8.3用正多边形铺设地面第1课时 教案 华东师大版（2024）七年级 数学下册

8.3用正多边形铺设地面第1课时教案华东师大版（2024）七年级数学下册一、教材分析本节课选自华东师大版（2024）七年级数学下册第八章第三节第一课时，是在学生已经掌握正多边形的定义、性质、内角和与每个内角度数计算的基础上，进一步探究正多边形与现实生活的联系，核心是正多边形铺设地面的原理与应用。结合2022年义务教育数学新课标要求，本节课侧重培养学生“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养，衔接后续复杂图形的镶嵌问题，是几何知识从“认识”到“应用”的过渡，也是体现数学实用性、培养学生探究能力和合作意识的关键课时。教材编排遵循“现实情境—探究新知—应用实践—总结提升”的逻辑，贴合七年级学生从具体到抽象、从直观到理性的认知发展规律，通过观察生活中的镶嵌现象，引导学生动手探究、合作交流，自主发现正多边形铺设地面的条件，既巩固了正多边形内角计算的旧知，又培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力，落实新课标中“强化数学与生活的联系，注重探究式学习”的要求。二、教学目标结合2022年数学新课标核心素养要求，从学习理解、应用实践、迁移创新三个层面层层递进设计教学目标，兼顾知识传授、能力培养和素养落实：（一）学习理解1.能准确说出正多边形铺设地面（平面镶嵌）的定义，明确平面镶嵌的核心特征；2.熟练掌握正多边形每个内角的计算公式，能快速计算常见正多边形（正三角形、正方形、正五边形、正六边形等）的每个内角度数；3.初步感知平面镶嵌的基本条件，能结合具体实例判断简单正多边形能否单独完成平面镶嵌。（二）应用实践1.能运用正多边形内角计算公式和平面镶嵌条件，准确判断给定正多边形能否单独铺设地面；2.能结合生活实例，列举出可单独完成平面镶嵌的正多边形，说明其镶嵌原理，体会数学与现实生活的联系；3.能通过小组合作，动手操作常见正多边形卡片，验证平面镶嵌的条件，提升动手实践和合作交流能力。（三）迁移创新1.能结合平面镶嵌条件，尝试分析两种正多边形组合铺设地面的可能性，拓展思维广度；2.能运用所学知识，简单设计符合要求的正多边形镶嵌图案，培养创新意识和审美能力；3.能运用数学语言清晰表达平面镶嵌的原理和设计思路，落实“用数学语言表达现实世界”的核心素养。三、重点难点（一）教学重点1.正多边形铺设地面（平面镶嵌）的定义及核心条件；2.常见正多边形（正三角形、正方形、正六边形）的内角计算及单独镶嵌的可行性判断；3.运用平面镶嵌条件解决简单的判断问题，落实“教-学-评”一体化中“学”与“评”的衔接。（二）教学难点1.平面镶嵌条件的推导过程（理解“围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角和恰好是360°”的本质）；2.运用平面镶嵌条件，灵活判断不常见正多边形能否单独镶嵌；3.引导学生从直观观察上升到理性分析，培养“用数学思维思考现实世界”的核心素养，突破“直观感知”与“逻辑推理”的衔接难点。四、课堂导入导入环节贴合学生生活实际，兼顾直观性和趣味性，激发学生探究兴趣，落实“用数学的眼光观察现实世界”的素养要求，时长约5分钟。1.情境展示：展示校园地砖、家庭墙面瓷砖、公园地面铺设图案（PPT呈现，均为正多边形镶嵌图案，如正方形地砖、正六边形地板砖、正三角形与正方形组合地砖），提问：“同学们，仔细观察这些图案，它们是由什么图形组成的？这些图形有什么共同特点？它们拼接在一起时，有没有空隙？有没有重叠？”2.互动提问：邀请学生发言，分享自己的观察结果，引导学生发现“图案由正多边形组成、拼接无空隙、无重叠”的特点，随后追问：“是不是所有的正多边形都能拼成这样无空隙、无重叠的图案？比如我们学过的正五边形，能不能用来铺设地面？”3.导入课题：结合学生的疑问，引出本节课主题——用正多边形铺设地面，明确本节课核心任务：探究什么样的正多边形能无空隙、无重叠地铺设地面，以及其中蕴含的数学原理，激发学生的探究欲望，衔接后续探究新知环节。五、探究新知探究新知环节以“教-学-评”一体化为核心，拆分3个递进式探究任务，落实3个核心知识点，引导学生自主探究、合作交流，层层突破重点难点，时长约25分钟，每个探究任务均包含“教”（教师引导）、“学”（学生探究）、“评”（即时评价）三个环节。探究任务一：明确平面镶嵌的定义（知识点一）1.教：结合导入环节的图案，引导学生总结平面镶嵌的共同特征，给出平面镶嵌的严格定义：用一些形状、大小完全相同的平面图形，无空隙、无重叠地铺成一个平面，叫做平面镶嵌（也叫平面密铺）；特别地，用正多边形进行平面镶嵌，叫做正多边形铺设地面。2.学：学生结合定义，回顾导入环节的图案，判断哪些图案属于正多边形平面镶嵌，同桌之间相互交流，举例说明生活中其他正多边形平面镶嵌的实例，强化对定义的理解。3.评：教师随机抽查2-3名学生，让其说出平面镶嵌的核心特征（无空隙、无重叠）和生活中的实例，评价学生对定义的理解程度，及时纠正“有重叠”“有空隙”的错误认知，确保学生准确掌握知识点一。探究任务二：推导平面镶嵌的条件（知识点二）1.教：引导学生思考“围绕平面上的一个点，拼接几个正多边形，才能做到无空隙、无重叠？”，结合七年级上册所学“周角为360°”的知识，提出猜想：围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角和，恰好等于360°。随后，引导学生结合正多边形内角计算公式（正n边形每个内角的度数为n-2×180∘n），推导平面镶嵌的条件：设用k个边长相等的正n边形围绕一点镶嵌，则k个内角的和为360°，即2.学：学生小组合作，结合正多边形内角计算公式，尝试推导平面镶嵌的条件，重点讨论“为什么内角和必须是360°”“k和n为什么必须是整数”，动手计算不同正多边形的内角度数，验证猜想的合理性。教师巡视各小组，指导学生规范推导，解决学生推导过程中遇到的困难（如化简等式、判断整数解）。3.评：邀请1-2个小组分享推导过程和结果，教师点评推导的规范性和合理性，重点强调“k、n为大于2的整数”这一关键条件，评价学生的逻辑推理能力和合作交流能力，对推导正确的小组给予肯定，对存在错误的小组进行针对性指导，确保学生理解平面镶嵌条件的推导过程，掌握知识点二。探究任务三：判断常见正多边形能否单独镶嵌（知识点三）1.教：引导学生运用平面镶嵌的条件（k=2n（1）正三角形：n=3，代入公式得k=2×3（2）正方形：n=4，代入公式得k=2×4（3）正五边形：n=5，代入公式得k=2×5（4）正六边形：n=6，代入公式得k=2×6（5）正八边形：n=8，代入公式得k=2×8随后，展示正三角形、正方形、正五边形、正六边形的拼接卡片，让学生动手拼接，直观感受能否镶嵌，强化对判断方法的理解。2.学：学生自主计算常见正多边形的k值，判断能否单独镶嵌，动手操作拼接卡片，验证计算结果，同桌之间相互检查，纠正计算错误，总结“能单独镶嵌的正多边形只有正三角形、正方形、正六边形”这一结论。3.评：教师布置即时练习（判断正七边形、正九边形能否单独镶嵌），随机抽查学生的计算过程和结果，评价学生对知识点三的掌握程度，重点关注学生是否能熟练运用公式计算k值，是否能结合k值的整数性判断镶嵌可行性，及时弥补知识漏洞，落实“教-学-评”一体化的即时评价要求。六、课堂练习课堂练习遵循“分层设计、贴合知识点、落实教-学-评”的原则，分为基础题、提升题，兼顾不同层次学生的需求，时长约10分钟，练习后及时点评，强化知识应用，巩固三个核心知识点。（一）基础题（贴合知识点一、二、三，面向全体学生，巩固基础）1.下列图形中，能单独完成平面镶嵌的是（）A.正五边形B.正六边形C.正八边形D.正十边形2.正三角形每个内角的度数是______°，______个正三角形围绕一点可拼成360°，因此能单独镶嵌；正方形每个内角的度数是______°，______个正方形围绕一点可拼成360°，因此能单独镶嵌。3.判断：正七边形的每个内角约为128.57°，3个正七边形围绕一点的内角和约为385.71°，大于360°，因此不能单独镶嵌（）（二）提升题（贴合迁移创新目标，面向学有余力的学生，拓展思维）1.已知一个正多边形能单独完成平面镶嵌，且该正多边形的每个内角为120°，求该正多边形的边数。2.尝试分析：用正三角形和正方形组合，能否完成平面镶嵌？（提示：设用m个正三角形和n个正方形围绕一点镶嵌，满足60∘（三）练习点评1.基础题：逐一讲解答案（1.B；2.60、6、90、4；3.√），重点点评第3题，强化“内角和必须恰好为360°”的条件，纠正“内角和接近360°即可”的错误认知，评价学生对基础知识点的掌握情况，确保全体学生达标。2.提升题：讲解第1题（设边数为n，由n-2×七、课堂总结课堂总结以“学生自主梳理、教师补充完善”的方式进行，贴合“教-学-评”一体化理念，梳理本节课核心知识点和探究过程，强化知识体系，时长约3分钟。1.学生自主梳理：邀请学生发言，分享本节课学到的知识点、探究过程中的收获和遇到的困难，尝试用自己的语言总结平面镶嵌的定义、条件和常见可单独镶嵌的正多边形，梳理“观察—猜想—推导—验证”的探究思路。2.教师补充完善：结合学生的发言，梳理本节课核心内容，强调三个核心知识点的内在联系：平面镶嵌的定义是基础，平面镶嵌的条件是核心，常见正多边形的镶嵌判断是应用；同时，衔接2022年新课标核心素养要求，总结本节课所落实的“用数学眼光观察、用数学思维思考、用数学语言表达”的素养目标，帮助学生构建完整的知识体系，强化记忆。八、课后任务课后任务遵循“分层设计、贴合课堂、兼顾巩固与拓展”的原则，分为基础任务、拓展任务和实践任务，落实“教-学-评”一体化的课后评价要求，贴合学生认知，避免过重负担。（一）基础任务（必做，巩固课堂知识点）1.完成教材对应课后习题，重点练习正多边形内角计算和单独镶嵌的判断；2.列举3个生活中正多边形平面镶嵌的实例，说明每个实例所用的正多边形以及镶嵌原理（围绕一点的内角和为360°）。（二）拓展任务（选做，面向学有余力的学生，提升迁移创新能力）1.计算正十边形、正十二边形的每个内角度数，判断它们能否单独完成平面镶嵌；2.尝试设计一个用正三角形和正六边形组合的平面镶嵌图案，画出简单的设计草图，说明设计思路。（三）实践任务（必做，落实数学与生活的联系）观察自己家或小区的地面、墙面，记录所用的镶嵌图案，判断是否为正多边形镶嵌，若为正多边形镶嵌，记录所用的正多边形种类，下节课分享自己的观察结果。九、板书设计板书设计遵循“简洁明了、重点突出、逻辑清晰”的原则，贴合课堂教学流程，突出三个核心知识点和教-学-评一体化思路，便于学生回顾和记忆，排版规范美观。用正多边形铺设地面（第1课时）一、平面镶嵌（知识点一）定义：无空隙、无重叠铺成平面（正多边形镶嵌：用正多边形）二、平面镶嵌条件（知识点二）1.正n边形每个内角：n-22.核心条件：k个内角和为360°（k×n-2三、常见可单独镶嵌的正多边形（知识点三）1.正三角形：60°×6=360°（6个）2.正方形：90°×4=360°（4个）3.正六边形：120°×3=360°（3个）四、核心素养数学眼光、数学思维、数学语言五、探究思路：观察—猜想—推导—验证十、教学反思教学反思围绕“教-学-评”一体化理念，结合课堂实际教学情况，分析亮点、不足，提出改进措施，贴合2022年新课标要求，贴合七年级学生认知特点，注重教学改进和素养落实，避免空泛表述。（一）教学亮点1.紧扣2022年数学新课标核心素养要求，将“用数学的眼光观察、用数学的思维思考、用数学的语言表达”贯穿课堂始终，从情境导入的生活观察，到探究新知的逻辑推导，再到课堂练习的语言表达，层层落实素养目标。2.落实“教-学-评”一体化理念，每个探究任务、课堂练习均包含教、学、评三个环节，即时评价及时有效，既能掌握学生的学习情况，又能及时弥补知识漏洞，兼顾不同层次学生的需求，确保全体学生达标。3.教学任务拆分合理，探究新知环节分为三个递进式任务，贴合学生从具体到抽象、从直观到理性的认知发展规律，通过动手操作、小组合作，降低了平面镶嵌条件推导的难点，提升了学生的探究能力和合作意识。4.贴合学生生活实际，情境导入、课后实践均选用学生熟悉的地面、墙面镶嵌图案，让学生感受到数学与生活的密切联系，激发了学生的学习兴趣，增强了学生运用数学知识解决实际问题的意识。（二）教学不足1.探究新知环节，部分学生对平面镶嵌条件的推导过程理解不够透彻，尤其是对“k、n必须为整数”的原因，缺乏深入思考，导致后续判断不常见正多边形能否镶嵌时，出现计算正确但判断错误的情况。2.课堂练习的时间分配不够合理，基础题讲解过于细致，导致提升题的讲解时间不足，部分学有余力的学生未能充分发挥思维潜力，迁移创新能力的培养未能完全落地。3.课堂互动的广度不够，部分内向学生未能主动参与小组讨论和发言，即时评价的覆盖面不够全面，未能充分关注到每一位学生的学习情况，对学困生的针对性指导不足。（三）改进措施1.下次教学时，简化平面镶嵌条件推导的讲解流程，重点突出“周角为360°”和“正多边形内角相等”这两个核心前提，通过多举实例、反复验证，让学生理解“k、n必须为整数”的本质，强化对条件的理解