专题三　微重点1　数列的递推关系 -大二轮数学专题复习

微重点1数列的递推关系[考情分析]数列的递推关系是高考重点考查内容，作为两类特殊数列——等差数列、等比数列，可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，再利用公式求解，体现出化归思想在数列中的应用.考点一构造辅助数列例1(1)(多选)已知数列{an}，下列结论正确的是()A.若a1=2，an+1=an+n+1，则a20=211B.若a1=1，an+1=2an+3，则an=2n-1-3C.若a1=1，an+1=an1+3an，则D.若a1=2，2(n+1)an-nan+1=0，则an=n·2n答案ACD解析A项，an+1-an=n+1，∴a20=(a20-a19)+(a19-a18)+…+(a2-a1)+a1=20+19+18+…+2+2=211，故A正确；B项，方法一∵an+1=2an+3，∴an+1+3=2(an+3)，∴数列{an+3}是以a1+3=4为首项，2为公比的等比数列，∴an+3=4·2n-1=2n+1，故an=2n+1-3，故B错误；方法二若an=2n-1-3，则a1=21-1-3=-2≠1，故B错误；C项，∵an+1=an1+3an，a1=1，则∴1an+1=1+3a∴1an+1-∴数列1an是以1a1∴1an=1+(n-1)×3=3n∴an=13n-2D项，∵2(n+1)an-nan+1=0，∴an+1n∴数列ann是以a11∴ann=2·2n-1=2∴an=n·2n，故D正确.(2)已知数列{an}满足a1=t，an+1-2an=-n+1，若{an}是递减数列，则实数t的取值范围为()A.(-1，1) B.(-∞，0)C.(-1，1] D.(1，+∞)答案B解析将an+1-2an=-n+1整理得an+1-(n+1)=2(an-n)，又a1-1=t-1，易知当t=1时，a1=1，a2=2，不满足{an}是递减数列，故t≠1，因此数列{an-n}是以t-1为首项，2为公比的等比数列，故an-n=(t-1)2n-1，因此an=n+(t-1)2n-1，由于{an}是递减数列，故an+1<an恒成立，得n+1+(t-1)2n<n+(t-1)2n-1，化简得(1-t)2n-1>1，故1-t>12因此1-t>121-1=1，解得[规律方法](1)形如an+1-an=f(n)的数列，利用累加法求an.(2)形如an+1an=f(n)(3)形如an+1=qanpan+q((4)若数列{an}满足an+1=pan+q(p≠0，1；q≠0)，构造an+1+λ=p(an+λ).(5)若数列{an}满足an+1=pan+f(n)(p≠0，1)，构造an+1+g(n+1)=p[an+g(n)].跟踪演练1(1)已知数列{an}满足an+1an=n·2nn+1，其中a1A.28 B.220 C.225 D.228答案C解析由题意，得a2a1=12×21，a3a2=23×22，由累乘法，得a2a1×a3a2×…×a8a7=12×21×即a8a1=18×21×22×…×27=21+2+又a1=1，所以a8=225.(2)(2024·晋中模拟)若数列{an}满足a1=1，a2=4，且对任意的n≥2(n∈N*)都有an+1-2an+an-1=2，则1a2-1+1a3-1+1a4A.34-B.1C.34-D.1012答案C解析因为对于任意的n≥2(n∈N*)都有an+1-2an+an-1=2，则(an+1-an)-(an-an-1)=2，令bn=an+1-an，所以bn-bn-1=2(n≥2)，又b1=a2-a1=3，所以数列{bn}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以bn=3+(n-1)·2=2n+1，所以an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=a1+b1+b2+…+bn-1=1+(n-1)(3+2n-1)2=n2(则1an-1==121n-1-1所以1a2-1+1a3-1=1=1=34-1考点二利用an与Sn的关系例2已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=an2+(1)证明：数列{Sn2(2)设数列{bn}的前n项积为Tn，若Tn=Sn2，求数列{bn}(1)证明当n=1时，a1=a12+得a12=2，即S当n≥2时，Sn=Sn-S所以Sn+S所以Sn2-Sn-12=2，故数列{Sn2}(2)解由(1)知，Sn2=2+(n-1)×2=2得Tn=2n，当n≥2时，bn=TnTn-1=当n=1时，b1=T1=2，不符合上式，故bn=2[规律方法]在处理Sn，an的式子时，一般情况下，如果要证明f(an)为等差(等比)数列，就消去Sn，如果要证明f(Sn)为等差(等比)数列，就消去an.但有些题目要求求{an}的通项公式，表面上看应该消去Sn，但这会导致解题陷入死胡同，这时需要反其道而行之，先消去an，求出Sn，然后利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求出an(n≥2).跟踪演练2(1)(2024·天津模拟)设数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n+1(n∈N*)，则数列ann+1的前10项和为A.2011 B.11C.5122 D.答案C解析由题意a1+2a2+3a3+…+nan=2n+1，则a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1=2(n+1)+1，两式相减得(n+1)an+1=2，所以an+1=2n+1，所以an=2n(n≥又a1=2×1+1=3≠21所以an=3ann所以数列ann+1的前10项和为32+2×12-1(2)(2024·佛山模拟)设数列{an}的前n项之积为Tn，满足an+2Tn=1(n∈N*)，则a2024等于()A.10111012 B.1011C.40474049 D.答案C解析因为an+2Tn=1，所以a1+2T1=1，即a1+2a1=1，所以a1=13所以TnTn-1+2Tn=1(n≥2)，显然所以1Tn-1Tn-1=2(所以数列1Tn是首项为1T1=1所以1Tn=3+2(n-1)=2n即Tn=12所以a2024=T2024T2023=1专题强化练(分值：70分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.(2024·唐山模拟)已知数列{an}满足an+1=an+a1+2n，a10=130，则a1等于()A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析由题意，得an+1-an=a1+2n，则a2-a1=a1+2，a3-a2=a1+4，…a10-a9=a1+18，将以上等式左右两边分别相加，得a10-a1=9a1+9×(2+18)2=9a1+90即a10=10a1+90，又a10=130，所以a1=4.2.(2024·合肥模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=-1，且满足Sn-1Sn+2=an(n≥2)，则S6等于(A.13 B.3C.717 D.答案D解析由Sn-1Sn+2=an(n≥2)，得Sn-1Sn+2=Sn-Sn-1⇒Sn=12+S所以由a1=-1，得S2=12+SS3=12+S2=13，S4=S5=12+S4=717，S6=3.(2024·西安模拟)若数列{an}满足a1=4，ann=an-1+2n-2n-1(n≥2)，则1a1+A.20212025 B.1012C.14 D.答案B解析将ann=an-1+2n-2n-1化简为ann-an-1n所以ann=4+2(n-1)=2n即1an=12所以1a1+1a2+1=1=121-1所以1a1+1a2+1a3+…+4.(2024·衡阳模拟)已知数列{an}满足a1=1，a2=1，an+1=2an+3an-1(n≥2)，数列{an}的前n项和为Sn，则S2023等于()A.32024-12C.32025-2答案D解析由已知得a3=2a2+3a1=5，因为an+1=2an+3an-1(n≥2)，所以an+1+an=3(an+an-1)，所以an+2+an+1=9(an+an-1).因为a2+a3=6，所以数列{a2n+a2n+1}是以6为首项，9为公比的等比数列.所以S2023=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2022+a2023=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2022+a2023)=1+6×(1-=32023二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，若Sn+1=2Sn+n-1(n∈N*)，则下列结论正确的是()A.数列{Sn+n}为等比数列B.数列{an}的通项公式为an=2n-1-1C.数列{an+1}为等比数列D.数列{2Sn}的前n项和为2n+2-n2-n-4答案AD解析∵Sn+1=2Sn+n-1，∴Sn+1+(n+1)=2(Sn+n)，又S1+1=2≠0，∴数列{Sn+n}是首项、公比都为2的等比数列，故选项A正确；又Sn+n=2n，∴2Sn=2n+1-2n，∴数列{2Sn}的前n项和为22(1-2n)1-2-2×n(n+1)2=2n又∵Sn+n=2n，∴Sn=2n-n，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-1-1，当n=1时，a1=1，不满足上式，∴an=1,n=1∵an+1=2∴a2+1a∴数列{an+1}不是等比数列，故选项C错误.6.(2024·鹰潭模拟)已知数列{an}满足a1=1，an=a1+12a2+13a3+…+1n-1an-1(n≥2)A.a2=1 B.anaC.an=n2 D.an=答案AD解析对于AB，因为数列{an}满足a1=1，an=a1+12a2+13a3+…+1n-1an-1(n≥2所以当n=2时，a2=a1=1，此时a2a1=1≠21，故对于CD，当n≥2时，an+1=a1+12a2+13a3+…+1n-1an-1+1n②-①得an+1-an=1nan整理得an+1n又a11=1，a22=1所以数列ann从第二项起是首项为故当n≥2时，ann=12，则an综上，an=1,n=1,n2三、填空题(每小题5分，共10分)7.(2024·乐山模拟)在数列{an}中，已知a1=12，(n+2)an+1=nan，则数列{an}的前2024项和S2024=.答案2024解析因为(n+2)an+1=nan，所以an+1a所以an=a1·a2a1·a3a2·…·anan-1=12·13·因此S2024=1-12+12-13+…+12024-8.(2024·茂名模拟)已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1=2，Tn2=ann+1，则a答案32解析由Tn2=ann+1于是an+12=Tn+12T又an>0，两边取对数得nlgan+1=(n+1)lgan，因此lgan+1所以数列lga则lgann=lga即lgan=nlg2=lg2n，所以an=2n，a5=32.四、解答题(共28分)9.(13分)(2024·绍兴模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，Sn=nn+2an+1，设bn=(1)求证：数列{bn}为等比数列；(7分)(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.(6分)(1)证明因为Sn=nn+2an+1=nn+2(Sn+1-即(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn)，即nSn+1=(2n+2)Sn，则Sn+1n即bn+1=2bn，又b1=S11=a1故数列{bn}是以2为首项，2为公比的等比数列.(2)解由(1)知bn=2n，即Snn=2n，得Sn=n·2则Tn=1·21+2·22+…+n·2n，有2Tn=1·22+2·23+…+n·2n+1，则Tn-2Tn=-Tn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=2(1-2n)1-2-n·2n+1=2n+1-2-=(1-n)2n+1-2，故Tn=(n-1)2n+1+2.10.(15分)(2024·六安模拟)设数列{an}满足a1=3，an+1=3an-4n.(1)求数列{an}