2026高一数学寒假自学课（苏教版）10.1 两角和与差的三角函数 （解析版）

10.1两角和与差的三角函数内容导航——预习三步曲第一步：导串知识识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握第二步：学析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习练考点强知识：核心题型举一反三精准练第三步：测过关测稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升知识点1：两角和与差的余弦公式cos已知α、可以把cosαcosβ，sinαsin两角和与差的公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式。注意：1、注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。2、在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。（25-26高三上·北京·月考）若，且．则．【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系和余弦的两角和公式求解即可.【详解】由题意，且，故，所以.故答案为：知识点2：两角和与差的正弦公式sin已知α、可以把sinαcosβ，cosαsin两角和与差的公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式。注意：注意角的拆分，通过合理的拆分、配凑把要求的角拆成两个已知三角函数值的角。2、在已知正弦或者余弦求另外一个值的时候，要注意角的范围确定三角函数在的正负性。（24-25高一下·甘肃兰州·期中）若，，，，则．【答案】/【分析】求出、的值，然后利用两角差的正弦公式可求得的值.【详解】因为，，则，所以，，因此，.故答案为：.知识点3：两角和与差的正切公式tan(α+β)=对于两角和差的正切公式的逆用:tanα+tanβ+对于正切与正余弦的关系，当遇到正余弦的齐次式的时候，都可以考虑看能不能化成正切来出来。注意：在正切求值与化简的问题中，经常会用到两角和与差的正切公式的逆用，当题目中遇到正切和或差以及两角或者三角正切乘积时，考虑是不是两角和与差的正切公式。（24-25高一上·贵州毕节·期末）若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.【详解】因为，则.故选：B.：两角和与差的余弦公式正用例1．（24-25高一下·广东汕尾·期末）已知，是第四象限角，则的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据条件，利用诱导公式结合正弦的差角公式，求得，再利用平方关系，求出，再利用余弦的和角公式，即可求解.【详解】由得，即，所以∵是第四象限角，∴.所以.故选：D.【变式1-1】（25-26高三上·湖北·月考）已知，，，，则的值为（

）A．或 B． C． D．【答案】B【分析】由题意得，，进一步得的值为.【详解】因为，，所以，因为，，所以，因为，所以，所以，所以的值为.故选：B.【变式1-2】已知，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据同角关系，结合余弦的和角公式即可代入求解.【详解】由可得，，由，得，，故，故选：C【变式1-3】（24-25高一下·山东东营·期末）已知，且，则.【答案】/【分析】由同角三角函数基本关系式求出，再根据两角差的余弦公式即可得结果.【详解】因为，所以，又，所以，所以，故的值为.故答案为：：两角和与差的余弦公式逆用例2．（24-25高一下·四川成都·期末）的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】直接运用两角差的余弦公式【详解】.故选：D.【变式2-1】（25-26高二上·吉林白城·月考）化简所得的结果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式以及两角差的余弦公式化简计算即可得出结果.【详解】易知.故选：A.【变式2-2】（25-26高三上·重庆·月考）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用诱导公式变形，再根据余弦差角公式和特殊角三角函数值得到答案.【详解】.故选：A【变式1-3】（2025·北京海淀·三模）在中，“”是“为锐角三角形”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用和角的余弦公式，充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】在中，，因此是钝角，是锐角，没有条件判断都是锐角，则不能确定为锐角三角形；反之，为锐角三角形，则是锐角，是钝角，成立，所以“”是“为锐角三角形”的必要不充分条件.故选：B：两角和与差的正弦公式正用例3．（2025高三上·江苏·学业考试）已知，，sinα=35，cosβ=−12A． B． C． D．【答案】B【分析】利用同角三角函数的基本关系结合两角和的正弦公式可得出的值.【详解】因为，，，cosβ=−1213所以，，所以.故选：B.【变式3-1】（25-26高三上·黑龙江牡丹江·月考）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题可知，进而根据计算即可.【详解】由，得，因为，所以，所以.故选：D【变式3-2】（2025·广东深圳·二模）若，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角差的正弦公式可求得的值.【详解】因为，则，所以，因此.故选：A.【变式3-3】（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）已知角，，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据平方关系求得，，再结合两角差的正弦公式求解即可.【详解】由，，则，则，，所以.故选：B.：两角和与差的正弦公式逆用例4．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】用诱导公式化简然后用两角和的正弦公式合并，然后由特殊角的三角函数求其值，即可解答.【详解】.故选：A.【变式4-1】（24-25高二下·云南昭通·期中）的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式求出结果.【详解】由诱导公式可知，所以，故选：A.【变式4-2】（24-25高一下·四川泸州·期中）．【答案】/【分析】由已知结合两角和的余弦公式进行化简即可求解．【详解】原式．故答案为：．【变式4-3】（24-25高二下·浙江温州·期末）化简：（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正弦的两角差公式和诱导公式化简可得.【详解】由和差公式和诱导公式可得：.故选：B：两角和与差的正切公式正用例5．（2025高三·全国·专题练习）已知均为锐角，且，则（

）A． B． C． D．或【答案】A【分析】由两角和的正切公式分别求出，，再判断角的范围即可求解．【详解】由题可知，，由于均为锐角，且，故，同理有，故，所以，故选：A．【变式5-1】（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，则.【答案】7.【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解.【详解】已知，则，即，则，则，则.故答案为：7.【变式5-2】（24-25高三上·上海·期中）已知，，则的值为.【答案】3【分析】根据正弦以及角的范围，先求出余弦，得到正切，再根据两角和的正切公式，即可求出结果.【详解】因为，，所以，则，所以.故答案为：3【变式5-3】（24-25高一下·安徽·期末）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据条件求出，再利用两角和差的正切公式求值即可.【详解】因为，所以，所以.故选：B：两角和与差的正切公式逆用例6．（25-26高三上·河南南阳·期中）tan（

）A．0 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据题意，利用两角和的正切公式，进行化简求值，即可得到答案.【详解】由，，所以，原式．故选：B．【变式6-1】（24-25高二下·河北唐山·期末）若，则（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】按照两角和的正切公式化简计算即可.【详解】，.故选：D【变式6-2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由两角和的正切公式可得出，结合题中等式化简得出的值，结合可得出角的值.【详解】因为满足，所以，因为，故，故，因此，.故选：B.【变式6-3】（2025高三·全国·专题练习）化简求值：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要涉及三角函数的两角和正切公式及其变形的应用,对于第一小问，需要利用和，和等角度和为的关系进行化简；对于第二小问，直接利用两角和正切公式的变形来求解.【详解】（1）解法1：由，同理得，…，以上各式相乘得原式．解法2：用倒序积求解．设，，从而，所以．（2）解法1：因为，所以，所以．解法2：．：根据正余弦乘积求两角和与差的正余弦例7．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由得，又由得，最后由两角差的余弦公式即可求解.【详解】由题意有：，又，所以，所以，故选：B.【变式7-1】（多选）（24-25高一下·江苏连云港·月考）已知，为锐角，，，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】对于A，由两角和的余弦公式、商数关系即可验算；对于B，直接由两角差的余弦公式验算即可；对于C，首先得，，然后直接验算即可；对于D，由，即可得解.【详解】对于A，因为，，所以，解得，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为，为锐角，所以，又因为，所以，所以，，故C错误；对于D，因为，为锐角，所以，又因为，所以只能，因为，解得，故D正确.故选：BD.【变式7-2】（2025·陕西渭南·三模）已知，则.【答案】【分析】由两角和正弦公式及切化弦得到，进而可求解.【详解】由，可得，由，可得：，即，联立可得：，所以，故答案为：【变式7-3】（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试），则【答案】/-0.6【分析】根据同角三角函数关系和和角的余弦公式得到方程组，联立求出，，再由差角的余弦公式得到答案.【详解】因，则（*），由，可得（**），将（*）代入上式，，即，代入（**），可得，故.故答案为：：根据弦化切求两角和与差的正切例8．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期中）若，，则．【答案】【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求解即得．【详解】因为，解得，又因为，所以.故答案为：.【变式8-1】（25-26高三上·黑龙江·月考）已知，满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意先求，再由两角和与差的余弦公式结合弦化切即可求解.【详解】由题意有：，又，即，所以，解得，所以，故选：D.【变式8-2】（2025高三上·河南洛阳·专题练习）已知tanθ=sinθ+3cosθA．0 B． C． D．2【答案】B【分析】利用齐次化思想求出，再利用两角和差的正切公式即可.【详解】因，则，得或，因，则，则.故选：B【变式8-3】（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用两角和的正切公式求得，然后利用将目标式子化弦为切，进而代入计算即可.【详解】因为，所以，解得，所以.故选：B：求特殊角的函数值例9．（25-26高一上·全国·课前预习）由和（差）角公式可知，．【答案】；/【分析】由、结合两角和正弦公式、两角差正切公式即可求解.【详解】，.故答案为：；【变式9-1】（24-25高二下·云南红河·期中）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算.【详解】.所以.故选：D.【变式9-2】（24-25高三上·广西·月考）计算（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由两角和差的正弦公式求出，再代入原式求解即可.【详解】，代入原式可得.故选：A.【变式9-3】．【答案】/【分析】将拆成，利用两角差的正余弦公式，可将分子分母化简得到，再将拆成，计算即得.【详解】.故答案为：.1．（25-26高三上·甘肃·月考）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用和差倍角的余弦公式进行求解计算即可.【详解】因为，所以，又，所以，所以.故选：C.2．（2025高三上·重庆·专题练习）已知，，则（

）A． B． C． D．7【答案】C【分析】先求出，进而得到，然后根据两角和差的正切公式求出结果即可.【详解】因为，，所以.所以.所以.故选：C.3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知，，则.【答案】【分析】根据两角差的正弦公式和同角三角函数的商关系解得，再利用两角和的正弦公式代入计算得到结果.【详解】已知，则.因为，则，代入上式可得，解得，则，故答案为：.4．（25-26高三上·贵州遵义·月考）设，若，则．【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系以及和角的正弦公式即可求解.【详解】，，，整理得，则.故答案为：.5．（25-26高三上·山东·月考）已知，，则．【答案】/0.5【分析】先将已知条件的两个等式分别平方，再相加，利用三角函数的平方关系和两角和的正弦公式化简求解.【详解】，整理得：化简得：.故答案为：.6．（2025·广东肇庆·