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2025绵阳市东城初升高自主招生考试数学含解析及答案一、选择题

1.若a、b是方程x^23x+2=0的两根，则a+b的值为()

A.1

B.2

C.3

D.4

解析：根据韦达定理，方程x^23x+2=0的两根a、b满足a+b=(3)=3。故选C。

答案：C

2.以下哪个数是最小的无理数()

A.√2

B.√3

C.√5

D.√7

解析：比较这些无理数的大小，可以通过估算它们与1的距离。√2约等于1.4，√3约等于1.7，√5约等于2.2，√7约等于2.6。故最小的无理数是√2。

答案：A

3.已知f(x)=x^22x+1，求f(x)在x=1处的切线斜率()

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：f'(x)=2x2，将x=1代入f'(x)，得到f'(1)=212=0。故切线斜率为0。

答案：A

4.若直线y=2x+3与圆(x1)^2+(y+2)^2=16相交于A、B两点，则线段AB的中点坐标为()

A.(1,2)

B.(2,1)

C.(3,0)

D.(0,3)

解析：圆心为(1,2)，直线y=2x+3的斜率为2，所以圆心到直线的距离为d=|211(2)+3|/√(2^2+1^2)=4/√5。由于圆的半径为4，所以AB的中点在直线y=2x+3上，且距离圆心为2√5。设中点坐标为(x,y)，则有：

(1x)^2+(2y)^2=(2√5)^2

解得x=2，y=1。故中点坐标为(2,1)。

答案：B

二、填空题

5.若a、b是方程x^24x+3=0的两根，则a^2+b^2的值为______。

解析：a+b=4，ab=3。所以a^2+b^2=(a+b)^22ab=4^223=166=10。

答案：10

6.若函数f(x)=x^33x^2+2x+5的极值点为x1和x2，则x1+x2的值为______。

解析：f'(x)=3x^26x+2。令f'(x)=0，解得x1和x2。根据韦达定理，x1+x2=(6)/3=2。

答案：2

三、解答题

7.已知函数f(x)=x^33x^2+4，求f(x)的单调区间。

解析：f'(x)=3x^26x。令f'(x)>0，解得x<0或x>2；令f'(x)<0，解得0<x<2。所以f(x)的单调增区间为(∞,0)和(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。

答案：单调增区间为(∞,0)和(2,+∞)，单调减区间为(0,2)。

8.已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A、B两点，且AB的中点为(1,0)，若抛物线过点C(2,3)，求抛物线的方程。

解析：由于AB的中点为(1,0)，所以A、B两点的横坐标之和为2。设A点横坐标为x1，B点横坐标为x2，则有x1+x2=2。根据韦达定理，b/a=x1+x2，所以b=2a。

又因为抛物线过点C(2,3)，代入得4a+2b+c=3。联立方程组：

b=2a

4a+

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