简单的排列问题-三年级下册数学教学设计

简单的排列问题——三年级下册数学教学设计一、教学内容分析  本节课内容隶属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域中“探索规律”主题，是学生从具体事物操作走向抽象数学思考的关键节点，亦是组合数学思想的启蒙。在知识技能图谱上，它上承二年级的“找规律”和下学期的“搭配（组合）问题”，下启高年级更复杂的排列组合与概率初步，处于从“无序”感知到“有序”思维进阶的枢纽。核心概念为“有序思考”，关键技能在于掌握不重复、不遗漏的枚举方法，认知要求从“识记”具体搭配结果，提升至“理解”并“应用”有序思考的方法解决简单实际问题。从过程方法路径审视，本课是渗透“模型思想”和“分类讨论”思想的绝佳载体。学生将经历“具体情境感知——操作方法探索——符号化表达——模型建立与应用”的完整探究过程，这实质上是数学建模思想的微型体现。课堂活动设计应引导学生从实物操作、图形表征逐步抽象到数字、字母符号的排列，实现思维层次的跃迁。就素养价值渗透而言，知识载体背后指向的是学生“推理意识”和“应用意识”的发展。通过解决“服装搭配”、“数字组数”等生活化问题，学生不仅学会一种方法，更在过程中体会有序、全面思考的逻辑美感，培养严谨、缜密的思维品质，感悟数学与生活的广泛联系，实现“思维体操”的育人价值。  基于“以学定教”原则进行学情研判：三年级学生已有基础与障碍并存。他们的生活经验中有大量“搭配”的朴素认知（如选择早餐），但思维多呈零散、无序状态，极易重复或遗漏。其思维正从具体形象向逻辑抽象过渡，对“固定法”、“交换法”等策略的理解与灵活应用是主要难点，且容易将“排列”（与顺序有关）与后续的“组合”（与顺序无关）概念混淆。过程评估设计将贯穿始终：通过导入环节的“前测”性任务初探思维原点；在新授环节观察学生操作、倾听小组讨论，捕捉典型思路与共性困惑；利用分层练习进行“后测”，动态评估不同层次学生的目标达成度。教学调适策略因此需差异化：对于思维直观的学生，提供充足的学具（图片、卡片）支持其操作感知；对于已能进行简单枚举的学生，引导其用画图、编号等方法将操作过程“可视化”；对于思维敏捷的学生，则挑战其用算式或抽象符号概括规律，并鼓励探究更多策略。核心是搭建从“动手做”到“动脑想”的脚手架，让每个学生都能在原有认知基础上获得生长。二、教学目标  知识目标：学生能在具体的生活情境（如服装搭配、数字组数）中，理解“简单排列”问题的本质，掌握通过有序思考（如固定十位法、交换法）找出所有排列方案的方法，并能够用文字、图示或符号清晰、有条理地表达自己的思考过程与结果，做到不重复、不遗漏。  能力目标：学生通过动手操作、合作交流，发展观察、分析和推理能力。具体表现为能够独立或协作完成从情境中抽象出数学问题、利用策略枚举所有可能性的过程，并能将所学方法迁移到类似的新情境中解决简单实际问题，初步形成模型应用意识。  情感态度与价值观目标：在解决排列问题的过程中，学生能体会到数学思考的条理性与严谨性之美，增强探索数学规律的兴趣和信心。在小组合作中，愿意倾听同伴想法，分享自己的策略，共同克服思维漏洞，感受合作的乐趣与价值。  科学（学科）思维目标：重点发展学生的“有序思维”和“分类讨论”思想。通过“怎样才能一个不漏？”的核心问题驱动，引导学生经历从无序尝试到有序枚举的思维转变，学会按一定标准（如固定一个位置）进行分类，再逐类探讨，形成系统化解决问题的思维模式。  评价与元认知目标：引导学生建立对“有序性”和“完整性”的自我评价标准。能够依据“是否有序”、“有无重复或遗漏”来审视自己及同伴的解决方案。在课堂小结时，能反思不同策略（固定法、交换法）的异同与适用情境，初步具备选择优化策略的意识。三、教学重点与难点  教学重点：掌握解决简单排列问题的方法，学会有序、全面地思考。其确立依据源于课标对“探索规律”和“培养推理意识”的核心要求。有序思考是解决一类计数问题的通用“大概念”，是学生逻辑思维发展的重要标志，也是后续学习更复杂计数问题的基础。从能力立意看，它直接关联学生思维的系统性和严谨性，是数学素养的关键组成部分。  教学难点：如何引导学生从具体操作中抽象出有序思考的方法，并理解其必要性。难点成因在于学生思维的形象性与方法要求的抽象性之间存在跨度。学生习惯于得到一个答案，但难以自发地、系统地追求答案的“完备性”。常见错误表现为枚举时的随机性和遗漏，或虽能操作但无法清晰表述思维过程。突破方向在于：创设认知冲突，让学生亲历无序带来的混乱；搭建从“乱”到“序”的思维脚手架，通过对比、提炼，让学生深刻体会到有序思考的优越性。四、教学准备清单1.教师准备  1.1媒体与教具：交互式多媒体课件（含情境动画、可拖拽的虚拟学具）；实物磁性贴（上衣、裤子图片，数字卡片0、1、3、5）；板书设计框架。  1.2学习材料：分层学习任务单（含基础操作区、提升练习区、挑战区）；学生用学具袋（内含上衣、裤子小图片若干套，数字卡片0、1、3、5各一张）。2.学生准备  预习教材相关情境；每人一套学具。3.环境布置  四人小组合作式座位；黑板预留核心方法（固定法、交换法）与思维关键词（有序、不重复、不遗漏）的展示区域。五、教学过程第一、导入环节  1.情境创设与问题驱动：同学们，周末我们班的小丽同学要去参加诗歌朗诵会，她遇到了一个“甜蜜的烦恼”。看，这是她衣柜里的两件上装和三件下装（课件动态呈现）。她想知道，一共有多少种不同的穿法呢？“大家帮帮小丽，为她想想办法吧！”（学生初步表达，可能直接数出6种，但方法不明确）。  1.1暴露思维，制造冲突：教师请两位方法不同的学生上台，一位可能无序地连线或口述，另一位可能有序搭配。教师追问：“他的方法能保证把所有穿法都找全吗？会不会有遗漏或者重复呢？”引发学生对思考方法“质量”的关注。  1.2明确目标，勾勒路径：“看来，要准确地解决这类‘搭配’问题，光靠猜和随便数数可不行，我们需要找到一种‘好方法’。这节课，我们就像数学家一样，来探究如何‘有序、全面’地思考问题。我们先从帮小丽搭配衣服开始，再用学到的方法去破解‘数字密码’，看看谁最后能成为‘有序思考小达人’！”第二、新授环节任务一：服装搭配——从生活情境到操作感知教师活动：首先，将问题聚焦：“两件上装，三件下装，一件上装配一件下装，究竟有多少种搭配？”不急于让学生回答数字，而是发布指令：“请同学们打开学具袋，用里面的图片亲自摆一摆，看看你能找出多少种。摆的时候思考：你是怎么想的，才能保证既不漏掉也不重复？”巡视指导，重点观察学生是无序尝试还是有序操作。选取两种典型方法（一种无序凌乱，一种有序清晰）准备展示。学生活动：利用实物图片进行自主操作探究。边摆边思考自己的操作顺序。部分学生可能随意搭配，部分可能先固定一件上装去配所有下装。完成后与同桌交流自己的方法和结果。即时评价标准：1.操作过程是否有明显的顺序（如先固定一件衣服再搭配）。2.能否清晰地向同伴说明自己的搭配思路。3.最终搭配结果是否为6种且无重复。形成知识、思维、方法清单：★核心概念：搭配。一种事物与另一种事物按一定规则进行配对。★关键方法：有序枚举。按一定顺序思考，是保证不重复不遗漏的关键。▲思维起点：实物操作。对于较复杂或抽象的问题，先用实物摆一摆、画一画，是化抽象为具体的好方法。教学提示：此环节重在让学生“试错”与“体验”，教师不过早介入给出标准方法，让学生在不同方法的对比中感受“有序”的价值。任务二：方法优化——从操作演示到策略提炼教师活动：请刚才观察到的两位“典型”学生上台展示。第一位（无序）可能快速摆完但顺序混乱。教师问全班：“大家能一眼看出他摆全了吗？有没有可能藏着重复的？”再请第二位（有序，如固定上装A）展示。“请大家仔细观察，他的摆法和第一位同学有什么不一样？妙在哪里？”引导学生关注“先固定一件上装，再按顺序搭配下装”的步骤。教师板书并命名：“像这样，先确定一件上装不变，去轮流搭配每一件下装，我们把这种方法叫做‘固定上装法’。谁还有不同的固定顺序？”引出“固定下装法”。学生活动：观察同伴演示，对比不同方法的优劣。理解“固定法”的步骤与内涵。尝试用语言描述“固定下装法”应如何操作。即时评价标准：1.能否识别并说出有序操作的核心特征（“固定一个，轮流搭配”）。2.能否从同伴的方法中类比出另一种有序策略。3.表达时是否使用“先…再…”等顺序性词语。形成知识、思维、方法清单：★核心策略：固定法。先选定一类事物中的一个，将其与另一类事物中的所有依次配对，再更换选定的这个，依次进行。这是有序思考的一种具体化策略。▲方法变式：既可以固定上装，也可以固定下装，本质相同。★思维进阶：符号化萌芽。教师可追问：“如果我们用图形○、△代表上装，用数字1、2、3代表下装，你能表示出所有搭配吗？”引导学生从实物向符号过渡。教学提示：此环节是思维从具体到抽象的第一个台阶，教师板书要清晰呈现两种固定法的操作流程图。任务三：表征抽象——从图片摆放到图形连线教师活动：“同学们，如果每次解决问题都要剪图片来摆，是不是有点麻烦？我们能不能把刚才摆的过程‘画’下来？”课件演示或教师板演：用简单的图形（如□、○）代表两件上装，用线段（或另一种图形）代表三件下装，进行连线。“看，一条线就代表一种穿法。大家数一数，是不是6条线？”鼓励学生自己动手在任务单上画一画。“大家发现什么规律了吗？一件上装连出3条线，两件上装就一共是2个3，也就是6种。”板书：2×3=6（种）。学生活动：模仿教师，尝试用图形和连线的方式表征搭配方案。数出连线数量，并观察图形与算式之间的关系，初步感知计算方法。即时评价标准：1.连线是否清晰、有序，有无交叉遗漏。2.能否将图形连线与实物操作的结果对应起来。3.是否初步理解算式“2×3”中“2”和“3”的实际意义。形成知识、思维、方法清单：★核心方法：连线法。用图形代表事物，用线段连接表示搭配，是一种简洁、直观的数学表达方式。★建模关键：从操作到图示。连线法是实物操作思维的抽象，是形成数学模型的重要中间步骤。★算式意义：2×3=6（种），这里的乘法不仅是计算，更是对“每件上装都有3种搭配，有2件上装”这一数量关系的概括。教学提示：引导学生解释算式中每个数的含义，是连接形象思维与抽象思维的关键。任务四：迁移应用——破解数字密码（无0情况）教师活动：创设新情境：“搭配的学问可不止用于穿衣服。瞧，智慧老人设置了一个两位数的密码锁，密码由1、3、5这三个数字组成，十位和个位数字不能一样。密码可能有哪些呢？”引导学生识别这与搭配问题的相似性（从三个数字中选两个，按顺序排列）。“能用我们刚学的方法试试吗？请拿出数字卡片摆一摆，或用笔写一写。”巡视，关注学生是否考虑“顺序”（如13和31是不同的数）。学生活动：利用数字卡片操作或动笔列举。尝试用固定法（固定十位）或交换位置法来找出所有两位数。小组内交流找全了没有，用了什么方法。即时评价标准：1.是否意识到数字排列的顺序重要性（与衣服搭配的区别）。2.能否将固定法迁移到“固定十位”或“固定个位”上。3.列举的结果是否完整（13、15、31、35、51、53）。形成知识、思维、方法清单：★概念辨析：排列。数字排列中，顺序不同数就不同（如13和31），这与部分搭配问题本质相同，是简单的排列问题。★策略迁移：固定法依然有效，可固定十位数字，再逐个搭配个位数字。▲新策略萌芽：交换法。在操作中，学生可能发现先选两个数字（如1和3），再交换位置得到两个数（13和31）。教师可点明这是另一种有序思考的方法。教学提示：此任务是核心方法的首次迁移，重在检验学生能否识别模型本质并应用策略。教师应引导学生对比服装搭配与数字组题的异同。任务五：思维深化——破解数字密码（有0情况）教师活动：提升难度：“如果密码数字换成0、1、3、5这四个数字，仍然组成没有重复数字的两位数，情况又有什么变化呢？快来挑战一下！”引导学生特别注意：“0这个数字比较特殊，它能放在十位上吗？”让学生独立思考后小组讨论。学生活动：自主探究。在列举过程中发现，如果固定法以0为十位，组成的“01”、“03”、“05”不是通常意义上的两位数，从而理解0不能放在最高位（十位）的限制。调整方法，从1、3、5开始固定十位。最后汇总结果。即时评价标准：1.是否发现并正确处理了“0不能放在十位”这一特殊情况。2.在排除0的干扰后，能否继续有序地枚举所有可能。3.最终结果是否准确（9个）。形成知识、思维、方法清单：★易错点与难点：0的位置。在数的组成中，0不能作为最高位（如十位）。这是数学规则的具体体现。★思维严谨性：全面思考不仅要“有序”，还要考虑“限制条件”。遇到特殊情况时，可以先分类（含0的与不含0的），再分别枚举。▲方法巩固：此任务综合运用了固定法、分类讨论思想，是对有序思考能力的深度锤炼。教学提示：这是本课思维难度的高峰。要舍得给时间让学生自己“碰壁”再“调整”，教师通过提问（“0放十位行吗？为什么？”）引导，而非直接告知规则。第三、当堂巩固训练  设计分层挑战任务，以“闯关”形式进行：  第一关：基础应用（面向全体）。任务单“基础区”：1.早餐搭配（两种饮料，三种点心，图文结合）。2.从2、6、8中任选两个数字组成不同的两位数。“请大家独立完成，完成后同桌用‘有序’和‘全了’两个标准互相检查。”  第二关：综合应变（面向大多数）。任务单“提升区”：1.小丽现在有3顶不同的帽子，如果帽子、上装、下装一起搭配，一种上装和一种下装配一顶帽子，会有多少种不同造型？（只列算式，说说想法）。2.用0、2、4、6能组成多少个没有重复数字的两位数？“恭喜你们闯过了第一关！第二关有点小挑战，可以小组内轻声讨论，把思考过程写下来。”  第三关：挑战延伸（学有余力选做）。任务单“挑战区”：1.三个人，每两个人握一次手，一共要握几次？这和数字组数问题一样吗？2.一条往返航线，起点和终点之间有3个中间站，单程需要准备多少种不同的机票？“这是留给‘思考小达人’的趣味题，答案不唯一，关键是你的想法哦！”  反馈机制：完成基础关后，利用课件展示正确答案和典型连线图、列举法，学生自批自改。综合关采用小组汇报形式，请不同小组分享解题思路和答案，尤其关注对“0”的处理和算式的解释。挑战关答案不统一公布，鼓励课后交流，教师进行个别点拨。第四、课堂小结  知识整合：“同学们，闯关成功！现在让我们一起来梳理一下今天的收获。谁能说说，解决像搭配衣服、数字组数这样的问题，最重要的是什么？”引导学生齐声说出“有序思考”。教师完善板书，形成以“有序思考”为核心，以“固定法”、“连线法”为方法分支，以“不重复、不遗漏”为目标的结构图。  方法提炼：“我们用了哪些具体的方法来做到有序思考呢？”学生回顾：摆一摆、连一连、固定一个再搭配、交换位置、先分类再讨论等。“这些方法就像我们思维的工具箱，以后遇到复杂的问题，就可以从中选择合适的工具。”  作业布置与延伸：“今天的作业也分成了‘基础乐园’、‘应用天地’和‘挑战空间’三个区域，请大家根据自己的情况选择完成。最后，老师留一个‘悬疑’：三个人握手的问题答案为什么是3次，而不是6次呢？这和我们今天学的排列问题好像有点不一样。下节课，我们将继续探索搭配中的另一种奥秘！”六、作业设计  基础性作业（必做）：1.完成课本上相应的“做一做”练习题，用连线法表示出所有搭配方案。2.用数字卡片7、8、9摆出所有不同的两位数，并记录下来，说说你是怎样摆才能保证不重不漏的。  拓展性作业（建议完成）：1.【情境应用】小明从家到学校要经过一家文具店，从家到文具有2条路，从文具店到学校有3条路。小明从家到学校一共有多少种不同的走法？请画出示意图。2.用红、黄、蓝三种颜色的彩笔给下图中的花朵和叶子涂色，花朵和叶子颜色不同，一共有多少种涂色方法？（提供简笔画图）  探究性/创造性作业（选做）：1.【小小设计师】请你为班级“六一”联欢会设计一个“幸运抽奖”环节。抽奖箱里放有写着数字1、2、3、4的四个小球，每次抽出两个球，用球上的数字组成一个两位数作为中奖号码。你认为一共可以设置多少个不同的中奖号码？请写出你的设计方案和全部号码。想一想，如果希望中奖号码都是双数，可以怎么调整小球上的数字？2.（接续课堂挑战）研究“握手问题”与“数字组数问题”的根本区别在哪里，尝试用画图的方式向家长解释清楚。七、本节知识清单及拓展  ★1.简单的排列问题：指从给定的一些元素中，选取几个，按照一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法。这是组合数学中最基础的模型之一。  ★2.有序思考：解决排列问题的核心思维原则。指按照某种确定的顺序（如从上到下、从左到右、从大到小）或策略进行思考与操作，是保证结果不重复、不遗漏的关键。  ★3.固定法：一种具体的有序枚举策略。先确定一个位置上的元素不变，然后系统地改变其他位置上的元素。例如，在数字组题中“固定十位法”：先确定十位是1，则个位可以是3、5，得到13、15；再确定十位是3……依此类推。  ▲4.交换法：另一种有序策略，适用于选取两个元素进行排列。先选出两个元素（如1和3），然后交换它们的位置得到两个不同的排列（13和31）。本质是考虑顺序。  ★5.连线法：一种直观的数学表征方法。用图形（点、圈等）代表不同类别的元素，用线段连接表示一种搭配或组合关系。它直观地展示了所有可能性，是“数形结合”思想的初步体现。  ★6.乘法原理的雏形：在服装搭配问题中，如果完成一件事需要分两步（先选上装，再选下装），第一步有m种方法，第二步有n种方法，那么完成这件事共有m×n种方法。本例中即为2×3=6。这是乘法原理的直观感知。  ★7.0在组数中的特殊性：在组成两位数或多位数时，0不能放在最高位（如十位）。因为像“03”这样的数，通常我们直接写作3，不认为是两位数。这是一个重要的数学规则。  ▲8.分类讨论思想：当问题中出现特殊情况（如数字中有0）或情况较多时，可以先将所有情况分成几类，在每一类中再运用有序枚举的方法，最后把各类结果相加。这使复杂问题条理化。  ★9.模型思想：从具体的“穿衣服”问题中抽象出“从两类事物中各选一个进行配对”的数学模型，并将其成功应用到“数字组数”等不同情境中。这是数学应用能力的体现。  ▲10.排列与组合的初步辨析：排列关注“顺序”，顺序不同则结果不同（如数字13和31）。组合不关注顺序，只关心选了哪些元素（如握手，甲和乙握与乙和甲握是同一次）。本节课学习的是排列问题，为后续区分两者埋下伏笔。  ★11.易错点：重复与遗漏：无序思考必然导致的结果。避免的方法是坚持有序思考，并使用一种系统的方法（如固定法）从头到尾执行，完成后进行检查。  ▲12.学习提示：鼓励孩子不仅说出答案，更要说出“我是怎么想的”。思维过程的可视化（摆、画、连、列）比答案本身更重要。家长可以让孩子当小老师，讲解一道题的完整思路。八、教学反思  （一）教学目标达成度分析：从当堂巩固训练的完成情况来看，约85%的学生能独立、正确地完成基础关和应用关的大部分题目，表明“掌握有序思考方法解决简单排列问题”的知识与能力目标基本达成。在挑战关的讨论中，部分学生能清晰指出握手问题“与顺序无关”，显示出对模型本质有了初步的敏感度，推理意识得到发展。情感目标在小组合作与闯关活动中表现积极，学生表现出较高的参与热情和互助意愿。  （二）核心环节有效性评估：1.导入与任务一：生活情境成功激发了兴趣，但部分学生急于给出答案“6”，而对“如何找”的过程思考不足。下次可追加一问：“你怎么能向别人证明一定是6种，没有第7种？”更早聚焦方法。2.任务二（方法优化）：对比展示的效果显著，学生能清晰感受到有序与无序的差异。但“固定法”的名称由教师直接给出，略显生硬。可尝试引导学生自己命名，如“盯住一个法”、“轮流法”，再逐步规范，使知识生成更自然。3.任务四与五（迁移与深化）：从衣服到数字的迁移总体顺畅，表明模型建构有效。“有0情况”确实是难点，约三分之一的学生最初会列出如“01”这样的数。小组讨论后，绝大多数能自我纠正。这个“犯错发现修正”的过程极为宝贵，比直接讲授规则印象更深。