第13讲 一元一次不等式组中含参数问题（寒假预习讲义）教学设计（七年级数学 华东师大版 新教材）

第13讲一元一次不等式(组）中含参数问题（寒假预习讲义）教学设计（七年级数学华东师大版新教材）一、教材分析本节课选自华东师大版七年级数学新教材，是在学生已掌握一元一次不等式（组）的解法、解集表示方法后的寒假预习拓展内容，是一元一次不等式（组）知识的延伸与深化，也是衔接后续一次函数中含参数问题的重要铺垫。结合2022年数学新课标要求，本节课核心承载“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界”的核心素养培养，打破基础运算的局限，引导学生通过分析参数的取值范围，建立“已知条件—数量关系—不等式（组）—参数求解”的逻辑链条。寒假预习场景下，本节课兼顾“巩固旧知”与“预习新知”的双重目标，既复习一元一次不等式（组）的解法、解集的表示，又引入参数这一抽象概念，降低后续新学期正式学习的难度，同时培养学生自主探究、分类讨论的数学思维，契合七年级学生从具体运算向抽象思维过渡的认知特点，为后续学习方程（组）含参数问题、函数应用奠定基础。二、教学目标结合2022新课标数学核心素养要求，遵循“学习理解—应用实践—迁移创新”层层递进的原则，制定本节课教学目标如下：（一）学习理解1.能清晰理解“参数”的含义，明确参数在一元一次不等式（组）中的作用，区分参数与未知数的差异，能用数学语言表述参数的意义；2.掌握一元一次不等式（组）含参数问题的核心本质，理解参数的取值范围与不等式（组）解集之间的内在关联；3.熟练回顾一元一次不等式（组）的解法，能准确表示不等式（组）的解集，为参数求解奠定基础。（二）应用实践1.能运用一元一次不等式（组）的解法，解决“已知不等式（组）的解集，求参数取值范围”的基础问题；2.能结合不等式（组）解集的数轴表示，分析参数的边界值是否可取，规范书写解题步骤；3.能通过简单分类讨论，解决参数在不等式（组）中影响不等号方向的基础问题，提升运算准确性与逻辑严谨性。（三）迁移创新1.能结合寒假预习的自主探究经验，解决“已知不等式（组）有解、无解或有特定个数整数解，求参数取值范围”的复杂问题；2.能运用分类讨论、数形结合的数学思想，分析参数的不同取值对不等式（组）解集的影响，建立完整的解题逻辑；3.能将含参数问题与生活实际简单关联，运用所学知识解决简单的实际应用类含参数问题，实现知识的灵活迁移，落实新课标核心素养要求。三、重点难点（一）教学重点1.理解参数与一元一次不等式（组）解集之间的关联，掌握“已知解集求参数取值范围”的核心方法；2.规范书写含参数问题的解题步骤，准确判断参数边界值的取值情况；3.运用分类讨论思想解决简单的含参数问题，落实数学思维的培养。（二）教学难点1.抽象理解参数的含义，突破“参数是未知常数”的认知难点，区分参数与未知数的差异；2.解决“不等式（组）有解、无解或有特定整数解”时，参数取值范围的精准求解，尤其是边界值的取舍；3.灵活运用数形结合、分类讨论思想，建立参数取值与不等式（组）解集之间的逻辑关联，契合新课标“用数学思维思考现实世界”的要求。四、课堂导入（5分钟）结合寒假预习场景，采用“旧知回顾+情境设问”的方式导入，兼顾趣味性与关联性，落实“教-学-评”一体化的导入环节，激发学生探究兴趣：1.旧知回顾（即时评：口头提问，检测旧知掌握情况）：请同学们回顾一元一次不等式的解法，尝试解不等式2x-3＞5，并在数轴上表示出它的解集；若将不等式改为2x-a＞5（a为常数），此时你能解出这个不等式吗？解集与原来的不等式有什么不同？2.情境设问：寒假期间，小明计划购买笔记本，已知某种笔记本每本3元，小明带了m元钱（m为常数），若小明最多能买4本笔记本，你能列出不等式表示m的取值范围吗？这里的m与我们之前学过的未知数有什么区别？3.导入新知：引导学生发现，上述问题中，a和m都是“未知的常数”，它们虽然不确定，但会影响不等式的解集或实际问题的结果，我们把这样的常数叫做“参数”。本节课我们就一起来探究一元一次不等式（组）中含参数的问题，通过分析参数的取值范围，解决各类相关问题，为新学期的学习做好铺垫。（评：通过旧知回顾检测学生对不等式解法的掌握，通过生活情境让学生直观感知参数的意义，初步建立参数与不等式的关联，为后续探究新知奠定基础，同时点评学生的回答，及时纠正认知偏差。）五、探究新知（25分钟）围绕3个核心知识点，采用“教师引导—学生探究—即时评讲”的模式，拆分探究任务，层层递进，凸显“教-学-评”一体化，贴合七年级学生认知规律，每个知识点均设计探究环节、讲解环节和即时检测环节，落实新课标数学核心素养。知识点一：参数的含义及一元一次不等式含参数（基础型：已知解集求参数）1.探究任务（学：学生自主探究，小组交流）：请同学们自主解不等式kx+3＞2（k≠0），思考：当k＞0和k＜0时，不等式的解集有什么不同？为什么？这里的k就是我们所说的参数，它的取值会影响不等号的方向和解集的形式。2.教师引导（教：精准点拨，突破难点）：引导学生发现，参数是未知的常数，它不同于未知数，未知数是要求解的量，而参数是影响解集的“可变常数”；当解含参数的一元一次不等式时，若参数系数含未知数（如kx），需要分类讨论参数系数的正负，因为它会影响不等号的方向，这是含参数问题的核心特点。3.例题讲解（教：规范示范，明确步骤）：例1：已知关于x的一元一次不等式2x+a＞3的解集是x＞2，求a的值。讲解：第一步，解不等式2x+a＞3，移项得2x＞3-a，系数化为1得x＞(3-a)/2；第二步，结合已知解集x＞2，可知(3-a)/2=2；第三步，解方程得3-a=4，解得a=-1；第四步，检验：将a=-1代入原不等式，得2x-1＞3，解得x＞2，与已知解集一致，验证正确。强调解题步骤：解不等式→找解集关联→列方程（或不等式）→求参数→检验，同时提醒学生注意，参数的取值要保证原不等式是一元一次不等式（如参数系数不能为0）。4.即时评（评：小组互评，即时反馈）：请同学们尝试完成即时练习1，同桌之间相互检查，教师随机抽查，点评解题步骤的规范性和结果的准确性，纠正“忽略检验”“不等号方向出错”等问题。即时练习1：已知关于x的不等式3x-m≤0的解集是x≤2，求m的值。知识点二：一元一次不等式组含参数（基础型：已知解集求参数）1.探究任务（学：结合旧知，自主探究）：回顾一元一次不等式组的解集确定方法（同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找），尝试解不等式组{2x-1＞3，x-b＜1}（b为参数），并结合解集的形式，思考b的取值如何影响不等式组的解集。2.教师引导（教：点拨关联，强化逻辑）：引导学生先解出不等式组中每个不等式的解集，再结合不等式组的解集确定方法，分析参数b与解集的关联；强调：解不等式组含参数问题，核心是“先解每个不等式，再结合不等式组的解集，建立参数的不等式（或方程）”，同时注意数轴的运用，通过数轴直观表示解集，确定参数的取值范围。3.例题讲解（教：规范示范，突破重点）：例2：已知关于x的一元一次不等式组{x+1＞2，x-a≤0}的解集是1＜x≤3，求a的值。讲解：第一步，解不等式x+1＞2，得x＞1；第二步，解不等式x-a≤0，得x≤a；第三步，结合不等式组的解集“同小取小、大小小大中间找”，可知该不等式组的解集是1＜x≤a；第四步，结合已知解集1＜x≤3，可得a=3；第五步，检验：将a=3代入不等式组，解集为1＜x≤3，与已知一致，验证正确。补充说明：若不等式组的解集为x＞1，那么a的取值范围是什么？引导学生思考，此时需要满足a≥1（结合数轴分析，确保解集为x＞1），为后续难点突破铺垫。4.即时评（评：口头提问，精准反馈）：请同学们思考，若例2中不等式组的解集是x＞1，求a的取值范围，举手回答，教师点评，重点强调边界值的取舍，检测学生对解集关联的理解。知识点三：一元一次不等式（组）含参数（提升型：有解、无解及整数解问题）1.探究任务（学：小组合作，深度探究）：结合数轴，探究关于x的不等式组{x＞2，x＜m}的解集情况：当m＞2时，不等式组有解吗？解集是什么？当m=2时，有解吗？当m＜2时，有解吗？由此你能总结出不等式组有解、无解的条件吗？2.教师引导（教：总结规律，强化思维）：引导学生通过数轴直观分析，总结出一元一次不等式组{x＞a，x＜b}的解集规律：当a＜b时，有解（解集为a＜x＜b）；当a≥b时，无解。同时强调，数形结合是解决含参数问题的重要方法，能帮助我们快速确定参数的取值范围，落实“用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界”的新课标要求。3.例题讲解（教：分类示范，规范步骤）：例3：已知关于x的一元一次不等式组{x+2＞3，x-a≤0}有解，求a的取值范围；若该不等式组有3个整数解，求a的取值范围。讲解：（1）有解问题：第一步，解不等式x+2＞3，得x＞1；第二步，解不等式x-a≤0，得x≤a；第三步，结合不等式组有解的条件（同大取大、大小小大中间找），可知1＜a（即a＞1）；第四步，验证：当a＞1时，不等式组的解集为1＜x≤a，有解，符合要求。（2）有3个整数解问题：第一步，结合（1）的解集1＜x≤a，找出该解集中的整数解；第二步，整数解为2、3、4（因为x＞1，所以最小整数解为2）；第三步，要使整数解有3个，即2、3、4，那么a的取值范围需要满足4≤a＜5（强调：a必须大于等于4，否则整数解没有4；a必须小于5，否则整数解会有5，不符合3个整数解的要求）；第四步，验证：当a=4时，解集为1＜x≤4，整数解为2、3、4，共3个；当a=5时，解集为1＜x≤5，整数解为2、3、4、5，共4个，不符合要求，因此a的取值范围是4≤a＜5。强调：解决整数解问题时，要先找出解集范围内的整数解，再结合整数解的个数，确定参数的边界值，注意边界值的取舍，避免漏解或多解。4.即时评（评：书面检测，全面反馈）：请同学们完成即时练习2，独立书写解题步骤，教师巡视，收集学生的易错点（如边界值取舍错误、整数解找不全），集中评讲，及时纠正，强化学生对提升型问题的掌握。即时练习2：已知关于x的不等式组{2x-1≤3，x＞k}无解，求k的取值范围；若该不等式组有2个整数解，求k的取值范围。六、课堂练习（10分钟）遵循“分层设计”原则，结合3个知识点，设计基础题、提升题、拓展题，贴合寒假预习难度，落实“教-学-评”一体化的练习环节，检测学生对知识的掌握情况，兼顾不同层次学生的需求，同时规范解题步骤，强化思维训练。（评：练习后采用“学生自查—小组互查—教师点评”的方式，基础题重点评讲步骤规范性，提升题重点评讲边界值取舍，拓展题重点评讲分类讨论思想的运用，及时发现学生的认知漏洞，针对性辅导，确保学生掌握核心知识。）基础题（贴合知识点一、二，巩固基础）1.已知关于x的一元一次不等式3x+2a＞5的解集是x＞3，求a的值。2.已知关于x的不等式组{x-3≤0，x+m＞2}的解集是-1＜x≤3，求m的值。提升题（贴合知识点三，强化能力）3.已知关于x的不等式组{x＞-2，x＜n}有解，求n的取值范围；若该不等式组无解，求n的取值范围。4.已知关于x的不等式组{2x+5≥3，x＜a}有4个整数解，求a的取值范围。拓展题（迁移创新，贴合新课标要求）5.寒假期间，某校组织学生参加社会实践活动，需租用若干辆客车，若每辆客车坐40人，则有10人没有座位；若每辆客车坐45人，则有一辆客车空出5个座位，设租用x辆客车，租用客车的费用为y元（y与x的关系式为y=200x+100，x为正整数），且y≤1500，求x的取值范围及对应的费用最小值。（提示：先列出不等式组确定x的取值范围，再结合费用关系式求解）七、课堂总结（5分钟）采用“学生自主总结—教师补充完善—即时回顾”的方式，落实“教-学-评”一体化的总结环节，引导学生梳理本节课的核心知识、解题方法和易错点，强化知识体系，同时培养学生用数学语言表达的能力。1.学生自主总结：请2-3名学生发言，分享本节课学到的知识点、解题方法，以及自己的收获和困惑（评：点评学生的总结，肯定优点，针对困惑进行补充讲解）。2.教师补充完善：结合学生的总结，梳理本节课核心内容：其一，核心知识点：参数的含义；一元一次不等式含参数（已知解集求参数）；一元一次不等式组含参数（已知解集、有解、无解、整数解求参数）。其二，核心解题方法：解不等式（组）→找参数与解集的关联→列方程（或不等式）→求参数→检验；数形结合、分类讨论是解决含参数问题的关键思想。其三，易错点提醒：参数系数含未知数时，注意分类讨论系数的正负；确定参数边界值时，注意取舍（等号是否可取）；整数解问题时，避免漏找或多找整数解。3.即时回顾：口头提问，检测总结效果：已知不等式组{x＞1，x＜m}有解，m的取值范围是什么？（评：快速检测学生对核心知识点的掌握，及时巩固）。八、课后任务（贴合寒假预习）遵循“分层布置、兼顾巩固与拓展”的原则，结合寒假预习特点，布置基础作业、提升作业和实践作业，延伸“教-学-评”一体化，落实新课标迁移创新的要求，同时培养学生自主学习能力，为新学期学习做好铺垫。基础作业（必做）1.整理本节课3个知识点的核心内容和解题步骤，结合课堂例题，完善预习笔记；2.完成课堂练习中的基础题和提升题，规范书写解题步骤，标注易错点；3.解关于x的不等式kx-2＜3k+4（k≠0），分k＞0和k＜0两种情况写出解集。提升作业（选做）1.已知关于x的不等式组{3x-a≥0，2x-b＜0}的解集是1≤x＜2，求a、b的值；2.已知关于x的不等式组{x+1＞0，x-m≤0}有5个整数解，求m的取值范围，并写出所有整数解。实践作业（必做）结合寒假生活，编写一道一元一次不等式（组）含参数的实际问题（如购物、出行、安排活动等），并写出解题过程，下节课分享交流，培养自己“用数学语言表达现实世界”的能力。（评：课后作业批改后，针对共性问题，在下节课预习点评中集中讲解，针对个性问题，单独辅导；实践作业重点点评学生的问题设计合理性和解题规范性，落实迁移创新的教学目标。）九、板书设计（简洁明了，突出核心，贴合课堂流程）第13讲一元一次不等式(组）中含参数问题（寒假预习）一、核心概念：参数（未知的常数，影响解集）二、核心知识点1.不等式含参数（已知解集求参数）步骤：解不等式→找关联→列方程→检验2.不等式组含参数（已知解集求参数）关键：结合解集确定方法，找参数与解集的关联3.不等式组含参数（有解、无解、整数解）方法：数形结合、分类讨论规律：{x＞a，x＜b}有解→a＜b；无解→a≥1三、易错点：边界值取舍、分类讨论不全面四、核心素养：观察、思考、表达现实世界十、教学反思结合本节课的教学过程、学生的学习情况以及2022新课标要求，从“教、学、评”三个维度进行反思，总结优点与不足，提出改进措施，实现教学相长，贴合寒假预习的教学场景，提升后续教学效果。（一）教学优点1.贴合新课标要求，紧扣数学核心素养，将“用数学的眼光观察、思维思考、语言表达”贯穿教学全过程，通过情境导入、探究新知、实践作业，让学生直观感知参数的意义，培养数学思维和表达能力。2.凸显“教-学-评”一体化，每个教学环节均设计“教、学、评”对应内容，即时检测学生的学习情况，及时纠正认知偏差，尤其是探究新知环节的即时练习和课堂练习的分层设计，兼顾不同层次学生的需求，贴合七年级学生认知规律。3.探究任务拆分合理，围绕3个核心知识点层层递进，从基础型到提升型，逐步突破难点，同时结合寒假预习场景，衔接旧知，铺垫新知，降低学生的学习难度，激发学生的自主探究兴趣。4.注重解题步骤的规范性，通过例题示范、即时评讲、课后作业要求，引导学生规范书写解题步骤，培养学生的逻辑严谨性，同时结合数轴，强化数形结合思想的运用，帮助学生突破抽象认知难点。（二）存在不足1.学生对参数的抽象理解仍有不足，部分学生难以区分参数与未知数的差异，在解决参数系数含未知数的不等式时，容易忽略分类讨论，导致解题错误，尤其是基础薄弱的学生，认知偏差较为明显。2.提升型问题（有解、无解、整数解）的教学的节奏可以适当放缓，部分学生对边界值的取舍