2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第07讲 正切函数的图像与性质 （原卷版）

第07讲正切函数的图像与性质

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：正切函数的图像

1.正切函数的定义

概念：函数ytanx，定义域为x∣xk,k，对应关系是“角x（弧度制）→单位圆中角x终

2

边与正切线的交点纵坐标”。

易错辨析

易错点：忽略正切函数的定义域限制

辨析：正切函数在xk（k）处无定义，这些点是函数的间断点，画图时需用虚线标注.

2

概念比较

sinx

与正弦/余弦函数定义域比较：正弦、余弦函数定义域为，但正切函数因tanx，需满足cosx0，

cosx

故定义域是间断的区间.

重点记忆+常考结论

重点记忆：正切函数定义域是xk（k）.

2

常考结论：若tanx有意义，则x不能取的奇数倍.

2

知识点2：画出正切函数图象

画图方法：

1.取一个周期内（如,）的关键点：x（y1）、x0（y0）、x（y1）；

2244

2.正切函数图象是无限接近渐近线xk的单调递增曲线（称为“正切曲线”）；

2

3.利用周期性（周期），将,内的图象向左右平移k（k），得到整个定义域内的图象.

22

易错辨析

易错点：将正切曲线画成连续曲线

辨析：正切函数在xk处无定义，图象在这些点处“断开”，需用虚线（渐近线）分隔不同周期的

2

图象.

概念比较

与正弦/余弦曲线比较：正弦、余弦曲线是连续的周期性曲线，而正切曲线是间断的、以为周期的单调递

增曲线，且无最大值、最小值.

重点记忆+常考结论

重点记忆：正切曲线在每个周期k,k（k）内是“从递增到”的曲线，渐近线

22

为xk.

2

常考结论：正切曲线的一个周期区间是开区间（因端点无定义）.

知识点3：正切函数图象的应用

核心应用：通过图象直观判断正切函数的单调性、值域、间断点等性质.

易错辨析

易错点：认为正切函数在整个定义域内是单调递增函数

5

辨析：正切函数在每个周期区间内单调递增，但在整个定义域内不单调（如tan1，tan1，不满

44

足“自变量大则函数值大”）.

重点记忆

正切图象的核心特征：“间断、渐近线、周期、区间内单调递增”.

知识点4：正切函数的性质

1.单调性

（1）求含tanx的函数的单调性

正切函数的单调性：在每个周期区间k,k（k）内单调递增.

22

（2）求正切型三角函数的单调性

正切型函数：yAtan(x)（A0,0），单调性由的符号决定：

kk

22

当0时，单调递增区间为kxk，解得x,（k）；

22

当0时，单调递减区间为上述区间（因0会反转单调性）.

（3）利用正切函数的单调性求参数

方法：根据单调区间的包含关系，结合正切函数的区间单调性列不等式求解.

易错辨析

易错点1：解正切型函数单调区间时，忽略区间是“开区间”

辨析：正切函数在端点处无定义，故单调区间必须是开区间，不能写闭区间.

易错点2：0时未反转单调性

辨析：若ytan(2x)，需先化为ytan(2x)，此时函数的单调递减区间对应tan(2x)的单

调递增区间.

概念比较

与正弦/余弦函数单调性比较：正弦、余弦函数有增有减，而正切函数在每个周期区间内只有递增；且正切

函数的单调区间长度为，远小于正弦/余弦函数的单调区间长度（vs2）.

重点记忆+常考结论

重点记忆：正切函数的单调区间是k,k（k），开区间、单调递增.

22

常考结论：正切型函数ytan(x)的单调区间长度为.

||

2.比较正切值的大小

方法：利用周期性将角转化到同一周期区间,内，再根据单调性比较（同一递增区间内，角越大，

22

正切值越大）.

易错辨析

易错点：直接比较不同周期内的角的正切值

3

辨析：需先利用tan(xk)tanx（k）将角转化到同一周期，再比较.例如：比较tan与tan，

44

33

先将tantantan，因，故tantan.

4444444

重点记忆

比较正切值的步骤：“化同周期→利用单调性比较”.

3.解正切不等式

方法：先解一个周期内的不等式（如,），再利用周期性加k（k）.

22

易错辨析

易错点：解不等式时写成闭区间

辨析：正切函数在端点处无定义，故不等式的解集必须是开区间.例如：解tanx1，一个周期内的解是

,，故解集为k,k（k）.

4242

常考结论

解正切不等式的核心：“先求一个周期的解，再加周期k”.

4.奇偶性

（1）求正切（型）函数的奇偶性

正切函数的奇偶性：tan(x)tanx，故ytanx是奇函数，图象关于原点对称.

正切型函数的奇偶性：yAtan(x)为奇函数的充要条件是k（k）（需定义域关于原点对

称）.

（2）由正切（型）函数的奇偶性求参数/函数值

方法：利用奇偶性定义（f(x)f(x)）列方程求解参数；利用奇函数性质f(x)f(x)求函数值.

易错辨析

易错点：忽略定义域关于原点对称的前提

辨析：若正切型函数的定义域不关于原点对称，即使满足k，也不是奇函数.例如：ytanx定义域

限制为(0,)时，不是奇函数.

2

概念比较

与余弦函数奇偶性比较：余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数；正切型函数的奇偶性仅与有关（k

时为奇函数），而余弦型函数的奇偶性与k有关（偶函数）.

重点记忆+常考结论

重点记忆：正切函数是奇函数，核心式tan(x)tanx.

常考结论：若ytan(x)是奇函数，则k（k）.

5.周期性

（1）求正切（型）函数的周期

正切函数的周期：最小正周期为（因tan(x)tanx）.

正切型函数的周期：yAtan(x)的最小正周期为T（与A,无关）.

||

（2）由正切函数的周期求值

方法：利用周期性tan(xk)tanx（k），将大角转化为小角求值.

易错辨析

易错点：混淆正切与正弦/余弦函数的周期公式

2

辨析：正切函数的周期公式是T，而正弦/余弦函数的周期公式是T，两者分母的系数不同.

||||

重点记忆+常考结论

重点记忆：正切函数的最小正周期是，正切型函数周期为.

||

常考结论：若ytan(2x)，则其周期为.

2

【题型1作正切函数图像】

例1．（24-25高一·上海·随堂练习）求函数的定义域与值域，并作其图像．

�=tan|�|

例2．（23-24高一·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出函数和，

的图象，依据图象回答以下问题：�=sin��=tan��∈0,2π

(1)写出这两个函数图象的交点坐标；

(2)写出使成立的x的取值范围；

(3)写出使tan�>sin�成立的x的取值范围；

(4)写出使tan�=sin�成立的x的取值范围；

(5)写出使这ta两n�个<函si数n�有相同的单调性的区间．

变式1．（23-24高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图．

1π

�=2tan2�−4�∈[0,2π]

变式2．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数

ππ3π3π

的零点个数为（）�∈0,2∪2,2∪2,2π�(�)=cos�−tan�

A．2B．3C．4D．5

【题型2正切函数图像的应用】

例1．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为

�

，则．�(�)=tan(��−3)(�>0)

1948π

6π�(3)=

例2．（23-24高一·上海·课堂例题）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点

�

为P，过点P作垂直于x轴的垂线，其垂足为0,2.设直线�与=6cos�的图象交�于=点5tan，�求线段的

长.��1�1��1�=sin��2�1�2

变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）根据条件，求下列方程的解集．

(1)，；

π1

(2)cos�+4=2�，∈(0,2π)；

π

(3)3tan�+3=，3�∈(0,．π)

π

2sin2�−1=0�∈0,2

变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平

行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已

知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且

π

，已知�命=题ta：n①��+12：②�函>数0在上有4048个零点，则以下�判=断20正24确的是（）𝐴=

π

2�=40,2024π

A．①和②均为真命题B．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题

【题型3正切函数的单调性】

例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为．

ππ

�=tan2�+4

例2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（）

π

A．（）�B=．tan(−3�+6)（）

πππ2π

C．[�π−3,�π+3]（�∈�）D．(�π−9,�π+9（)�∈�）

�ππ�π2π�ππ�π2π

[3−9,3+9]�∈�(3−9,3+9)�∈�

变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（）

ππ

A．B．C．�=tan��−2, D2．�

0<�≤1−1≤�<0�≥1�≤−1

变式2．（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间：

(1)；

1π

(2)�=3tan2�+4.

�

�=tan−3�+6

【题型4比较正切值的大小】

例1．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则、、的大

1∘1∘1∘

小关系为.�=log2tan70�=log2sin25�=log2cos25���

变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较与的大小.

613π

tan5πtan−7

【题型5求正切型函数的奇偶性】

例1．（23-24高一下·上海·期中）函数是（）.

A．最小正周期为的奇函数�=tan�

π

B．最小正周期为2的偶函数

π

C．最小正周期为2的奇函数

D．最小正周期为π的偶函数

π

例2．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：

(1)；

(2)�=tan2�；

(3)�=tan；�

1

(4)�=tan�．

tan�

�=�

变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）函数的奇偶性是．

tan�+1

��=lgtan�−1

【题型6正切型函数的奇偶性求参数】

例1．（24-25高一·上海·随堂练习）函数（，）为奇函数需满足条件为．

�=�tan(��+�)�>0�>0

例2．（23-24高一上·河北邢台·月考）已知函数的图象关于原点中心对称，则

的最小值为．�(�)=tan(�+�)(�>0)�

变式1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知为奇函数，且m满足不等式

2

，则m的值为．�=tan�−cos(�+�)�−3�−10<

0

变式2．（25-26高三上·湖北武汉·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，

π

所得的图象关于原点对称，则的最小值为（）�=tan2�+3��>0

A．B．�C．D．

ππππ

12632

【题型7求正切型函数的周期】

例1．（2025·广东·模拟预测）直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是.

�=��=tan3�

例2．（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是.

π

变式1．（24-25高一下·上海长宁·期中）函�数(�)=tan(�+3)的最小正周期为

��=tan4−2�

变式2．（24-25高一下·上海宝山·月考）设常数，已知函数的最小正周期为2，则

π

的值为．�≠0�=tan��+12�

【题型8求正切型函数的定义域】

例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间．

π

�=2tan3�−6

例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域，并写出其单调区间．

π

�=tan3�+4

变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域是.

1

�=1+tan�

变式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的定义域；

2

�=lgtan�+16−�

【题型9求正切型函数的值域】

例1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（）

ππ

A．最大值是，最小值是�=Bt．an最�,�大∈值是−3,，4最小值是

C．最大值是−，最3小值是1D．没有最大值1，最小值是−3

111

2−22

例2．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值和最小值，并指出使其取得最大

ππ

值和最小值时所有的值．�=tan��∈−3,4

变式1．（24-25高�一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则

π

.0<�<1��=tan��0,31

�变=式2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求函数的最大值和最小值.

8tan�

2

�=2tan�+1

【题型10换元法求正切型函数的最值】

例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数，的最大值与最小值．

2ππ

例2．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数�=tan�−tan��∈，−4,4的最大值与最小值之和

2ππ

为.��=tan�−tan��∈−4,4

变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）已知，求函数的最值．

��2

�∈−6,4�=tan�+tan�+3

变式2．（24-25高一上·上海·单元测试）求下列函数的值域.

(1)；

2

(2)�(�)=tan�+4tan�−1，；

2ππ

(3)�(�)=|sin�|+2.cos�−1�∈−2,2

sin�cos�

�(�)=1+sin�+cos�

【题型11求正切型函数的对称性】

例1．（24-25高一下·上海·期中）点正切函数图象的对称中心

ππ

2,0�=tan�,�≠�π+2�∈�

（填写“是”或“不是”）

例2．（25-26高三上·江苏·月考）已知点是函数的图象的一个对称中心，则

ππ

的值可以是（）�,��=2tan3�+4−1�+�

A．B．C．D．

1139

变式1．−（42025·辽宁丹东·模4拟预测）函数4的一个对称中4心为（）

π

A．B．��C．=tan�−6D．

5ππππ

−6,0−6,03,02,0

变式2．（25-26高三上·贵州贵阳·期中）已知点，是函数的图象的一个

�

对称中心，则的最小值为（）�0�>0�=2���3�+4

A．�B．

��

C．12D．6

�5�

412

【题型12正切性型函数的综合应用】

例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）设函数.

�π

(1)求函数的定义域、最小正周期和单调区�间(�；)=tan2−3

(2)求不等式�(�)的解集；

(3)作出函数−1≤�(�在)一≤个3周期内的简图.

�=�(�)

例2．（23-24高一下·上海·期中）已知函数.

π

(1)若，求函数的最小正周期及其图�象�的=对ta称n中�心�.+3�>0

(2)若函�数=2在区间��上严格单调递增，求的取值范围.

(3)若函数��在（0,π且）上满足�“关于的方程在上至少存在2024个根”，且

在所有满足�上�述条�,件�的�,�∈中�，�<�的最小值不小于�2024，求��的=取值3范围�,.�

�,��−��

变式1．（23-24高一下·上海虹口·期末）已知函数，其中.

π

(1)若，求函数的最小正周期以及函数图象�的�对=称ta中n心�；�+3�>0

(2)若�=在2闭区间��上是严格增函数，求正实数的取值范围.

��0,π�

一、核心概念

1.函数形式：ytanx（定义域xk,k）、正切型yAtan(x)（A0,0）

2

2.参数意义：|A|（振幅）、T（周期）、（初相）

||

二、核心性质（正切函数）

1.单调性：每个周期区间(k,k)内单调递增

22

2.奇偶性：奇函数（tan(x)tanx），图象关于原点对称

3.周期性：最小正周期

4.值域：，无最值，图象渐近线xk

2

三、高频应用

1.单调区间求解：整体代换tx，结合符号定增减

2.正切值比较：化同周期区间后用单调性

3.不等式求解：先求单周期解，再加k

4.奇偶性判定：正切型为奇函数需k且定义域关于原点对称

一、单选题

1．（23-24高一下·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（）

ππ

A．最大值是，最小值是�=taBn．�,�最∈大值−是3,4，最小值是

C．最大值是−，最3小值是1D．没有最大值1，最小值是−3

111

2．（24-25高一上2·上海·课后作−业2）下列函数中，周期为，且在区间2上为严格减函数的是（）

ππ

A．B．π4,2

ππ

C．�=sin2�+2D．�=cos2�+2

ππ

3．（24-�25=高si一n下�·+上2海浦东新·期中）下列函数中，�最=小tan正周�+期2为的是（）

A．B．C．πD．

4．（24-�25=高si一n�下·上海·期中�）=tan2�（�）=是cos4�的（）�条=件co.s�

π

A．充分非必要�=2�π+4�B∈．Z必要非ta充n�分=1

C．充要D．既非充分又非必要

5．（2025·上海·模拟预测）已知，不等式在中的整数解

ππ

有m个．关于m的个数，以下不�可∈R能的是（）ta．n6�−�tan6�−�−1<00,2025

A．0B．338C．674D．1012

6．（24-25高一下·云南楚雄·月考）函数的定义域为（）

π

�=2tan�−4

A．B．

π3ππ3π

C．��π+4<�<4+�π,�∈�D．��π+4≤�<4+�π,�∈�

ππ

7．（24-2�5高�π一<下�·<上海2+杨�浦π·,月�考∈�）对于的绝对�值�函π数≤�<2的+性�π质,研�究∈�，可以借助将图象在x轴下半部

分沿x轴翻折进行研究.那么对于函数��|�(�)|的绝对值函数：

的共性的两个命题（）�=sin�,�=cos�,�=tan��=sin�,�=cos�,�=

|①ta这n�三|个绝对值函数较原函数周期均减半；②在[0,π]的区间上，这三个绝对值函数周期性与原函数相同.

A．①正确，②错误B．①错误，②正确

C．①②均正确D．①②均错误

二、填空题

8．（24-25高一下·上海·月考）已知函数的最小正周期为2，则实数ω的值为．

π

9．（23-24高一下·上海·期中）函数�=2，tan��+3的最大值为.

ππ

10．（24-25