小学三年级数学上册“乘与除”单元知识清单与教学设计

小学三年级数学上册“乘与除”单元知识清单与教学设计

一、单元教学背景与课程定位

（一）教材分析与知识体系定位

本单元隶属于数与代数领域，是小学阶段运算教学从“加法结构”迈向“乘法结构”的关键转折期。北师大版三年级上册第四单元“乘与除”在整套教材中起着承上启下的核心枢纽作用：承上——基于二年级表内乘除法及倍的认识，将运算对象从一位数扩展至整十、整百、整千数；启下——为后续学习多位数乘除法竖式、除数是一位数的笔算除法、四则混合运算奠定算理与算法基础。本单元不涉及笔算列竖式，全部采用口算形式，旨在强化对“计数单位”的深度理解，培养学生将新知转化为旧知的核心策略——转化思想。单元内容共编排四道例题及一次“校园秋游”综合实践活动，涵盖整十整百数乘一位数、两位数乘一位数（不进位）、整十整百数除以一位数、两位数除以一位数（首位能整除）四大板块，同时渗透“单价×数量=总价”“总价÷数量=单价”等基本数量关系，为后续解决问题提供模型支撑。

（二）学情诊断与认知起点

三年级学生正处于皮亚杰认知发展理论中的具体运算阶段，思维仍需具体表象支撑，但已初步具备逻辑推理萌芽。学生已熟练掌握表内乘除法，能快速口算2×6、45÷9等算式，但对“20×3”这类涉及整十数的乘法存在认知冲突——部分学生会误算为20×3=23或20×3=60却无法解释算理。经课前访谈与测评发现，约65%的学生能凭生活经验得出正确答案，但仅有30%能清晰阐述“2个十乘3等于6个十即60”的位值原理。因此本单元教学绝不能止步于“会算”，必须深挖“为什么这样算”，将“计数单位”概念从模糊感知推向清晰表达。同时，学生在解决“买4个篮球每个30元，一共多少元”这类情境问题时，常出现单位不匹配、列式颠倒等错误，需在教学中强化数量关系分析与检验习惯。

（三）核心素养靶向与跨学科统整

依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》，本单元重点培育三大核心素养：

1.运算能力：不仅指正确、迅速的口算技能，更指向对运算对象、运算规则、运算策略的理解与选择。要求学生能根据数据特征灵活选择拆分法、连乘法或倍数法，并能清晰口述算理。

2.模型意识：从现实情境中抽象出乘法模型（每份数×份数=总数）和除法模型（总数÷份数=每份数），并能反向应用。

3.应用意识：主动运用乘除法解决校园生活、家庭购物、社会实践中的真实问题，初步形成估算与精算的协调能力。

跨学科设计方面，深度融合劳动教育（规划种植园地面积）、体育（计算跳绳总次数）、美术（材料预算编制）、道德与法治（合理消费观念），使数学学习从纸面走向生活，从技能习得升华为素养发展。

二、知识体系全要素罗列与层级标注

（一）【基础·必会】整十、整百、整千数乘一位数的口算

1.算理本质：将整十数看作几个十，整百数看作几个百，转化为表内乘法再在积的末尾添相应个数的0。

2.算法口诀：先乘0前数，再看乘数末尾共有几个0，就在积末尾添几个0。

3.典型式题：30×4=120，200×3=600，5000×6=30000。

4.易错警示：30×4≠12，200×3≠60，积末尾0的个数易遗漏或误加。

（二）【基础·必会】两位数乘一位数（不进位）的口算

1.算理本质：利用位值原则，将两位数拆成整十数和一位数，分别乘一位数后合起来。

2.算法模型：例如12×3=10×3＋2×3=30＋6=36。

3.典型式题：11×7=77，23×3=69，42×2=84。

4.思维进阶：从“拆数法”自然过渡到“连乘法”（如14×2=2×14，但习惯用拆数）。

（三）【基础·必会】整十、整百、整千数除以一位数的口算

1.算理本质：将整十数看作几个十，整百数看作几个百，转化为表内除法。

2.算法模型：例如60÷2=6个十÷2=3个十=30。

3.典型式题：80÷4=20，900÷3=300，6000÷2=3000。

4.易错预警：400÷5易误算为80，但必须明确400是40个十，40÷5=8，得8个十即80——此处与乘法有认知差异，需专项辨析。

（四）【基础·必会】两位数除以一位数（首位能整除）的口算

1.算理本质：将两位数拆成整十数和一位数，分别除以除数后合起来。

2.算法模型：例如48÷4=40÷4＋8÷4=10＋2=12。

3.典型式题：84÷2=42，63÷3=21，55÷5=11。

4.认知难点：部分学生受乘法“拆数”负迁移，误将48÷4拆成48÷2÷2，虽得数正确但思维路径复杂，需引导优先使用“按位值拆分”。

（五）【重要·高频考点】数量关系建模

1.乘法模型：单价×数量=总价；速度×时间=路程；工作效率×工作时间=工作总量。

2.除法模型：总价÷数量=单价；总价÷单价=数量；路程÷速度=时间。

3.应用层次：直接应用→逆向应用→选择信息→自编问题。

（六）【重要·难点】估算与精算的协同

1.估算策略：将两位数估成整十数再乘除，如19×4≈20×4=80。

2.精算检验：用估算判断精算结果是否合理，例如38÷2≈40÷2=20，精算19，在合理区间内。

（七）【非常重要·高频考点】解决连续两问的实际问题

1.结构特征：第一问结果作为第二问的条件。

2.解题范式：先分步列式，再尝试列综合算式（不强制）。

3.典型题例：一瓶可乐3元，买5瓶需要多少元？付出20元，应找回多少元？

（八）【热点·跨学科】项目化学习任务

1.“班级小菜园”种植规划：计算菜畦面积、购买种子预算、浇水天数统计。

2.“秋游租车方案”：根据人数和每辆车限乘客数，口算需要租几辆车。

3.“校园义卖”收支账本：运用乘除法计算总销售额、平均单价。

三、教学实施过程（核心环节深度建构）

本单元总计建议6课时，每课时40分钟。教学实施严格遵循“情境触发—操作探究—模型抽象—分层应用—反思升华”五步法，确保算理透彻、算法灵活、素养落地。

（一）第一课时：整十、整百数乘一位数——从“数硬币”到“数计数单位”

1.教学目标

（1）理解整十、整百数乘一位数的算理，掌握口算方法，能正确、熟练地计算。

（2）经历“具体—表象—抽象”的建模过程，培养转化思想和类推能力。

（3）在生活情境中感受数学的简洁美，激发学习兴趣。

2.教学重难点

［重点］将整十数看作几个十、整百数看作几个百进行口算。

［难点］理解积末尾0的个数与乘数末尾0的个数的关系，避免多0或少0。

3.教学准备

教师：多媒体课件、人民币学具（10元、100元纸币模型）、计数板（每板10个）。

学生：每人20根小棒（每10根捆一捆）、学习任务单。

4.教学过程

（1）唤醒经验，以旧引新

开课即呈现实物图：三摞硬币，每摞10枚。学生快速列式10×3=30并说算理：“1个十乘3等于3个十是30”。教师顺势追问：如果每摞是100枚硬币，三摞一共多少枚？学生迁移得100×3=300。板书两组算式：10×3=30，100×3=300。引导观察：乘数末尾的0和积末尾的0有什么关系？学生初步感知“添0”现象，但此时暂不总结，留待探究后抽象。

（2）具身操作，剖明算理

活动一：帮老师算预算。学校要购买4箱饮用水，每箱20瓶，一共多少瓶？

学生独立列式20×4，教师巡视搜集典型解法：

解法A：画图，每箱画20个点，4箱逐一点数得80。

解法B：用加法，20+20+20+20=80。

解法C：2×4=8，再添1个0得80。

解法D：2个十乘4等于8个十是80。

教师组织对比：解法C最快，但为什么可以这样算？将2个十×4作为核心研讨素材，引导学生用整捆小棒演示：每捆10根，2捆是2个十，取这样的4份，共8捆即8个十是80。板书核心转化步骤：20×4=2×4×10=8×10=80。此时强化学科术语——“2”代表计数单位的个数，“十”是计数单位，运算本质是“计数单位不变，计数单位的个数相乘”。

活动二：迁移至整百数。出示“每箱200瓶矿泉水，3箱多少瓶？”学生独立计算200×3，同桌互说算理。指名汇报：200是2个百，2个百×3=6个百=600。教师追问：如果乘数末尾有更多的0呢？例如3000×2？学生尝试类推并验证。

（3）分层练习，内化算法

第一层：基本口算。30×3，40×2，500×4，6000×3。要求不仅报得数，还要说“几个十（百、千）乘几等于几个十（百、千）”。

第二层：对比辨析。出示40×5与400×5，学生计算后讨论：为什么40×5末尾只有一个0，而积末尾有两个0？（4个十×5=20个十=200，20个十本身就是2个百，产生了新的0）。突破难点——积末尾0的个数并不总是等于乘数末尾0的总数，必须关注进位产生的0。

第三层：变式拓展。在□里填合适的数：□×3=240，600×□=4200。逆向应用，提升思维弹性。

（4）回归情境，解决问题

改编教材情境：“每盒蛋糕30元，买7盒共多少元？”学生口算后追问：妈妈付了300元，应找回多少元？提前渗透加减混合，为后续单元埋下伏笔。

（5）课堂总结，提炼学法

学生谈收获，教师系统归纳：整十整百数乘一位数，先转化成表内乘法，再看有几个十或几个百，最后在得数后面添上相应个数的0。强调“转化”是数学学习的重要法宝。

（二）第二课时：两位数乘一位数（不进位）——在“拆”与“合”中发展运算策略

1.教学目标

（1）探索并掌握两位数乘一位数（不进位）的口算方法，能正确计算。

（2）经历“拆分—分别乘—合并”的建模过程，体会转化与数形结合思想。

（3）在解决实际问题中培养估算意识和策略多样化。

2.教学重难点

［重点］掌握拆数法口算两位数乘一位数。

［难点］理解拆分的合理性——位值原则，避免出现13×2=1×2＋3×2=2＋6=8的错误。

3.教学准备

教师：点子图课件、磁性小棒。学生：双色卡纸、练习本。

4.教学过程

（1）情境导入，引出真问题

学校书法社团购买毛笔，每支12元，买3支需要多少元？学生列式12×3。教师展示学生典型作品：12+12+12=36；12×3=36。聚焦乘法算式，询问“为什么12×3等于36”，鼓励学生用多种方式解释。

（2）多元表征，打通算理

表征一：摆小棒。一捆10根加2根，摆3份，先算3个10根是30根，再算3个2根是6根，合起来36根。

表征二：画点子图。每行12个点，画3行，圈出整行（10个点）×3=30，再圈零散点（2个点）×3=6，总计36。

表征三：算式记录。12×3=10×3＋2×3=30＋6=36。

教师引导学生对比：三种表征的共同点是什么？学生发现都是把12拆成10和2，分别乘3再相加。教师板书核心模型：两位数乘一位数=整十部分乘一位数＋个位部分乘一位数。

（3）变式迁移，强化模型

出示11×6，23×3，42×2，学生独立完成并口述拆分过程。教师特别强调“拆”的顺序：可以先拆成几十和几，也可以根据数据特点灵活拆，但必须保持总和不变。

增设对比题组：（10+2）×3和10×3+2×3，引导学生发现乘法分配律的雏形，但不给术语，只作为运算经验积累。

（4）估算与精算协同

呈现“一盒彩笔14元，买4盒大约需要多少元？”学生估14×4≈10×4=40或20×4=80，产生争议。教师引导学生利用精算14×4=56判断，两种估算一个低估、一个高估，实际应选择最接近的整十数14≈10低估较多，14≈15是更好的估算策略（15×4=60）。此环节不要求学生必须掌握15×4的口算，旨在培养估算调整意识。

（5）综合应用，思维进阶

任务：三（1）班布置教室，买了3串风铃，每串12元；又买了4个灯笼，每个11元。一共花了多少元？学生需分步计算12×3=36，11×4=44，36+44=80。教师鼓励列综合算式，但不作全员要求。重点评价信息提取与运算顺序。

（三）第三课时：整十、整百数除以一位数——除法口算的“还原”思维

1.教学目标

（1）理解整十、整百数除以一位数的口算算理，掌握算法，能正确计算。

（2）通过逆运算关系，沟通乘除法联系，初步体会“商不变的规律”雏形。

（3）在平均分情境中培养模型意识和检验习惯。

2.教学重难点

［重点］将整十数看作几个十、整百数看作几个百进行除法口算。

［难点］正确处理被除数末尾0与商末尾0的关系，尤其是被除数末尾0个数多于商末尾0个数的情形（如400÷5）。

3.教学过程

（1）借助乘法，逆向迁移

复习：30×4=120，引出120÷4=？学生利用乘除互逆得出30。教师追问：为什么是30？引导表述：120是12个十，12个十÷4=3个十=30。板书核心算理：看被除数有几个计数单位，平均分后得到每份有几个计数单位。

（2）关键难点：400÷5的认知冲突

很多学生受乘法负迁移，误以为400÷5=800或直接写80却不理解。教师组织小组操作：将4张百元钞票平均分给5个人，每人分不到1张。怎么办？学生想到兑换成40张十元钞票，40÷5=8，每人得8张十元即80元。由此提炼：400是40个十，40÷5=8，8个十是80。强调：当计数单位“百”不够分时，必须转换成更小的计数单位“十”继续分。这是除法独有的“降阶”思维，需反复强化。

（3）专项练习，形成技能

第一组：用“几个十”思路口算。60÷2，80÷4，90÷3，50÷5。

第二组：用“几个百”思路口算。600÷2，800÷4，900÷3，500÷5。

第三组：辨析。800÷2与800÷4，600÷3与600÷5。学生计算后总结：被除数相同，除数越大商越小。

（4）应用拓展：租船问题

三年级84人去公园划船，每条船限乘4人，需要租几条船？学生列式84÷4，此时未学两位数除法，教师将数据改为80÷4=20（条），为下节课铺垫。但留有余味：如果人数是84呢？我们下节课就能解决。激发学习期待。

（四）第四课时：两位数除以一位数（首位能整除）——拆分法的迁移与创造

1.教学目标

（1）探索并掌握两位数除以一位数（首位能整除）的口算方法，正确计算。

（2）运用类比迁移，自主建构除法拆分模型，提升运算能力。

（3）在平均分物品活动中培养合作交流能力。

2.教学重难点

［重点］将两位数拆成整十数和一位数分别除以除数。

［难点］避免将“48÷4”错误拆成“48÷2÷2”，理解最优拆分策略。

3.教学过程

（1）复习导入，激活经验

口算：60÷3，80÷2，600÷3，800÷2。回顾除法算理：把整十数看作几个十去分。

呈现新问题：48根胡萝卜，平均分给4只小兔，每只分几根？列式48÷4。

（2）操作思辨，建模优化

学生独立用小棒分一分。教师巡视捕捉不同分法：

法一：先每只小兔分1整捆（10根），分掉4捆，剩下8根再每只分2根，合起来12根。对应算式：40÷4=10，8÷4=2，10+2=12。

法二：直接每只小兔分12根（凭表内除法经验）。

法三：将48分成4份，先分一半24÷4=6，再分另一半24÷4=6，6+6=12。

教师组织对比：哪种方法更通用？学生通过讨论达成共识：方法一基于位值，适用于所有两位数除以一位数；方法三仅适用于48这类能被2整除的特殊数，不具普适性。由此确立标准算法：将两位数拆成整十数和一位数，分别除以除数，再把两个商相加。

（3）内化算法，形成技能

基础练习：84÷2，63÷3，55÷5，88÷4。要求按“拆—除—合”三步口述过程。

变式练习：在里填数。÷2=22，÷3=33，÷4=11。学生逆向推导。

（4）综合情境：包饺子活动

三（2）班66人参加包饺子比赛，每2人一组，可以分成几组？学生列式66÷2=33。追问：如果每3人一组呢？66÷3=22。对比发现：总人数不变，每组人数越多，组数越少。

（五）第五课时：解决实际问题——乘除模型的深度应用与项目化学习

1.教学目标

（1）能灵活运用乘除法解决两步计算的实际问题，积累数量关系经验。

（2）学会阅读并分析表格信息、图文信息，发展信息筛选能力。

（3）通过“校园秋游”项目式任务，培养合作规划与数学表达能力。

2.教学重难点

［重点］分析连续两问问题的结构，正确确定第二步运算方法。

［难点］从情境中抽象出乘除模型，识别“归一”与“归总”问题雏形。

3.教学过程

（1）单一模型识别训练

出示四组信息，学生快速口答算式并说明理由：

①钢笔每支6元，买8支？6×8=48（元）。

②买了8支钢笔共48元，每支几元？48÷8=6（元）。

③48元买钢笔，每支6元，能买几支？48÷6=8（支）。

教师小结：这三个问题本质是同一个数量关系，只是已知量和未知量不同。

（2）连续两问问题突破

例题：一本故事书12元，买4本需要多少元？付100元，应找回多少元？

学生分步列式：12×4=48（元），100-48=52（元）。

教师追问：第二步用减法，为什么和乘除法无关了？——因为求“剩下”的钱，是减法模型。强调解决问题要根据问题选择运算，不能惯性思维。

专项练习：

①每盒牛奶3元，买20盒。提两个用乘法和除法解决的问题并解答。

②李阿姨2小时编16个中国结，照这样计算，5小时编几个？先求单一量（归一）。

（3）项目化学习：策划班级秋游

提供素材：三（1）班42人，三（2）班39人，每辆面包车限乘7人，每辆小轿车限乘4人。

任务一：两个班合起来租面包车，需要几辆？（42+39=81人，81÷7≈11.57，进一法得12辆）此处只要求口算81÷7≈？学生将81估成70或84，教师明确取84÷7=12正好，初步接触“进一法”。

任务二：只租小轿车，三（1）班至少需要几辆？42÷4=10（辆）……2（人），需要11辆。

任务三：为40人购买矿泉水，大瓶每箱30元（每箱12瓶），小瓶每箱20元（每箱8瓶），怎样买更合算？学生小组计算后汇报，体会优化思想。

（六）第六课时：单元梳理与思维进阶——口算能力综合测评

1.教学目标

（1）系统整理单元知识结构，形成认知网络。

（2）通过“口算接龙”“错例会诊”等活动查漏补缺。

（3）初步感知乘法分配律与商不变规律，为后续学习奠基。

2.教学过程

（1）绘制知识树（口述脉络，教师板书记录）

学生回忆本单元所学，教师引导归纳为“两支一建”：

两支——乘法口算支（整十整百数乘一位数、两位数乘一位数）；除法口算支（整十整百数除以一位数、两位数除以一位数）。

一建——建立数量关系模型（单价、速度、工作效率）。

（2）易错题听证会

出示典型错例：30×4=12，500×4=200，400÷5=800，84÷4=21（错因：80÷4=20，4÷4=1，20+1=21，这是将个位4÷4=1误为4÷4=0？）——实际84÷4，个位4÷4=1，正确答案是21没错。教师故意写错答案制造认知冲突，强化个位必须参与运算。

（3）挑战思维极限

①在□里填相同数：□×□=400（20×20，但学生没学两位数乘两位数，可试探10×40、5×80等组合）。

②找规律：15×2=30，15×4=60，15×6=90，你发现了什么？一个乘数不变，另一个乘数扩大几倍，积也扩大几倍。

③找规律：80÷2=40，80÷4=20，80÷8=10，你发现了什么？被除数不变，除数扩大几倍，商反而缩小几倍。

（4）口算达标赛

限时5分钟，40道口算题，涵盖所有题型，当堂互批，记录正确率。教师针对共性错误集中补救。

四、作业设计与跨学科实践任务

（一）基础性作业（每日必练）

1.听算训练：家长读算式，孩子口答，每天5分钟。

2.口算卡：完成20道规定题目，记录所用时间及正确率。

3.说理作业：任选一道当天所学口算题，向家长讲述算理，家长签字。

（二）拓展性作业（分层选做）

A层：根据算式12×4=48，编一道乘法问题