6.4实践与探索-二元一次方程组的应用 教学设计（2025-2026学年七年级数学下册 华东师大版）

6.4实践与探索——二元一次方程组的应用教学设计（2025-2026学年七年级数学下册华东师大版）一、教材分析本节课是华东师大版七年级数学下册第六章《一元一次方程与二元一次方程组》的第四节实践与探索内容，承接前面二元一次方程组的概念、解法，是对二元一次方程组知识的综合运用与延伸，也是连接代数运算与实际生活的关键纽带。教材以“实践探索”为核心，通过贴近学生生活的实际情境（如购物、行程、配套问题），引导学生经历“发现问题—分析问题—抽象建模—求解验证”的过程，契合2022版数学新课标中“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养要求。本节课的编排遵循七年级学生“具象思维向抽象思维过渡”的认知规律，从简单到复杂、从单一情境到多元情境，逐步培养学生的数学建模能力和应用意识，为后续学习一次函数的应用、更复杂的方程（组）应用奠定基础，同时渗透“数形结合”“转化”的数学思想，体现数学与生活的密切联系，落实新课标中“注重实践应用，培养学生解决实际问题能力”的教学要求。二、教学目标结合2022版数学新课标核心素养要求，本节课教学目标分为学习理解、应用实践、迁移创新三个层次，层层递进，兼顾知识掌握、能力培养与素养提升：（一）学习理解1.能准确识别二元一次方程组应用的常见实际情境（和差倍比、行程、配套问题），理解题意中各数量之间的内在联系；2.掌握列二元一次方程组解应用题的基本步骤，明确每个步骤的核心要求（审题、设元、列方程、解方程、检验、作答）；3.理解“用二元一次方程组表示实际问题中数量关系”的建模思想，初步学会用数学的眼光观察现实世界中的数量关系。（二）应用实践1.能根据和差倍比、行程、配套这三类常见情境，准确找出等量关系，合理设出未知数，列出二元一次方程组并求解；2.能对解题过程进行检验，判断结果是否符合实际情境意义，提升解题的准确性和规范性；3.能运用二元一次方程组解决简单的生活实际问题，体会数学的应用价值，培养用数学的思维思考现实世界的能力。（三）迁移创新1.能结合实际情境，灵活调整设元方式、挖掘隐藏的等量关系，解决稍复杂的二元一次方程组应用问题（如含参数、多情境结合问题）；2.能总结不同类型应用题的解题规律，形成自己的解题思路，能将二元一次方程组的建模思想迁移到其他类似的实际问题中；3.能与同伴合作探究复杂实际问题，清晰表达自己的解题思路和过程，培养用数学的语言表达现实世界的能力，提升合作交流与创新思维。三、重点难点（一）教学重点1.列二元一次方程组解应用题的基本步骤；2.能准确找出实际问题中的两个等量关系，列出二元一次方程组；3.掌握和差倍比、行程、配套三类常见应用题的解题方法。（二）教学难点1.挖掘实际问题中隐藏的等量关系，尤其是复杂情境中多个数量之间的关联；2.合理设元（直接设元、间接设元），灵活应对不同类型的实际问题；3.理解数学建模思想，将实际问题转化为二元一次方程组的数学问题，落实新课标核心素养要求。四、课堂导入本节课采用“生活情境导入+问题驱动”的方式，贴合七年级学生的生活经验，激发学生的学习兴趣，同时衔接前面所学知识，为探究新知铺垫，落实“教-学-评”一体化的导入环节评价。师：同学们，周末的时候大家有没有和爸爸妈妈一起去超市购物呀？（等待学生回应）超市里的商品琳琅满目，我们常常会遇到一些需要计算的问题。比如，老师昨天去超市买了3袋大米和2袋面粉，一共花了180元；已知1袋大米比1袋面粉贵10元，大家能算出每袋大米和每袋面粉各多少元吗？（引导学生思考，学生可能会尝试用一元一次方程求解，教师给予肯定）师：大家用一元一次方程解决得非常好！如果我们设每袋大米x元，每袋面粉y元，能不能用两个方程来表示题目中的数量关系呢？（引导学生列出两个方程，初步感知二元一次方程组的应用）师：其实，生活中有很多这样的问题，用二元一次方程组来解决会更简便。今天我们就一起来学习“二元一次方程组的应用”，一起探索如何用二元一次方程组解决生活中的实际问题——这就是我们本节课的核心内容。（导入环节评价：关注学生是否能主动参与思考，是否能准确找出题目中的数量关系，是否能尝试列出二元一次方程组，初步评价学生对前备知识的掌握情况和数学应用意识）五、探究新知探究新知环节围绕3个核心知识点展开，遵循“情境探究—归纳总结—即时评价”的思路，落实“教-学-评”一体化理念，每个知识点均按照“实例分析—小组讨论—教师点拨—总结规律”的步骤推进，贴合学生认知规律，确保知识点讲解细致详尽，同时拆分合理，逻辑清晰。知识点一：和差倍比问题的应用1.实例呈现：某中学七年级共有学生420人，其中男生人数是女生人数的1.1倍，求七年级男生和女生各有多少人？2.小组讨论（5分钟）：（1）题目中涉及哪些数量？它们之间有什么关系？（2）如何设未知数？有几种设元方式？（3）题目中的两个等量关系分别是什么？如何用方程表示？3.教师点拨：（1）数量关系：男生人数+女生人数=总人数；男生人数=女生人数×1.1；（2）设元方式：直接设元，设女生人数为y人，男生人数为x人（或设女生人数为y人，男生人数为1.1y人，对比一元一次方程与二元一次方程组的区别）；（3）等量关系转化：①x+y=420；②x=1.1y，联立可得二元一次方程组：$\begin{cases}x+y=420\\x=1.1y\end{cases}$；（4）求解过程：将第二个方程代入第一个方程，得1.1y+y=420，解得y=200，进而求得x=220；（5）检验与作答：检验x=220，y=200是否符合题意（220+200=420，220=1.1×200），符合题意，因此男生220人，女生200人。4.规律总结：和差倍比问题的核心的是找准“和、差、倍、比”对应的等量关系，通常可采用直接设元的方式，设两个未知量，根据两个等量关系列出二元一次方程组，求解后务必检验结果是否符合实际意义。5.即时评价：请1名学生上台板书解题过程，其他学生在练习本上完成，教师针对学生的解题步骤、等量关系寻找、方程列出等情况进行点评，纠正设元错误、等量关系遗漏、检验缺失等问题，评价学生对知识点一的掌握情况。知识点二：行程问题的应用（相遇问题）1.实例呈现：甲、乙两车从相距360千米的A、B两地相向而行，甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶40千米，两车同时出发，几小时后相遇？相遇时甲、乙两车各行驶了多少千米？2.小组讨论（5分钟）：（1）行程问题中，相向而行的核心数量关系是什么？（2）题目中需要求两个未知量，如何设元？（3）如何根据行程关系列出两个等量关系？3.教师点拨：（1）核心数量关系：相向而行时，甲车行驶路程+乙车行驶路程=总距离；路程=速度×时间；（2）设元方式：直接设元，设两车行驶t小时后相遇，相遇时甲车行驶x千米，乙车行驶y千米（或设行驶时间为t小时，间接表示出x、y，对比两种设元方式的简便性）；（3）等量关系转化：①x+y=360（总距离）；②x=60t（甲车路程）；③y=40t（乙车路程），联立②③代入①，可得60t+40t=360，解得t=3，进而求得x=180，y=120；（4）检验与作答：检验t=3时，两车行驶路程和为180+120=360千米，符合总距离，因此3小时后相遇，相遇时甲车行驶180千米，乙车行驶120千米。4.拓展延伸：若乙车先出发1小时，甲车再出发，两车相向而行，求甲车出发几小时后两车相遇？（引导学生挖掘隐藏的等量关系：乙车先行驶的路程+甲乙两车同时行驶的路程=总距离）5.规律总结：行程问题（相遇）的核心是找准“路程和”与“速度、时间”的关系，若涉及两个未知量，可设时间和路程为未知量，或设时间为未知量，间接表示路程，根据路程关系列出二元一次方程组；若有一方先出发，需注意区分“单独行驶路程”和“共同行驶路程”，避免遗漏隐藏的等量关系。6.即时评价：分组完成拓展延伸题，每组派1名代表分享解题思路和过程，教师点评各组的等量关系寻找情况和解题规范性，评价学生的迁移应用能力，针对易错点进行重点讲解。知识点三：配套问题的应用1.实例呈现：某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？2.小组讨论（5分钟）：（1）配套问题的核心是什么？螺钉和螺母的数量之间有什么关系？（2）题目中涉及的两个等量关系分别是什么？（工人总数、螺钉与螺母的配套关系）（3）如何设未知数，列出二元一次方程组？3.教师点拨：（1）配套核心：螺母的数量=螺钉数量×2（1个螺钉配2个螺母，螺母数量是螺钉的2倍）；（2）数量关系：生产螺钉的工人人数+生产螺母的工人人数=22；每天生产的螺母数量=2×每天生产的螺钉数量；（3）设元方式：直接设元，设安排x名工人生产螺钉，y名工人生产螺母；（4）等量关系转化：①x+y=22；②2000y=2×1200x，联立方程组，解得x=10，y=12；（5）检验与作答：检验x=10，y=12时，工人总数为22名，螺钉产量为10×1200=12000个，螺母产量为12×2000=24000个，24000=2×12000，刚好配套，因此安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母。4.易错提醒：配套问题中，务必找准“配套比例”，避免将比例弄反（如本题易误列为2×2000y=1200x），解题后需检验配套关系是否成立。5.规律总结：配套问题的核心是找准两种产品的“配套比例”，根据比例确定两个产品数量之间的等量关系；同时结合“总人数、总工作量”等其他等量关系，设出未知量，列出二元一次方程组，求解后重点检验配套关系是否符合题意。6.即时评价：请学生独立完成解题过程，教师巡视指导，重点关注学困生的等量关系寻找和方程列出情况，对解题规范、思路清晰的学生给予肯定，对存在错误的学生进行个别点拨，确保每位学生都能掌握配套问题的解题方法。探究新知总结：结合三个知识点的探究，引导学生梳理列二元一次方程组解应用题的基本步骤，师生共同归纳：第一步：审题——读懂题意，找出题目中的已知量、未知量，明确各数量之间的关系；第二步：设元——根据题意，合理设出两个未知数（直接设元或间接设元）；第三步：列方程——找出两个等量关系，将等量关系转化为二元一次方程，联立形成方程组；第四步：解方程——运用代入消元法或加减消元法，求解二元一次方程组；第五步：检验——检验解得的结果是否符合题意（既要检验方程的解，也要检验是否符合实际情境）；第六步：作答——根据检验结果，规范写出答案。六、课堂练习课堂练习遵循“分层设计”原则，贴合本节课3个核心知识点，兼顾基础巩固、能力提升和迁移创新，落实“教-学-评”一体化的练习评价，分为基础题、提升题、拓展题三个层次，确保不同层次的学生都能得到锻炼。（一）基础题（全员必做，巩固核心知识点）1.某班共有学生50人，男生人数比女生人数多2人，求男生和女生各有多少人？（考查和差倍比问题）2.甲、乙两车从相距200千米的两地相向而行，甲车每小时行50千米，乙车每小时行30千米，两车同时出发，几小时后相遇？（考查行程相遇问题）3.某车间有工人15名，每人每天可生产3个零件A或4个零件B，1个零件A配1个零件B，为使每天生产的A、B零件刚好配套，应安排生产A、B零件的工人各多少名？（考查配套问题）（二）提升题（小组合作，提升应用能力）1.已知甲数的2倍与乙数的3倍之和为20，甲数的3倍与乙数的2倍之差为5，求甲数和乙数各是多少？（稍复杂和差倍比问题）2.甲、乙两车相向而行，甲车从A地出发，每小时行65千米，乙车从B地出发，每小时行55千米，乙车先出发2小时后，甲车才出发，两车相遇时，甲车行驶了3小时，求A、B两地的距离？（稍复杂行程问题）（三）拓展题（自主探究，培养创新思维）某商场购进A、B两种商品共100件，已知A商品每件进价30元，B商品每件进价20元，购进两种商品共花费2600元，A商品每件售价40元，B商品每件售价28元，若将购进的A、B两种商品全部卖出，商场可获得多少利润？（多情境结合，考查建模思想迁移）练习评价：1.基础题：学生独立完成，教师抽查批改，统计正确率，针对易错点（如配套比例、行程问题路程关系）进行集中讲解，确保全员掌握基础知识点；2.提升题：小组合作完成，各组分享解题思路，教师点评各组的解题方法和规范性，评价学生的合作能力和应用能力；3.拓展题：学生自主探究，鼓励学生大胆尝试，教师针对学生的解题思路进行点拨，评价学生的迁移创新能力和数学建模能力，对完成较好的学生给予表扬和鼓励。七、课堂总结课堂总结采用“学生自主梳理+教师补充完善”的方式，落实“教-学-评”一体化的总结评价，引导学生回顾本节课的知识点、解题方法和核心思想，形成完整的知识体系。1.学生自主梳理：请2-3名学生发言，分享本节课学到的知识点、列二元一次方程组解应用题的基本步骤，以及自己在解题过程中的收获和困惑；2.教师补充完善：结合学生的发言，梳理本节课的核心内容：（1）三个核心知识点：和差倍比问题、行程相遇问题、配套问题的应用，明确每种类型问题的核心等量关系和解题规律；（2）一个核心方法：列二元一次方程组解应用题的基本步骤（审题—设元—列方程—解方程—检验—作答）；（3）一种核心思想：数学建模思想，即将实际问题转化为二元一次方程组的数学问题，用数学知识解决实际问题；（4）易错点提醒：找准等量关系、注意配套比例、规范检验、合理设元。3.总结评价：对本节课学生的参与度、学习态度、解题能力进行整体评价，肯定学生的进步，鼓励学生在课后多练习、多总结，灵活运用所学知识解决生活中的实际问题，落实新课标核心素养要求。八、课后任务课后任务遵循“分层设计、贴合课标、注重实践”的原则，分为基础任务、提升任务和实践任务，兼顾知识巩固、能力提升和实践应用，同时衔接课堂所学，落实“教-学-评”一体化的课后评价。（一）基础任务（全员必做）1.完成教材对应练习题，巩固和差倍比、行程、配套三类问题的解题方法，规范解题步骤，确保每道题都有审题、设元、列方程、检验、作答的完整过程；2.整理本节课的知识点和易错点，形成自己的错题本，标注错误原因（如等量关系找错、设元错误、检验缺失等）。（二）提升任务（选做，针对学有余力的学生）1.某运输公司有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货23吨，求1辆大货车和1辆小货车一次各运货多少吨？（稍复杂配套/和差倍比结合问题）2.甲、乙两人从同一地点出发，相向而行（此处修正为“同向而行”），甲每小时行12千米，乙每小时行8千米，乙先出发3小时后，甲再出发，甲出发几小时后追上乙？（行程追及问题，迁移相遇问题解题思路）（三）实践任务（全员必做，落实实践应用）结合自己的生活实际，编一道可以用二元一次方程组解决的实际问题（类型不限，可参考和差倍比、行程、配套问题），并写出完整的解题过程，下节课与同伴分享。课后评价：1.基础任务：重点评价学生的解题规范性和知识点掌握情况，针对错题进行集中讲解和个别辅导；2.提升任务：评价学生的迁移应用能力和解题思维，对完成较好的学生进行表扬，鼓励其他学生尝试挑战；3.实践任务：评价学生的实践应用能力和创新思维，关注学生编题的合理性和解题的规范性，鼓励学生善于观察生活中的数学问题。九、板书设计板书设计遵循“简洁明了、突出重点、逻辑清晰”的原则，贴合本节课核心内容，便于学生回顾和记忆，同时体现“教-学-评”一体化理念，具体如下：6.4实践与探索——二元一次方程组的应用一、核心素养要求用数学的眼光观察、思维思考、语言表达现实世界二、解题基本步骤审题→设元→列方程→解方程→检验→作答三、三类常见问题1.和差倍比问题等量关系：和/差/倍/比关系例：$\begin{cases}x+y=420\\x=1.1y\end{cases}$2.行程相遇问题等量关系：甲路程+乙路程=总距离路程=速度×时间3.配套问题等量关系：配套比例（如螺母=2×螺钉）工人总数关系四、核心思想：数学建模（实际问题→方程组）五、易错点：找准等量关系、规范检验、合理设元十、教学反思本节课围绕“二元一次方程组的应用”展开，紧扣2022版数学新课标核心素养要求，以“教-学-评”一体化理念为核心，设计了教材分析、教学目标、探究新知、课堂练习等完整环节，聚焦和差倍比、行程相遇、配套三个核心知识点，拆分教学任务，贴合七年级学生认知规律，力求实现“知识掌握、能力培养、素养提升”的三维目标。结合本节课的教学实践，反思如下：（一）教学亮点1.贴合新课标要求，落实核心素养：本节课全程围绕数学新课标中“用数学的眼光观察、思维思考、语言表达现实世界”的核心素养，通过生活情境导入、实际问题探究，引导学生经历数学建模的过程，培养学生的应用意识和建模能力，贴合新课标“注重实践应用”的教学要求。2.教学任务拆分合理，逻辑清晰：探究新知环节围绕三个核心知识点，每个知识点均按照“实例分析—小组讨论—教师点拨—总结规律—即时评价”的步骤推进，拆分细致，符合七年级学生“具象思维向抽象思维过渡”的认知规律，确保知识点讲解详尽，学生能逐步掌握。3.落实“教-学-评”一体化：导入、探究、练习、总结、课后任务等每个环节均设计了评价内容，关注学生的参与度、解题能力、合作能力和创新思维，评价方式多样化（即时评价、小组评价、个体评价），兼顾不同层次的学生，确保教学效果的有效反馈。4.分层设计，兼顾全员发展：课堂练习和课后任务均分为基础、提升、拓展三个层次，基础题确保全员掌握，提升题和拓展题满足学有余力学生的需求，同时设计实践任务，让学生感受数学与生活的联系，兼顾全员发展。（二）存在不足1.探究新知环节时间分配不够合理：行程问题的探究的过程中，拓展延伸部分花费时间较长，导致配套问题的探究时间略显紧张，部分学困生未能充分理解配套问题的等量关系寻找方法，个别辅导不够及时。2.学生参与度存在差异：小组讨论环节，部分优等生能积极参与、主动思考，而部分学困生参与度不高，不敢主动发言，未