2026高一数学寒假自学课（苏教版）专题04 函数的概念及其表示（5重点+13题型）（解析版）

专题04函数的概念及其表示内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破【考点01】函数的定义1、函数的定义：设A，B是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A．【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应．（1）特殊性：定义的集合A，B必须是两个非空数集；（2）任意性：A中任意一个数都要考虑到；（3）唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；（4）方向性：A→B2、函数的有关概念（1）函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．3、同一个函数：两个函数定义域相同，对应关系相同，则称为同一个函数．【考点02】函数的定义域求法函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围．1、具体函数的定义域求法（1）分式的分母不能为零．（2）偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.（3）零次幂的底数不能为零，即中．（4）若函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单函数定义域的交集．【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接．2、抽象函数与复合函数定义域的求法复合函数的定义域是指的范围，而不是的范围．（1）已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围（值域）为，求的取值范围；（2）已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求出的范围（值域），即的定义域；（3）已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域，即的取值范围，再根据的取值范围求出的范围．【考点03】常见函数的值域常见函数的值域（1）一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)的定义域为R，值域是R.（2）二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定义域是R，当a>0时，值域为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))，当a<0时，值域为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a))).【考点04】函数解析式的求法1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法．（1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决．2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题．（1）先令，注意分析的取值范围；（2）反解出x，即用含的代数式表示x；（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得．3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式．4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式．例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出．【考点05】分段函数1、分段函数的定义：在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2、分段函数的性质（1）分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪一个范围，从而选择相应的对应关系；（2）分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集，各段定义域的交集是空集；（3）分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集．3、分段函数图象的画法（1）作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．（2）对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后作出函数的图象．【二级结论1】几种特殊函数一、最值函数函数（简称最值函数）的定义：设为实数，则，max，min函数的基本性质：（1）加法性质：；（2）乘法性质：；（3）平衡点：．二、高斯函数高斯函数也叫取整函数，不超过实数的最大整数称为的整数部分，记作；称为的小数部分，记作（这一规定最早为大数学家高斯所使用，故称为高斯函数）．例如，．1.取整函数的图象（如图1）与性质（1）定义域：；（2）值域：；（3）函数在上的图象是一段平行于轴的线段（不含右端点），整体图象呈现出台阶状线段分布，且每条线段上都有一个间断点（右端点），如图1所示，与直线无交点；（4）当时，有．2.小数函数的图象（如图2）与性质（1）定义域：；（2）值域：；（3）周期性：．三、符号函数：性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）奇函数；（4）非单调函数；（5）非周期函数．四、狄利克雷函数：性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）偶函数；（4）周期函数，但没有最小正周期；（5）非单调函数．【题型1函数的概念理解及辨析】高妙技法1、理解函数的概念应关注三点(1)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应．这三性只要有一个不满足，便不能构成函数．(2)y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式．(3)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号来表示函数．2、函数的判断(1)判断一个对应关系是否为函数的方法(2)根据图形判断对应关系是否为函数的方法①任取一条垂直于x轴的直线l；②在定义域内平行移动直线l；③若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．1．（24-25高一上·陕西·期末）下列图象中，可以表示函数的为（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据函数的定义判断.【详解】选项A，C，D的函数图象中存在，对应多个不同的函数值，故不可以表示函数，故B正确.故选：B.2．【多选】（24-25高一上·安徽铜陵·期末）设，下列选项能表示从集合A到集合B的函数关系的是（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】从函数的定义出发，得到BC错误，AD正确.【详解】对于数集A中的任意一个元素，在数集B中都有唯一确定的元素和其对应，则满足从集合A到集合B的函数关系，其中AD满足，B选项中自变量范围为，不是，B错误；C选项，因变量的取值范围是，不是的子集，C错误.故选：AD3．（22-23高一上·陕西西安·期末）设集合，则下列图象能表示从集合到集合的函数关系的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根据函数关系的定义逐个判断即可.【详解】A选项，集合P中的这部分在集合Q中没有元素对应，故A选项错误；B选项，，均存在唯一与其对应，故B选项正确；C选项，存在集合P中一个元素对应集合Q中的两个元素，故C选项错误；D选项，集合P中的元素2对应了集合Q中的两个元素，故D选项错误；故选：B.4．（22-23高一下·江苏常州·开学考试）已知集合，下列对应关系中从到的函数为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】结合函数的值域和定义域之间的关系，根据函数的定义分别进行判断即可．【详解】对于A，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故A错误，对于B，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故B错误，对于C，在对于关系中，当时，，则集合中没有元素和对应，不是从集合到集合的函数，故C错误，对于D，在对于关系中，因为，所以，且则集合中任意一个元素在集合中都有唯一的元素与之对应，满足函数的定义，是从集合到集合的函数，故D正确，故选：D．5．【多选】（22-23高一上·福建龙岩·月考）下列对应中是函数的是（

）．A．，其中，，B．，其中，，C．，其中y为不大于x的最大整数，，D．，其中，，【答案】AC【分析】根据给定条件，利用函数的定义逐项分析判断作答.【详解】对于A，对集合中的每个元素x，按照，在中都有唯一元素y与之对应，A是；对于B，在区间内存在元素x，按照，在R中有两个y值与这对应，如，与之对应的，B不是；对于C，对每个实数x，按照“y为不大于x的最大整数”，都有唯一一个整数y与之对应，C是；对于D，当时，按照，在中不存在元素与之对应，D不是.故选：AC【题型2求函数值】高妙技法函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．6．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知，则（）A．31 B．17 C．15 D．7【答案】A【分析】令，求出，然后代入解析式中即可求出的值.【详解】令，则，得．故选：A．7．（25-26高一上·全国·期末）已知函数的定义域为，且，，则．【答案】2【分析】取特殊值，取，代入题干关系式即可得结果.【详解】由，取可得，又，所以．故答案为：8．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知…，如果对应关系f将n对应到的小数点后第n位上的数字，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】函数对应关系的直接应用法，先明确函数的对应关系是“输入正整数，输出小数点后第位的数字”，再定位目标位置的数字，最后将对应位置的数字相加，得到最终和.【详解】由题意得：第1位数字（）：，第4位数字（）：，所以．故选D．9．（25-26高一上·山东菏泽·月考）已知函数的定义域为，，且当时，则下列结论中一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，依次迭代求解，可得各函数值范围.【详解】当时，所以，，又，则，，，，，，，，故B正确，ACD错误.故选：B.【题型3判断是否为同一个函数】高妙技法判断两个函数为同一个函数应注意的三点(1)定义域、对应关系两者中只要有一个不相同就不是同一个函数，即使定义域与值域都相同，也不一定是同一个函数．(2)函数是两个数集之间的对应关系，所以用什么字母表示自变量、因变量是没有限制的．(3)在化简解析式时，必须是等价变形．10．（24-25高一上·甘肃甘南·期末）下列四组函数：①；②；③；④；其中表示同一函数的是（

）A．②④ B．②③ C．①③ D．③④【答案】B【分析】根据函数的定义域和对应法则进行判断即可.【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为，其定义域不同，所以不是同一函数，故错误；对于②，函数，两个函数定义域都是，对应法则也一样，是同一函数，故正确；对于③，函数，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确；对于④，函数的定义域为，函数定义域为，两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误.故选：B.11．（24-25高一上·四川达州·期末）下列四组函数中，表示相同函数的一组是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据定义域和对应关系是否都相同，逐项判断即可.【详解】对于A，的定义域为的定义域为，由于定义域不同，则不是同一函数，故A错误；对于B，，由于对应关系不同，则不是同一函数，故B错误；对于C，和的定义域都是，且对应关系相同，则是同一函数，故C正确；对于D，的定义域为的定义域为，由于定义域不同，则不是同一函数，故D错误；故选：C.12．（25-26高一上·广东·期末）下列各组函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】对于A，，与的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数，A错误；对于B，，与的对应关系不同，不是同一函数，B错误；对于C，，与的定义域不同，不是同一函数，C错误；对于D，，与的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数，D正确．故选：D．13．【多选】（25-26高一上·山东聊城·期中）下列函数中与函数是同一个函数的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据函数定义域相同且对应关系相同，逐个分析可得答案.【详解】对于A，与对应关系不同，所以它们不是相同函数，故A错误；对于B，函数定义域为，与定义域和对应关系均相同，所以它们是相同函数，故B正确；对于C，的定义域，与定义域和对应关系均相同，所以它们是相同函数，故C正确；对于D，的定义域为，与定义域不同，所以它们不是相同函数，故D错误.故选：BC.14．【多选】（25-26高一上·云南文山·月考）下列各组函数中是同一个函数的是（

）A．B．C．D．【答案】BD【分析】利用两函数相等则定义域与对应法则相同，即可判断出答案.【详解】对于A选项：由可得的定义域为，由可得的定义域为，故与不是同一个函数，A错误；对于B选项：与的定义域与对应法则都相同，为同一个函数，B正确；对于C选项：由可得的定义域为，由可得的定义域为，故与不是同一个函数，C错误；对于D选项：因为，，故与是同一个函数，D正确；故选：BD.15．（24-25高二下·内蒙古·期末）下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（

）A．与B．与C．与D．与【答案】D【分析】根据同一函数的概念逐项判断即可.【详解】对于A，与的解析式不同，不是同一函数；对于B，的定义域为，的定义域为或，二者定义域不相同，不是同一函数；对于C，的定义域为，而的定义域为，不是同一函数；对于D，，二者定义域均为，解析式也相同，是同一函数．故选：D16．（25-26高一上·河南·月考）下列各组函数表示相等函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】C【分析】分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可.【详解】由题知：对于A：与对应法则不同，不是相等函数，故A选项错误；对于B：的定义域为，的定义域为或，两者的定义域不同，不是相等函数，故B选项错误；对于C：，其定义域为，的定义域为，两者定义域相同且对应法则相同，所以是相等函数，故C选项正确；对于D：与的对应法则不同，不是相等函数，故D选项错误；故选：C.17．【多选】（22-23高一上·江苏南通·期末）下列命题为真命题的是（

）A．“”的否定为“”B．若函数的定义域为，则“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件C．函数与函数是同一个函数D．若方程在区间上有实数解，则实数的取值范围为【答案】BD【分析】根据全称量词命题的否定、必要不充分条件、相同函数、一元二次方程的根等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，“”的否定为“”，所以A选项错误.B选项，函数的定义域为，当时，如是偶函数.当为奇函数，则，所以“”是“函数为奇函数”的必要不充分条件，B选项正确.C选项，函数的值域为；函数的值域是，所以不是同一函数，C选项错误.D选项，，由于方程在区间上有实数解，所以，D选项正确.故选：BD18．【多选】（22-23高一上·广东广州·期中）有以下判断，其中是正确判断的有（

）A．与表示同一函数B．函数的图象与直线的交点最多有1个C．若，则D．函数的最小值为【答案】BC【分析】A根据相等函数的概念来判断；B根据函数的定义来判断；C直接带值计算；D基本不等式求最值时的适用条件来判断.【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，故不是相等函数，A错误；对于B，根据函数的定义可知，当的定义域中含有1时，函数与有一个交点，当的定义域中不含1时，函数与没有交点，故B正确；对于C，因为，则，所以，故C正确．对于D，函数，当且仅当时取等号，该方程无解，即该等号不成立，故D错误；故选：BC．【题型4求具体函数的定义域】高妙技法1、分式的分母不能为零.2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即中奇次方根的被开方数取全体实数，即中，.3、零次幂的底数不能为零，即中.4、如果函数是一些简单函数通过四则运算复合而成的，那么它的定义域是各个简单简单函数定义域的交集。【注意】定义域用集合或区间表示，若用区间表示熟记，不能用“或”连接，而应用并集符号“∪”连接。19．（24-25高一上·江苏苏州·期末）下列函数中，定义域为的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数有意义的条件可得函数的定义域.【详解】选项A，函数的定义为，故A错误；选项B，由得，故的定义域为，故B错误；选项C，由得，故的定义域为，故C错误；选项D，由得，故的定义域为，故D正确，故选：D20．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数解析式有意义可得出关于的不等式组，由此可解得原函数的定义域.【详解】对于函数，有，解得且，因此，函数的定义域为.故选：D.21．（23-24高二下·江苏徐州·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出函数的定义域化简集合，再利用交集的定义求解即得.【详解】，而，，故选：C22．（23-24高一上·江苏淮安·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数有意义，则满足，解得且，所以函数的定义域为.故选：C.23．（22-23高一上·湖北黄冈·期末）函数的定义域为.【答案】【分析】由解析式可得，求解即可.【详解】由题意可得,故，即.故函数的定义域为.故答案为:.24．（22-23高一上·江苏常州·期末）函数的定义域为.【答案】【分析】根据对数真数大于零、分式分母不为零列不等式组，解之即可.【详解】因为，所以，解得且，所以函数的定义域为．故答案为：.【题型5求抽象函数的定义域】高妙技法（1）已知的定义域为，求的定义域，其实质是的取值范围为，求的取值范围;（2）已知的定义域为，求的定义域，其实质是已知中的的取值范围为，求的范围（值域），此范围就是的定义域.（3）已知的定义域，求的定义域，要先按（2）求出的定义域.25．（24-25高一上·云南楚雄·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由抽象函数定义域及具体函数定义域的概念构造不等式求解即可；【详解】由题意：要使有意义，则解得，所以的定义域为．故选：C26．（23-24高一上·山东潍坊·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【答案】【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法即可.【详解】函数的定义域为，则，则或则函数的定义域为.故答案为：27．（22-23高一上·福建福州·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为【答案】【分析】由题设结合抽象函数，根式与分式的意义列出关于x的不等式计算即可得解.【详解】因为函数的定义域为，所以要使函数有意义，则，所以，所以函数定义域为.故答案为：.28．（22-23高一上·江苏南通·月考）设函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】要使有意义，根据抽象函数的定义域、对数真数不为0、分母不为0可得到答案.【详解】要使有意义，只需，即，解得或，则函数的定义域为.故选：B.29．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数的定义域为，设函数，则函数的定义域是.【答案】【分析】由的定义域得出，进而由得出所求.【详解】因为函数的定义域为，所以，即，解得故函数，则函数的定义域是故答案为：【题型6由函数的定义域求参数】高妙技法根据函数的定义域求参数范围解题思路方法30．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果.【详解】根据题意对于恒成立；当时，显然成立，可得符合题意；当时，若满足题意可得，解得；当时，若满足题意可得，此时无解；综上可得，的取值范围是.故选：C31．（20-21高一上·黑龙江哈尔滨·月考）已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是（

）A．(0，1) B．C． D．【答案】C【分析】由题意知恒成立，讨论和时，从而求出实数的取值范围．【详解】函数的定义域是，即恒成立；当时，，满足题意；当时，，解得；综上知，实数的取值范围是，．故选：．32．（24-25高二下·河北沧州·期末）已知幂函数的定义域为R，则的值为（

）．A． B．3 C．或3 D．2【答案】B【分析】根据幂函数的定义进行求解即可.【详解】因为函数为幂函数，所以，计算可得或，当时，，定义域为，所以舍去，所以.故选：B．33．（24-25高二下·黑龙江·期末）已知函数的定义域与值域都为，则实数的值为【答案】【分析】利用二次函数的定义域即为满足条件的解集，即可判断开口方向和二次函数的零点，从而得到参数的两个关系式，再利用值域中的最大值，即为二次函数的最大值开方，则再得到一个相等关系，从而利用消元法，即可解得参数.【详解】由于的值域为，所以，的定义域为，则方程的两根为，所以，则抛物线的对称轴为，故答案为：.34．（24-25高二下·江西·期末）若函数的定义域为，则实数的取值范围是.【答案】【分析】由题可得在上恒成立，利用数形结合思想列出不等式求解即得.【详解】因函数的定义域为则在内恒成立，故需使，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.35．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）若函数的定义域为，则实数取值范围是.【答案】【分析】根据题意知恒成立，再求解即可.【详解】函数的定义域为，则恒成立，当时显然不成立；当时，则恒成立，当时，，解得.综上所述：实数取值范围是.故答案为：.36．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是．【答案】【详解】由题意知恒成立，所以恒成立，所以，又且，所以或．所以实数a的取值范围是．【题型7求函数的值域】高妙技法求函数的值域常见的方法有：（1）观察法：对解析式简单变形观察，利用熟知的初等函数的值域，求解；（2）配方法：函数是二次函数，可采用配方法结合图像或单调性求解；（3）分离常数法：反解法，函数是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用表示出，求解；（4）换元法：对于一些无理函数(如y＝ax±b±eq\r(cx±d))，通过换元把它们转化为有理函数，然后利用有理函数求值域的方法，间接地求解原函数的值域．（5）基本不等式法：通过对解析式变形，利用基本不等式求最值；（6）判别式法：通过对解析式变形，将看成自变量，看成常数，关于的方程有解，利用判别式法求解．37．（24-25高一上·重庆·期中）下列函数中，值域为的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次函数、分式型函数等单调性及基本不等式求各函数在给定区间上的值域.【详解】A：在上递减，在上递增，值域为，错；B：在上递增，值域为，错；C：在取等号，结合对勾函数性质知，在上的值域为，错；D：在上递增，故值域为，对.故选：D38．（25-26高一上·天津·期中）函数的值域为.【答案】【分析】利用换元法，转化为二次函数在给定区间上求值域即可.【详解】令，则，所以，，所以，即函数的值域为.故答案为：.39．（25-26高一上·河南·期中）函数在区间上的值域为.【答案】【分析】采用分离常数的方法，结合反比例函数的值域可求得结果.【详解】，因为，所以，所以，所以，所以，即，所以的值域为.故答案为：.40．（24-25高一上·广东·期末）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用换元法令，把函数变形为，结合基本不等式求解即可；【详解】令，则，则原函数可化为，因为，所以，当且仅当即时取等号，所以当时，；当时，，所以函数的值域为；故选：C.41．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数，，以的值为边长可构成一个三角形，则整数k的所有可能取值的和为.【答案】15【分析】，恒成立，变形得到，分，和，结合函数单调性得到函数值域，根据得到不等式，得到，求出答案.【详解】根据题意可知，，恒成立，，，当时，，此时，满足，当时，因为在上单调递减，在上单调递增，当时，，故，故，，恒成立，故，解得，故，当时，同上，可得，，恒成立，故，解得，故，综上，，满足要求的整数为，和为.故答案为：1542．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数.(1)证明：的图象关于原点对称；(2)求函数的值域.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由函数解析式明确定义域，利用指数运算以及奇函数定义，可得答案；（2）利用分离常数项整理函数解析式，根据指数函数取值以及不等式性质，可得答案.【详解】（1）证明：由可得其定义域为，因为，所以是奇函数，故函数的图象关于原点对称.（2）由，则，由，则，，可得，所以.【题型8根据函数值域求参数】高妙技法先确定函数类型（一次、二次、分式等），分析定义域与单调性，结合图像，根据值域边界列方程，对含参函数分类讨论参数范围，验证解是否满足定义域与函数性质，最终确定参数值或范围。43．（23-24高一上·云南曲靖·月考）若函数的值域为，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可.【详解】①时，，值域为，满足题意；②时，若的值域为，则，解得，综上，.故选：C.44．（2023·湖北武汉·一模）已知函数若的值域为,则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数的取值进行分类讨论即可.【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示：由图可知，当或时，两图象相交，若的值域是，以实数为分界点，可进行如下分类讨论：当时，显然两图象之间不连续，即值域不为；同理当,值域也不是；当时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是；综上可知，实数的取值范围是.故选：B45．（22-23高一上·辽宁·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复合函数的性质，由题意，可得内函数的值域，分类讨论，结合二次函数的性质，可得答案.【详解】由题意，令，则为其值域的一个子集，当时，，令，解得，故当时，；当时，，该函数为开口向下的二次函数，则必定存在最大值，故不符合题意；当时，，该函数为开口向上的二次函数，令，则，整理可得，即，解得或，此时符合题意.综上，可得.故选：D.46．（20-21高一上·北京·期末）已知函数在上的值域为，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二次函数的图象和性质，结合定义域与值域的概念可以得到实数m的取值范围.【详解】函数在[0,2]上单调递减，在[2,+∞)上单调递增，时时，函数的部分图象及在上的图象如图所示.所以为使函数在上的值域为，实数m的取值范围是，故选：B.47．（23-24高三上·河北沧州·月考）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得.【详解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数．所以或，解得，即实数的取值范围是.故选：A．48．（22-23高一上·四川成都·期末）已知函数的定义域为（为整数），值域为，则满足条件的整数对，共有（

）对．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先利用该函数的值域，求出函数取最大值与最小值时对应的的值，然后利用函数图像来确定即可.【详解】由题意，作出函数的图像如下：令，可以解得或，令，可以解得，∴当时，；时，；时，；时，；时，，所以满足条件的整数对可以是：，共5对，故选：C．【题型9待定系数法求解析式】高妙技法若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．49．（22-23高一上·河南南阳·月考）已知一次函数满足，则（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】B【分析】根据待定系数法可得函数解析式，进而即得.【详解】设，则,因为，所以，解得，所以，.故选：B.50．（21-22高一·全国·课后作业）已知是一次函数，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.【详解】依题意，设，则有，解得，所以.故选：D51．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知是单调递增的一次函数，满足，则函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用待定系数法求得，换元令，结合二次函数求值域.【详解】设，则，可得，解得，即，令，则，可得，因为的图象开口向上，对称轴为，可得在上单调递增，且当时，，可得，即函数的值域为.故选：B.52．（24-25高一上·福建福州·期中）若函数是二次函数，满足，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用待定系数法，由题意建立方程组，可得答案.【详解】设（），由，则，由，则，整理可得，则，解得，所以.故选：B.【题型10换元/配凑法求解析式】高妙技法1.换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.2.配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，53．（24-25高一上·安徽蚌埠·月考）函数，则.【答案】【分析】利用换元法即可求解【详解】令，则，所以，所以.故答案为：54．（25-26高一上·贵州·期末）若函数，则的最小值是．【答案】2【分析】利用换元法求出解析式，再求一元二次函数的最值即可.【详解】令，则，则，把换成，即，其图象对称轴为，且开口朝上，，所以的最小值是2．故答案为：2．55．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数满足，则.【答案】【分析】通过换元求得函数解析式，进而可求解.【详解】令，则，所以，所以，，所以，故答案为：56．（24-25高一上·贵州安顺·期末）若，则.【答案】【分析】通过令，得，再结合条件，即可求解.【详解】令，则，所以，得到，故答案为：.57．（24-25高一上·福建泉州·期末）已知，则．【答案】3【分折】利用换元法，结合题目的等量关系，求出解析式，即可求解．【详解】令，，，，．故答案为：3．58．（23-24高二下·辽宁本溪·期末）已知函数满足，则.【答案】【分析】利用解方程组法和换元法即可求解.【详解】由①，得②，由①②得，则，令，则，所以，故.故答案为：.59．（22-23高一上·四川遂宁·期中）已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用换元法计算可得.【详解】因为，令，则且，，所以，，所以.故选：D【题型11方程组法求解析式】高妙技法方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。60．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则.【答案】【分析】通过两次赋值将替换成和将替换成，构造方程组求解即可；【详解】由，①将替换成，可得：，②再将①中替换成：，可得：，③①②相减可得：，④③④相加可得：，所以，故答案为：61．（20-21高一上·山东聊城·期中）若满足关系式，则，若，则实数m的取值范围是．【答案】；或．【分析】通过解方程组求出，即得的值；转化为不等式，解不等式即得解.【详解】解：∵满足关系式，∴，①+②×2，得，∴，∴.，即解得或，所以m的取值范围是或．故答案为：；或．62．（21-22高一上·内蒙古赤峰·期中）若函数，满足，且，则（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据方程组法求解函数的解析式，代入求出，，再利用求出，从而得解.【详解】因为，所以，联立可得，所以，，因为，所以，则，所以.故选：C.63．（23-24高一上·河南开封·期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得，然后化简求得，利用基本不等式即可求解.【详解】由①，令，②，由得，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：D64．（22-23高一上·山东淄博·期末）设定义在上的函数满足，则.【答案】【分析】利用方程组法求函数解析式，将换成，两式联立即可求解.【详解】因为定义在上的函数满足，将换成可得：，将其代入上式可得：，所以，故答案为：.65．（22-23高一上·河北唐山·期末）已知函数满足，则（

）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】分别令，，然后解方程组可得.【详解】分别令，，则，解得.故选：A【题型12分段函数求值或求参】高妙技法分段函数求值(1)分段函数求值的方法①先确定要求值的自变量属于哪一段区间．②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．(2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解．66．（25-26高一上·湖北·期末）已知函数则=（）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】代入即可求解.【详解】.故选：D.67．（22-23高一上·广东深圳·期末）设，则的值为（

）A．9 B．11 C．28 D．14【答案】B【分析】由，结合函数解析式可得，再由解析式求求结论.【详解】因为，，所以，又，故，，所以.故选：B68．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数，则的值为（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】分段函数求值根据自变量所属范围代入相应部分的解析式求值.【详解】因为，所以.故选：.69．（21-22高一上·江苏徐州·期末）已知函数则的值为（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】根据分段函数解析式及指数对数的运算法则计算可得；【详解】解：因为，所以，所以，故选：D70．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）已知函数，若，则.【答案】0或0.5【分析】对的取值进行分类讨论，分别代入相应的解析式求解即可.【详解】若，可知，解得；若，可得，解得；综上可知，或.故答案为：0或0.571．（21-22高二下·山东烟台·期末）已知函数，若，则x的值为．【答案】或【分析】分和两种情况即可求解.【详解】当，即时，由得，所以；当，即时，由，解得.故答案为：或.72．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数，若，则实数．【答案】1【分析】利用分段函数解方程即可．【详解】若，则，无解；若，则，解得，故答案为：1．73．（2025·江西南昌·二模）已知函数，若，则.【答案】2【分析】根据分段函数的解析式分类讨论求解即可.【详解】由题意知，当时，，解得；当时，，解得，与矛盾，此时无解.所以.故答案为：274．（25-26高一上·广西河池·月考）已知函数，若，则的值为．【答案】或【分析】根据分段函数的解析式，分，和，三种情况讨论，列出方程，即可求解.【详解】当，即时，，则有，解得；当，即时，，则有，解得或－2，又因为，所以；当，即时，，则有，此时无解，故的值为或．故答案为：或．75．（2025·福建厦门·三模）已知函数若，则．【答案】8【分析】求出，再判断的范围，即可利用求解.【详解】，所以，因为时，，所以，，解得，故答案为：【题型13解分段函数不等式】高妙技法①求解分段函数不等式，需要对分类讨论，分别求解各段上的范围，最后并起来即可.②在同一坐标轴中画的图象，虚线，则函数图象在虚线及以上的部分中的取值范围，即不等式的解集，从而得答案.76．【多选】（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，关于函数的结论正确的是（

）A．B．C．若，则D．的解集为【答案】BD【分析】根据分段函数的解析式直接计算求解可判断答案.【详解】，故A选项错误；，故B选项正确；当时，，解得，当时，，解得，即的解集为，故C选项错误；当时，，解得，当时，，解得，综上，的解集为，故D选项正确；故选：BD.77．（24-25高二下·黑龙江大庆·期末）设函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合函数解析式分两段得到不等式，分别解两个不等式取并集即可.【详解】根据题意，由于函数，那么可知当，则，解得；当，则，即，解得或，综上，不等式的解集是.故选：A.78．（2025·山东济南·一模）已知函数则的解集是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可.【详解】当时，，，；当时，，，；且当时，，所以为奇函数，易知为上的递减函数，则，所以原不等式的解集为.故选：A79．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知函数，若，则的取值范围是.【答案】【分析】设，根据分段函数的解析式，求出时，的取值范围，进而再分类讨论求出的范围即可.【详解】令，则，原不等式化为，当时，，解得，即；当时，，解得，即，①，当时，，解得；当时，，无解，因此，②，当时，，解得；当时，，解得，因此或，所以a的取值范围是：.故答案为：【点睛】关键点点睛：设，分类讨论求出t的范围是求解的关键.80．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可.【详解】因为当时单调递增，且时，，当时单调递增，且时，，所以分段函数是一个单调递增函数，由可得，解得或.故选：B.一、单选题1．（24-25高一上·江苏徐州·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由即可求解；【详解】由题意可得：，得：，所以数的定义域为，故选：B2．（20-21高一上·重庆九龙坡·月考）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的解析式有意义，可得不等式组，解之即得函数定义域.【详解】由函数有意义，等价于，解得且，故函数的定义域为.故选：A.3．（24-25高三上·新疆·月考）已知函数满足，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】代入即可求解.【详解】，故，故选：B4．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知函数，则（

）A．1 B．7 C．13 D．49【答案】A【分析】根据题中分段函数解析式代入运算求解即可.【详解】因为，则，所以.故选：A.5．（24-25高三上·广东·开学考试）已知函数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意分别令、和，运算求解即可.【详解】因为，令，可得；令，可得；两式相加可得，令，可得；则，即.故选：D.6．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的图象如图①所示，则如图②所示的图象对应的函数解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用函数图象的对称变换和平移变换可得结果.【详解】先将函数的图象关于原点对称，可得出函数的图象，如下图所示：再把所得函数图象向左平移个单位长度，即可得出图②所示图象，故图②所示图象对应的函数为.故选：D.7．（24-25高一下·江苏盐城·期末）已知定义在上的函数满足对任意的正数，，都有，若，则（）A．12 B．6 C． D．【答案】D【分析】根据，令可得的值，令，可得，进而可得.令，可得，，即可求解.【详解】∵对任意的正数，，都有，∴令可得，解得；令，可得，∴.∴，即.令，可得，∴.故选：D.二、多选题8．（20-21高一上·江苏淮安·期末）下列各组函数中，与是同一函数的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【解析】满足定义域和对应关系一样的函数才是相等函数.【详解】A.定义域不一样，定义域为，的定义域为，不是同一函数；B.，当，时；当时，与定义域和对应关系一样，为同一函数；C.，与定义域和对应关系一样，为同一函数；D.定义域不一样，定义域为，的定义域为故选:BC9．（20-21高一上·江苏盐城·期末）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】四个选项，一一验证：AD可以先求解析式，验证符合函数的定义；对于BC，找反例排除.【详解】对于A.令，符合函数定义；对于B,令，设，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义；对于C,设当则x可以取包括等无数多的值，不符合函数定义；对于D.令，符合函数定义．故选：AD【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．10．（21-22高一上·广东深圳·月考）德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著．19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”，其中为实数集，为有理数集.则关于函数有如下四个命题，其中真命题是（

）A．B．任取一个不为零的有理数，对任意的恒成立C．，，恒成立D．不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形【答案】ABD【分析】直接由解析式计算可判断A；分和两种情况讨论可判断B；举反例取，，可判断C；分中有两个是有理数，一个是无理数或者两个是无理数，一个是有理数讨论，每种情况再分角为直角三种情况讨论可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A，，所以，故选项A正确；对于B，任取一个不为零的有理数，若，则，满足；若，则，满足，故选项B正确；对于C，取，，则，而，所以，故选项C错误；对于D，当均为有理数或均为无理数时，三点在一条直线上，不能构成三角形，所以中有两个是有理数，一个是无理数或者两个是无理数，一个是有理数，不妨设是有理数，是无理数，则，，，因为为等腰直角三角形，所以若角是直角，则，与是无理数矛盾，若角是直角，则，与是无理数矛盾，若角是直角，因为，所以，与是无理数矛盾，所以此时不可能为等腰直角三角形，当中有两个无理数一个是有理数时，不妨设是无理数，是有理数，则，，，因为为等腰直角三角形，所以若角是直角，则，与是有理数矛盾，若角是直角，则，与是有理数矛盾，若角是直角，因为，所以，且是有理数，只能是两个互为相反数的无理数，即，即，又因为为等腰直角三角形，所以，，或，与是无理数矛盾，所以不可能为等腰直角三角形，综上所述：不存在三个点，，，使得为等腰直角三角形，故选项D正确；故选：ABD.三、填空题11．（22-23高一下·江苏常州·开学考试）已知函数分别由下表给出：123123131321满足的的集合是.【答案】【分析】分别计算出时，与的值，比较后得到答案.【详解】，故，满足要求，，故，不满足要求，，故，满足要求，所以满足的的集合为.故答案为：12．（21-22高一上·江苏盐城·期末）函数的定义域为．【答案】【分析】由被开方数非负，解不等式可得答案【详解】由，得，，解得，所以函数的定义域为