2026高一数学寒假自学课（苏教版）专题10 三角函数的图象与性质（1重点+13题型）（原卷版）

专题10三角函数的图象与性质内容导航串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升复习提升：真题感知+提升专练，全面突破【考点01】三角函数的图象与性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质图象定义域值域[-1,1][-1,1]最值时，时，时，时，无周期性奇偶性奇偶奇单调性在上单调递增在上单调递减在上单调递增在上单调递减在上单调递增对称性对称轴方程：对称中心对称轴方程：对称中心对称中心【二级结论1】正弦型函数、余弦型函数及正切型函数的奇偶性函数奇偶性当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，为奇函数.【二级结论2】正弦型函数、余弦型函数及正切型函数的周期函数最小正周期或无周期或（）或或（）【题型1三角函数的定义域问题】三角函数的定义域求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．1．（23-24高一下·北京门头沟·期中）函数的定义域为（

）A．， B．，C．， D．，2．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的定义域是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·江苏南通·期中）在内函数的定义域是（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·浙江·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．5．（22-23高三·全国·中职高考）函数的定义域是（

）A． B．C． D．6．（24-25高一下·江西·月考）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【题型2求三角函数的最值或值域】三角函数的值域求法（1）正余弦型：形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)，可先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后，求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范围，最后求得最值（2）二次型：形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)，可利用换元思想，设t＝sinx，转化为二次函数y＝at2＋bt＋c求最值，t的范围需要根据定义域来确定．（3）和差积换元型：形如sinxcosx±(sinx±cosx)，利用sinx±cosx和sinxcosx的关系，通过换元法转换成二次函数求值域问题（4）分式型：=1\*GB3①分离常数法：通过分离常数法进行变形，再结合三角函数有界性求值域；=2\*GB3②判别式法．7．（22-23高一上·江苏泰州·期末）函数在上的最小值为（

）A．－1 B． C． D．8．（24-25高一下·湖北·月考）已知函数的最小正周期为2，则在上的值域为（

）A． B． C． D．9．（24-25高一上·广西柳州·期末）函数在上的值域为.10．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数，的最大值与最小值之和为.11．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）若关于x的不等式在上恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型3由三角函数的值域求参数】1.定相位范围：由自变量区间，得ωx+φ的取值区间；2.抓核心条件：根据目标最值（如−1），结合sint（或cost）的有界性，确定相位区间需包含对应最值点（如−π3.建不等式：分情况讨论最值点与相位区间的位置关系，列不等式求解参数范围；4.取最优值：结合参数约束（如ω>0），筛选出最小/最大值。12．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数在上的最大值为4，则实数的值为.13．（24-25高一下·上海·月考）设，若函数在区间上的最大值为，则.14．（25-26高三上·河南·月考）已知函数的最大值为2，最小值为0，则函数的最小正周期为.15．（25-26高三上·山东青岛·月考）设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为．16．（25-26高一上·江苏无锡·月考）若函数在上有且仅有一个最大值，则的取值范围为．17．（25-26高三上·陕西咸阳·月考）已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为．18．（2025·四川巴中·二模）已知函数在区间上的最小值为，则的取值范围为.【题型4求三角函数的单调区间】求三角函数的单调区间（1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；（2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．19．（24-25高一上·贵州黔西·期末）在下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．20．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知函数，则的增区间是（

）A． B．C． D．21．（25-26高三上·福建泉州·月考）函数的图象与的图象关于直线对称，则函数的递增区间是．【题型5由三角函数的单调性求参数】已知单调性求参数的范围（1）子集法：求出原函数的单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq\f(1,4)周期列不等式(组)求解．22．（24-25高三上·上海黄浦·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．23．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）函数（）的图象过点，且在区间上单调递增，则的值为.24．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（）的图象过点，且在区间上具有单调性，则的最大值为（

）A． B．4 C． D．825．（23-24高一上·江苏徐州·期末）已知函数，若恒成立，且在区间上单调递增，则的取值范围为.26．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若f（x）在区间上不单调，且曲线的一个对称中心是，则ω的最小值是（

）A．20 B．16 C．13 D．727．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【题型6三角函数的奇偶性及应用】(1)判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f(x)与f(－x)的关系．(2)对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．提醒：研究函数性质应遵循“定义域优先”的原则．28．（24-25高一下·辽宁锦州·期末）下列函数为奇函数的是（

）A． B． C． D．29．（24-25高一上·广东肇庆·期末）下列函数是奇函数的是（

）A． B．C． D．30．【多选】（24-25高一上·广东·期末）下列函数中，在区间上单调递增，且为偶函数的是（

）A． B．C． D．31．（23-24高一上·四川凉山·期末）已知函数，且，则（

）A． B． C．0 D．132．（24-25高二下·安徽蚌埠·期末）函数在上的最大值和最小值之和为（

）A．2 B．4 C．8 D．405033．（24-25高二下·重庆·期末）已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（

）A．1 B． C．2 D．34．（25-26高一上·江苏泰州·月考）已知函数为偶函数，则（

）A． B． C．1 D．235．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知函数是奇函数，则．36．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知是奇函数，则.37．（24-25高一上·甘肃平凉·期末）函数为上的奇函数，则的值可以是（

）A．0 B． C． D．38．（24-25高一上·全国·课后作业）函数图象为上的奇函数，则的值可以是（

）A． B． C． D．39．（24-25高三上·新疆·月考）已知函数，若为偶函数，且在区间上不单调，则（

）A． B． C． D．【题型7三角函数的周期性及应用】定义法：直接利用周期函数的定义求周期．使得当取定义域内的每一个值时，都有.利用定义我们可采用取值进行验证的思路，非常适合选择题；公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq\f(π,|ω|)，对于形如y＝asinωx＋bcosωx的函数，一般先将其化为y＝eq\r(a2＋b2)·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：正、余弦函数图象在相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为eq\f(T,2)，相邻两对称中心间的距离也为eq\f(T,2),相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数取最值的点与其相邻的零点距离为.函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定.如的周期都是,但的周期为，而，的周期不变.40．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知函数的部分图象如图所示，则函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．241．（24-25高二下·甘肃庆阳·期末）函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．42．（2025·上海崇明·二模）函数的最小正周期是，则．43．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知函数满足．当时，，则（

）A． B．C． D．44．（24-25高三上·山东青岛·期末）设函数，，，则可以是（

）A． B． C． D．45．（24-25高三上·天津北辰·期末）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【题型8三角函数的对称性及应用】三角函数对称轴和对称中心的求解方法(1)定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点．(2)公式法：函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z.46．（25-26高一上·广东·期末）函数图象的对称轴方程为（

）A． B．C． D．47．（24-25高一下·四川眉山·期末）函数的一个对称中心是（

）A． B． C． D．48．（25-26高一上·贵州·期末）函数的图象：①关于点对称；②关于直线对称；③关于点对称；④关于直线对称．正确的序号为．49．（2023·四川雅安·一模）“”是“函数的图象关于直线对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件50．（24-25高一下·北京顺义·期末）已知函数（，）部分图象如图所示.其中A，B是直线与曲线相邻的两个交点.若，则，.51．（24-25高一下·上海浦东新·期末）已知函数的图象关于原点中心对称，则实数的取值可能是（

）A． B． C． D．52．（24-25高一下·重庆·期末）已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（

）A．2 B．5 C．8 D．1153．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数的图像关于点对称，且在上有且只有两条对称轴，则.54．（24-25高一上·江苏·期末）已知函数，，若的图象与的图象的交点分别为，则.55．（21-22高一下·陕西咸阳·月考）已知函数的图象在区间上有且仅有两条对称轴，则在以下区间上一定单调的是（

）A． B． C． D．56．（2025高三·全国·专题练习）若点是函数的图像的一个对称中心，则的最小值为（

）A． B． C． D．57．（2025·云南昆明·一模）若函数与函数图象的对称中心完全一致，则（

）A． B． C． D．【题型9三角函数的图象识别问题】含三角式的函数图象识别通用策略奇偶性初筛：代入−x判断f(−x特殊点验证：计算x=0,π,3.符号分析：取x趋近于0、正/负无穷或特殊角，分析分子分母的符号组合，确定局部区间内函数值的正负，匹配图象趋势；58．（24-25高一下·江西萍乡·期末）函数的图象大致为（

）A． B．C． D．59．（24-25高二下·江苏扬州·期末）函数，的大致图象是（

）A． B．C． D．60．（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（

）A． B．C． D．61．（22-23高一上·江苏宿迁·期末）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

62．（2023·湖北武汉·三模）函数的部分图象可能为（

）A．

B．

C．

D．

【题型10比较三角函数值的大小】比较三角函数值大小的步骤(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把已知角转化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．63．（2025·云南·模拟预测）已知，且，则（

）A． B．C． D．64．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．65．（24-25高一下·云南保山·期末）已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．66．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，，，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．67．（24-25高一上·江苏南通·期末）定义在R上的函数，若，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【题型11三角函数的零点问题】1.化方程：令f(x)=02.求通解：利用三角函数零点性质，得通解ωx+φ=3.定范围：结合x的区间（如(0,2π)），代入k的整数值，筛选出符合区间的4.数个数：统计满足条件的k对应的x的数量，即零点个数。68．（22-23高三上·江苏镇江·期末）若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．69．（24-25高一上·宁夏银川·期末）已知函数图象的两条对称轴间距离的最小值为，且为的一个零点，则不等式的解集为．70．（22-23高一上·江苏徐州·期末）若函数在区间内仅有1个零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．71．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知函数图象的一个对称中心是，一条对称轴是直线，且在区间上有且仅有两个零点，则.72．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是.73．（22-23高一上·江苏盐城·期末）已知，满足，若函数在区间上有且只有三个零点，则的范围为（

）A． B． C． D．【题型12三角函数中ω的取值范围】1、依托于三角函数的周期性因为f(x)=Asin(ωx+φ)的最小正周期是T=2πω，所以ω=2π2、利用三角函数的对称性（1）三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究（2）三角函数的对称轴比经过图象的最高点或最低点，函数的对称中心就是其图象与x轴的交点（零点），我们可以利用函数的最值、零点之间的“差距”来确定其周期，进而确定ω的取值．3、结合三角函数的单调性函数fx=Asin(ωx+φ)的每一“完整”单调区间的长度（即两相邻对称轴的间距）恰好等于T2反之，从函数变换的角度来看ω的大小变化决定了函数图象的横向伸缩，要使函数fx74．（2024·浙江温州·一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．75．（24-25高一下·江苏苏州·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．76．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数在上满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．77．（24-25高一上·江苏常州·期末）若函数在区间上有且仅有5条对称轴，则取值范围是（

）A． B． C． D．78．（23-24高一上·江苏盐城·期末）若函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是．79．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知，若存在，使得，则正实数的取值范围是.80．（2023·四川泸州·一模）已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【题型13三角函数性质的综合】探究函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)的综合应用时，可利用换元思想(令t＝ωx＋φ)，将ωx＋φ看作一个整体，结合y＝sinx，x∈R(y＝tanx)的性质求解．若弦切函数并存的函数式，可将切化弦后再转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式．81．【多选】（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数的图象关于点成中心对称，则（

）A．在区间上单调递减B．函数在区间上的最大值为C．直线是函数图象的一条对称轴D．若在上有两个不相等的实根，则的取值范围是82．【多选】（22-23高一上·江苏南京·期末）设为正实数，为实数，已知函数，则下列结论正确的是（

）A．若函数的最大值为2，则B．若对于任意的，都有成立，则C．当时，若在区间上单调递增，则的取值范围是D．当时，若对于任意的，函数在区间上至少有两个零点，则的取值范围是83．【多选】（22-23高三上·江苏盐城·月考）已知函数在区间上有且仅有个零点，则（

）A．在区间上有且仅有个对称轴 B．的最小正周期可能是C．的取值范围是 D．在区间上单调减84．【多选】（22-23高三上·湖南长沙·月考）已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，则下列四个结论正确的是（

）A．在区间上有且仅有3个不同的零点B．的最小正周期可能是C．的取值范围是D．在区间上单调递增85．【多选】（21-22高三上·山东烟台·期中）设函数，若在有且仅有5个最值点，则（

）A．在有且仅有3个最大值点B．在有且仅有4个零点C．的取值范围是D．在上单调递增86．【多选】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知函数，若、是关于的方程的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法中正确的有（

）A．B．若是图象的一条对称轴，则C．若在区间内无最大值，则D．若，则的图象在内有且仅有一个对称中心87．【多选】（24-25高一下·陕西咸阳·期末）设，定义运算已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．是的一个周期C．是偶函数 D．的最小值为88．【多选】（24-25高一下·辽宁丹东·期末）已知函数，则（

）A．的值域为 B．的最小正周期为πC．在区间上单调递增 D．在上有2个零点89．【多选】（24-25高二下·福建泉州·期末）关于函数，下列说法中正确的有（）A．是奇函数B．在区间上单调递增C．为其图象的一个对称中心D．最小正周期为90．【多选】（25-26高一上·全国·期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．若的最小正周期是，则B．当时，图象的对称中心的坐标为C．当时，D．若在区间上单调递增，则一、单选题1．（24-25高一上·福建莆田·期末）函数的最小正周期为（）A． B． C． D．2．（2024·安徽淮北·二模）函数的大致图象为（

）A． B．C． D．3．（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的大致图象为（

）A． B．C． D．4．（24-25高三上·江苏·期末）已知曲线与只有唯一交点，则（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（2024·山东·模拟预测）已知函数是偶函数，则的值是（

）A． B． C．1 D．26．（25-26高一上·山西·期末）已知定义在R上的函数满足，且当时，，则（）A．B．C．D．7．（24-25高一上·河北邯郸·期末）已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（

）A． B．2 C．5 D．8．（24-25高一上·江苏南通·期末）若函数的图象关于对称，且在区间上单调递增，则＝（

）A． B．C． D．二、多选题9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）下列四个函数中，周期为，且在区间上单调递增的有（

）A． B． C． D．10．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，其中，且函数的两个相邻对称轴之间的距离为，则下列说法正确的是（

）A．B．函数图象关于点对称C．函数在区间单调递增D．函数的图象可以由的图象向右平移个单位得到11．（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，则该函数的（

）A．值域为B．减区间是C．图象的对称中心为D．图象的对称轴方程为12．（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知函数（，），若，是的两个不同的解，且的最小值为，则下列说法正确的有（

）A．B．若是的一个对称中心，则C．若在区间内有最小值，则D．当时，在区间上的值域为13．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知函数，则下列结论中正确的有（

）A．函数在区间上单调递增B．直线是函数的一条对称轴C．函数的图象关于点中心对称D．若函数的图像关于轴对称，则正数的最小值为14．（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且，则下列结论正确的是（

）A．B．C．函数在上单调递增D．函数的图象关于点对称15．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知函数，函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）A．，B．的最小正周期是C．的对称中心，D．若方程在上有且只有个根，则三、填空题16．（24-25高一上·江苏盐城·期末）的对称中心为．17．（24-25高一上·江苏泰