第6章 一次方程组（复习讲义）教学设计（华东师大版七年级下册）

第6章一次方程组（复习讲义）教学设计（华东师大版七年级下册）一、教材分析本章是华东师大版七年级下册数学核心内容之一，属于“数与代数”领域，是在学生掌握一元一次方程解法的基础上，对整式方程的拓展与延伸，也是后续学习二元二次方程组、一次函数与方程组关系及更复杂代数问题的重要铺垫。一次方程组不仅是解决实际问题的重要工具，更是培养学生“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的关键载体。结合2022版新课标要求，本章复习重点不在于重复单个知识点的记忆，而在于引导学生梳理知识脉络，构建完整的一次方程组知识体系，提升方程思想、转化思想的应用能力，培养学生分析问题、解决问题的逻辑思维，落实“教-学-评”一体化理念，让学生在复习中深化理解、强化应用、学会迁移。教材编排注重知识的连贯性与实用性，从方程组的概念到解法，再到实际应用，层层递进，符合七年级学生由具体到抽象、由浅入深的认知发展规律，复习课需立足教材，查漏补缺，兼顾基础与提升，满足不同层次学生的学习需求。二、教学目标结合2022版新课标数学学科核心素养要求，从学习理解、应用实践、迁移创新三个维度设计教学目标，层层递进，落实素养培育：（一）学习理解1.能准确复述二元一次方程（组）、三元一次方程（组）的定义，明确方程（组）的解的含义，能区分二元一次方程与一元一次方程、二元一次方程组与三元一次方程组的异同；2.能熟练回忆二元一次方程组的两种解法（代入消元法、加减消元法）的核心思路，明确消元法的本质是“化二元为一元”，能简述两种解法的步骤与适用场景；3.能梳理本章知识脉络，将方程（组）的定义、解法、应用之间的关联形成知识网络，理解方程思想、转化思想在解题中的作用。（二）应用实践1.能熟练运用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组，能根据方程组的特点选择简便的解法，确保解题过程规范、结果准确；2.能结合具体实际问题，找出题目中的等量关系，列出二元一次方程组（或三元一次方程组），并求解，能检验解的合理性，解决与生活密切相关的实际问题（如行程、工程、利润、和差倍比等）；3.能判断一个数（或一组数）是否为方程（组）的解，能根据方程（组）的解求待定字母的值，提升运算能力与逻辑推理能力。（三）迁移创新1.能将三元一次方程组通过消元转化为二元一次方程组，进而求解，灵活运用转化思想解决多元方程的求解问题；2.能结合方程（组）的知识，解决与其他知识点（如一元一次不等式、整式运算）结合的综合性问题，培养综合分析与解决问题的能力；3.能运用方程思想分析实际问题中的数量关系，尝试设计简单的实际问题情境，列出对应的一次方程组，培养创新意识与数学应用能力，落实新课标核心素养要求。三、重点难点（一）教学重点1.二元一次方程组的定义、解的含义及两种解法（代入消元法、加减消元法）的熟练运用；2.能根据实际问题中的等量关系列出一次方程组，并求解，掌握实际问题的解题步骤；3.梳理本章知识网络，落实方程思想、转化思想的理解与应用。（二）教学难点1.灵活选择代入消元法与加减消元法解二元一次方程组，尤其是当方程组中未知数系数为分数、负数，或需要先整理方程时的解题技巧；2.实际问题中等量关系的寻找与提炼，尤其是复杂问题（如多个等量关系、隐含等量关系）中，能准确梳理数量关系，列出正确的方程组；3.三元一次方程组的解法及一次方程组与其他知识点的综合性问题的解决，实现知识的迁移与灵活运用；4.方程思想、转化思想的深度理解与自觉运用，落实新课标“用数学思维思考现实世界”的要求。四、课堂导入（5分钟）导入设计立足学生已有知识，结合生活实际，激发复习兴趣，衔接本章核心内容，同时落实“教-学-评”一体化中的“评前置”，初步检测学生对基础知识点的掌握情况。师：同学们，之前我们已经完整学习了一次方程组的相关知识，大家还记得我们为什么要学习一次方程组吗？（引导学生发言，明确一次方程组是解决实际问题的工具）其实在我们的生活中，很多问题都需要用一次方程组来解决，比如：“某商店购进一批篮球和足球，已知买2个篮球和3个足球共需280元，买3个篮球和2个足球共需270元，求一个篮球和一个足球的单价各是多少？”师：这个问题我们之前学过，大家能试着说出解决这个问题的思路吗？（请2-3名学生发言，引导学生意识到需要列出方程组，先找等量关系，再解方程）大家的思路很清晰，那在解决这个问题之前，我们首先要明确什么是二元一次方程组、怎么解二元一次方程组，这就是我们今天这节复习课要重点梳理和巩固的内容。今天，我们就一起来回顾第6章一次方程组的相关知识，查漏补缺、强化应用，让大家能更熟练地运用一次方程组解决问题，提升我们的数学核心素养。（导入意图：通过生活中的实际问题，唤醒学生对一次方程组知识的记忆，激发复习兴趣，同时初步检测学生对“实际问题转化为方程组”的思路掌握情况，为后续复习铺垫，凸显新课标“数学源于生活、用于生活”的理念。）五、探究新知（25分钟）探究新知环节立足“教-学-评”一体化，以学生自主探究、合作交流为主，教师引导为辅，围绕本章3个核心知识点（一次方程组的定义及解、一次方程组的解法、一次方程组的实际应用）展开，层层递进，每一个知识点均设置“自主梳理—合作探究—教师点拨—即时评价”四个环节，确保学生深化理解、落实掌握。探究一：一次方程组的定义及解（核心知识点一）1.自主梳理：请同学们自主回顾课本内容，思考以下问题，并用自己的语言整理在练习本上：（1）什么是二元一次方程？什么是二元一次方程组？请各举一个例子；（2）什么是二元一次方程的解？什么是二元一次方程组的解？二者有什么区别与联系？（3）类比二元一次方程（组），什么是三元一次方程（组）？它的解有什么特点？2.合作交流：请小组内互相交流自己的梳理结果，互相补充、查漏补缺，重点讨论“如何判断一个方程是否为二元一次方程”“如何判断一组数是否为二元一次方程组的解”，每组推选1名代表准备发言。3.教师点拨：结合学生的发言，教师进行针对性点拨，纠正易错点，强化重点：易错点1：判断二元一次方程时，忽略“含两个未知数”“未知数的次数都是1”“整式方程”三个条件（如：1x+y=3不是二元一次方程，因为它不是整式方程；易错点2：二元一次方程的解有无数组，而二元一次方程组的解是使两个方程同时成立的一组未知数的值，一般只有一组（特殊情况无解或无数组解暂不深入，留作拓展）；重点强调：三元一次方程（组）的定义核心是“含三个未知数、未知数的次数都是1、整式方程（组）”，其解是一组能使三个方程同时成立的未知数的值。4.即时评价：给出3道基础判断题，让学生举手回答，检测学生掌握情况，及时反馈纠正：（1）2x+y=3z是二元一次方程（×）；（2）x+y=2x-y=0是二元一次方程组（√）；（3）x=1y=2是方程探究二：一次方程组的解法（核心知识点二）1.自主梳理：请同学们回忆二元一次方程组的两种解法，思考以下问题，整理解题步骤：（1）代入消元法和加减消元法的核心思路是什么？（引导学生说出“消元”，化二元为一元）；（2）代入消元法的具体步骤的是什么？适合什么样的方程组？（如：其中一个方程能轻松用一个未知数表示另一个未知数）；（3）加减消元法的具体步骤是什么？适合什么样的方程组？（如：两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或相等）。2.合作探究：小组内分工，分别用代入消元法和加减消元法解方程组2x+y=7x-3y=-13.教师点拨：邀请2名学生上台板书解题过程（一名用代入法，一名用加减法），结合板书进行点评，强调解题规范，梳理技巧，落实转化思想：（1）代入消元法步骤：一选（选易变形的方程）、二变（用一个未知数表示另一个未知数）、三代（代入另一个方程）、四解（解一元一次方程）、五代（求另一个未知数的值）、六验（检验，可口头检验）；（2）加减消元法步骤：一找（找同一个未知数的系数关系）、二配（配成系数相等或互为相反数）、三加/减（消去一个未知数）、四解、五代、六验；（3）技巧点拨：当方程组中未知数系数为分数或负数时，可先整理方程（去分母、去括号、移项、合并同类项），再选择解法；当两个方程中同一个未知数的系数成倍数关系时，可通过乘以适当的数，转化为系数相等或互为相反数，再用加减法。（4）拓展延伸：引导学生思考“如何解三元一次方程组x+y+z=6x-y=14.即时评价：给出2道不同类型的方程组，让学生独立完成，同桌互相检查，教师巡视指导，重点关注易错点（如：代入时漏乘、加减时符号出错），对完成较好的学生给予表扬，对有困难的学生进行个别点拨，确保每位学生都能掌握基本解法。探究三：一次方程组的实际应用（核心知识点三）1.自主梳理：请同学们回顾一次方程组解决实际问题的一般步骤，思考：“用一次方程组解决实际问题的关键是什么？”（引导学生说出“找准等量关系”），整理解题步骤。2.合作探究：结合生活实际问题，小组内合作分析，完成解题过程，讨论“如何快速找准题目中的等量关系”：例题：某工厂要生产一批零件，甲车间单独生产需10天完成，乙车间单独生产需15天完成，现甲、乙两车间合作生产，几天能完成这批零件的一半？若设合作x天能完成零件的一半，能否列出二元一次方程组求解？若能，列出方程组并求解；若不能，请说明理由，并尝试用其他方法求解（衔接一元一次方程，对比差异）。3.教师点拨：结合学生的解题过程，点评解题规范，强调重点，落实新课标“用数学语言表达现实世界”的要求：（1）解题步骤：一审（审题意，明确已知量、未知量）、二找（找等量关系，可借助列表、画图等方式）、三设（设未知数，一般设两个未知量，注意单位）、四列（列方程组）、五解（解方程组）、六验（检验解的合理性，是否符合实际意义）、七答（写答案，注意单位）；（2）重点强调：找准等量关系是解题的关键，常见的等量关系类型有：和差倍比关系、行程问题（路程=速度×时间）、工程问题（工作量=工作效率×工作时间）、利润问题（利润=售价-进价）等，可通过关键词（如：和、差、倍、比、共、多、少、完成、剩余等）寻找等量关系；（3）点拨：上述例题可设甲车间每天生产x个零件，乙车间每天生产y个零件，这批零件总数为1（单位1），则等量关系为“甲10天的工作量=总数”“乙15天的工作量=总数”“甲乙合作x天的工作量=总数的一半”，列出方程组10x=115y=14.即时评价：给出1道基础实际应用题，让学生独立完成，教师巡视，收集学生的易错点（如：设未知数不写单位、等量关系找错、检验环节遗漏），集中点评纠正，确保学生掌握实际问题的解题方法。六、课堂练习（15分钟）课堂练习设计遵循“基础巩固—能力提升—拓展延伸”的梯度原则，贴合“教-学-评”一体化理念，分层设计习题，兼顾不同层次学生的需求，及时检测复习效果，查漏补缺，强化知识应用，每道习题均对应本章核心知识点，落实素养培育。（一）基础巩固题（对应知识点一、二，全员必做）1.判断下列方程（组）是否为二元一次方程（组）：（1）3x-2y=5；（2）x2+y=3；（3）x+1=3y-2=42.解下列二元一次方程组：（1）x+y=5x-y=1（用加减消元法）；（2）y=2x-3（二）能力提升题（对应知识点二、三，全员必做，重点突破难点）1.解三元一次方程组：x+y+z=9x-y=12.某商场购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品共需160元，购进2件A商品和3件B商品共需140元，求A、B两种商品每件的进价各是多少元？（三）拓展延伸题（对应知识点三，选做，面向学有余力的学生）甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行，若甲先出发2小时，乙再出发，两人相向而行2小时后相遇；若乙先出发2小时，甲再出发，两人相向而行1.5小时后相遇，求甲、乙两人的速度各是多少？练习要求：学生独立完成，基础题和能力提升题全员必做，拓展延伸题自主选择，教师巡视指导，重点关注学困生的解题情况，及时给予点拨；完成后，同桌互相检查基础题和能力提升题，教师公布参考答案，针对易错点集中点评，确保练习效果，落实“评在过程中”的理念。七、课堂总结（5分钟）课堂总结立足“教-学-评”一体化，以学生自主总结为主，教师引导补充，梳理本章知识脉络，强化核心知识点和数学思想，同时检测学生的复习效果，升华认知，落实新课标核心素养要求。1.自主总结：请同学们结合本节课的复习，思考以下问题，用自己的语言总结本节课的收获：（1）本节课我们复习了一次方程组的哪些核心知识点？（2）解一次方程组的核心思想是什么？有哪些方法？解题时需要注意什么？（3）用一次方程组解决实际问题的关键是什么？解题步骤有哪些？2.小组补充：小组内互相交流自己的总结，互相补充，完善知识梳理，确保每位学生都能掌握核心内容。3.教师升华：结合学生的总结，教师进行梳理补充，构建本章知识网络，强调重点难点，升华数学思想：本节课我们重点复习了三个核心知识点：一次方程组的定义及解、一次方程组的解法、一次方程组的实际应用。核心思想是方程思想和转化思想，其中消元法是解一次方程组的核心方法，代入法和加减法各有适用场景，关键是根据方程组的特点灵活选择；用一次方程组解决实际问题，核心是找准等量关系，将实际问题转化为数学问题，落实“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的新课标要求。同时，提醒学生在解题过程中，要注意解题规范，避免粗心大意，及时查漏补缺，不断提升自己的运算能力和逻辑推理能力。八、课后任务（分层设计）课后任务贴合“教-学-评”一体化理念，分层设计，兼顾基础巩固与能力提升，落实查漏补缺，延伸课堂复习效果，同时培养学生自主学习能力，符合新课标要求，具体如下：（一）基础层（全员必做）1.整理本章复习笔记，完善知识网络，重点标注易错点（如：二元一次方程的判断、消元法的易错步骤、实际问题中等量关系的寻找）；2.完成基础巩固习题：解5道二元一次方程组（3道用代入法，2道用加减法），确保解题过程规范、结果准确；3.完成1道基础实际应用题（和差倍比或行程问题），规范解题步骤，标注等量关系。（二）提高层（选做，面向中等层次学生）1.完成2道三元一次方程组的解法习题；2.完成2道能力提升型实际应用题（工程或利润问题）；3.总结解一次方程组的简便技巧，结合具体例题整理在笔记本上。（三）拓展层（选做，面向学有余力的学生）1.完成1道一次方程组与一元一次不等式结合的综合性习题；2.自主设计1道一次方程组的实际应用题，写出题目、等量关系、方程组及解题过程；3.思考：当二元一次方程组无解或有无数组解时，未知数的系数有什么特点？结合具体例子进行探究。任务要求：独立完成，认真书写，规范步骤，下次课重点点评易错点和优秀作业，鼓励学生主动查漏补缺，遇到困难可主动请教老师或同学。九、板书设计板书设计遵循简洁明了、重点突出、条理清晰的原则，贴合复习课特点，梳理知识脉络，突出核心知识点和解题思路，方便学生回顾和记忆，具体如下：第6章一次方程组（复习）一、核心知识点1.定义及解二元一次方程（组）：含2个未知数、次数1、整式三元一次方程（组）：含3个未知数、次数1、整式解：使方程（组）成立的未知数的值2.解法（核心：消元→化二元为一元）代入消元法：选→变→代→解→代→验加减消元法：找→配→加/减→解→代→验（举例：2x+y=7x-3y=-13.实际应用（核心：找等量关系）步骤：审→找→设→列→解→验→答（举例：简要板书实际问题的等量关系和方程组）二、核心思想方程思想、转化思想三、易错点提醒1.二元一次方程的判断（整式、次数1）2.消元时符号、漏乘问题3.实际问题：等量关系、检验、单位十、教学反思本节课作为一次方程组的复习课，紧扣2022版新课标数学学科核心素养要求，立足“教-学-评”一体化理念，围绕三个核心知识点展开，分层设计教学环节，贴合七年级学生的认知发展规律，力求实现“查漏补缺、强化应用、提升素养”的复习目标。结合课堂实际教学情况，反思如下：（一）亮点之处1.教学环节设计贴合“教-学-评”一体化，每个探究知识点均设置“自主梳理—合作探究—教师点拨—即时评价”四个环节，即时评价贯穿课堂始终，既能及时检测学生的复习效果，又能针对性查漏补缺，符合新课标要求。2.教学目标分层设计，从学习理解、应用实践到迁移创新，层层递进，课堂练习和课后任务也采用分层设计，兼顾不同层次学生的需求，让学困生巩固基础，中等生提升能力，优等生拓展创新，落实“因材施教”的教学理念。3.注重数学核心素养的培育，全程围绕“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的新课标要求，强化方程思想、转化思想的渗透，引导学生将实际问题转化为数学问题，提升数学应用能力。4.课堂导入结合生活实际问题，激发学生的复习兴趣，探究环节以学生自主探究、合作交流为主，教师引导为辅，充分发挥学生的主体地位，培养学生的自主学习能力和合作交流能力。（二）不足之处1.探究新知环节耗时略长，尤其是一次方程组的解法探究中，部分学困生对加减消元法的“配系数”步骤掌握不熟练，教师个别点拨的时间不足，导致部分学困生未能及时跟上复习节奏。2.实际应用探究环节，部分学生对复杂实际问题中的等量关系寻找仍有困难，尤其是隐含等量关系的提炼，教师的点拨不够细致，缺乏