2026年高一数学寒假自学课（沪教版）第09讲 平面向量的数量积 （原卷版）

第09讲平面向量的数量积

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：核心概念

1.向量夹角：非零向量a，b，作OAa，OBb，则AOB为a与b的夹角，范围0；当

时，称a与b垂直，记作ab.

2

2.数量积定义：若非零向量a，b的夹角为，则a与b的数量积（也叫内积）定义为ab|a||b|cos；

特别地，零向量与任一向量的数量积为0.

3.投影：非零向量a在b方向上的投影为|a|cos；同理，b在a方向上的投影为|b|cos（投影为实数，

可正、可负、可零）.

b

4.投影向量：非零向量a在b方向上的投影向量为(|a|cos)（投影向量是与b共线的向量）.

|b|

知识点2：核心性质（非零向量a，b，夹角为，e为单位向量）

性质公式说明

单位向量关建立数量积与投影的直接关联，是投影的代数表

联性质aeea|a|cos达形式

判断两向量垂直的核心依据，需注意前提是两向

垂直的充要

量均为非零向量（零向量与任一向量垂直为定

条件abab0

义）

共线时的数同向（0）：ab|a||b|；反向共线向量数量积的特殊情况，是判断向量同向/

量积（）：ab|a||b|反向的辅助工具

222

自身数量积aa|a|（可记作a|a|）求向量模的核心公式，将向量模的计算转化为数

与模的关系|a|aa量积运算

数量积模不等号成立的充要条件是a与共线（同向或反

||||||b

等式abab向）

知识点3：运算律（为实数，a，b，c为向量）

1.交换律：abba（由定义可证，因cos与向量顺序无关）.

2.数乘结合律：(a)b(ab)a(b)（需注意的符号会影响向量方向，进而影响数量积符号）.

3.分配律：(ab)cacbc（可借助几何意义或代数推导证明，是展开多项式型向量运算的关键）.

4.常用展开式：(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2（由分配律推导得出，适用于向量模

的关系推导）.

易错辨析

易错

错误表现正确结论规避策略

点

数量

积结认为ab是向量，或误将数量ab的结果是实数（可正、可负、牢记核心口诀：“向量乘向量

果属积与向量线性运算结果属性可零），而向量线性运算（加、减、得数量，向量加减/数乘得向

性混等同数乘）结果仍为向量量”，从结果类型上快速区分

淆

判断两向量夹角类型时，先明

向量将夹角范围误记为(0,)，或确“共线≠锐角/钝角”，先排

两向量夹角的标准范围是

夹角用锐角、钝角替代完整范围，除共线情况，再判断锐角

0，其中0和属于

范围忽略（同向）、（反（cos0且a不与同向）、

0共线情况，非锐角或钝角b

错记向）的情况钝角（cos0且a不与b反

向）

数量积不满足结合律（(ab)c与c

结合类比实数运算时，明确向量运

错误套用实数运算律，认为共线，()与a共线，a与c不

律与abc算的特殊性，可通过举反例验

（结合律），共线时显然不相等）；无消去律

消去(ab)ca(bc)证：如设a(1,0)，b(0,1)，

或由推出（可推出

律误abacbcabacc(1,1)，计算(ab)c与

（消去律）a(bc)0，即a(bc)，而

用a(bc)，直观感受不相等

非bc）

紧扣投影定义式“|a|cos”，

结合余弦函数在[0,]上的符

投影

投影是实数，其符号由夹角决定：

正负认为投影一定是非负数，误将号变化规律（在

为锐角时投影为正，为钝角时cos[0,)

性忽投影与“长度”等同2

投影为负，为直角时投影为零

略正、零、(,]负）记忆投

22

影符号

零向

零向量与任一向量的数量积为，遇到向量垂直问题时，先明确

量相忽略零向量与任一向量垂直0

故零向量与任一向量垂直（定义）；向量是否为零向量，分类讨论，

关性的定义，或在使用垂直充要条

非零向量垂直的充要条件才是避免因忽略零向量导致结论片

质混件时未考虑零向量情况

面

淆ab0

概念比较

概念组概念1概念2核心区别联系

数量积vs结果为实数；结果为向量；

向量线性运算均属于向量运算，数量积可借助

向量线性数量积运算符号不同（数量积用

（，，线性运算的分配律展开，如

运算（加、（）abab“”，线性运算用“+”

ab）(ab)cacbc

减、数乘）a“-”“”）

投影向量投影是投影向量的模长（考虑符

投影结果为实数，无方向；结

投影vs投（号时，投影的绝对值是投影向量

（果为向量，有方向（与共

影向量bb的模）；投影向量是投影与方

|a|cos）(|a|cos)）线）；二者类型不同b

|b|向单位向量的乘积

夹角，数量积

2均为两向量位置关系的特殊情

向量垂直；夹角或

垂直ab00形，除零向量外，垂直与共线无

vs向量共共线（ab），数量积

（）包含关系（零向量既与任一向量

线ab

ab|a||b|；二者是垂直，也与任一向量共线）

向量位置关系的不同特殊

情况

运算对象不同（两向量vs

数量积数量积

数乘“”：实实数+向量）；结果类型不二者均满足数乘结合律，即

“”vs“”：两a

数与向量间的运同（实数vs向量）；运算，建立了数乘

数乘向量间的(a)b(ab)

算符号不同（“”不可省略，与数量积的关联

“”运算

a数乘符号可省略）

四、重点记忆内容+常考结论

1.重点记忆清单（核心必背）

数量积定义式：ab|a||b|cos（所有性质、运算的本源，必须熟练掌握）.

垂直充要条件：abab0（高频考点，注意零向量的特殊情况）.

模与自身数量积的关系：|a|aa（求向量模的唯一核心公式，将模转化为数量积计算）.

ab

夹角公式：cos（注意[0,]，由cos的符号确定夹角类型）.

|a||b|

核心运算律：分配律(ab)cacbc及常用展开式(ab)2a22abb2（向量多项式运算的基

础）.

2.常考结论（速记速用）

1.单位向量数量积：若a，b均为单位向量，则abcos，且|ab|22cos（常用于单位向量

夹角、模的相关计算）.

2.三角形中的数量积：在ABC中，ABAC|AB||AC|cosA（A为ABC的内角）；若ABAC0，

则ABC为直角三角形（A90）.

3.向量模的最值结论：若|a|m（定值），|b|n（定值），则|ab|的最大值为mn（当a与b同向

时），最小值为|mn|（当a与b反向时）（由|ab|2a22abb2m2n22mncos推导，cos

取1时达最值）.

4.数量积的最值结论：ab|a||b|cos，最大值为mn（a与b同向，cos1），最小值为mn（a

与b反向，cos1）.

5.平行四边形法则的代数表达：|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)（可快速推导两向量模的平方和关系，

无需单独计算数量积）.

6.共线向量数量积推论：若ab，则|ab||a||b|；反之，若|ab||a||b|，则ab（共线与数量积绝

对值的双向等价关系）.

【题型1用定义求平面向量的数量积】

例1．（25-26高三上·上海松江·期中）在等边中，是边上的点.若，则

.△𝐴����𝐴=4,��=1

��⋅��=

例2．（25-26高三上·上海·期中）中国古塔多为六角形或八角形.已知某八角形塔的一个水平截面为正八边

形，如图所示，若，则；

𝐴��𝐶𝐷𝐴=2��⋅��=

变式1．（24-25高一下·上海·期末）已知，，且与的夹角为，则．

3π

�=1�=4��4�⋅�=

变式2．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，在中，是上的两个三等分点，

，则的值为．△𝐴��,���𝐴=12,��=

∘

9,∠���=60��⋅��

【题型2平面向量数量积求模长】

例1．（23-24高一下·上海·期中）已知则．

�=6,�=8,�−�=10,�+�=

例2．（24-25高一下·上海·期中）已知，，，则．

�=1�=2�⋅�=1�+�=

变式1．（24-25高一下·上海·月考）已知，，，则．

�=1�=3�,�=30°2�−�=

变式2．（24-25高二下·上海·期末）已知向量，的夹角为，，，则.

5π

【题型3平面向量数量积求夹角】��6�=1�=32�+�=

例1．（25-26高二上·上海·月考）已知平面向量满足，且，则

.�,�,��+�+�=0�=3,�=7,�=8

�,�=

例2．（25-26高二上·上海·开学考试）已知平面向量，且．求：

(1)的值；�=2,�=22�−3�⋅2�+�=4

(2)�向⋅量�与夹角的余弦值．

��−2�

变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期末）设向量、满足，，且，则．

���=1�=2�−�⊥��,�=

变式2．（24-25高一下·上海·期末）已知两个向量、满足，，，且向量

→→π

与的夹角为钝角．则实数的取值范围为�1�2�1．=2�2=1�1,�2=3��1+5�2

4�1+��2�

【题型4平面向量表示垂直关系】

例1．（25-26高三上·上海松江·期中）已知，，.

2π

(1)求；�=4�=8�,�=3

(2)求k2�为+何�值时，.

�+2�⊥��−�

例2．（2025·上海·三模）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为.

���=2�=1�⊥�−���

变式1．（24-25高一下·上海浦东新·期中）已知两个单位向量的夹角为，则下列结论中正确的是（）

→→

A．在上的投影向量为B．�1,�2�

→→→→

C．�1�2cos�D．�1·�2=1

→→→→→→

�1=�2�1+�2⊥�1−�2

变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知，，且，则的值为.

�=3�=4�+��⊥�−���

【题型5已知模长或夹角求参数】

例1．（23-24高一下·上海·月考）已知平面向量，的夹角为，且，，，．

π

(1)若，求λ；��3�=1�=2�=��−��∈�

(2)当�⊥�，求．

�=2�

例2．（24-25高二上·上海金山·期中）已知向量和的夹角为，且，.

∘

(1)求；��60�=3�=4

(2)若�+�，求实数的取值范围.

��−�≥13�

变式1．（25-26高三上·上海松江·期末）已知平面内两个非零向量、相互垂直，，若

，则实数k的值为．��|�|=2|�|cos〈�−��,�〉=

2

2

变式2．（24-25高一下·上海奉贤·期中）已知，，.若对任意的实数，不等式

π

恒成立，则实数的最大值为.�=2�=3�,�=3��−��≥�

�

【题型6平面向量的投影向量】

例1．（24-25高一下·上海·期末）设为单位向量.若向量满足：，则在方向上的投影为

���=2��

例2．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知，为单位向量，它们的夹角为，则在上的数量投

2π

影为.�=6�3��

变式1．（24-25高一下·上海·期中）已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则

(结果用数值表示)��−2��=2�⋅

�=

变式2．（24-25高一下·上海·期中）已知，若，则在方向上的数量投影

为.�=6,�=5�⋅�=−24��

【题型7平面向量数量积的几何意义】

例1．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知中，，，，则在方向上的数

3�

量投影为.△𝐴�𝐴=4��=22�=4����

例2．（24-25高一上·上海·课后作业）如图所示，，，写出向量、在方向上的数

量投影．|��|=2|��|=4������

变式1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，已知圆O中，弦的长为，圆上的点C满足，

求在方向上的数量投影.𝐴3��+��+��=0

����

变式2．（24-25高一下·上海闵行·期末）如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，、是原

来小正方形的其中两个顶点边，是小正方形的其余顶点，在所有��中，

不同的数值有（）���=1,2,⋯,7��⋅����=1,2,⋯,7

A．6个B．5个C．4个D．3个

一、核心知识脉络梳理

根节点：数量积的本质

核心定位：向量的“乘法”运算，结果为实数（区别于线性运算的向量结果），兼具几何意义（投影乘积）

与代数意义（可运算性），是连接向量与实数的桥梁.

一级分支1：基础核心概念（必背）

向量夹角：定义（OAa，OBb时AOB）+范围（0）+特殊角（0同向、反

向、垂直）

2

数量积定义：ab|a||b|cos（非零向量）；零向量与任一向量数量积为0

投影相关：投影（|a|cos，实数）、投影向量（与被投影方向共线的向量）

一级分支2：核心性质（解题关键工具）

关联性质：与单位向量的数量积（ae|a|cos，连接数量积与投影）

位置关系判定：垂直（abab0）、共线（ab|ab||a||b|）

模的计算：|a|aa（核心公式，将模转化为数量积）

不等关系：|ab||a||b|（等号成立条件：共线）

一级分支3：运算律（代数运算基础）

三大核心律：交换律（abba）、数乘结合律（(a)b(ab)）、分配律（(ab)cacbc）

常用展开式：(ab)2a22abb2、(ab)(ab)a2b2、|ab|2|ab|22(|a|2|b|2)

一级分支4：应用（考点落脚点）

ab

求夹角：cos（注意范围与cos符号匹配）

|a||b|

求模长：直接用|a|aa，间接用展开式求|ab|

判定位置关系：垂直、共线的数量积判定

最值问题：模的最值、数量积的最值（利用共线时取极值）.

一、单选题

1．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，则是（）

2

A．直角三角形B．锐角三△角�形��C�．�钝⋅�角�三=角−形��D△．�等��腰直角三角形

2．（24-25高一下·上海杨浦·月考）小张同学在学习了向量的数量积后，想出一道题考考同学们，题目和他

给出的答案如下：

题目：，求的值．答案：的值为7.

�=2,�=3,�+�=33�·��·�

则他的数学老师小朱老师最有可能给出的评价为（）

A．题目正确，答案正确B．题目错误，答案错误

C．题目错误，答案正确D．题目正确，答案错误

二、填空题

3．（24-25高二上·上海·月考）单位向量满足，则.

4．（23-24高三上·上海杨浦·月考）已知平�面,�向量�，+满�足=11�⋅�=且向量，的夹角为，则

→

→π

在方向上的投影数量为.���=3,�=4��32�+�

5．�（24-25高一下·上海黄浦·期末）已知，，，则与的夹角为．

6．（24-25高一下·上海金山·期末）已知向|�|量=1、|满�|足=3|�−�|=，2且3在�上�的数量投影为1，则

.��|�|=|�|=2�+��

〈7�．（,�〉24=-25高一下·上海浦东新·期末）已知，，，则在方向上的投影是．

8．（25-26高三上·上海·开学考试）若单位向�量=4满�足=9sin〈�,�〉=0.6，则�在�方向上的数量投影

为.�,��+�=2�−���

9．（25-26高三上·上海松江·期中）已知平面向量，，，向量在向量上的投影向量为，则

1

．���=2��−4�

1�0⋅．�（=2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则

1

11．（24-25高一下·上海·月考）在边长为1�的等边�中，O为边2�AC的�中=点，2�−�，⋅设�=