2025年北京市数学（文科）高起专考试真题及参考答案

2025年北京市数学（文科）高起专考试练习题及参考答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=2x+3是单调递增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a>0

B.a≥0

C.a<0

D.a≤0

答案：D

解析：由题意，函数f(x)=2x+3是单调递增函数，因此其导数f'(x)=2>0。根据单调递增函数的性质，导数大于0，所以实数a的取值范围是a≤0。

2.若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+3n，则该数列的通项公式为（）

A.an=4n+5

B.an=4n+3

C.an=2n+1

D.an=2n+3

答案：A

解析：等差数列的前n项和Sn=2n^2+3n，则第一项a1=S1=2(1)^2+3(1)=5。由等差数列的性质，an=a1+(n1)d。将Sn代入，得an=2n^2+3n(2(n1)^2+3(n1))=4n+5。

3.已知函数f(x)=x^33x，求f'(x)=0的实数解（）

A.x=1

B.x=1

C.x=1或x=1

D.x=0

答案：C

解析：对函数f(x)=x^33x求导，得f'(x)=3x^23。令f'(x)=0，解得x=1或x=1。

4.若直线L1：x+2y5=0与直线L2：2xy+3=0相交于点P，求点P的坐标（）

A.(2,1)

B.(1,2)

C.(3,1)

D.(1,3)

答案：A

解析：联立直线L1和L2的方程，得：

x+2y5=0

2xy+3=0

解得：x=2，y=1。所以点P的坐标为(2,1)。

5.若函数f(x)=x^2+kx+1的图象上存在两个不同的点A、B，使得直线AB的斜率为1，则实数k的取值范围是（）

A.k>2

B.k<2

C.k≥2

D.k≤2

答案：D

解析：函数f(x)=x^2+kx+1的图象是开口向上的抛物线，其导数f'(x)=2x+k。由于直线AB的斜率为1，所以f'(x)=1。解得x=(1k)/2。抛物线上存在两个不同的点A、B，使得直线AB的斜率为1，则k的取值范围是k≤2。

6.若等比数列{an}的首项为1，公比为q，且q>0，则数列{an}的前n项和Sn与n的关系是（）

A.Sn∝n

B.Sn∝n^2

C.Sn∝logn

D.Sn∝nlogn

答案：A

解析：等比数列{an}的前n项和Sn=a1(1q^n)/(1q)。当q>0时，Sn∝n。

7.若函数g(x)=x^22x+3的最小值是2，则实数a的取值范围是（）

A.a≥1

B.a≤1

C.a>1

D.a<1

答案：B

解析：函数g(x)=x^22x+3可以写为g(x)=(x1)^2+2。最小值发生在x=1时，此时g(x)=2。所以实数a的取值范围是a≤1。

8.若矩阵A=[[a,b],[c,d]]的行列式为1，则下列结论正确的是（）

A.adbc=1

B.ad+bc=1

C.adbc=0

D.ad+bc=0

答案：A

解析：矩阵A的行列式为det(A)=adbc。由题意，det(A)=1，所以adbc=1。

二、填空题（每题5分，共30分）

9.若函数y=f(x)在x=2处取得极大值，则f'(2)=_______。

答案：0

解析：函数在极值点处的导数为0。

10.若等差数列{an}的首项为3，公差为2，则第10项a10=_______。

答案：21

解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n1)d，所以a10=3+(101)2=21。

11.若函数f(x)=x^33x+2在x=1处的切线方程为y=_______。

答案：4x3

解析：函数在x=1处的导数f'(1)=3(1)^23=0。切线方程的斜率为0，所以切线方程为y=4x3。

12.若直线L：x+3y4=0与圆C：(x1)^2+(y2)^2=9相切，则切点坐标为_______。

答案：(2,1)

解析：将直线L的方程代入圆C的方程，解得切点坐标为(2,1)。

13.若等比数列{an}的首项为2，公比为3，则数列{an}的前5项和S5=_______。

答案：62

解析：等比数列的前n项和Sn=a1(1q^n)/(1q)，所以S5=2(13^5)/(13)=62。

三、解答题（每题10分，共30分）

14.已知函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调递增区间。

解：对函数f(x)求导，得f'(x)=3x^26x。令f'(x)>0，解得x<0或x>2。所以f(x)的单调递增区间为(∞,0)和(2,+∞)。

15.设等差数列{an}的首项为1，公差为2，求证：数列{an^2}是等差数列。

证明：等差数列{an}的通项公式为an=1+(n1)2=2n1。则数列{an^2}的通项公式为an^2=(2n1)^2=4n^24n+1。计算相邻两项之差，得an^2a(n1)^2=(4n^24n+1)(4(n1)^24(n1)+1)=8n8，为常数。所以数列{an^2}是等差数列。

16.已知函数g(x