二元一次方程组的解法 教学设计（2024-2025学年 华东师大版七年级数学下册）

二元一次方程组的解法教学设计（2024—2025学年华东师大版七年级数学下册）一、教材分析本节课选自华东师大版七年级数学下册，是在学生已经掌握一元一次方程的概念、解法及应用的基础上，进一步学习二元一次方程组的核心内容——解法。二元一次方程组是连接一元一次方程与多元方程的重要桥梁，其解法的本质是“消元”，即将二元转化为一元，体现了“转化与化归”的数学思想，这种思想贯穿整个代数学习的始终。结合2022年义务教育数学新课标要求，本节课重点培养学生“用数学的眼光观察现实世界”“用数学的思维思考现实世界”“用数学的语言表达现实世界”的核心素养。通过对二元一次方程组解法的探究，引导学生发现不同量之间的关联，学会运用转化思想解决复杂问题，为后续学习一次函数、二元二次方程组等知识奠定坚实基础。教材编排遵循学生认知发展规律，从实际问题导入，逐步引导学生探究消元的思路，先介绍代入消元法，再延伸至加减消元法，层层递进、循序渐进，既注重知识的传授，也重视思维能力和解题技巧的培养，符合新课标“以学生为主体、素养为重、注重过程”的教学理念。二、教学目标结合2022新课标数学核心素养要求，本节课教学目标从学习理解、应用实践、迁移创新三个层面层层递进，具体如下：（一）学习理解1.能准确说出二元一次方程组“消元”思想的核心内涵，明确消元的目的是将二元一次方程组转化为一元一次方程；2.熟练掌握代入消元法和加减消元法的基本步骤，能区分两种方法的适用场景，理解每种步骤的数学依据；3.能准确判断二元一次方程组的解是否正确，掌握检验方程组解的基本方法。（二）应用实践1.能运用代入消元法和加减消元法，正确求解简单的二元一次方程组（未知数系数为整数、无分母或简单分母）；2.能结合具体题目，灵活选择合适的消元方法，提高解题的准确性和效率；3.能通过检验步骤，排查解题过程中的错误，养成严谨的解题习惯，体现数学思维的严谨性。（三）迁移创新1.能将复杂的二元一次方程组（如含分母、含括号）转化为简单的二元一次方程组，再运用所学方法求解，进一步深化转化思想的运用；2.能结合一元一次方程的应用，初步尝试用二元一次方程组表示实际问题中的数量关系，并通过求解方程组解决简单实际问题，实现知识的迁移运用；3.能在小组合作探究中，发现不同的解题思路和技巧，主动交流分享，培养合作意识和创新思维，能用数学语言清晰表达解题思路。三、重点难点（一）教学重点1.二元一次方程组“消元”思想的理解和运用；2.代入消元法和加减消元法的基本步骤及正确运用；3.检验二元一次方程组解的方法。（二）教学难点1.代入消元法中，如何灵活将一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来（尤其是当未知数系数不为1时）；2.加减消元法中，如何通过调整未知数系数，使两个方程中某一个未知数的系数互为相反数或相等；3.理解“消元”思想的本质，能根据题目特点灵活选择合适的消元方法，避免机械套用步骤；4.解含分母、含括号的二元一次方程组时，去分母、去括号步骤的易错点把控。四、课堂导入（5分钟）导入设计贴合学生生活实际，激发学生学习兴趣，衔接前期所学知识，自然引出本节课主题，落实新课标“用数学的眼光观察现实世界”的要求。师：同学们，之前我们学习了一元一次方程，能够解决很多生活中的实际问题。今天老师带来一个新的问题，大家一起来看看能不能用我们学过的知识解决。（出示问题）学校食堂准备采购一批蔬菜，买2千克白菜和3千克萝卜，一共花费18元；买3千克白菜和2千克萝卜，一共花费17元。请问每千克白菜和每千克萝卜的价格各是多少元？引导学生思考：这个问题中有几个未知数？（两个，白菜的单价和萝卜的单价）如果我们设每千克白菜x元，每千克萝卜y元，能不能根据题目中的数量关系列出方程？学生尝试列出方程，教师巡视指导，然后请学生分享所列方程，最终师生共同整理得出：2x+3y=18，3x+2y=17。师：大家观察这两个方程，它们是什么类型的方程？（二元一次方程）我们把这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。那我们之前学的一元一次方程只有一个未知数，现在有两个未知数，该怎么求解这个方程组呢？能不能把它变成我们熟悉的一元一次方程来解决？今天我们就一起来探究二元一次方程组的解法，解开这个问题的答案。（板书课题）设计意图：通过生活中的实际问题导入，让学生感受到二元一次方程组的实用性，同时引发学生的认知冲突——有两个未知数该如何求解，从而激发学生的探究欲望，自然引出“消元”的思路，为后续探究新知做好铺垫，同时培养学生用数学眼光观察生活、提炼数学问题的能力。五、探究新知（25分钟）本节课探究的核心知识点的三个：代入消元法的步骤及应用、加减消元法的步骤及应用、方程组解的检验方法。探究过程遵循“教-学-评”一体化理念，以学生自主探究、小组合作为主，教师引导点拨为辅，层层递进，突破重点难点，培养学生的数学思维和表达能力。（一）探究一：代入消元法（核心知识点一）1.自主探究，初步感知消元思想师：结合我们刚才列出的方程组：$\begin{cases}2x+3y=18\\3x+2y=17\end{cases}$，大家思考一下，我们能不能从其中一个方程中，把一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，然后代入另一个方程，这样就可以把两个未知数变成一个未知数，转化成我们熟悉的一元一次方程了？给学生5分钟时间自主尝试，教师巡视，重点关注学生是否能正确将一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，对于有困难的学生进行个别指导。2.小组交流，分享探究成果请学生以小组为单位，交流自己的尝试过程和发现，讨论：选择哪个方程、哪个未知数进行变形更简便？变形时需要注意什么？代入之后会得到什么结果？小组交流结束后，邀请2-3个小组分享探究成果，教师针对学生的分享进行点评和补充，重点强调：选择未知数系数为1或-1的方程进行变形，会更简便；变形时要注意移项变号，确保代数式的准确性。3.师生共同总结，提炼代入消元法步骤结合学生的探究成果，师生共同整理代入消元法的基本步骤，教师边讲解边板书，同时强调每一步的数学依据和易错点：第一步：变形（消元准备）。从方程组中选一个系数比较简单（最好是1或-1）的二元一次方程，将其中一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来（如把y用含x的代数式表示，或把x用含y的代数式表示）；第二步：代入（实现消元）。将变形后的代数式代入另一个方程中，替换对应的未知数，得到一个一元一次方程；第三步：求解（求出一个未知数）。解这个一元一次方程，求出其中一个未知数的值；第四步：回代（求出另一个未知数）。将求出的未知数的值，代入变形后的代数式中，求出另一个未知数的值；第五步：检验（确保正确）。将两个未知数的值代入原方程组的两个方程中，检验左右两边是否相等，若都相等，则是方程组的解；若不相等，则说明解题过程中有错误，需要重新检查。4.例题讲解，巩固应用出示例题1：解方程组$\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}$教师引导学生分析：这个方程组中，第一个方程的x和y的系数都是1，选择哪个未知数变形都很简便。我们可以把第一个方程变形为y=5-x，然后代入第二个方程，实现消元。教师边讲解边板书解题过程，同时强调检验步骤的重要性，带领学生完成检验过程，让学生明确检验的方法和意义。解题过程：由第一个方程得：y=5-x（变形）将y=5-x代入第二个方程得：2x-(5-x)=1（代入）去括号：2x-5+x=1合并同类项：3x-5=1移项：3x=6系数化为1：x=2（求解）将x=2代入y=5-x，得y=5-2=3（回代）检验：将x=2，y=3代入原方程组，第一个方程：2+3=5，左右相等；第二个方程：2×2-3=1，左右相等。因此，方程组的解为$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$（检验）5.即时评价，反馈调整请2名学生上台板演，分别求解方程组$\begin{cases}y=2x-3\\3x+2y=8\end{cases}$，教师巡视指导，针对学生板演中的错误（如移项不变号、代入错误、忘记检验等）进行点评和纠正，同时评价学生的解题思路和步骤规范性，及时反馈学生的学习情况，调整后续教学节奏。（二）探究二：加减消元法（核心知识点二）1.情境迁移，引发新的探究需求师：刚才我们用代入消元法解决了几个二元一次方程组，大家表现得都非常好。现在我们来看一个新的方程组：$\begin{cases}3x+2y=14\\3x-2y=2\end{cases}$，大家尝试用代入消元法求解，看看会遇到什么情况，有没有更简便的方法？学生尝试求解，教师巡视，引导学生发现：这个方程组中，两个方程的y的系数分别是2和-2，互为相反数；x的系数都是3，相等。如果我们把这两个方程的左右两边分别相加或相减，能不能消去一个未知数？2.小组合作，探究加减消元思路请学生以小组为单位，合作探究：将两个方程相加，能消去哪个未知数？得到什么方程？将两个方程相减，能消去哪个未知数？得到什么方程？哪种方法更简便？小组探究结束后，邀请小组代表分享探究成果，教师引导学生总结：当两个方程中某一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加，就能消去这个未知数；当两个方程中某一个未知数的系数相等时，将两个方程相减，就能消去这个未知数。这种通过加减消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程的方法，叫做加减消元法。3.提炼步骤，强化理解师生共同总结加减消元法的基本步骤，结合例题讲解，强调每一步的注意事项，落实数学思维的培养：第一步：观察（判断能否直接加减消元）。观察方程组中两个方程的未知数系数，判断是否有某一个未知数的系数互为相反数或相等；第二步：调整（若不能直接消元）。如果没有，可根据等式的基本性质，在两个方程的两边同时乘以适当的数，使其中一个未知数的系数互为相反数或相等；第三步：加减（实现消元）。将两个方程的左右两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；第四步：求解。解这个一元一次方程，求出其中一个未知数的值；第五步：回代。将求出的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；第六步：检验。将两个未知数的值代入原方程组，检验是否为方程组的解。4.例题讲解，突破难点出示例题2：解方程组$\begin{cases}3x+2y=14\\3x-2y=2\end{cases}$（直接加减消元）教师引导学生分析：这个方程组中，y的系数互为相反数（2和-2），将两个方程相加，就能消去y，转化为一元一次方程，非常简便。教师边讲解边板书解题过程，强调加减时要注意左右两边同时加减，不能漏项，同时带领学生完成检验步骤。解题过程：将两个方程相加，得：(3x+2y)+(3x-2y)=14+2（加减消元）合并同类项：6x=16系数化为1：x=$\frac{8}{3}$（求解）将x=$\frac{8}{3}$代入第一个方程3x+2y=14，得：3×$\frac{8}{3}$+2y=14化简：8+2y=14解得：y=3（回代）检验：将x=$\frac{8}{3}$，y=3代入原方程组，第一个方程：3×$\frac{8}{3}$+2×3=8+6=14，左右相等；第二个方程：3×$\frac{8}{3}$-2×3=8-6=2，左右相等。因此，方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{8}{3}\\y=3\end{cases}$（检验）出示例题3：解方程组$\begin{cases}2x+3y=12\\3x+4y=17\end{cases}$（需要调整系数再消元）教师引导学生分析：这个方程组中，x和y的系数都不互为相反数，也不相等，需要我们调整系数。我们可以选择消去x或y，比如消去x，就需要将第一个方程乘以3，第二个方程乘以2，使两个方程中x的系数都变成6，然后再相减消去x；如果消去y，就需要将第一个方程乘以4，第二个方程乘以3，使y的系数都变成12，再相减消去y。请学生自主选择一种方法求解，教师巡视指导，然后请学生分享解题过程，师生共同点评，强调调整系数时，要根据等式的基本性质，方程两边同时乘以同一个数，不能只乘一边，避免出现错误。5.即时评价，巩固提升请学生独立完成方程组$\begin{cases}4x+5y=23\\3x-5y=8\end{cases}$的求解，同桌之间相互检查，教师随机抽查学生的解题过程，点评学生的解题方法和步骤规范性，重点评价学生是否能正确选择消元方法、调整系数是否正确、是否忘记检验，及时发现问题并纠正，落实“教-学-评”一体化。（三）探究三：方程组解的检验方法（核心知识点三）师：同学们，我们在求解二元一次方程组的时候，无论是用代入消元法还是加减消元法，都有可能出现移项错误、计算错误、代入错误等问题，那我们怎么知道自己求出的解是不是正确的呢？这就需要我们掌握检验的方法。1.回顾梳理，明确检验步骤结合前面的例题，师生共同回顾检验的基本步骤：将求出的两个未知数的值，分别代入原方程组的两个方程中，计算每个方程左右两边的值，如果两个方程的左右两边的值都相等，那么这个未知数的值就是原方程组的解；如果有一个方程的左右两边的值不相等，说明解题过程中出现了错误，需要重新检查、修正。2.易错点强调教师强调：检验时，必须将两个未知数的值代入原方程组的两个方程，不能只代入一个方程；代入时，要注意计算的准确性，尤其是涉及到分数、负数的时候，避免出现计算错误；如果检验发现解不正确，要从变形、代入、加减、计算等步骤逐一排查错误，养成严谨的解题习惯。3.实践练习，强化掌握出示题目：判断$\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}$是不是方程组$\begin{cases}2x+y=8\\x-y=1\end{cases}$的解？请学生独立完成检验，然后请学生分享检验过程，教师点评，强调检验的规范性和重要性，让学生明白检验不仅是一种方法，更是一种严谨的数学态度，培养学生用数学思维思考问题、严谨解题的能力。探究新知总结：本节课我们探究了二元一次方程组的两种解法——代入消元法和加减消元法，以及方程组解的检验方法。两种方法的核心都是“消元”，即将二元转化为一元，体现了转化与化归的数学思想。在解题时，我们要根据方程组的特点，灵活选择合适的消元方法，同时牢记检验步骤，确保解题正确。六、课堂练习（10分钟）课堂练习设计遵循“分层设计、循序渐进”的原则，贴合本节课的三个核心知识点，兼顾基础题、提升题，落实“教-学-评”一体化，既能巩固学生所学知识，又能检测学生的学习效果，同时培养学生的应用实践能力和迁移创新能力。基础题（全员必做，巩固核心知识点，检验学习理解层面目标的落实）：1.用代入消元法解方程组：$\begin{cases}y=3x\\2x+y=10\end{cases}$2.用加减消元法解方程组：$\begin{cases}2x+y=7\\2x-y=3\end{cases}$3.检验$\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}$是不是方程组$\begin{cases}3x-y=5\\x+2y=4\end{cases}$的解。提升题（选做，培养迁移创新能力，检验应用实践和迁移创新层面目标的落实）：4.用适当的方法解方程组：$\begin{cases}3x+4y=19\\x-y=4\end{cases}$（引导学生灵活选择代入或加减消元法）5.解方程组：$\begin{cases}2(x+y)-3(x-y)=1\\3(x+y)+5(x-y)=12\end{cases}$（引导学生先去括号、整理，再消元，培养迁移创新能力）练习要求：学生独立完成，基础题必须全部完成，提升题鼓励学有余力的学生完成；同桌之间可以相互检查，发现问题及时交流纠正；教师巡视指导，重点关注学困生的解题情况，对有困难的学生进行个别辅导，同时记录学生的共性错误，为后续点评做好准备。练习点评：练习结束后，教师针对学生的解题情况进行点评，重点讲解共性错误（如调整系数错误、移项不变号、忘记检验等），同时展示学生的优秀解题过程，表扬解题规范、方法灵活的学生，评价学生的学习效果，针对存在的问题进行针对性讲解，巩固所学知识，突破易错点。七、课堂总结（3分钟）课堂总结遵循“学生自主总结、教师补充完善”的原则，引导学生梳理本节课的核心知识、思想方法和解题技巧，落实“教-学-评”一体化，培养学生的归纳总结能力和数学语言表达能力。师：同学们，今天我们一起探究了二元一次方程组的解法，现在请大家静下心来，回顾一下本节课我们都学习了哪些知识，掌握了哪些方法？有什么收获和疑问？请2-3名学生分享自己的总结，教师针对学生的分享进行补充和完善，重点总结以下几点：1.核心知识点：二元一次方程组的两种解法——代入消元法、加减消元法，以及方程组解的检验方法；2.核心思想：消元思想（将二元转化为一元）、转化与化归思想；3.解题技巧：代入消元法适合其中一个未知数系数为1或-1的方程组；加减消元法适合某一个未知数系数互为相反数或相等的方程组，可根据方程组特点灵活选择；4.注意事项：解题时要注意步骤规范，移项变号、调整系数时要遵循等式基本性质，求解后一定要检验，养成严谨的解题习惯；5.核心素养提升：通过本节课的学习，我们学会了用数学思维思考问题（转化思想）、用数学语言表达解题思路，提升了分析问题、解决问题的能力。最后，教师强调：二元一次方程组的解法是后续学习的基础，希望大家课后加强练习，熟练掌握两种消元方法，灵活运用所学知识解决实际问题，同时注重数学思想的积累和运用。八、课后任务（2分钟）课后任务设计贴合本节课所学知识，兼顾基础巩固和能力提升，同时结合新课标要求，注重分层设计，让不同层次的学生都能有所收获，落实“教-学-评”一体化。基础任务（全员必做，巩固课堂所学，落实学习理解和应用实践层面目标）：1.完成教材对应练习题，用代入消元法和加减消元法各解3个二元一次方程组，要求步骤规范，每道题都要有检验步骤；2.整理本节课所学知识点，包括代入消元法和加减消元法的步骤、易错点，以及消元思想的内涵，用自己的语言写在笔记本上。提升任务（选做，培养迁移创新能力，落实迁移创新层面目标）：1.尝试用两种不同的消元方法解同一个二元一次方程组，比较两种方法的优劣，总结不同方程组适合的消元方法；2.结合课堂导入的实际问题，自己编写一个能用二元一次方程组解决的生活实际问题，并列写出方程组，尝试求解，检验答案的合理性。拓展任务（选做，延伸拓展，培养创新思维）：思考：如果方程组中有三个未知数，我们能不能用消元思想来求解？尝试查阅相关资料，了解三元一次方程组的初步解法，为后续学习做好铺垫。任务要求：认真完成，书写规范，步骤清晰；基础任务必须按时完成，提升任务和拓展任务鼓励学有余力的学生完成；下次上课前，同桌之间相互检查基础任务的完成情况，教师随机抽查，点评学生的完成质量，针对存在的问题进行讲解。九、板书设计板书设计遵循“简洁明了、重点突出、条理清晰”的原则，贴合本节课的核心知识点，突出“消元”思想，便于学生回顾和梳理本节课所学知识，同时体现“教-学-评”一体化的理念。二元一次方程组的解法一、核心思想：消元（二元→一元）——转化与化归二、解法一：代入消元法步骤：1.变形（用一个未知数表示另一个未知数）2.代入（消元，得一元一次方程）3.求解（求一个未知数）4.回代（求另一个未知数）5.检验（确保正确）例题1：$\begin{cases}x+y=5\\2x-y=1\end{cases}$（解题过程简要板书）三、解法二：加减消元法步骤：1.观察（判断能否直接消元）2.调整（必要时调整系数）3.加减（消元，得一元一次方程）4.求解、回代、检验例题2：$\begin{cases}3x+2y=14\\3x-2y=2\end{cases}$（解题过程简要板书）四、易错点：1.移项不变号、调整系数只乘一边2.忘记检验、计算错误五、核心素养：数学眼光、数学思维、数学语言十、教学反思本节课围绕二元一次方程组的解法展开教学，紧扣2022新课标数学核心素养要求，落实“教-学-评”一体化理念，以学生自主探究、小组合作为主，教师引导点拨为辅，探究了代入消元法、加减消元法、方程组解的检验方法三个核心知识点，整体教学流程清晰、任务拆分合理，符合七年级学生的认知发展规律，基本达成了预设的三个层面的教学目标。本节课的亮点之处：1.导入设计贴合学生生活实际，能够有效激发学生的探究欲望，自然引出“消元”思想，为后续探究新知做好铺垫，同时培养了学生用数学眼光观察生活、提炼数学问题的能力，契合新课标要求；2.探究新知环节遵循“自主探究—小组合作—师生总结”的流程，层层递进，突出学生的主体地位，让学生主动参与知识的形成过程，不仅掌握了知识点，更理解了“消元”思想的本质，培养了学生的数学思维和表达能力；3.落实“教-学-评”一体化，在探究新知、课堂练习环节，注重即时评价，通过学生板演、同桌互查、教师抽查等方式，及时反馈学生的学习情况，针对存在的问题进行针对性点评和纠正，确保学生掌握所学知识；4.课堂练习和课后任务均采用分层设计，兼顾不同层次学生的需求，让基础薄弱的学生能够巩固核心知识，让学有余力的学