轻松寒假快乐复习30天 初中数学第24天

轻松寒假，快乐复习30天24天直线与圆的位置关系★思路点睛 1．圆的切线的判定方法： （1）经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线． （3）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。 2．切线的性质 圆的切线垂直于经过切点的半径． 3．切线长定理 过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．★典型试题1．在平面直角坐标系中，以点（3，－5）为圆心，为半径的圆上有且仅有两点到轴所在直线的距离等于1，则圆的半径的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】试题分析：根据题意可知到x轴所在直线的距离等于1的点的集合分别是直线y=1和直线y=-1，若以点（3，-5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1，那么该圆与直线y=-1必须是相交的关系，与直线y=1必须是相离的关系，所以r的取值范围是|-5|-|-1|＜r＜|-5|+1，即4＜r＜6．故选D．2．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（）A．B．2C．D．【答案】C．【解析】试题分析：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA=OB=，∴AB=OA=6，∴最短时OP==3，∴PQ=．故选C．3．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，则下列结论正确的个数是（）①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝AC；④DE是⊙O的切线。A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】试题分析：根据圆周角定理和切线的判定，采用排除法，逐条分析判断．解：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，故①正确；连接DO，∵点D是BC的中点，∴CD=BD，∴△ACD≌△ABD（SAS），∴AC=AB，∠C=∠B，∵OD=OB，∴∠B=∠ODB，∴∠ODB=∠C，OD∥AC，∴∠ODE=∠CED，∴ED是圆O的切线，故④正确；由弦切角定理知，∠EDA=∠B，故②正确；∵点O是AB的中点，故③正确，故选D．4．如图，AB为⊙O的直径，点C、D、E均在⊙O上，且∠BED=30°，那么∠ACD的度数是（）。A．60°B．50°C．40°D．30°【答案】A．【解析】试题分析：连接BD，DA，∵AB是圆的直径，∴∠ADB=90°，∵∠DAB=∠BED=30°，∴∠ABD=90°﹣∠DAB=60°，∴∠ACD=60°．故选A．也可以连接BC，用∠ACD=∠ACB-∠BCD=60°5．如图，PA、PB分别切于A、B，圆周角∠AMB=60°，EF切于C，交PA、PB于E、F，△PEF的外心在PE上，PA=3.则AE的长为（）A.B.C.1D.【答案】B【解析】试题分析：连接OA，OB，∵PA，PB分别切⊙O于A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，PA=PB=3，∵∠AMB=60°，∴∠AOB=2∠AMB=120°，∴∠P=180°﹣∠AOB=60°，∵EF切⊙O于C，∴EA=EC，FC=FB，∴△PEF的周长=PE+EF+PF=PE+EC+FC+PF=PE+AE+BF+PF=PA+PB=6，∵△PEF的外心在PE上，∴PE是△PEF的外接圆的直径，∴∠PFE=90°，设PF=x，则PE=2x，EF=x，∴x+2x+x=6，解得：x=3﹣，∴PE=6﹣2，∴AE=PA﹣PE=3﹣（6﹣2）=2﹣3．故选D．6．如图，PQ、PR、AB是⊙O的切线，切点分别为Q、R、S，若∠APB=40°，则∠A0B等于（）A.40°B.50°C.60°D.70°【答案】D【解析】试题分析：∵PQ、PR是⊙O的切线，∴∠PRO=∠PQO=90°，∵∠APB=40°，∴∠ROQ=360°﹣2×90°﹣40°=140°，∵PR、AB是⊙O的切线，∴∠AOS=12∠ROS，同理：∠BOS=12∠QOS∴∠AOB=∠AOS+∠BOS=12∠ROQ=70°故选D7．如图，已知正方形ABCD，点E是边AB的中点，点O是线段AE上的一个动点（不与A、E重合），以O为圆心，OB为半径的圆与边AD相交于点M，过点M作⊙O的切线交DC于点N，连接OM、ON、BM、BN．记△MNO、△AOM、△DMN的面积分别为S1、S2、S3，则下列结论不一定成立的是（）A．S1＞S2+S3B．△AOM∽△DMNC．∠MBN=45°D．MN=AM+CN【答案】A．【解析】试题分析：（1）如答图，过点M作MP∥AO交ON于点P，∵点O是线段AE上的一个动点，当AM=MD时，S梯形ONDA=（OA+DN）•AD，S△MNO=MP•AD，∵（OA+DN）=MP，∴S△MNO=S梯形ONDA，∴S1=S2+S3，∴不一定有S1＞S2+S3.故A不一定成立.（2）∵MN是⊙O的切线，∴OM⊥MN，又∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠D=90°，∠AMO+∠DMN=90°，∠AMO+∠AOM=90°.∴∠AOM=∠DMN.在△AMO和△DMN中，∵，∴△AMO∽△DMN．故B成立.（3）如答图，过点B作BP⊥MN于点P，∵MN，BC是⊙O的切线，∴∠PMB=∠MOB，∠CBM=∠MOB.∵AD∥BC，∴∠CBM=∠AMB.∴∠AMB=∠PMB.在Rt△MAB和Rt△MPB中，∵，∴Rt△MAB≌Rt△MPB（AAS）.∴AM=MP，∠ABM=∠MBP，BP=AB=BC.在Rt△BPN和Rt△BCN中，，∴Rt△BPN≌Rt△BCN（HL）.∴PN=CN，∠PBN=∠CBN.∴∠MBN=∠MBP+∠PBN=45°.∴MN=MP+PN=AM+CN．故C，D成立.综上所述，A不一定成立.故选A．8．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB于点E，连接OB、CB，已知⊙O的半径为2，AB=,则∠BCD=度．【答案】30°.【解析】试题分析：由垂径定理知：BE=AB=，在Rt△OBE中，可求出∠BOE的度数，利用圆周角与圆心角的关系可求出∠BCD的度数.试题解析：∵CD⊥AB，且AB=∴BE=AB=在Rt△OBE中，sin∠BOE=.∴∠BOE=60°∴=30°.9．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切与点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为.【答案】【解析】试题分析：连结OE，OF。∵AC、BC与圆O相切与点E，F，∴∠OEA=90°，∠OFC=90°又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=90°，∠CBA=∠CAB=45°，AB=∵∠CBA=∠CAB=45°，且∠OEA=∠OFC=90°，OE=OF∴△AOE和△BOF都是等腰直角三角形，且△AOE≌△BOF。∴AE=OE，AO=BO∵OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠ACB=90°∴四边形OEFC是正方形。∴OE=EC=AE=∵OE=OF，∴OA=OB=AB=。OH=，BH=∵∠ACB=∠OEA=90°。∴OE∥DC，∴∠OED=∠EDC∵OE=OH，∠OHE=∠OED=∠DHB=∠EDC，∴BD=BH=∴CD=BC+BH=10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB＝10，BC＝6，求⊙O的半径r.【答案】（1）证明见试题解析；（2）．【解析】试题分析：（1）连接OD，由OB=OD和角平分线性质得出∠ODB=∠DBC．推出OD∥BC，得出∠ODC=90°，根据切线的判定推出即可；（2）由平行线得出△ADO∽△ACB，推出比例式，代入求出即可．试题解析：（1）连接OD，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵OD=OB，∴∠2=∠3，∠1=∠3，∴OD∥BC，∴∠ADO=∠C=90°，∴DO⊥AC，∴AC是⊙O的切线；（2）∵OD∥BC，∴△ADO∽△ACB，∴，∴，∴．11．在平面直角坐标系中，点M（，），以点M为圆心，OM长为半径作⊙M．使⊙M与直线OM的另一交点为点B，与轴、轴的另一交点分别为点D、A（如图），连接AM．点P是上的动点．（1）∠AOB的度数为．（2）Q是射线OP上的点，过点Q作QC垂直于直线OM，垂足为C，直线QC交轴于点E．①当QE与⊙M相切时，求点E的坐标；②在①的条件下，在点P运动的整个过程中，求△ODQ面积的最大值及点Q经过的路径长．【答案】（1）45°；（2）①E点坐标为（，0）；②△ODQ面积的最大值为8，Q经过的路径长为4．【解析】试题分析：（1）首先过点M作MH⊥OD于点H，由点M（，），可得∠MOH=45°，OH=MH=，继而求得∠AOM=45°；（2）①由OH=MH=，MH⊥OD，即可求得OD与OM的值，继而可得OB的长，由于QE与⊙M相切，所以B与C重合，故△OBE为等腰直角三角形，从而得到OE=OB=，得到点E的坐标；②由OD=，Q的纵坐标为t，即可得S=，当动点P与A点重合时，Q点与y轴上R点重合，此时Q点的纵坐标最大，可求得OQ的长，继而求得△ODQ的最大面积；由已知可得：Q在线段BR上运动，显然BR=OB=4．试题解析：（1）过点M作MH⊥OD于点H，∵点M（，），∴OH=MH=，∴∠MOD=45°，∵∠AOD=90°，∴∠AOM=45°；（2）①∵OH=MH=，MH⊥OD，∴OM==2，∴OB=4，∵QE与⊙M相切，∴B与C重合，∴△OBE为等腰直角三角形，∴OE=OB=，∴E点坐标为（，0）②∵借助①得OD=2OH=，设Q的纵坐标为t，∴S=．如图，当动点P与A点重合时，Q点与y轴上R点重合，此时Q点的纵坐标最大，∵∠AOM=45°，OB=4，∠OBR=90°，∴BR=OB=4，∴OR=，∴，∴．∵Q只能在线段BR上运动．∴Q经过的路径长为BR=4．★真题摘编（2014中考真题）如图，PA、PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半径为r，△PCD的周长等于3r，则tan∠APB的值是（）A．B．C．D．【答