7.2不等式的基本性质 教案（华东师大版2024七年级数学下册）

7.2不等式的基本性质教案（华东师大版2024七年级数学下册）一、教材分析本节课选自华东师大版2024年七年级数学下册第七章第二节，是在学生已经掌握等式的基本性质、理解不等式概念的基础上开展的教学内容，既是对等式性质的延伸与拓展，也是后续学习一元一次不等式（组）的解法、不等式的实际应用的核心铺垫，在整个初中代数知识体系中起到承上启下的关键作用。结合2022年新课标数学学科核心素养要求，本节课重点培养学生“用数学的眼光观察现实世界”（通过具体实例感知不等式性质的现实意义）、“用数学的思维思考现实世界”（通过探究推导不等式性质，培养逻辑推理能力）、“用数学的语言表达现实世界”（能准确运用不等式性质描述不等关系、进行变形），贴合七年级学生从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的认知特点，注重知识的生成过程，引导学生主动探究、自主建构，落实“教-学-评”一体化的教学理念。教材编排遵循“实例感知—探究归纳—应用巩固—拓展提升”的逻辑，通过生活化情境引入，逐步引导学生探究不等式的三个基本性质，重点突出性质的推导过程和应用方法，同时对比等式性质，帮助学生区分异同，突破学习难点，符合新课标“注重基础、强调应用、发展素养”的教学要求。二、教学目标结合2022新课标核心素养要求，依据教材特点和学生认知水平，从学习理解、应用实践、迁移创新三个层次设计教学目标，层层递进、逐步提升，兼顾知识掌握、能力培养和素养发展。（一）学习理解1.能通过具体实例感知不等式的三个基本性质，理解每个性质的推导过程和成立条件；2.能准确表述不等式的三个基本性质，区分不等式性质与等式性质的异同，建立知识间的关联；3.初步形成“观察—猜想—验证—归纳”的数学探究思路，体会数学思维的严谨性。（二）应用实践1.能运用不等式的基本性质，对简单的不等式进行变形（两边加、减、乘、除同一个数或式子），判断变形的合理性；2.能解决与不等式性质相关的基础应用题，如判断不等关系的变化、纠正变形中的错误，提升知识应用能力；3.能在应用过程中，主动反思变形依据，落实“学中评、评中学”的一体化要求。（三）迁移创新1.能结合等式性质与不等式性质，类比迁移，解决复杂的不等式变形问题，培养类比推理能力；2.能运用不等式性质分析现实生活中的不等关系，如购物优惠、身高体重对比等，将数学知识与现实生活结合，体现“数学源于生活、用于生活”；3.能自主设计简单的不等式变形问题，尝试验证性质的灵活性，培养创新思维和自主探究能力。三、重点难点（一）教学重点不等式的三个基本性质的理解、推导过程及简单应用，核心是掌握每个性质的具体内容和适用条件，能运用性质进行不等式变形，落实新课标对知识应用和思维能力的培养要求。（二）教学难点1.不等式基本性质3的理解与应用，即“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变”，学生容易忽略“负数”这一条件，或忘记改变不等号方向；2.区分不等式性质与等式性质的异同，尤其是乘（除）同一个负数时的差异，突破“类比迁移”中的思维障碍；3.运用不等式性质解决现实生活中的简单不等关系问题，实现知识从“理论”到“实践”的转化，落实新课标“用数学语言表达现实世界”的核心素养。四、课堂导入导入设计贴合学生生活实际，激发学习兴趣，同时衔接旧知、引出新知，落实“用数学的眼光观察现实世界”的核心素养，时长约5分钟。教师活动：呈现两个生活化情境，引导学生观察、思考，提出问题，引发学生探究欲望。情境一：校园超市推出两种笔记本优惠活动，笔记本A单价5元，笔记本B单价3元，若购买x本笔记本A和x本笔记本B，分别花费5x元和3x元，我们知道5＞3，那么5x和3x的大小关系会随着x的变化而变化吗？当x=2时，5x=10，3x=6，10＞6；当x=0时，5x=0，3x=0，0=0；当x=-1时，5x=-5，3x=-3，-5＜-3，为什么会出现这样的变化？情境二：我们已经学过等式的基本性质，知道“等式两边加同一个数，等式仍然成立”，那么不等式两边加同一个数，不等号的方向会改变吗？比如3＞2，两边同时加1，得到4＞3，不等号方向不变；两边同时减5，得到-2＞-3，不等号方向也不变，那如果两边同时乘同一个数，不等号方向还会不变吗？学生活动：自主计算情境一中的具体数值，观察不等关系的变化；结合情境二的问题，回忆等式性质，大胆猜想不等式的变化规律，主动发言分享自己的发现。教师总结：同学们的猜想都很有道理，等式有基本性质，不等式同样有自己的基本性质，今天我们就一同探究《不等式的基本性质》，解开刚才情境中的疑问，同时学会运用这些性质解决实际问题。（板书课题）导入评价：关注学生是否能主动观察情境中的不等关系，是否能结合旧知提出猜想，评价学生的观察能力和类比迁移意识，为后续探究新知做好铺垫。五、探究新知探究新知环节紧扣“教-学-评”一体化理念，拆分三个探究任务，对应三个核心知识点，引导学生自主探究、小组合作、归纳总结，落实新课标“用数学的思维思考现实世界”的核心素养，时长约20分钟，每个探究任务均包含“猜想—验证—归纳—评价”四个环节。探究任务一：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向是否改变？（对应知识点一）1.猜想：引导学生结合课堂导入中的情境二，大胆猜想：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。2.验证：教师活动：给出两组具体不等式，引导学生自主计算，验证猜想，同时鼓励学生自己举例验证。示例1：3＞2，两边同时加5，得3+5=8，2+5=7，8＞7（不等号方向不变）；两边同时减7，得3-7=-4，2-7=-5，-4＞-5（不等号方向不变）。示例2：-5＜-3，两边同时加2，得-5+2=-3，-3+2=-1，-3＜-1（不等号方向不变）；两边同时减4，得-5-4=-9，-3-4=-7，-9＜-7（不等号方向不变）。学生活动：自主完成示例计算，然后小组内互相举例（至少2个，包含正数、负数、0），验证猜想的正确性，记录自己的验证过程和发现，小组代表准备发言。3.归纳：小组代表发言，分享验证结果，教师引导学生归纳总结，得出知识点一：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。教师补充：用数学语言表示为：如果a＞b，那么a±c＞b±c（c为任意数或式子）；如果a＜b，那么a±c＜b±c（c为任意数或式子）。强调“同一个数或式子”“方向不变”这两个关键条件，同时对比等式性质，说明此性质与等式性质1一致，降低学生理解难度。4.评价：评价学生的举例合理性、验证过程的严谨性，表扬主动探究、大胆发言的小组和个人；针对学生举例中出现的问题（如未包含负数），及时引导纠正，强化学生的严谨思维。探究任务二：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向是否改变？（对应知识点二）1.猜想：结合探究任务一的结论，引导学生猜想：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。2.验证：教师活动：给出具体不等式，引导学生自主计算，同时要求学生小组内分工，分别举例正数、0（补充说明0的情况），验证猜想。示例1：4＞2，两边同时乘2（正数），得4×2=8，2×2=4，8＞4（不等号方向不变）；两边同时除以2（正数），得4÷2=2，2÷2=1，2＞1（不等号方向不变）。示例2：-6＜-2，两边同时乘3（正数），得-6×3=-18，-2×3=-6，-18＜-6（不等号方向不变）；两边同时除以3（正数），得-6÷3=-2，-2÷3=-2/3，-2＜-2/3（不等号方向不变）。补充提问：如果两边同时乘0，不等号会发生什么变化？比如3＞2，两边乘0，得0=0，不等号变成等号，说明“乘0”不符合此猜想，因此性质中需排除0。学生活动：自主完成示例计算，小组内举例验证（包含正数、0），讨论“乘0”的特殊情况，记录发现，小组代表发言分享验证结果。3.归纳：结合学生的验证结果，教师引导归纳知识点二：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。教师补充：用数学语言表示为：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或a/c＞b/c）；如果a＜b，c＞0，那么ac＜bc（或a/c＜b/c）。强调“同一个正数”“方向不变”，同时提醒学生注意“乘0”会使不等式变为等式，不属于此性质的适用范围，对比等式性质2（乘正数、0、负数均成立），突出差异。4.评价：评价学生是否能全面举例（包含正数、0），是否能发现“乘0”的特殊情况，评价学生的合作探究能力和逻辑思维能力；针对学生容易忽略“正数”条件的问题，及时强调，强化记忆。探究任务三：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向是否改变？（对应知识点三）1.猜想：引导学生结合探究任务二的结论，大胆猜想：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向可能会改变（或不变），鼓励学生通过验证得出结论。2.验证：教师活动：给出具体不等式，引导学生自主计算，对比探究任务二的结果，观察不等号方向的变化，同时鼓励学生多举不同类型的负数例子，验证猜想。示例1：4＞2，两边同时乘-2（负数），得4×(-2)=-8，2×(-2)=-4，-8＜-4（不等号方向改变）；两边同时除以-2（负数），得4÷(-2)=-2，2÷(-2)=-1，-2＜-1（不等号方向改变）。示例2：-6＜-2，两边同时乘-3（负数），得-6×(-3)=18，-2×(-3)=6，18＞6（不等号方向改变）；两边同时除以-3（负数），得-6÷(-3)=2，-2÷(-3)=2/3，2＞2/3（不等号方向改变）。补充提问：如果两边同时除以0，可行吗？引导学生回忆“除数不能为0”，说明此性质中“除以同一个负数”同样排除0的情况。学生活动：自主完成示例计算，小组内举例验证（包含不同的负数），对比探究任务二的结果，讨论不等号方向的变化规律，记录自己的发现，小组代表发言分享验证结果，尝试总结规律。3.归纳：结合学生的验证结果，教师引导归纳知识点三：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向必须改变。教师补充：用数学语言表示为：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或a/c＜b/c）；如果a＜b，c＜0，那么ac＞bc（或a/c＞b/c）。强调“同一个负数”“方向改变”这两个核心条件，这是本节课的难点，引导学生对比知识点二，明确“正数不变、负数改变”的规律，同时再次对比等式性质2，加深理解。4.评价：评价学生是否能准确举例验证，是否能清晰发现不等号方向的变化规律，是否能区分“正数”“负数”的不同影响；针对学生容易忘记改变不等号方向的问题，及时提醒，通过反例（如4＞2，乘-2得-8＞-4，判断对错）强化学生的记忆，突破难点。探究总结：教师引导学生梳理三个探究任务的结论，汇总不等式的三个基本性质，用简洁的语言概括，帮助学生构建知识体系；同时强调三个性质的核心差异的是“乘（除）同一个数的正负性”，影响不等号的方向，再次对比等式性质，形成知识关联，落实“教-学-评”一体化中“学”与“评”的结合。六、课堂练习课堂练习遵循“分层设计、贴合重点、落实评价”的原则，分为基础题、提高题、拓展题，对应教学目标中的学习理解、应用实践、迁移创新三个层次，时长约10分钟，练习过程中注重及时评价、查漏补缺，强化学生对知识点的掌握，突破难点。（一）基础题（对应学习理解、应用实践，巩固三个基本性质的简单应用）1.根据不等式的基本性质，判断下列变形是否正确，说明理由：（1）若x＞y，则x+3＞y+3；（2）若a＜b，则a-5＜b-5；（3）若m＞n，则3m＞3n；（4）若p＜q，则-2p＜-2q；（5）若x＞y，则x÷(-3)＞y÷(-3)。2.利用不等式的基本性质，将下列不等式化为“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x+5＞8；（2）x-3＜-1；（3）2x＞6；（4）-3x＜12。（二）提高题（对应应用实践，强化性质3的应用，区分等式与不等式性质）1.已知a＜b，判断下列各式的大小关系，说明变形依据：（1）a+2与b+2；（2）a-(-3)与b-(-3)；（3）-4a与-4b；（4）a÷(-2)与b÷(-2)。2.纠正下列变形中的错误，并说明理由：由2x＞-6，两边除以2，得x＜-3；由-3x＜12，两边除以-3，得x＜-4。（三）拓展题（对应迁移创新，结合现实生活，培养类比迁移和应用能力）1.已知x＞y，且(a-3)x＜(a-3)y，求a的取值范围，说明理由。2.某商店推出优惠活动：购买某种商品，若购买数量x不超过10件，每件单价为8元；若购买数量x超过10件，每件单价为7元。请用不等式表示：购买x件商品的总费用不超过80元的不等关系，并利用不等式性质化简。练习实施：学生自主完成练习，基础题、提高题全员完成，拓展题鼓励学有余力的学生完成；小组内互相检查、纠错，小组代表分享疑难问题和解题思路；教师巡视指导，针对共性问题（如性质3的应用错误）集中讲解，对个性问题单独辅导。练习评价：关注学生对三个性质的掌握情况，尤其是性质3的应用正确率；评价学生的解题步骤是否规范、理由是否充分；对完成较好的学生给予表扬，对存在错误的学生及时引导纠正，帮助学生查漏补缺，同时评价学生的合作交流能力和自主解题能力，落实“教-学-评”一体化的评价要求。七、课堂总结课堂总结环节注重引导学生自主梳理、主动反思，构建知识体系，同时回顾探究过程和学习方法，落实“教-学-评”一体化，时长约3分钟。教师活动：引导学生自主回忆本节课的核心内容，提出问题：“本节课我们探究了哪些知识点？每个知识点的核心内容是什么？我们是通过什么方法探究得出这些性质的？等式性质与不等式性质有哪些异同？”学生活动：自主思考、小组内简单交流，然后主动发言，分享自己的收获和疑问，梳理本节课的核心知识点和探究方法。教师总结：结合学生的发言，梳理本节课的核心内容：一是不等式的三个基本性质（知识点一：加、减同一个数或式子，方向不变；知识点二：乘、除同一个正数，方向不变；知识点三：乘、除同一个负数，方向改变）；二是探究方法：观察—猜想—验证—归纳；三是知识关联：对比等式性质，区分异同，重点牢记性质3的核心要求。同时强调：运用不等式性质进行变形时，关键是判断“乘（除）的数是正数还是负数”，尤其是负数，必须改变不等号方向；数学学习中，类比迁移是重要的学习方法，希望同学们能运用这种方法，自主学习后续知识，同时学会用数学语言表达不等关系，落实新课标核心素养要求。总结评价：评价学生的总结能力，是否能准确梳理核心知识点，是否能回忆探究过程和学习方法；针对学生总结中的遗漏，及时补充，强化知识体系的构建；同时评价学生本节课的整体表现，肯定优点，指出需要改进的地方（如性质3的应用需更加细心）。八、课后任务课后任务遵循“分层布置、贴合重点、兼顾巩固与拓展”的原则，结合新课标要求，分为基础任务、提升任务、拓展任务，兼顾不同层次学生的需求，同时衔接后续学习内容，时长约30分钟，注重培养学生的自主学习能力和知识应用能力。（一）基础任务（全员必做，巩固课堂知识点，落实学习理解、应用实践目标）1.默写不等式的三个基本性质，并用数学语言表示出来；2.完成教材对应课后习题，重点完成与不等式变形相关的题目，确保能熟练运用三个性质进行变形，纠正课堂练习中的错误；3.举例说明每个不等式性质的应用，每个性质至少举2个例子（包含正数、负数）。（二）提升任务（选做，针对学有余力的学生，强化应用实践、迁移创新目标）1.已知a＞b，比较-2a+3与-2b+3的大小关系，写出详细的推导过程，说明依据；2.整理本节课中容易出错的知识点和题型，制作错题笔记，标注错误原因（如忘记改变不等号方向、混淆正数和负数的影响）。（三）拓展任务（选做，培养迁移创新能力，衔接后续学习）1.结合现实生活，自主设计一个与不等式性质相关的实际问题，写出题目、解题过程和答案，体会数学知识的实际应用；2.预习下一节课“一元一次不等式的解法”，尝试运用本节课所学的不等式性质，解简单的一元一次不等式。任务评价：课后通过批改作业、查看错题笔记、小组内互相检查等方式，评价学生对知识点的巩固情况；重点评价学生对性质3的应用正确率，以及拓展任务的完成质量，针对共性问题，下一节课课前集中讲解；同时评价学生的自主学习能力和创新能力，鼓励学生主动探究、学以致用。九、板书设计板书设计遵循“简洁明了、突出重点、条理清晰、贴合课堂流程”的原则，重点呈现核心知识点和探究思路，便于学生回顾和记忆，同时突出难点，贴合“教-学-评”一体化理念。（板书位置：黑板左侧为主板书，右侧为副板书）主板书：7.2不等式的基本性质探究思路：观察—猜想—验证—归纳知识点一（加、减）：两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变数学语言：a＞b→a±c＞b±c；a＜b→a±c＜b±c知识点二（乘、除正数）：两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变数学语言：a＞b，c＞0→ac＞bc（a/c＞b/c）；a＜b，c＞0→ac＜bc（a/c＜b/c）知识点三（乘、除负数）：两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变（难点）数学语言：a＞b，c＜0→ac＜bc（a/c＜b/c）；a＜b，c＜0→ac＞bc（a/c＞b/c）核心对比：正数不变，负数改变（排除0）副板书：导入情境关键结论课堂练习易错点：1.乘（除）负数忘记改变不等号方向2.混淆等式与不等式性质核心素养：观察、思维、表达十、教学反思教学反思紧扣2022新课标要求，围绕“教-学-评”一体化理念，结合本节课的教学过程、学生表现、知识点落实情况，反思优点与不足，提出改进措施，助力后续教学优化，提升教学质量，落实核心素养培养目标。（一）教学优点1.贴合新课标核心素养要求，全程落实“用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达”，探究新知环节引导学生自主探究、小组合作，培养了学生的逻辑推理能力和自主探究能力，符合七年级学生的认知特点。2.落实“教-学-评”一体化理念，每个教学环节均包含评价内容，课堂导入评价学生的观察能力，探究新知评价学生的探究能力和思维严谨性，课堂练习评价学生的知识应用能力，课堂总结评价学生的总结能力，形成“教中有评、学中有评”的良好氛围。3.知识点拆分合理，探究任务对应三个核心知识点，层层递进，重点突出、难点明确，通过对比等式性质、举例验证、反例纠错等方式，帮助学生突破性质3的难点，同时构建了清晰的知识体系，贴合教材编排逻辑和学生认知规律。4.课堂导入、练习、课后任务均贴合学生生活实际，激发了学生的学习兴趣，让学生体会到“数学源于生活、用于生活”，落实了新课标“注重知识应用”的教学要求，同时分层设计练习和课后任务，兼顾了不同层次学生的需求。5.板书设计简洁明了、重点突出，贴合课堂流程，便于学生回顾和记忆，同时副板书标注易错点，帮助学生规避错误，强化知识点掌握。（二）教学不足1.探究新知环节，部分基础薄弱的学生对性质3的理解仍不够透彻，尤其是“乘（除）同一个负数，不等号方向改变”的应用，仍存在忘记改变