专项培优构造平行四边形解题的应用类型

第六章平行四边形专项培优12构造平行四边形解题的应用类型1．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，分别交AD，AC于点E，G，EF∥BC交AC于F，求证：AE＝CF.【证明】【证法一】转化法：如图①，过E作EH∥FC，交BC于H，∴∠3＝∠C，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC＋∠C＝90°，∠ABD＋∠BAD＝90°，∴∠C＝∠BAD，∴∠3＝∠BAD.∵BG平分∠ABC，∴∠2＝∠1.【证法二】全等法：过E作EN⊥AB于N，过F作FM⊥BC于M，如图②，∴∠ANE＝∠CMF＝90°，∵BG平分∠ABC，AD⊥BC，∴EN＝ED.∵AD⊥BC，FM⊥BC，∴FM∥ED，∠C＋∠2＝90°.∵EF∥DM，∴四边形EDMF是平行四边形，∴ED＝MF，∴EN＝MF.∵∠BAC＝∠1＋∠2＝90°，∠C＋∠2＝90°，∴∠1＝∠C.返回2．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F分别是CD，AB的中点，直线EF分别交BC，AD的延长线于点S，T.求证：∠ATF＝∠BSF.【证明】如图，过点F作GH綊CD，且FG＝FH，连接DG，CH，AG，BG，AH，BH，则四边形DGHC和四边形AGBH是平行四边形．

∴AG＝BH，DG＝CH，DG∥SF∥CH.∴∠ADG＝∠ATF，∠BCH＝∠BSF.∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCH(SSS)．∴∠ADG＝∠BCH.∴∠ATF＝∠BSF.返回3．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN＝BM.求证：EF与MN互相平分．【证明】如图，连接MF，FN，NE，EM.

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∠B＝∠D.又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD.又∵CF⊥AD，∴AE∥CF.∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE.∴BE＝FD.又∵BM＝DN，∠B＝∠D，∴△BEM≌△DFN(SAS)．∴EM＝FN.同理可得MF＝EN.∴四边形MENF是平行四边形．∴EF与MN互相平分．返回4．如图，▱ABCD中，AB>AD，∠DAB与∠ADC的平分线交于点E，∠ABC与∠BCD的平分线交于点F，连接EF.求证：EF＝AB－BC．【证明】延长DE交AB于M，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD∥AB，∴∠ADC＋∠BAD＝180°，∠CDM＝∠AME，∵AE，DE分别平分∠DAB，∠ADC，∴∠ADE＋∠DAE＝90°，∠ADM＝∠CDM，∴∠AED＝90°，∠ADM＝∠AMD，∴AD＝AM＝BC，∴ED＝EM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＝∠BCD，返回∵AE平分∠DAB，CF平分∠BCD，∴∠DAE＝∠BCF，同理可得∠ADM＝∠CBF＝∠ABF，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴DE＝BF，∴EM＝BF，∵∠AMD＝∠ADM＝∠ABF，∴EM∥BF，∴四边形EFBM是平行四边形，∴EF＝MB，∵BM＝AB－AM＝AB－BC，∴EF＝AB－BC.5．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE为高，且AE＝12，BD＝15，AC＝20.(1)求AB＋CD的长；(2)求证：AC⊥BD．【证明】∵AF＝15，AC＝20，CF＝25，∴AF2＋AC2＝152＋202＝252＝CF2.∴∠FAC＝90°.∴AF⊥AC.又∵AF∥BD，∴AC⊥BD.返回6．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE与AD相交于点F，G是AC边上满足CG＝AF的一点，求证：FG∥BC．返回∴∠BA′F＝∠BAF，A′F＝AF＝CG.①∵AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，∴∠BA′F＝∠BAF＝90°－∠CAD＝∠C.∴FA′∥GC.②∴由①②知，四边形FA′CG为平行四边形．∴FG∥A′C，即FG∥BC.7．返回8．【问题探究】如图，六边形ABCDEF的六个内角均为120°，分别延长CB，FA交于点G，得到△ABG.请判断△ABG的形状，并证明你的结论．【解】△ABG是等边三角形．证明：∵六边形ABCDEF的六个内角均为120°，∴∠CBA＝∠BAF＝120°.∴∠GBA＝∠BAG＝60°.∴∠G＝60°＝∠GBA＝∠BAG.∴△ABG是等边三角形．【结论应用】若AB＝3，BC＝5，CD＝4，DE＝1，求六边形ABCDEF的周长．【解】如图，延长CD和FE交于点H，由题易得△DEH是等边三角形，∴DH＝HE＝DE＝1.∴CH＝CD＋DH＝5.∵△ABG是等边三角形，∴BG＝AG＝AB＝3.∴CG＝BC＋BG＝8.∵六边形ABCDEF的六个内角均为120°，∴∠C＝∠F＝120°.又∵∠G＝60°，∴