第23课时多边形与平行四边形

第五单元四边形第23课时多边形与平行四边形1.

多边形的内角和与外角和内角和n边形的内角和等于

⁠外角和多边形的外角和都等于

⁠正n边形的每个内角为

⁠（n－2）•180°

360°

2.

平行四边形平行四边形的性质（1）平行四边形的对边

⁠.（2）平行四边形的对角

⁠.（3）平行四边形的对角线

⁠.（4）平行四边形是以对角线的交点为对称中心的中心对称

图形平行四边形的判定（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（2）对角线

的四边形是平行四边形.（3）两组对角分别相等的四边形是平行四边形.（4）一组对边

⁠的四边形是平行四边形平行且相等相等互相平分互相平分平行且相等注意：（1）平行四边形的定义既可以作为性质，又可以作为判定.（2）一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形.（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形.类型之一多边形的内角和与外角和1.

［2025•广元］如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线HB，AC相交

于点K，则∠AKH＝（

D

）A.

30°B.

35°C.

40°D.

45°第1题图D2.

［2025•眉山］如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于

点M，N，则∠1＋∠2的度数为（

C

）A.

216°B.

180°C.

144°D.

120°第2题图C类型之二平行四边形的性质3.

［2025•成都模拟］如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点

O，则下列结论一定正确的是（

C

）A.

AO＝BOB.

AB＝ADC.

∠DAC＝∠BCAD.

∠ADC＝∠BCD第3题图C4.

［2025•广元］如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，对角线AC，

BD交于点O，点P是AB的中点，连接DP，点E是DP的中点，连接

OE，则OE的长是（

C

）A.

1B.

C.

2D.

4第4题图C类型之三平行四边形的判定5.

［2024•湖南］如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB

上，

.请从“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组

作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE为平行四边形；（1）证明：选择①，∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE.

∵AB∥CD，∴四

边形BCDE是平行四边形.选择②，∵AE＝BE，AE＝CD，∴BE＝CD.

∵AB∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形.（1）证明：选择①，∵∠B＝∠AED，∴BC∥DE.

∵AB∥CD，∴四

边形BCDE是平行四边形.选择②，∵AE＝BE，AE＝CD，∴BE＝CD.

∵AB∥CD，∴四边形BCDE是平行四边形.

（2）解：由（1）可知四边形BCDE为平行四边形，∴DE＝BC＝

即线段AE的长为6.类型之四平行四边形的开放探究题6.

已知P是▱ABCD的对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点

A，C重合），分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为E，F，O

为AC的中点，连接OE，OF.

（1）如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的关系是

⁠⁠；图1OE＝OF

（2）当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判

断（1）中的结论是否仍然成立；图2解：（2）补全图形如答图1所示，OE＝OF仍然成立.证明如下.如答图1，延长EO交CF于点G.

答图1解：（2）补全图形如答图1所示，OE＝OF仍然成立.证明如下.如答图1，延长EO交CF于点G.

答图1

∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO＝∠GCO.

∵O为AC的中点，∴AO＝CO.

又∵∠AOE＝∠COG，∴△AOE≌△COG（ASA），∴OE＝OG，∴O为EG的中点.

图2（3）如图3，点P在线段OA的延长线上运动，当∠OEF＝30°时，试探

究线段CF，AE，OE之间的数量关系.图3解：（3）OE＝CF＋AE.

证明如下.如答图2，延长EO交FC的延长线于点H.

答图2答图2由（2）可知△AOE≌△COH，∴AE＝CH，OE＝OH.

又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，

由（2）可知△AOE≌△COH，∴AE＝CH，OE＝OH.

又∵∠OEF＝30°，∠HFE＝90°，

图3∴OE＝HF＝CF＋CH＝CF＋AE.

∴OE＝HF＝CF＋CH＝CF＋AE.

一、选择题1.

［2025•成都模拟］一个正多边形的一个内角为135°，则这个多边形是

（

C

）A.

正六边形B.

正七边形C.

正八边形D.

正九边形C2.

［2025•成都模拟］如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若添加一个

条件，使四边形ABCD为平行四边形，则下列条件符合的是（

D

）A.

AB＝CDB.

AB＝ADC.

∠ADB＝∠DBCD.

∠ABC＝∠ADC第2题图D3.

［2024•巴中］如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是

BC的中点，AC＝4.若▱ABCD的周长为12，则△COE的周长为

（

B

）A.

4B.

5C.

6D.

8第3题图B4.

［2025•绵阳模拟］如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，点E，F，D分

别在边AC，BC，AB上，EF∥AB，DF∥AC，则四边形AEFD的周长

是（

A

）A.

10B.

15C.

18D.

20A5.

［2024•眉山］如图，在▱ABCD中，点O是BD的中点，EF过点O，

下列结论：①AB∥DC；②EO＝ED；③∠A＝∠C；④S四边形ABOE＝S四

边形CDOF.

其中正确结论的个数为（

C

）A.

1B.

2C.

3D.

4C

A.

2B.

C.

D.

B【解析】如答图，延长EF交DA的延长线于点Q，连接DE.

设BE＝x.∵

四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF.

答图【解析】如答图，延长EF交DA的延长线于点Q，连接DE.

设BE＝x.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DQ∥BC，∴∠Q＝∠BEF.

答图

又∵AF＝FB，∠AFQ＝∠BFE，∴△QFA≌△EFB（AAS），∴AQ＝

BE＝x.∵∠EFD＝90°，∴DF⊥QE.

又∵QF＝EF，∴DE＝DQ＝x

＋2.∵AE⊥BC，BC∥AD，∴AE⊥AD，∴∠AEB＝∠EAD＝90°，

∴AE2＝DE2－AD2＝AB2－BE2，∴（x＋2）2－4＝6－x2，整理，得2x2

＋4x－6＝0，解得x＝1或x＝－3（舍去），∴BE＝1，∴AE＝

二、填空题7.

［2023•重庆］如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的

度数为

⁠.第7题图36°

8.

如图，E，F分别是平行四边形ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE

相交于点P，BF与CE相交于点Q.

若S△APD＝17 cm2，S△BQC＝27 cm2，

则阴影部分的面积为

cm2.第8题图44

①②③

【解析】①∵BC＝EC，∴∠CEB＝∠CBE.

∵四边形ABCD是平行四边

形，∴DC∥AB，∴∠CEB＝∠EBF，∴∠CBE＝∠EBF，∴BE平分

∠CBF，故①正确；②∵BC＝EC，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，

∴CF平分∠DCB，故②正确；③∵DC∥AB，∴∠DCF＝∠CFB.

∵∠ECF＝∠BCF，∴∠CFB＝∠BCF，∴BF＝BC，∴BF＝EC.

∵BF∥EC，∴四边形BCEF是平行四边形，∵BF＝BC，∴四边形

CF⊥BE，∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，∴PF

＝PC，∴△PFC是等腰三角形，故④错误.综上所述，正确的有①②③.三、解答题10.

［2025•宜宾］如图，点E是▱ABCD边CD的中点，连接AE并延长，

交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD＝5，∴∠D＝∠FCE.

∵E是CD的中点，∴DE＝CE.

∴△ADE≌△FCE（ASA），∴FC＝AD＝5，∴BF＝BC＋FC＝5＋5＝10.11.

［2025•绵阳模拟］如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且

分别交对角线AC于点E，F，连接ED，BF.

（1）求证：∠1＝∠2.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠BAE＝∠DCF.

∵BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠CFD.

∴△AEB≌△CFD（AAS），∴BE＝DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE∥BF，∴∠1＝∠2.（2）延长DF交BC于点G，若DE平分∠ADF，试问：BG与FG相等

吗？并说明理由.（2）解：相等，理由如下.∵DE平分∠ADF，∴2∠EDF＝∠ADF.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FGC＝∠ADF＝2∠EDF.

∵四边形BEDF是平行四边形，∴ED∥BF，∴∠EDF＝∠BFG，∴∠FGC＝2∠BFG.

又∵∠FGC＝∠BFG＋∠FBG，∴2∠BFG＝∠BFG＋∠FBG，∴∠BFG＝∠FBG，∴BG＝FG.

12.

［2023•牡丹江］在▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，连接DE，将

ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，连接BF.

（1）如图1，当点E在线段BC上，∠ABC＝45°时，求证：AE＋EC＝

BF.

图1（1）证明：∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB＝90°.∵∠ABC＝45°，∴∠BAE＝∠ABC＝45°，∴BE＝AE.

（1）证明：∵AE⊥BC于点E，∴∠AEB＝90°.∵∠ABC＝45°，∴∠BAE＝∠ABC＝45°，∴BE＝AE.

∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，∴∠DEF＝90°，EF＝ED，∴∠BEF＝∠AED＝90°－∠AEF.

∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，∴△BEF≌△AED（SAS），∴BF＝AD.

∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，∴∠DEF＝90°，EF＝ED，∴∠BEF＝∠AED＝90°－∠AEF.

∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，∴△BEF≌△AED（SAS），∴BF＝AD.

图1∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，∴AE＋EC＝BE＋EC＝BC＝AD，∴AE＋EC＝BF.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD，∴AE＋EC＝BE＋EC＝BC＝AD，∴AE＋EC＝BF.

（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上，∠ABC＝45°时；如图3，当

点E在线段CB的延长线上，∠ABC＝135°时，请猜想并直接写出两图中

线段AE，EC，BF的数量关系.图2图3（2）解：题图2，AE－EC＝BF；题图3，EC－AE＝BF.

理由：如题图2，AE⊥BC交BC的延长线于点E，∴∠AEB＝90°.∵∠ABC＝45°，∴∠BAE＝∠ABC＝45°，∴BE＝AE.

∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，∴∠DEF＝90°，EF＝ED，∴∠BEF＝∠AED＝90°－∠AEF.

∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，∴△BEF≌△AED（SAS），∴BF＝AD.

（2）解：题图2，AE－EC＝BF；题图3，EC－AE＝BF.

理由：如题图2，AE⊥BC交BC的延长线于点E，∴∠AEB＝90°.∵∠ABC＝45°，∴∠BAE＝∠ABC＝45°，∴BE＝AE.

∵将ED绕点E逆时针旋转90°，得到EF，∴∠DEF＝90°，EF＝ED，∴∠BEF＝∠AED＝90°－∠AEF.

∵BE＝AE，∠BEF＝∠AED，EF＝ED，∴△BEF≌△AED（SAS），∴BF＝AD.

图2∵BC＝AD，∴AE－EC＝BE－EC＝BC＝AD，∴AE－EC＝BF.

如题图3，∵AE⊥BC交CB的延长线于点E，∴