2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第07讲 正切函数的图像与性质 （解析版）

第07讲正切函数的图像与性质

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练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：正切函数的图像

1.正切函数的定义

概念：函数ytanx，定义域为x∣xk,k，对应关系是“角x（弧度制）→单位圆中角x终

2

边与正切线的交点纵坐标”。

易错辨析

易错点：忽略正切函数的定义域限制

辨析：正切函数在xk（k）处无定义，这些点是函数的间断点，画图时需用虚线标注.

2

概念比较

sinx

与正弦/余弦函数定义域比较：正弦、余弦函数定义域为，但正切函数因tanx，需满足cosx0，

cosx

故定义域是间断的区间.

重点记忆+常考结论

重点记忆：正切函数定义域是xk（k）.

2

常考结论：若tanx有意义，则x不能取的奇数倍.

2

知识点2：画出正切函数图象

画图方法：

1.取一个周期内（如,）的关键点：x（y1）、x0（y0）、x（y1）；

2244

2.正切函数图象是无限接近渐近线xk的单调递增曲线（称为“正切曲线”）；

2

3.利用周期性（周期），将,内的图象向左右平移k（k），得到整个定义域内的图象.

22

易错辨析

易错点：将正切曲线画成连续曲线

辨析：正切函数在xk处无定义，图象在这些点处“断开”，需用虚线（渐近线）分隔不同周期的

2

图象.

概念比较

与正弦/余弦曲线比较：正弦、余弦曲线是连续的周期性曲线，而正切曲线是间断的、以为周期的单调递

增曲线，且无最大值、最小值.

重点记忆+常考结论

重点记忆：正切曲线在每个周期k,k（k）内是“从递增到”的曲线，渐近线

22

为xk.

2

常考结论：正切曲线的一个周期区间是开区间（因端点无定义）.

知识点3：正切函数图象的应用

核心应用：通过图象直观判断正切函数的单调性、值域、间断点等性质.

易错辨析

易错点：认为正切函数在整个定义域内是单调递增函数

5

辨析：正切函数在每个周期区间内单调递增，但在整个定义域内不单调（如tan1，tan1，不满

44

足“自变量大则函数值大”）.

重点记忆

正切图象的核心特征：“间断、渐近线、周期、区间内单调递增”.

知识点4：正切函数的性质

1.单调性

（1）求含tanx的函数的单调性

正切函数的单调性：在每个周期区间k,k（k）内单调递增.

22

（2）求正切型三角函数的单调性

正切型函数：yAtan(x)（A0,0），单调性由的符号决定：

kk

22

当0时，单调递增区间为kxk，解得x,（k）；

22

当0时，单调递减区间为上述区间（因0会反转单调性）.

（3）利用正切函数的单调性求参数

方法：根据单调区间的包含关系，结合正切函数的区间单调性列不等式求解.

易错辨析

易错点1：解正切型函数单调区间时，忽略区间是“开区间”

辨析：正切函数在端点处无定义，故单调区间必须是开区间，不能写闭区间.

易错点2：0时未反转单调性

辨析：若ytan(2x)，需先化为ytan(2x)，此时函数的单调递减区间对应tan(2x)的单

调递增区间.

概念比较

与正弦/余弦函数单调性比较：正弦、余弦函数有增有减，而正切函数在每个周期区间内只有递增；且正切

函数的单调区间长度为，远小于正弦/余弦函数的单调区间长度（vs2）.

重点记忆+常考结论

重点记忆：正切函数的单调区间是k,k（k），开区间、单调递增.

22

常考结论：正切型函数ytan(x)的单调区间长度为.

||

2.比较正切值的大小

方法：利用周期性将角转化到同一周期区间,内，再根据单调性比较（同一递增区间内，角越大，

22

正切值越大）.

易错辨析

易错点：直接比较不同周期内的角的正切值

3

辨析：需先利用tan(xk)tanx（k）将角转化到同一周期，再比较.例如：比较tan与tan，

44

33

先将tantantan，因，故tantan.

4444444

重点记忆

比较正切值的步骤：“化同周期→利用单调性比较”.

3.解正切不等式

方法：先解一个周期内的不等式（如,），再利用周期性加k（k）.

22

易错辨析

易错点：解不等式时写成闭区间

辨析：正切函数在端点处无定义，故不等式的解集必须是开区间.例如：解tanx1，一个周期内的解是

,，故解集为k,k（k）.

4242

常考结论

解正切不等式的核心：“先求一个周期的解，再加周期k”.

4.奇偶性

（1）求正切（型）函数的奇偶性

正切函数的奇偶性：tan(x)tanx，故ytanx是奇函数，图象关于原点对称.

正切型函数的奇偶性：yAtan(x)为奇函数的充要条件是k（k）（需定义域关于原点对

称）.

（2）由正切（型）函数的奇偶性求参数/函数值

方法：利用奇偶性定义（f(x)f(x)）列方程求解参数；利用奇函数性质f(x)f(x)求函数值.

易错辨析

易错点：忽略定义域关于原点对称的前提

辨析：若正切型函数的定义域不关于原点对称，即使满足k，也不是奇函数.例如：ytanx定义域

限制为(0,)时，不是奇函数.

2

概念比较

与余弦函数奇偶性比较：余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数；正切型函数的奇偶性仅与有关（k

时为奇函数），而余弦型函数的奇偶性与k有关（偶函数）.

重点记忆+常考结论

重点记忆：正切函数是奇函数，核心式tan(x)tanx.

常考结论：若ytan(x)是奇函数，则k（k）.

5.周期性

（1）求正切（型）函数的周期

正切函数的周期：最小正周期为（因tan(x)tanx）.

正切型函数的周期：yAtan(x)的最小正周期为T（与A,无关）.

||

（2）由正切函数的周期求值

方法：利用周期性tan(xk)tanx（k），将大角转化为小角求值.

易错辨析

易错点：混淆正切与正弦/余弦函数的周期公式

2

辨析：正切函数的周期公式是T，而正弦/余弦函数的周期公式是T，两者分母的系数不同.

||||

重点记忆+常考结论

重点记忆：正切函数的最小正周期是，正切型函数周期为.

||

常考结论：若ytan(2x)，则其周期为.

2

【题型1作正切函数图像】

例1．（24-25高一·上海·随堂练习）求函数的定义域与值域，并作其图像．

【答案】答案见解析�=tan|�|

【分析】由和去掉上的绝对值符号，可得函数的定义域与值域；当时，函数在y轴右

侧的图像即为�≥0�<的0图像不�变，当时，函数在y轴左侧的图像为�在≥y0轴右侧的图像关于y

�=tan��<0�=tan�

轴对称的图像，画出即可.

且

【详解】由已知，设�，，

且

tan�,�≥0�≠𝑘+2

�(�)=tan|�|=��∈Z

可知，函数的定义域为：−tan�,�<0�≠𝑘+2

且，值域为R；

π

{当�|�∈R,时，�函≠数�π+2,�∈Z在}y轴右侧的图像即为的图像不变；

当�≥0时，�=ta在n|�y|轴左侧的图像为�在=tya轴n�右侧的图像关于y轴对称的图像，如图所示（实

线部�<分0）.�=tan|�|�=tan�

例2．（23-24高一·全国·随堂练习）在同一平面直角坐标系中，画出函数和，

的图象，依据图象回答以下问题：�=sin��=tan��∈0,2π

(1)写出这两个函数图象的交点坐标；

(2)写出使成立的x的取值范围；

(3)写出使tan�>sin�成立的x的取值范围；

(4)写出使tan�=sin�成立的x的取值范围；

(5)写出使这ta两n�个<函si数n�有相同的单调性的区间．

【答案】(1)；

(2)(0,0),；(π,0),(2π,0)

π3π

(3)(0,2)∪(；π,2)

(4){0,π,2π}；

π3π

(5)(2,π)，∪(2,2π).

π3π

【分(0析,2】)（1(）2（,2）π（)3）（4）（5）在同一坐标系内作出两个函数的图象，再依次求出对应问题即可.

【详解】（1）在同一坐标系内，作出函数和，的图象，如图，

�=sin��=tan��∈0,2π

由图象知，两个函数的交点坐标为.

（2）由图象知，当或(0,0),(π时,0，),(2π,0)，

π3π

所以使成0立<的�<x的2取π值<范�围<是2tan�>sin.�

π3π

（3）由t图an象�>知s，in当�或或(时0,，2)∪(π,2)，

所以使成�立=的0x�的=取π值范�围=是2πtan.�=sin�

（4）由t图an象�=知s，in当�或{0时,π，,2π}，

π3π

所以使成2<立�的<xπ的取2值<范�围<是2πtan�<sin.�

π3π

（5）由t图an象�<知s，in当�时，两个函数(2都,π为)∪增(函2数,2，π)当时，两个函数都为增函数，

π3π

所以使这两个函数有0相<同�的<单2调性的区间是，.2<�<2π

π3π

(0,2)(2,2π)

变式1．（23-24高一·全国·课堂例题）画出函数在上的简图．

1π

【答案】答案见解析�=2tan2�−4�∈[0,2π]

【分析】根据五点作图法画图即可.

【详解】令，，可得，，

1ππ3π

又2，�−所4以=直2线+�π�是∈该�函数图象�=的一2条+2渐�近π线�．∈�

3�

当�∈[0,时2π，]�=2；

π

当�=0时，�=2tan−4；=−2

π

当�=2时，�=2tan0=0；

π

当�=π时，�=2tan4=2．

3π

描点�=2π，�=2ta，n4=−，2，画虚线，根据正切曲线的趋势，画出简图，如图所示．

π3�

(0,−2)2,0(π,2)(2π,−2)�=2

变式2．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数

ππ3π3π

的零点个数为（）�∈0,2∪2,2∪2,2π�(�)=cos�−tan�

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【分析】函数，其零点就是方程的解，也就是的解.

作出�与(�)=|cos�|在−给|ta定n�区|间|cos�|−|上tan的�|图=象0，根据图象交点|c个os数�|来=确|ta定n�函|数

ππ3π3π

的�=零|点co个s�数|.�=|tan�|0,2∪2,2∪2,2π

�【(�详)解】由，得，

作出�(�，)=cos�−，tan�=0cos�=tan�的图象，

ππ3π3π

�=cos��=tan��∈0,2∪2,2∪2,2π

由图可知，两函数的图象的交点有4个，

则曲线在上的零点个数为4．

故选：�C(．�)=cos�−tan�[0,2π]

【题型2正切函数图像的应用】

例1．（24-25高一下·上海·期中）函数的图象如图所示，图中阴影部分的面积为

�

，则．�(�)=tan(��−3)(�>0)

1948π

6π�(3)=

【答案】

【分析】根3据阴影面积得出，再结合诱导公式求出函数值.

【详解】函数�的最小正周期，

�π

由图可知，�(�)=tan(��，−3函)(数�>0)�，=�

π11π

所以�×3=6π,�=2�(�)=tan(2�−3)，

1948π11948πππ

故答案�(为3：)==tan(2×3−3)=tan(324π+3)=3

3

例2．（23-24高一·上海·课堂例题）定义在区间上的函数的图象与的图象的交点

�

为P，过点P作垂直于x轴的垂线，其垂足为0,2.设直线�与=6cos�的图象交�于=点5tan，�求线段的

长.��1�1��1�=sin��2�1�2

【答案】

2

【分析】作3出函数，，的图象，将线段的长转化为的值，再由

得出线段�的=长6c.os��=5tan��=sin��1�2sin�6cos�=

5【ta详n�解】由题意�知1�，2函数，，的图象，如下图所示：

�=6cos��=5tan��=sin�

由正弦线的定义知，线段的长即为的值，

且其中满足�1�2sin�

5sin�

变形为�6cos�=5tan�,6cos�=cos�,，

22

即6cos�=5sin�,6−，6sin�=5sin�

2

6sin�+，5sin�−6=0

�

∵�∈0,2，即线段的长为.

22

∴sin�=3�1�23

变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）根据条件，求下列方程的解集．

(1)，；

π1

(2)cos�+4=2�，∈(0,2π)；

π

(3)3tan�+3=，3�∈(0,．π)

π

【答2s案in2】�(−1)1=0�∈0,2

π17π

(2)�∈12,12

5π

(3)�∈6

π5π

【分�∈析】12根,1据2题意，由特殊角的三角函数值，结合三角函数的周期性，代入计算，即可求解.

【详解】（1）由题意得或，．

πππ

∴或�+4=2�π+3．2�π−3�∈�

π7π

∵��=2�π，+∴122�π−12,�∈�

π17π

（2�）∈由0题,2π意得�∈12,12，，

ππ

∴�+3=6+．�π�∈�

π

∵��=−，6+∴�π,�∈�．

5�

（3�）∈由0题,π意得�∈6或，，

π5

∴2�或=6+2�π6π+．2�π�∈�

π5π

∵��=12，+∴�π12+�π．,�∈�

ππ5π

�∈0,2�∈12,12

变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）我们把正切函数在整个定义域内的图像看作一组“平行曲线”.而“平

行曲线”具有性质：任意一条平行于横轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已

知函数图像中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于A、B两点，且

π

，已知�命=题ta：n①��+12：②�函>数0在上有4048个零点，则以下�判=断20正24确的是（）𝐴=

π

2A．①和②均为�真=命4题0,2024πB．①和②均为假命题

C．①为真命题，②为假命题D．①为假命题，②为真命题

【答案】D

【分析】根据已知条件得，求出，即可判断①；令，求出，解不等式，

ππππ

即可判断②.2=��tan2�+12=0�−24≤�≤2024π

【详解】依题意得，所以，故①为假命题；

ππ

2=��=2

所以，

π

令�=tan2�+12，得，，得，，

ππ�ππ

由tan2�+12=0，2得�+12=�π�∈Z，�=，2−24�∈Z

�ππ11

所以0整≤数2−的24值≤有2024π个，1函2≤数�在≤4048+1上2有�4∈04Z8个零点，故②为真命题.

故选：D.�40480,2024π

【点睛】关键点点睛：根据为函数的一个周期，求出是解决本题的关键.

𝐴�

【题型3正切函数的单调性】

例1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）函数的单调区间为．

ππ

【答案】�=tan2�+4

31

【分析】利−用2+2�,2+2�,�∈Z求解即可.

ππππ

【详解】由−2+�π<2�+4<2+�π,�∈，Z解得，

ππππ31

所以函数−2+�π<2�的+单4<调2递+增�区π,�间∈为Z−2+2�<�<2，+无2�单,�调∈递Z减区间.

ππ31

故答案为：�=tan2�+4.−2+2�,2+2�,�∈Z

31

−2+2�,2+2�,�∈Z

例2．（24-25高三上·上海·开学考试）函数的单调减区间是（）

π

A．（）�B=．tan(−3�+6)（）

πππ2π

C．[�π−3,�π+3]（�∈�）D．(�π−9,�π+9（)�∈�）

�ππ�π2π�ππ�π2π

【答案】[D3−9,3+9]�∈�(3−9,3+9)�∈�

【分析】由正切函数的诱导公式变形后结合单调性即可求出；

【详解】，

ππ

令�=tan(−3�+6)=，−tan3，�−6

1π1

解得�π−2π<3�−6<�π+2π，�∈Z

�π1�π2

所以函3数−9π<�<3+9π,�的∈单Z调减区间是（），

π�ππ�π2π

故选：D.�=tan(−3�+6)(3−9,3+9)�∈�

变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则的取值范围是（）

ππ

A．B．C．�=tan��−2, D2．�

【答案】0B<�≤1−1≤�<0�≥1�≤−1

【分析】根据题意得到，，即可得到答案.

ππππ

�<02�,−2�⊆−2,2

【详解】因为函数在上是减函数，

ππ

所以，�=tan��，−2,2，

ππππππ

�<02�<��<−2�2�,−2�⊆−2,2

ππ.

2�≥−2

ππ⇒−1≤�<0

故−选2�：≤B.2

变式2．（24-25高二·上海·假期作业）求下列函数的单调区间：

(1)；

1π

(2)�=3tan2�+4.

�

【答�=案】tan(1)−单3调�+递6增区间为，，无单调递减区间

3ππ

(2)单调递减区间为2�π−2，,2+2�，π无单�调∈递Z增区间

π�π2π�π

【分析】（1）直接根−据9正+切3函,9数+的3性质�计∈算Z可得；

（2）首先利用诱导公式将函数化简，再结合正切函数的性质计算可得.

【详解】（1）由题意得，，

π1ππ

解得−2+，�π<2�+4<2+�π�∈Z

3ππ

所以函2�数π的−单2调<递�增<区2+间2为�π，，无单调递减区间；

3ππ

（2）2�π−2,2+，2�π�∈Z

��

由题意�得=tan−3�+6=−tan3�−，6，

πππ

解得−2+�π<3�−6，<2+�π�∈Z

π�π2π�π

所以函−9数+的3单<调�递<减9区+间3为，，无单调递增区间.

π�π2π�π

−9+3,9+3�∈Z

【题型4比较正切值的大小】

例1．（24-25高一上·上海·课后作业）若，，，则、、的大

1∘1∘1∘

小关系为.�=log2tan70�=log2sin25�=log2cos25���

【答案】

【分析】利�<用�三<角�函数的单调性可得答案.

【详解】∵，

∘∘∘∘∘

∴0<sin25<sin65=cos25，<即1=tan45.<tan70

1∘1∘1∘

故答log案2s为in2：5>log2co.s25>log2tan70�<�<�

�<�<�

变式1．（24-25高一上·上海·课堂例题）比较与的大小.

613π

【答案】.tan5πtan−7

613π

【分析】根tan据5诱π>导公tan式结−合7正切函数的单调性即可得解.

【详解】，

6ππ

tan5π=tanπ+5=tan5，

1313πππ

∵tan−7π=−ta，n7π=−t在an2π−7上为=−严t格an增−函7数=，tan7

ππππππ

∴−2<7<5<，2即�=tan�−2,2.

ππ613π

tan7<tan5tan5π>tan−7

【题型5求正切型函数的奇偶性】

例1．（23-24高一下·上海·期中）函数是（）.

A．最小正周期为的奇函数�=tan�

π

B．最小正周期为2的偶函数

π

C．最小正周期为2的奇函数

D．最小正周期为π的偶函数

【答案】Cπ

【分析】根据正切函数的性质判断即可.

【详解】函数为最小正周期为的奇函数.

故选：C�=tan�π

例2．（23-24高一·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说明理由：

(1)；

(2)�=tan2�；

(3)�=tan；�

1

(4)�=tan�．

tan�

【答�=案】�(1)奇函数，理由见解析

(2)偶函数，理由见解析

(3)奇函数，理由见解析

(4)偶函数，理由见解析

【分析】根据函数奇偶性以及正切函数的知识求得正确答案.

【详解】（1）是奇函数，理由如下：

设�，=由tan2�解得，

π�ππ

��=tan2�2�≠�π+2�≠2+4

所以的定义域为，

�ππ

���|�≠2+4,�∈，Z

�所−以�=是tan奇−函2数�.=−tan2�=−��

（2）��是偶函数，理由如下：

设�=tan�，则的定义域是，

π

ℎ�=tan�ℎ��|�≠�π，+2,�∈Z

ℎ所−以�=是ta偶n函−�数.=−tan�=tan�=ℎ�

（3）ℎ�是奇函数，理由如下：

1

设�=tan�，则定义域是，

1�π

��=tan���，�|�≠2,�∈Z

11

�所以−�=是tan奇−�函=数−.tan�=−��

（4）��是偶函数，理由如下：

tan�

设�=�，则的定义域是，

tan�π

��=����|，�≠�π+2,�∈Z∪�|�≠0

tan−�−tan�tan�

�所以−�=是−偶�函=数.−�=�=��

��

变式1．（24-25高一下·上海·课后作业）函数的奇偶性是．

tan�+1

【答案】奇函数��=lgtan�−1

【分析】解正切不等式，求得函数定义域；再结合奇偶性的定义，即可判断.

【详解】由，得或，

tan�+1

∴函数定义域tan�为−1>0tan�>∪1tan�<−1，关于原点对称．

����

又(𝑘−2,𝑘−4)(𝑘+4,𝑘+2),�∈�，

tan(−�)+1tan�+1−tan�+1tan�+1

∴�(−�)+�(�)=，lg∴tan(−�)是−1奇+函lg数tan．�−1=lg(−tan�−1⋅tan�−1)=lg1=0

故答�(案−为�)：=奇−函�(数�).�(�)

【题型6正切型函数的奇偶性求参数】

例1．（24-25高一·上海·随堂练习）函数（，）为奇函数需满足条件为．

【答案】，�=�tan(��+�)�>0�>0

�π

【分析】由�=正切2型�函∈数Z为奇函数，根据正切函数的对称中心求解即可.

【详解】若函数（，）为奇函数，

则根据正切函数的�=对�称ta中n(心�可�+得�)�>0�>，0．

𝑘

�×0+�=2�∈Z

所以，，

�π

故答案�=为：2�∈Z，

�π

�=2�∈Z

例2．（23-24高一上·河北邢台·月考）已知函数的图象关于原点中心对称，则

的最小值为．�(�)=tan(�+�)(�>0)�

【答案】

π

【分析】根2据正切函数的奇偶性列式运算得解.

【详解】因为的图象关于原点中心对称，

所以�(�)，=又tan�+，�故的最小值为．

�ππ

故答案�=为：2,�.∈Z�>0�2

π

2

变式1．（24-25高一·上海·随堂练习）已知为奇函数，且m满足不等式

2

，则m的值为．�=tan�−cos(�+�)�−3�−10<

0【答案】或或

ππ3π

【分析】利−2用奇2函数2性质求出的关系式，再解不等式求出的范围即可得解.

【详解】函数�的定义域为�，而该函数为奇函数，

π

则当时，�=tan，�−即cos(�+�)，解得{�∈R|�≠2，+�π,�∈Z}

π

经检验�=当0�=0co时s�，=函0数�=2+�π,�∈Z为奇函数，

π

由�=2+�π,，�得∈Z�，=因ta此n�−cos(或�+�)或，

2ππ3π

所以�m−的3�值−为10<或0或.−2<�<5�=−2�=2�=2

ππ3π

故答案为：−或2或22

ππ3π

−222

变式2．（25-26高三上·湖北武汉·月考）将函数的图象向左平移个单位长度后，

π

所得的图象关于原点对称，则的最小值为（）�=tan2�+3��>0

A．B．�C．D．

ππππ

【答案】12A632

【分析】根据函数图象的平移变换，可得，结合题意可知该函数为奇函数，利用奇函

π

数的性质列式，化简求值，即得答案.�=tan2�+2�+3

【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，

π

所得的图象对应的�=函t数an为2�+3��>0，

ππ

�=tan2�+�+3=tan2�+2�+3

由题意知的图象关于原点对称，即函数为奇函数，

π

故�=tan2�+2�+3，

ππ

即tan−2�+2�+3=−tan2�+2�+3，

ππ

故tan−2�+2�+3=tan−2�+2�+3，

ππ

即−2�+2�+3=−2�+2�+3+�π,�，∈Z

2π�ππ

因为4�=�π，−故3当,�∈Z⇒时�，m=取4最−小6,值�∈Z.

πππ

另解：�由>题0意知�=1的−图6象+关4=于1原2点对称，

π

故�=tan，2即�+2�+3，

π1π1

因为2�+3=，2故�π当,�∈Z时，�m=取−最6小+值4�π,�∈Z，

πππ

故选：�A>0�=1−6+4=12

【题型7求正切型函数的周期】

例1．（2025·广东·模拟预测）直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是.

【答案】/�=��=tan3�

π1

【分析】根33据π正切函数的周期性可求答案.

【详解】由正切函数的图象的特点，直线与函数的图象的相邻两个交点的距离，即为最小

正周期；�=��=tan3�

因为最小正周期是，所以直线与函数的图象的相邻两个交点的距离是.

ππ

故答案为：�=3�=��=tan3�3

π

3

例2．（24-25高一下·上海宝山·期末）函数的最小正周期是.

π

【答案】�(�)=tan(�+3)

【分析】利π用正切函数的周期公式直接求解.

【详解】函数的最小正周期是.

π

故答案为：�(�)=tan(�+3)π

π

变式1．（24-25高一下·上海长宁·期中）函数的最小正周期为

【答案】��=tan4−2�

π

【分析】利2用正切型函数的最小正周期公式即可求得.

【详解】的最小正周期为,

ππ

故答案为：��.=tan4−2��=−2=2

π

2

变式2．（24-25高一下·上海宝山·月考）设常数，已知函数的最小正周期为2，则

π

的值为．�≠0�=tan��+12�

【答案】

π

【分析】根±2据正切型函数的最小正周期及其周期求法，即可得.

【详解】由题设及正切函数的性质，有且，则.

ππ

故答案为：|�|=2�≠0�=±2

π

±2

【题型8求正切型函数的定义域】

例1．（23-24高一·上海·课堂例题）求函数的定义域和单调区间．

π

【答案】定义域为，增�区=间2为tan3�−6，没有减区间

�π2π�ππ�π2π

【分析】根据正切型�|三�角≠函3数+定9义,�域∈、Z单调区间的求3法−求9得,3正+确9答案,�.∈Z

【详解】由，解得，

ππ�π2π

所以函数3�−6≠�π+2的定义域�为≠3+9，

π�π2π

由�=2tan3�−6解得�|�≠3+9，,�∈Z

πππ�ππ�π2π

所以�π函−数2<3�−6<�π+2的单调3递−增9<区�间<为3+9，没有减区间.

π�π