�≤0

�(�)=��=��1,�2,�3,�4

且，则的最小值lo为g2�,�>0.

16

4122

7．�（1<25�-226<高�一3<上�·上4海·月�考�）+已�知定+义�3在�4R上的函数满足，对任意的实数、，且

，，则不等式��的�解1集0为13=202．6�1�2

�8．1<（�224-2�5高�1一−上�·上�2海>奉�贤1·−月�考2）已知函数��−1013<�，则.

��+3=4�+6��=

9．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围

2−��+3�,�<1

为．�=2