专题六　微专题1　直线与圆 -大二轮数学专题复习

微专题1直线与圆[考情分析]考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.考点一直线的方程1.已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，直线l2：A2x+B2y+C2=0，则l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0，且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.2.点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为零)的距离d=Ax3.两条平行直线l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0(A，B不同时为零)间的距离d=|C例1(1)(多选)(2024·安庆模拟)下列说法正确的是()A.直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是0，πB.“a=-1”是“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”的充要条件C.过点P(1，2)且在x轴、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0D.经过平面内任意相异两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线都可以用方程x2-x1(y-y1)=(y2-y1)(x-答案AD解析对于A，直线的倾斜角为θ，则tanθ=-sinα∈[-1，1]，因为0≤θ<π，所以θ∈0，π4∪3π4对于B，当a=-1时，直线x-y+1=0与直线x+y-2=0斜率分别为1，-1，斜率之积为-1，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线a2x-y+1=0与直线x-ay-2=0互相垂直”，则a2+a=0，故a=0或a=-1，所以得不到a=-1，故必要性不成立，故B错误；对于C，当截距为0时，设直线方程为y=kx，又直线过点P(1，2)，代入直线方程可得k=2，所以直线方程为y=2x，当截距不为0时，设直线方程为xa+ya=1，又直线过点P(1，2代入直线方程可得a=3，所以直线方程为x+y-3=0，所以过点P(1，2)且在x轴、y轴截距相等的直线方程为x+y-3=0或y=2x，故C错误；对于D，经过平面内任意相异两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线，当斜率等于0时，y1=y2，x1≠x2，方程为y=y1，能用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示；当斜率不存在时，y1≠y2，x1=x2，方程为x=x1，能用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示；当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为y-y1y2-y1=x-x1x2-x1，也能用方程(x2-x1)(y-y1)=(y(2)已知y=(x-a)2+(xlnx-a+3)2(a∈R)，则y的最小值为.

答案2解析设点P(x，xlnx)是函数f(x)=xlnx图象上的点，点Q(a，a-3)是直线l：y=x-3上的点，则|PQ|=(x-a)2+(xln因为f'(x)=lnx+1，设曲线y=f(x)在点M(x0，y0)处的切线l1与直线l平行，则f'(x0)=lnx0+1=1，解得x0=1，则点M(1，0)，所以|PQ|的最小值为点M(1，0)到直线l的距离d=|1-0-3|2所以y=(x-a)2+(xlnx-a+3)2的最小值为2.[易错提醒]解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2-A2B1=0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性.(2)要注意直线方程每种形式的局限性.(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在.跟踪演练1(1)(多选)已知直线l：3x-y+1=0，下列四个说法中正确的是()A.直线l的倾斜角为πB.若直线m：x-3y+1=0，则l⊥mC.点(3，0)到直线l的距离为2D.过点(23，2)，并且与直线l平行的直线方程为3x-y-4=0答案CD解析直线l的斜率k1=3，倾斜角为π3，A直线m的斜率k2=33，倾斜角为π6，与直线l不垂直，点(3，0)到直线l的距离d=|3×3-0+1过点(23，2)，与直线l平行的直线方程为y-2=3(x-23)，即3x-y-4=0，D正确.(2)(2024·遂宁模拟)若点A(a，a)，Bb，eba，b∈R，则A，B答案2解析点A(a，a)在直线y=x上，点Bb，eb在曲线y=e即求|AB|的最小值等价于求直线y=x上的点到曲线y=ex上的点的距离的最小值.过y=ex上的点m，em作y=e则切线方程为y-em=em(x-m)，令em=1，可得m=0，故该切线为y=x+1，则直线y=x+1与y=x的距离即为|AB|的最小值，此时|AB|=|1|1+1=22，即|AB|考点二圆的方程1.圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.2.圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，其中D2+E2-4F>0，表示以-D2，-E例2(1)(2024·浙江金丽衢十二校联考)圆C：x2+y2-2x+4y=0的圆心C坐标和半径r分别为()A.C(1，-2)，r=5 B.C(1，-2)，r=5C.C(-1，2)，r=5 D.C(-1，2)，r=5答案A解析圆C：x2+y2-2x+4y=0，即C：(x-1)2+(y+2)2=5，它的圆心C坐标和半径r分别为C(1，-2)，r=5.(2)(2024·晋中模拟)已知直线l：y=x与圆Γ：x-2k2+y-k+12=1(k∈A.所有圆Γ均不经过点(1，1)B.若Γ关于l对称，则k=-2C.若l与Γ相交于A，B两点，且|AB|=2，则k=-2D.存在与x轴和y轴均相切的圆Γ答案A解析对于A，若圆Γ经过点1，1，则1-2k2+1-k+12=1，化简整理得因为Δ=64-4×5×4=64-80=-16<0，所以方程无解，所以所有圆Γ均不经过点1，1，所以对于B，圆Γ：x-2k2+y-k+12=1的圆心坐标为(若Γ关于l对称，则直线l过圆心，所以2k=k-1，得k=-1，所以B错误；对于C，因为l与Γ相交于A，B两点，且|AB|=2，所以圆心到直线的距离为d=12-2又d=2k-k+12=22，解得k=-2或对于D，若存在与x轴和y轴均相切的圆Γ，则2k=k-1=1，所以不存在与x轴和y轴均相切的圆Γ，所以D错误.[规律方法]解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.跟踪演练2(1)(多选)已知实数x，y满足x2+y2-4y+3=0，则()A.当x≠0时，yx的最小值是-B.xy的最大值是C.y-x的最小值是2-2D.x2+y2的最小值是1答案BCD解析由x2+y2-4y+3=0，得x2+(y-2)2=1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r=1的圆.设k=yx(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率由y=kx(x≠0)，则-2k2+(-1)2≤1，解得k≥3或由题意，y一定不等于0，所以-33≤xy=1k≤即当x≠0时，yx无最小值，xy的最大值是33，故A错误设y-x=b，则y=x+b，b表示当直线y=x+b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距，则b-212+(-1)2≤1，解得2-2≤b≤2+2，即y-x的最小值是因为x2+y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，所以当x=0，y=1时，x2+y2取得最小值，且最小值为1，故D正确.(2)已知M(-1，1)，若坐标原点O(0，0)在动直线l：mx+ny-2m+2n=0上的投影为点N，则|MN|的取值范围是()A.2，2C.1，3答案B解析直线l：mx+ny-2m+2n=0，即(x-2)m+(y+2)n=0，令x-2=0,y所以动直线l恒过定点P(2，-2).因为坐标原点O(0，0)在动直线l上的投影为点N，故∠ONP=90°，所以N在以OP为直径的圆上，则圆的圆心为Q(1，-1)，半径r=122-02又|MQ|=(-1-1)2+(1+1所以|MQ|-r≤|MN|≤|MQ|+r，即2≤|MN|≤32，即|MN|的取值范围是2，考点三直线、圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离.其判断方法为：(1)点线距离法.(2)判别式法：设圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2，直线l：Ax+By+C=0(A2+B2≠0)，联立方程组Ax消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ=0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.考向1直线与圆的位置关系例3(多选)(2024·金华模拟)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，则下列命题正确的有()A.直线l恒过定点(3，1)B.圆C被y轴截得的弦长为26C.直线l与圆C恒相交D.直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0答案ACD解析对于A，由已知可得，圆心C(1，2)，半径r=5，直线方程可化为l：m(2x+y-7)+x+y-4=0，由2x+所以直线l恒过定点P(3，1)，A正确；对于B，将x=0代入圆的方程有1+(y-2)2=25，解得y=2±26，弦长为(0-0)2+(2+26-2+2因为点P(3，1)到圆心C(1，2)的距离为(1-3)2+(2-1)2所以点P在圆内，直线l与圆C恒相交，C正确；当圆心C与定点P的连线恰好与l垂直时，圆心到直线的距离最大，直线l被圆C截得的弦长最短，又kPC=1-23-1=-1则l的斜率k应满足kPC·k=-1，所以k=2，代入点斜式方程有y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0，D正确.考向2圆与圆的位置关系例4(1)(2024·聊城模拟)若圆C1：x2+y2=1与圆C2：(x-a)2+(y-b)2=4恰有一条公切线，则下列直线一定不经过点(a，b)的是()A.2x+y-2=0 B.2x-y+2=0C.x+y-2=0 D.x-y+2=0答案D解析圆C1：x2+y2=1的圆心C1(0，0)，半径r1=1，圆C2：(x-a)2+(y-b)2=4的圆心C2(a，b)，半径r2=2，若圆C1与圆C2恰有一条公切线，则两圆内切，所以C1C2=r1-r2，即a2+b2=1，所以点(a对于A，圆心(0，0)到直线2x+y-2=0的距离为0+0-25=105<1，则该直线与圆相交，过点(a，b)，对于B，圆心(0，0)到直线2x-y+2=0的距离为|0-0+2|5=255<1，则该直线与圆相交，过点(a，b对于C，圆心(0，0)到直线x+y-2=0的距离为0+0-22=1，则该直线与圆相切，过点(a，b)，故对于D，圆心(0，0)到直线x-y+2=0的距离为|0-0+2|2=2>1，则该直线与圆相离，不过点(a，b)，故(2)(多选)已知圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R，则下列选项正确的是()A.直线C1C2恒过定点(3，0)B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=10C.若圆C1和圆C2共有2条公切线，则a<4D.当a=13时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为答案ABD解析对于A，由圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R，可知C1(1，2a)，半径r1=3，C2(4，-a)，半径r2=2，故直线C1C2的方程为y+a=-a(x-4)，即y=-a(x-3)，所以直线C1C2恒过定点(3，0)，A正确；对于B，当圆C1和圆C2外切时，|C1C2|=r1+r2，即(1-4)2解得a=±43当a=43时，如图所示，当P，C1，C2，Q共线时|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=(1-4)2同理求得当a=-43时，|PQ|max=10，B对于C，若圆C1和圆C2共有2条公切线，则两圆相交，则|r1-r2|<|C1C2|<r1+r2，即1<(1-4)2+(2a+a)2<5，解得-对于D，当a=13时，两圆相交C1：(x-1)2+y-2C2：(x-4)2+y+1将两方程相减可得公共弦方程6x-2y-593=0则C11，23到6x-2y-593=0的距离为6-43-59362+(-2)2=3104[规律方法](1)与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理(2)两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.跟踪演练3(1)(2024·娄底模拟)已知圆C：(x-1)2+(y+2)2=16，过点D(0，1)的动直线l与圆C相交于M，N两点，当|MN|=215时，直线l的方程为()A.4x+3y-3=0B.3x-4y+4=0C.x=0或4x+3y-3=0D.4x+3y-3=0或3x-4y+4=0答案C解析当直线l与x轴垂直时，易知直线l的方程为x=0，C：(x-1)2+(y+2)2=16中，令x=0得(y+2)2=15，解得y=±15-2，故此时|MN|=15-2-(-15-2)=215，符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx+1，即kx-y+1=0，又圆心C(1，-2)，半径r=4，则圆心(1，-2)到直线l的距离为d=k+2+1k2+1，又|MN|=2r2∴d=k+2+1k2+1=1，解得k=-43，则直线l的方程为y=-43x+1，综上可知，直线l的方程为x=0或4x+3y-3=0.(2)(多选)(2024·泉州模拟)已知直线l：kx+y+2k-1=0与圆C：x2+y2-6y-7=0相交于A，B两点，下列说法正确的是()A.若圆C关于直线l对称，则k=1B.|AB|的最小值为42C.当k=3时，对任意λ∈R，曲线W：x2+y2+3λx+(λ-6)y+5λ-7=0恒过直线l与圆C的交点D.若A，B，C，O(O为坐标原点)四点共圆，则k=5答案BCD解析对于A，若圆C关于直线l对称，则直线l过圆C的圆心(0，3)，即3+2k-1=0，得k=-1，故A错误；对于B，l：kx+y+2k-1=0，整理得k(x+2)+y-1=0，不管k为何值，直线l始终过点D(-2，1)，当点D是线段AB的中点时，此时弦长|AB|最短，圆C：x2+(y-3)2=16，圆心C(0，3)，半径r=4，圆心C和点D的距离是22，所以最短弦长|AB|=2r2-222=4对于C，当k=3时，直线l：3x+y+5=0，曲线W：x2+y2+3λx+(λ-6)y+5λ-7=0，即x2+y2-6y-7+λ3x+所以曲线W为过直线l与圆C交点的曲线方程，故C正确；对于D，若A，B，C，O四点共圆，设此圆为圆E，圆心E(a，b)，OC的中点为0，32，所以OC的垂直平分线方程为l1：y=32，所以圆E的方程为(x-a)2+y-322=a2+94，整理得x2+y2-2因为直线AB是圆C与圆E的交线，将圆C与圆E的方程相减得2ax-3y-7=0，所以直线AB的方程是2ax-3y-7=0，将直线l所过的定点D(-2，1)代入上式得-4a-3-7=0，得a=-52所以直线AB，即直线l的斜率为2a3=-53，即-k=-53，则k=53专题强化练(分值：84分)一、单项选择题(每小题5分，共40分)1.已知直线l倾斜角的余弦值为-55，且经过点(2，1)，则直线l的方程为(A.2x+y-5=0 B.2x-y-3=0C.x-2y=0 D.x+2y-4=0答案A解析设直线l的倾斜角为θ∈[0，π)，由cosθ=-55，可得sinθ=1-cos2则直线l的斜率k=tanθ=sinθcos且直线l经过点(2，1)，所以直线l的方程为y-1=-2(x-2)，即2x+y-5=0.2.(2024·新乡模拟)已知直线l1：2x+my-1=0，l2：(m+1)x+3y+1=0，则“m=2”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析当m=2时，直线l1：2x+2y-1=0，l2：3x+3y+1=0，则l1∥l2，当l1∥l2时，2m+1=m3≠-11，所以“m=2”是“l1∥l2”的充要条件.3.(2024·北京)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为()A.2 B.2 C.3 D.32答案D解析将圆的方程化为标准方程，得(x-1)2+(y+3)2=10，所以该圆的圆心(1，-3)到直线x-y+2=0的距离为|1-(-3)+2|12+(-14.直线y=k(x-5)-2(k∈R)与圆(x-3)2+(y+1)2=6的位置关系为()A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定答案B解析直线y=k(x-5)-2恒过定点(5，-2)，将定点(5，-2)代入圆的方程，发现(5-3)2+(-2+1)2=5<6，则定点(5，-2)在圆(x-3)2+(y+1)2=6的内部，所以直线与圆必相交.5.(2024·聊城模拟)已知圆C与两坐标轴及直线x+y-2=0都相切，且圆心在第二象限，则圆C的方程为()A.(x+2)B.(x-2C.(x-2)D.(x+2答案D解析由题意设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(a<0，b>0)，则a=b解得b所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=2.6.(2024·苏锡常镇调研)莱莫恩Lemoine定理指出：过△ABC的三个顶点A，B，C作它的外接圆的切线，分别和BC，CA，AB所在直线交于点P，Q，R，则P，Q，R三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine线.在平面直角坐标系Oxy中，若三角形的三个顶点坐标分别为A(0，1)，B2，0，C0，-4，则该三角形的LemoineA.2x-3y-2=0 B.2x+3y-8=0C.3x+2y-22=0 D.2x-3y-32=0答案B解析设△ABC的外接圆方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2-4F>0，∴1+E+∴外接圆方程为x2+y2+3y-4=0，即x2+y+32易知外接圆在A(0，1)处的切线方程为y=1，又BC：x2+y-4=1，令y=1，得x=∴P52在C0，-4处的切线方程为y又AB：x2+y=1，令y=-4，得x=10∴R10，则三角形的Lemoine线的方程为y+41+4=x-1052-10，7.(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y-1=0交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A.1 B.2 C.4 D.25答案C解析因为b是a，c的等差中项，所以2b=a+c，c=2b-a，代入直线方程ax+by+c=0得ax+by+2b-a=0，即a(x-1)+b(y+2)=0，令x-1=0,y故直线恒过(1，-2)，设P(1，-2)，圆化为标准方程得x2+(y+2)2=5，设圆心为C，画出直线与圆的图形，如图，由图可知，当PC⊥AB时，|AB|最小，又|PC|=1，|AC|=5，此时|AB|=2|AP|=2|AC=25-1=4.8.已知圆O：x2+y2=4上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足x1x2+y1y2=0，则x1+3y1+6A.32-2 B.6-22C.62-4 D.12-42答案D解析由x1x2+y1y2=0得OA·OB=0，即OA⊥OB，则OA⊥OB，|AB|=2|OA|=22，因为x1+3y1所以由点到直线的距离公式，可知x1+3y1+6+x2+3y2+6表示A，B如图所示，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为D，F，设AB，DF的中点分别为M，E，则ME是梯形ADFB的中位线，可得|AD|+|BF|=2|ME|，则x1+3y1+6+x2+3y2+6=2(|AD|+|BF|)因为△AOB是直角三角形，所以|OM|=12|AB|=12×22=则点M在圆x2+y2=2上运动，半径r=2.由图可知，当O，M，E三点共线时，|ME|最小，又原点O到直线l的距离d=|0+0+6|1+(3)2=3，|ME|min=所以x1+3y1+6+x2+3y2+6二、多项选择题(每小题6分，共18分)9.下列说法正确的是()A.直线y=ax-2a+4(a∈R)必过定点(2，4)B.直线y+1=3x在y轴上的截距为1C.直线3x+3y+5=0的倾斜角为120°D.过点(-2，3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+1=0答案AD解析对于A选项，直线方程可化为a(x-2)+(4-y)=0，由x-2=0,4-所以直线y=ax-2a+4(a∈R)必过定点(2，4)，A正确；对于B选项，直线方程可化为y=3x-1，故直线y+1=3x在y轴上的截距为-1，B错误；对于C选项，直线3x+3y+5=0的斜率为-33，该直线的倾斜角为150°，C对于D选项，过点(-2，3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程可设为2x+y+c=0，则2×(-2)+3+c=0，可得c=1，所以过点(-2，3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y+1=0，D正确.10.(2024·哈尔滨模拟)已知圆C：(x-2)2+y2=4，直线l：(m+1)x+2y-3-m=0(m∈R)，则()A.直线l恒过定点1B.存在实数m，使得直线l与圆C没有公共点C.当m=-3时，圆C上恰有两个点到直线l的距离等于1D.圆C与圆x2+y2-2x+8y+1=0恰有两条公切线答案ACD解析对于A，直线l的方程可化为m(x-1)+x+2y-3=0，由x-1=0,x直线l过定点(1，1)，A正确；对于B，又(1-2)2+12=2<4，即定点(1，1)在圆C内，则直线l与圆C相交，有两个交点，B错误；对于C，当m=-3时，直线l：x-y=0，圆心C(2，0)到直线l的距离为d=|2-0|2而圆C半径为2，且2-2<1，因此恰有2个点到直线l的距离等于1，C正确；对于D，圆C的半径r1=2，圆x2+y2-2x+8y+1=0化为(x-1)2+(y+4)2=16，圆心为(1，-4)，半径r2=4，两圆圆心距为d'=(1-2)2+(-4-0则r2-r1<d'<r2+r1，两圆相交，因此它们有两条公切线，D正确.11.在平面直角坐标系Oxy中，方程x2+|y|=2对应的曲线为E，则()A.曲线E是封闭图形，其围成的面积小于82B.曲线E关于原点中心对称C.曲线E上的点到直线x+y=4距离的最小值为7D.曲线E上的点到原点距离的最小值为2答案ABC解析当y>0时，y=-x2+2，当y<0时，y=x2-2，当y=0时，x=±2，所以曲线E的图象如图所示，其中x∈[-2，2对于A，分别过A，C作x轴的垂线，过B，D作y轴的垂线，则围成矩形EFGH，因为A(-2，0)，C(2，0)，B(0，-2)，D(0，2)，所以EF=AC=22，EH=BD所以矩形EFGH的面积为22×4=82，由图可知，曲线E是封闭图形，且在矩形EFGH内，所以曲线E围成的面积小于82，所以A正确；对于B，因为点(x，y)和点(-x，-y)均满足方程x2+|y|=2，所以曲线E关于原点中心对称，所以B正确；对于C，由图可知，曲线E上到直线x+y=4距离最小的点位于第一象限，此时y>0，则y=-x2+2，设(x，y)为y=-x2+2上任意一点，则此点到直线x+y=4的距离为d=x+y-42=x-x2+2-42=x所以曲线E上的点到直线x+y=4距离的最小值为728，所以对于D，设(x，y)为曲线E上任意一点，则其到原点的距离为x2x2+y2=2-y+y2=y所以曲线E上的点到原点距离的最小值为72，所以D错误三、填空题(每小题5分，共15分)12.(2024·杭州质检)写出与圆x2+y2=1相切且方向向量为(1，3)的一条直线的方程.

答案y=3x+2或y=3x-2(写出一个即可)解析因为切线的方向向量为(1，3)，所以切线的斜率为3，故可设切线方程为y=3x+b.因为直线y=3x+b与圆x2+y2=1相切，又圆x2+y2=1的圆心坐标为(0，0)，半径为1，圆心(0，0)到直线y=3x+b的距离为|3×0-0+b所以b2=1，解得b=2或b所以与圆x2+y2=1相切且方向向量为(1，3)的直线方程为y=3x+2或y=3x-2(写出一个即可).13.(2024·海口调研)已知圆C：x2+(y-2)2=16，点P在直线l：x+2y+6=0上，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B.当∠APB最大时，cos∠APB=.

答案-3解析如图所示，易知∠APB=2∠APC，若∠APB最大时，则∠APC最大.由题意知圆C的圆心C(0，2)，半径r=4，在Rt△APC中，sin∠APC=|AC||PC|=4|PC|，则当∠APC最大时，|PC|显然由点到直线的距离公式，可知|PC|min=0+2×2+612+则此时sin∠APC=25则cos∠APB=1-2sin2∠AP