2026年高二数学寒假自学课（苏教版）专题02 圆的方程（18大考点）（原卷版）

专题02圆的方程

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串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢

重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺

举一反三：核心考点能举一反三，能力提升

复习提升：真题感知+提升专练，全面突破

知识点1：圆的定义和圆的方程

1、平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．

2、圆的四种方程

（1）圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2，圆心坐标为（a，b），半径为r(r0)

2222DE

（2）圆的一般方程：xyDxEyF0(DE4F0)，圆心坐标为,，半径

22

D2E24F

r

2

（）圆的直径式方程：若，则以线段为直径的圆的方程是

3A(x1,y1),B(x2,y2)AB

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0

（4）圆的参数方程：

xrcos

①x2y2r2(r0)的参数方程为（为参数）；

yrsin

xarcos

②(xa)2(yb)2r2(r0)的参数方程为（为参数）．

ybrsin

知识点2：点与圆的位置关系判断

（）点与圆222的位置关系：

1P(x0,y0)(xa)(yb)r

①(xa)2(yb)2r2点P在圆外；

②(xa)2(yb)2r2点P在圆上；

③(xa)2(yb)2r2点P在圆内．

22

（2）点P(x0,y0)与圆xyDxEyF0的位置关系：

22

①x0y0Dx0Ey0F0点P在圆外；

②22点在圆上；

x0y0Dx0Ey0F0P

22

③x0y0Dx0Ey0F0点P在圆内．

知识点3：直线与圆的位置关系

1、几何法（圆心到直线的距离和半径关系）

|AaBbC|

圆心(a,b)到直线AxByC0的距离，则d：

A2B2

22

dr直线与圆相交，交于两点P,Q，|PQ|2rd；

dr直线与圆相切；

dr直线与圆相离

2、代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）

AxByC0

由222，

(xa)(yb)r

消元得到一元二次方程px2qxt0，px2qxt0判别式为，则：

0直线与圆相交；

0直线与圆相切；

0直线与圆相离．

知识点4：圆与圆的位置关系

用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：

设两圆的半径分别是，（不妨设），且两圆的圆心距为，则：

O1,O2R,rRrd

dRr两圆相交；

dRr两圆外切；

RrdRr两圆相离

dRr两圆内切；

0dRr两圆内含（d0时两圆为同心圆）

设两个圆的半径分别为R，r，Rr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：

位置关系相离外切相交内切内含

几何特征dRrdRrRrdRrdRrdRr

代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解

公切线条数43210

考点一：求圆多种方程的形式

【例1】（2025·高二·贵州遵义·期末）已知圆M与x轴相切，圆心在直线2xy0上，且在直线xy10

上截得的弦长为22，则圆M的方程是（）

A．(x1)2(y2)24或(x5)2(y10)2100

B．(x1)2(y2)24或(x5)2(y10)2100

C．(x1)2(y2)24

D．(x1)2(y2)24

【变式1-1】（2025·高二·广东·期中）圆P:(x1)2(y1)21关于直线yx2对称的圆Q的方程是

（）

A．(x3)2(y1)21

B．(x1)2(y3)21

C．(x4)2(y2)21

D．x2(y4)21

3π

【变式1-2】（2025·高二·贵州遵义·月考）已知直线AB的倾斜角为，点A2,1，圆

4

229

C:xy2x3y0，若圆C1与圆C2关于直线AB对称，则圆C2的标准方程为（）

14

22

5223

A．x(y2)1B．(x1)y1

22

22

5225

C．x(y2)1D．(x2)y1

22

【变式1-3】（2025·高二·天津·月考）经过三点A1,1，B1,4，C4,2的圆的方程是（）

A．x2y27x3y20B．x2y27x3y20

C．x2y27x3y20D．x2y27x3y20

考点二：直线系方程和圆系方程

22

【例2】（2025·高二·陕西西安·月考）经过两圆x3y213和x2y337的交点，且圆心在

直线xy40上的圆的方程.

【变式2-1】经过圆x2y28x6y210与直线xy50的交点，且在y轴上的弦长为233的圆的方

程是．

【变式2-2】（2025·高二·辽宁·期中）已知点A(5,0)，点B，C是直线x1与圆x2y25的交点，则

经过点A，B，C的圆的方程是．

2222

【变式2-3】圆C经过点(0,1)，且经过两圆C1:xy4x30和圆C2:xy4y30的交点，则圆C

的方程为．

考点三：与圆有关的轨迹问题

【例3】（2025·高二·福建泉州·期中）已知圆C:x2y24，直线l过点A2,4.

(1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程；

(2)若P为圆C上任意一点，M8,0，点Q满足PM2QM，求点Q的轨迹方程.

【变式3-1】（2025·高二·北京·月考）已知以点A(1,2)为圆心的圆与直线l1:x2y70相切，过点B(2,0)

的动直线l与圆A相交于M、N两点．

(1)求圆A的方程；

(2)当|MN|219时，求直线l的方程；

(3)若P为圆A上的动点，求线段BP的中点T的轨迹方程．

【变式3-2】（2025·高二·河北唐山·期中）已知圆P经过点A1,0和B1,2，且圆心在直线l：xy10

上.

(1)求圆的标准方程；

(2)若线段CD的端点D的坐标是4,3，端点C在圆P上运动，求CD的中点M的轨迹方程，并指出它的轨

迹是什么图形.

【变式3-3】（2025·高二·吉林长春·期中）已知圆C过A(2,2),B(6,0)，且圆心在直线xy40上.

(1)求圆C的方程；

1

(2)若点P的坐标是(6,0)，点Q是圆C上的一个动点，点M满足PMPQ，求点M的轨迹方程，并说明

3

轨迹的形状.

考点四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件

【例4】（2025·高二·广西河池·月考）方程x2y22x4ym0表示一个圆，则m的取值范围是（）

A．(5,)B．(,5]C．[5,)D．(,5)

【变式4-1】（2025·高二·浙江·期中）下列方程一定表示圆的是（）

A．x2y22x4y60

B．x2xyy250

C．x2y22ax2by0a,bR

D．x2y22x4y60

【变式4-2】（2025·高二·福建三明·期中）已知方程x2y24x2y5m0表示圆，则实数m的取值

范围是（）

A．m1B．m1

C．m1D．m1

【变式4-3】（2025·高二·广东江门·月考）已知方程x2y22x3ym0表示圆，则实数m的取值

范围是（）

131313

A．3,B．,C．,D．3,

444

考点五：点与圆的位置关系判断

【例5】（2025·高二·江苏·期末）已知直线l:ykx1，圆C:(x1)2y24，则直线l与圆C位置关系

为（）

A．相离B．相交C．相切D．不确定

【变式5-1】（2025·高二·江苏盐城·期中）点P(m,2)与圆(x1)2(y1)28的位置关系为（）

A．点在圆内B．点在圆上

C．点在圆外D．与m的值有关

【变式5-2】（2025·高二·江苏盐城·期中）设a,bR，若直线axby4与圆x2y24相交，则点Pa,b

与圆的位置关系是（）

A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．不能确定

【变式5-3】（2025·高二·山东济宁·期中）“点1,2在圆x2y2ax2ya2150外部”是“a3，

或a2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

考点六：数形结合思想的应用

【例6】（2025·高二·辽宁·期中）若直线l:kxy3k10与曲线C:4x2y1有两个不同的交点，

则实数k的取值范围是（）

252525

A．0,B．,00,

555

25251225

C．,D．,20,

5455

2

【变式6-1】（2025·高二·北京·期中）已知直线ykxk1与曲线y4x2有两个交点，则k

的取值范围为（）

326326326

A．1,B．,

555

326326

C．1,D．1,

55

【变式6-2】（2025·高二·辽宁·月考）若直线l:ykx3k与曲线C:y1x2恰有两个交点，则实

数k的取值范围是（）

3334343

A．,B．,C．,D．,

4423232

【变式6-3】（2025·高二·河南南阳·期中）已知圆O：x2y29，直线l：y1，将圆O在l下方的

部分沿着l向上翻折，如图，若直线xym0与折叠后得到的两段弧恰有4个交点，则m的值可以是（）

35

A．B．2C．D．3

22

考点七：与圆有关的对称问题

22

【例7】圆x1y24关于直线axy10对称，则a．

【变式7-1】（2025·高二·山东潍坊·期中）圆x2y22x6y10关于直线axby30a0,b0

13

对称，则的最小值是

ab

14a1

【变式7-2】若圆x2y22ax2y10关于直线xby20对称，其中a0，b0，则的最

ab

小值为.

【变式7-3】（2025·高二·北京·期中）已知圆C：x2y22x4y10与直线l：ykx1，则圆

心C的坐标为，若圆C关于直线l对称，则k.

考点八：圆过定点问题

【例8】（2025·高二·湖北武汉·月考）对任意实数a2，动圆(a2)x2(a2)y24x2a0恒过两

个定点，请写出一个定点坐标．

【变式8-1】（2025·高二·河南驻马店·开学考试）若圆x2y2mx5y2m0(mR)恒过两个不同的

定点A，B，则AB.

【变式8-2】（2025·高二·河北张家口·月考）点M是直线2xy50上的动点，O是坐标原点，则以

OM为直径的圆经过定点

【变式8-3】（2025·高二·河南信阳·期中）圆x2y2mx2ym0恒过的定点是.

考点九：直线与圆的位置关系的判断

【例9】（2025·高二·吉林长春·期中）已知点Pm,n在圆C:x2y24内，则直线nxmy4与圆C（）

A．相交B．相切C．相离D．以上均有可能

【变式9-1】（2025·高二·广东惠州·月考）已知直线l:kxyk20，圆C:x2y28，则直线l与

圆C的位置关系是（）

A．相交B．相切C．相离D．不确定

22

【变式9-2】（2025·高二·江苏·期末）直线3x2y10与圆x1y1r2r0的位置关系是

（）

A．相交B．相切C．相离D．与r有关

【变式9-3】（2025·高二·广东佛山·月考）已知圆C:x2y24，直线l:yx22，则直线l与圆C

的位置关系是（）

A．相交B．相切C．相离D．无法确定

考点十：弦长与面积问题

【例10】（2025·高二·辽宁葫芦岛·月考）若直线yx与圆C：x2y24y10相交于A,B两点，则AB

（）

A．23B．4C．22D．2

【变式10-1】（2025·高二·江苏·期末）已知直线yxm被圆x2y22x150截得的弦长为42，

则m（）

A．1或3B．2C．3或5D．4

22

【变式10-2】（2025·高二·河南驻马店·期末）已知点P1,2是圆C：xyx2ym0mN外

一点，以CP为直径的圆与圆C相交于A，B两点，则四边形PACB的面积为（）

131333

A．B．C．D．

2424

【变式10-3】（2025·高二·河南·月考）过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于

点O）均在圆C:x2y24x6y0上，则△OAB面积的最大值为（）

13

A．26B．132C．13D．

2

考点十一：切线问题、切线长问题

【例11】（2025·高三·湖北·月考）莱莫恩（Lemoine）定理指出：过ABC的三个顶点A,B,C作它的外

接圆的切线，分别和BC,CA,AB所在直线交于点D,E,F，则D,E,F三点在同一条直线上，这条直线被称为

三角形的Lemoine线．在平面直角坐标系xOy中，若ABC的三个顶点坐标分别为A1,0,B4,0,C0,2，

则该三角形的Lemoine线的方程为（）

A．2x3y80B．3x2y80

C．3x2y220D．2x3y380

【变式11-1】（2025·高二·江苏淮安·期中）过圆x22xy240上一点M(0,2)作圆的切线l,则l的方

程为（）

A．x3y60B．2xy20C．x2y40D．x2y40

225

【变式11-2】过坐标原点，且与圆xy4x2y0相切的直线方程为（）

2

11

A．y3x或yxB．y3x或yx

33

11

C．y3x或yxD．y3x或yx

33

【变式11-3】（2025·高二·江苏·期末）点P为直线y2上一动点，过点P作圆x2y21的切线，切

点为Q，则PQ的最小值为（）

A．1B．2C．3D．2

考点十二：切点弦问题

【例12】（2025·高二·河北邯郸·期中）若过点P3,4向圆O:x2y25引两条切线，切点分别为A，

B，则O到直线AB的距离为（）

13

A．B．1C．D．2

22

【变式12-1】（2025·高二·贵州铜仁·期中）已知M:x2y22x2y0，直线l:2x+y+2=0，P为

l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当PMAB最小时，直线AB的方程为（）

A．2xy10B．2xy10

C．2xy10D．2xy10

22

【变式12-2】（2025·高二·江西九江·月考）过点P3,2作圆C:x1y13的两条切线，切点

分别为A和B，则切点弦AB所在直线的方程为（）

A．2xy60B．x2y70

C．xy10D．3xy90

【变式12-3】（2025·高二·河南漯河·期末）设点P为直线l：2xy40上任意一点，过点P作圆O：

x2y21的切线，切点分别为A，B，则直线AB必过定点（）

111111

A．,B．,C．1,D．,1

422422

考点十三：圆上的点到直线距离个数问题

【例13】（2025·广东·一模）已知直线l1:kxy13k0(kR)与直线l2:xky3k0(kR)相

交于点M，若恰有3个不同的点M到直线l:xyb0的距离为1，则b（）

A．1B．2C．3D．2

【变式13-1】（2025·高二·广东河源·期末）若圆O:x2y2r2(r0)上到直线l:3xy10的距离

r

为的点恰好有3个，则r（）

2

A．1B．2C．3D．4

22

【变式13-2】（2025·高二·海南·期中）若圆x1y1r2r0上到直线xy40的距离为2

的点有且仅有2个，则r的取值范围是（）

A．0,2B．0,22C．1,2D．2,22

【变式13-3】（2025·高二·福建泉州·期中）已知圆x2y24上到直线yxb的距离为1的点有且仅

有4个，则b的取值范围为（）

A．32,2B．2,2C．22,22D．2,32

考点十四：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题

【例14】（多选题）（2025·高二·安徽·月考）已知动点Ax,y满足x2y24x40，则（）

2

A．点A的轨迹长度为42πB．x2y3的最小值为21226

y

C．的最大值为1D．xy3的最小值为1

x2

2

【变式14-1】（多选题）（2025·高二·江苏泰州·月考）已知直线l:ykx2k2kR，圆C:x2y19，

则下列说法正确的是（）.

A．直线l过定点2,2

B．圆心C到直线l距离的最大值是22

C．直线l被圆C截得的弦长最小值为4

D．若点Pm,n在圆C上，则m2n2的取值范围为4,16

【变式14-2】（多选题）（2025·高二·山东济南·月考）已知圆C:x2y22，点P为直线xy220

上任意一点，过点P的直线与圆C交于A，B两点，则下列说法正确的是（）

A．PAPB有最小值为2B．PAPB没有最大值

C．PAPB有最小值为22D．PAPB有最大值42

22

【变式14-3】（多选题）（2025·高二·云南曲靖·期中）设圆C:x3y49，过点P1,2的直

线l与圆C交于A，B两点，则下列结论正确的为（）

A．P可能为AB中点B．AB的最小值为3

99

C．ABC的面积最小值为D．ABC的面积最大值为

22

考点十五：圆与圆的位置关系

2222

【例15】（2025·高二·贵州遵义·月考）已知圆C1:(x1)y9，圆C2:(x4)(y4)16，则圆C1

与圆C2的位置关系为（）

A．外离B．相交C．外切D．内含

2222

【变式15-1】（2025·高二·江苏·期末）已知圆O1:x1y29，圆O2:x2y116，

则这两个圆的位置关系为（）

A．外离B．外切C．相交D．内含

22

【变式15-2】（2025·高二·广西·月考）圆D：x3y44和圆E：x2y29位置关系是（）

A．外切B．相交

C．外离D．内含

2222

【变式15-3】（2025·高二·福建厦门·月考）若圆C1:(x1)y1与圆C2:(x5)(y3)30m外

切，则m=（）

A．14B．28C．9D．11

考点十六：两圆的公共弦问题

2222

【例16】（2025·高二·贵州遵义·期中）已知C1:xy4x0和圆C2:xy4y0相交，则这两个

圆的公共弦长为（）

A．22B．42C．23D．43

2222

【变式16-1】（2025·高二·江苏·期末）已知圆C1:xy40与圆C2:xy4x4y120交于M、

N两点，则MN（）

A．22B．2C．23D．3

2222

【变式16-2】（2025·高二·江苏·期末）圆C1:x2y4，圆C2:xy4y0，则圆C1与C2（）

A．相离B．有3条公切线

C．关于直线xy0对称D．公共弦所在直线方程为xy10

2

【变式16-3】（2025·高二·河北·期中）已知圆x1y21与圆x2y24x2y10相交于A,B两

点，则直线AB的方程为（）

A．2x2y10B．2x2y10C．2x2y10D．2x2y10

考点十七：两圆的公切线问题

【例17】（2025·高二·广东·期中）不全为0的实数对a,b满足关系式ab14a3b1a2b2，

则这样的实数对a,b共有（）组.

A．1B．2C．3D．4

：22：22

【变式17-1】（2025·高二·安徽·月考）圆O1xy2x4y40与圆O2xy4x2y110的

公切线有（）

A．4条B．3条C．2条D．1条

22222

【变式17-2】（2025·高二·浙江·月考）已知圆C1:(x1)(y2)4与圆C2:(x2)(y2)rr0

的公切线有3条，则实数r的值为（）

A．1B．2C．3D．4

2222

【变式17-3】（2025·高二·河南南阳·月考）已知圆C1:xy2x2y0，圆C2:xy4x0，则

两圆的公切线有（）条

A．1B．2C．3D．4

考点十八：阿氏圆

【例18】（2025·高二·北京东城·期中）阿波罗尼斯（约公元前262—190年）证明过这样一个命题：平

面内到两定点距离之比为常数k（k0且k1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两

定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为2，当P，A，B不共线时，PAB面积的最大值

是（）

222

A．B．C．2D．22

33

【变式18-1】（2025·高二·上海·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面上到两定

点的距离之比为定值（0，1）的点的轨迹是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼

PA1

斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A4,1,B4,4，若点P是满足的阿氏圆上

PB2

x2y2

的动点，点Q为双曲线C：1右支上的动点，点F是它的左焦点，则PB2PQ2QF的最小值为

169

（）．

A．18258B．16282

C．18265D．16297

【变式18-2】（2025·高二·河南南阳·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.

他发现：“平面内与两定点距离的比为常数k(k0且k1)的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字

命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点M是圆O:x2y21上任一点，点Q3,0，B1,1，则

1

MQMB的最小值为（）

3

45

A．1B．C．D．17

33

【变式18-3】（2025·宁夏吴忠·二模）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A，B的距离的

比值为定值（1）的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称

PA22

阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足3，则PAPB的最大值为（）

PB

A．1683B．843C．743D．33

1．（2025·高二·辽宁·月考）已知抛物线E:x24y，圆C:x2(y4)21，P为抛物线E上一点，Q为

圆C上一点，则PQ的最小值为（）

A．231B．221C．3D．4

2．（2025·高二·江苏·期末）已知直线l：kxy2k20恒过定点A，点B为圆C（:x1）2（y3）218

上的动点，O为坐标原点，则AOB面积的最大值为（）

A．10B．4C．6D．8

3．（2025·高二·江苏·期末）已知圆M（:x4）2y24，点P为直线xy0上的动点，过点P作圆M

的两条切线，切点分别为A，B，则AB的最小值为（）

A．23B．2C．22D．3

4．（2025·高二·江苏·期末）已知点P在直线l:3x4y30上，过P作圆M:x2y26x4y90的

两条切线，切点为A,B，则APB的最大值为（）

A．30B．45C．60D．90

5．（2025·高二·河北承德·月考）若直线l:xym0m0与直线l:xym0m0交于点P，

且直线l被圆C:(x2)2(y2)28截得的弦长为22，则CP（）

A．2083B．2083C．843D．423

2

6．（2025·高二·安徽·月考）已知圆x2ya4上到直线y3x2的距离为1的点有且仅有2个，

则a的取值范围是（）

A．6,3B．8,31,3

C．8,40,4D．4,