2025年成人高考高起专湖北省数学考试试题及答案

2025年成人高考高起专湖北省数学考试试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）

1.若函数f(x)=x²2x+1在区间(2,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A.a≤2

B.a>2

C.a≥2

D.a<2

答案：C

解析：f(x)=x²2x+1=(x1)²，在区间(2,+∞)上，(x1)²随着x的增大而增大，故f(x)为增函数。因为a是函数f(x)的定义域内的一个常数，所以a的取值范围应满足f(x)为增函数，即a≥2。

2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=10，S10=30，则数列的通项公式an=（）

A.an=n+1

B.an=2n1

C.an=n1

D.an=2n

答案：B

解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d。根据等差数列前n项和的公式，有S5=5a1+10d=10，S10=10a1+45d=30。解这个方程组，得到a1=1，d=1。所以an=a1+(n1)d=1+(n1)=2n1。

3.已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的顶点坐标。

A.(2,1)

B.(2,1)

C.(1,1)

D.(1,1)

答案：A

解析：f(x)=x²4x+3=(x2)²1。函数的顶点坐标为(2,1)。

4.已知函数y=f(x)的图像与直线y=3x2相交于点A(2,4)，则函数f(x)在x=2处的导数f'(2)=（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：C

解析：函数y=f(x)在x=2处的导数f'(2)表示函数图像在点A处的切线斜率。因为切线与直线y=3x2相交，所以切线斜率为3，即f'(2)=3。

5.若直线y=kx+b与圆x²+y²=4相切，则k²+b²的取值范围是（）

A.k²+b²≤4

B.k²+b²<4

C.k²+b²≥4

D.k²+b²>4

答案：C

解析：圆的半径为2，直线与圆相切，则直线到圆心的距离等于半径，即d=|b|/√(1+k²)=2。两边平方，得到b²=4(1+k²)，所以k²+b²=b²+4k²=4+4k²≥4。

6.设函数f(x)=|x2|，求不等式f(x)<1的解集。

A.(1,3)

B.(∞,1)∪(3,+∞)

C.(1,2)

D.(2,3)

答案：A

解析：不等式f(x)<1可以表示为|x2|<1，即1<x2<1。解得1<x<3，所以解集为(1,3)。

7.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=50，S20=300，求S30。

A.450

B.500

C.550

D.600

答案：C

解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d。根据等差数列前n项和的公式，有S10=10a1+45d=50，S20=20a1+190d=300。解这个方程组，得到a1=1，d=2。所以S30=30a1+435d=30+4352=550。

8.已知函数f(x)=x³3x，求f(x)的极值。

A.极大值3，极小值3

B.极大值3，极小值3

C.无极值

D.极大值0，极小值0

答案：A

解析：f'(x)=3x²3。令f'(x)=0，解得x=±1。当x=1时，f(x)取得极大值3；当x=1时，f(x)取得极小值3。

9.已知函数y=f(x)在点A(2,1)处的切线斜率为2，且f(0)=1，求函数f(x)的表达式。

A.f(x)=x²+1

B.f(x)=x²+2

C.f(x)=x+1

D.f(x)=x+2

答案：A

解析：f'(x)=2x，因为切线斜率为2，所以f'(2)=22=4。又因为f(0)=1，所以f(x)=x²+1。

10.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k的取值范围是（）

A.k≤1

B.k≥1

C.1≤k≤1

D.k≥1

答案：C

解析：圆的半径为1，直线与圆相切，则直线到圆心的距离等于半径，即d=|b|/√(1+k²)=1。两边平方，得到b²=1+k²。因为b²≥0，所以1+k²≥0，即k²≥1。所以k的取值范围是1≤k≤1。

二、填空题（每题4分，共40分）

11.若函数f(x)=x²2x+1在区间(2,+∞)上是增函数，则实数a的取值范围是______。

答案：a≥2

12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5=10，S10=30，则数列的通项公式an=______。

答案：an=2n1

13.已知函数f(x)=x²4x+3，求f(x)的顶点坐标为______。

答案：(2,1)

14.已知函数y=f(x)的图像与直线y=3x2相交于点A(2,4)，则函数f(x)在x=2处的导数f'(2)=______。

答案：3

15.若直线y=kx+b与圆x²+y²=4相切，则k²+b²的取值范围是______。

答案：k²+b²≥4

16.设函数f(x)=|x2|，求不等式f(x)<1的解集为______。

答案：(1,3)

17.若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10=50，S20=300，求S30=______。

答案：550

18.已知函数f(x)=x³3x，求f(x)的极值为______。

答案：极大值3，极小值3

19.已知函数y=f(x)在点A(2,1)处的切线斜率为2，且f(0)=1，求函数f(x)的表达式为______。

答案：f(x)=x²+1

20.若直线y=kx+b与圆x²+y²=1相切，则k的取值范围是______。

答案：1≤k≤1

三、解答题（共20分）

21.（10分）已知函数f(x)=x²2x+1，求f(x)在区间[0,3]上的最大值和最小值。

答案：最大值1，最小值1。

解析：f(x)=x²2x+1=(x1)²。在区间[0,3]上，f(x)的最小值发生在x=1处，此时f(x)=0。最大值发生在区间的端点，即f(0)=1和f(3)=4，所以最大值为4。

22.（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=10，S10=30，求等差数列{an}的通项公式。

答