小学数学五年级上册奥数追及问题知识清单

小学数学五年级上册奥数追及问题知识清单

一、追及问题的核心概念与基本数量关系

追及问题是研究两个或多个物体在同一直线或封闭图形上运动，由于速度差异而导致一个物体从后面追上另一个物体的数学问题。其核心在于研究“速度差”、“初始距离差”与“追及时间”之间的内在联系。在五年级上册的奥数体系中，追及问题是行程问题的重要分支，它建立在学生对速度、时间、路程三者关系熟练掌握的基础之上，是培养学生模型意识和逻辑推理能力的关键载体。解决追及问题的关键在于理解“在相同时间内，速度快的物体比速度慢的物体多走的路程，恰好等于它们起始时刻的路程差”。这个核心关系构成了所有追及问题公式推导的基石。

【基础概念】

1、路程：物体运动所经过的路径长度，单位通常为米或千米。

2、速度：单位时间内物体所经过的路程，它描述了物体运动的快慢。在追及问题中，速度是核心变量。

3、时间：物体运动所持续的时间。

4、路程差：在追及问题开始的那一刻，两个物体之间的距离。这是追及发生的先决条件，也称为“追及距离”。

5、速度差：两个物体在单位时间内，速度较快物体比速度较慢物体多走的路程。这是追及能够完成的动力来源。

6、追及时间：从追及开始到追及成功（即快者追上慢者）所经过的时间。

【核心数量关系】

追及问题的灵魂公式可以表述为：

路程差=速度差×追及时间

这个基本关系式可以衍生出另外两个重要的变形公式：

速度差=路程差÷追及时间

追及时间=路程差÷速度差

【★重要】理解这个公式的由来至关重要：快者每秒比慢者多走一个“速度差”，那么要弥补初始的“路程差”，就需要多少个这样的“速度差”秒，这个秒数就是追及时间。这一逻辑链条是解决一切追及问题的第一性原理。教师应引导学生脱离机械记忆，通过画线段图、模拟运动等方式，深刻内化“多走的路程等于路程差”这一本质。

二、追及问题的基本类型与模型建构

追及问题的表现形式多样，但根据运动场景和已知条件的不同，可以归纳为几种基本模型。掌握这些模型，能够帮助学生快速识别问题类型，并调用相应的解题策略。

（一）直线型追及问题

这是最基础、最常见的追及问题。两个物体在一条直线上同向而行。

1、同时不同地：两个物体在同一时刻开始运动，但起始位置不同。快者在后面，慢者在前面。它们之间的初始距离就是路程差。

【考向分析】这类问题通常直接给出或可以间接求出两者的速度以及初始距离，直接套用公式“追及时间=路程差÷速度差”即可求解。

【高频考点】求追及时间、求速度（其中一个物体的速度）、求初始距离。

【例题思维】小明和小红相距1000米，两人同时从各自家出发向同一方向前进。小明每分钟走80米，小红每分钟走60米。小明几分钟后能追上小红？

分析：路程差为1000米，速度差为80-60=20米/分。追及时间=1000÷20=50分钟。

2、同地不同时：两个物体从同一地点出发，但出发时间不同。慢者先出发，快者后出发。慢者先走的那段路程，就成为了快者出发时与慢者之间的路程差。

【考向分析】解决此类问题的关键一步是求出“路程差”，即慢者先走的路程。路程差=慢者速度×先行时间。之后的问题就转化为“同时不同地”的模型。

【易错点】学生容易忽略先走的时间，直接计算两者的速度差去追及全程。必须强调先走的距离就是需要弥补的差距。

【解答要点】第一步：计算路程差；第二步：计算速度差；第三步：计算追及时间。

【例题思维】甲、乙两人从学校去书店。乙先出发，走了10分钟后甲才出发。乙每分钟走50米，甲每分钟走70米。甲出发后多久能追上乙？

分析：路程差为乙先走的50×10=500米。速度差为70-50=20米/分。追及时间=500÷20=25分钟。

3、追及点问题：这类问题不直接给出路程差，而是通过描述追上的地点来隐含路程差的信息。例如，快者在中点处、或在距离终点某处追上慢者。

【难点】需要结合线段图，分析快者和慢者所走路程之间的关系，往往涉及到全长、中点等概念，对学生的几何直观和代数思维要求较高。

【解题步骤】画线段图，标注出追及点。分析快者比慢者多走的路程具体是多少。这个多走的路程往往不是显性给出的，而是需要根据“中点”等条件推导出来。

（二）环形跑道追及问题

在圆形、椭圆形或方形等封闭环形跑道上的追及问题，其本质与直线型不同，但又紧密联系。这里的“路程差”被赋予了新的含义。

1、从同一地点同向出发：这是环形跑道中最典型的追及模型。两人从同一点出发，沿着同一方向跑步。速度快的人第一次追上速度慢的人时，他比速度慢的人多跑了一圈。

【核心原理】第一次追上，路程差=跑道一圈的长度。

【重要推论】从同一点出发，每追上一次，快者就比慢者多跑一圈。第n次追上，快者就比慢者多跑了n圈。

【考向分析】已知两人速度和跑道长度，求第一次追及时间。或者已知追及时间和速度，求跑道长度。

【高频考点】计算第一次相遇时间；计算第几次相遇时跑的路程；已知相遇时间求速度。

【例题思维】一条环形跑道长400米，小强和小军同时从起点出发，同向而行。小强每秒跑6米，小军每秒跑4米。小强第一次追上小军时，两人各跑了多少米？

分析：路程差为400米（一圈），速度差为6-4=2米/秒，追及时间=400÷2=200秒。此时小强跑了6×200=1200米，小军跑了4×200=800米。

2、从不同地点同向出发：两人起点不同，本身就存在一段初始距离。快者要追上慢者，需要弥补的“路程差”就是两人初始的距离。

【特别注意】在环形跑道中，初始距离的确定有两种情况：一种是以运动方向为准，计算从慢者位置到快者位置沿前进方向的弧线距离；另一种是直接给出的相距距离。此时的路程差就是这个初始距离，而不是一圈的长度。

【易错点】学生容易混淆“从同一地点”和“从不同地点”的公式，总是错误地用一圈长度作为路程差。

3、反向而行中的追及问题本质：虽然反向而行是相遇问题，但当两人反向而行后，再改变方向同向追及，这类综合题是更高层次的考查。它要求学生能分清不同阶段的不同运动关系。

（三）变速与有干扰因素的追及问题

在基础追及问题上进行拓展，引入速度变化、休息、停留、风向、水流等外部因素。

1、中途休息问题：慢者在途中休息或快者在途中休息，会导致实际运动时间与总时间不符。

【解题策略】将休息时间转化为“路程损失”或“追及难度增加”。通常需要用假设法，假设没有休息，计算出应走的路程，再与实际路程比较。

【难点】如何正确处理休息期间两者位置的变化。需要分段考虑，或者利用整体思想，将休息视为速度为0的特殊运动阶段。

2、速度变化问题：追及过程中，一方或双方速度发生改变。

【解题策略】关键在于找到速度变化的节点，将整个运动过程划分为若干段匀速运动的过程。在每个分段内，追及问题的基本公式依然成立。需要仔细分析速度变化前后，路程差的变化。

【考点】分段计算、寻找等量关系列方程是解决这类问题的有效方法。

3、带有往返的追及问题：两人在两地之间往返运动，这往往与多次相遇问题相结合。追及可能发生在同向而行的某一阶段。

【思维进阶】需要借助柳卡图或多次分段画图，动态追踪每个时刻两人的位置，寻找符合“追及”条件的时刻。

三、追及问题的标准解题步骤与策略

面对一道追及问题，遵循一套严谨的解题流程，可以有效提升解题的正确率，尤其是在面对复杂问题时不至于迷失方向。

第一步：审题与建模【非常重要】

仔细阅读题目，明确以下几个关键要素：

1、运动物体：有几个物体在运动？

2、运动状态：是同时出发还是先后出发？是直线运动还是环形运动？是匀速运动还是变速运动？

3、已知数据：分别找出每个物体的速度、出发时间、出发地点。

4、未知所求：题目要求我们求解的是什么？是时间、路程还是速度？

5、初步判断类型：根据以上信息，初步判定这属于哪一类追及问题。

第二步：画图与标注【★核心技能】

无论题目难易，养成画线段图的习惯是解决行程问题的金钥匙。

1、画直线：用一条直线或一个封闭曲线表示运动路径。

2、标起点：在图上清晰标出不同物体的出发位置和出发时间。如果是不同时出发，可以用虚线表示先走的路程。

3、标方向：用箭头标出各自的运动方向。

4、标已知数据：将已知的速度、距离、时间等数据标注在图的相应位置上。

5、标未知：将要求的量设为未知数x，或用一个问号标出。

图形使抽象的数量关系变得直观可见，特别是路程差的产生和弥补过程一目了然。

第三步：寻找等量关系

这是解题的核心环节。根据画出的图形，思考：在追上的那一刻，快者和慢者所走的路程之间存在着怎样的等量关系？

1、基本等量关系：快者走的路程-慢者走的路程=初始路程差（在直线型中）。

2、环形等量关系：快者走的路程-慢者走的路程=n×跑道一圈的长度（n为追上次数）。

3、或：快者走的路程=慢者走的路程+初始路程差。

第四步：列式与计算

根据找到的等量关系和基本公式，列出算式。可以直接套用公式，也可以列方程求解。

1、公式法：如果题目条件直接对应公式中的三个量（路程差、速度差、追及时间）中的两个，可以直接计算第三个。

2、方程法：当题目条件复杂，特别是涉及变速、变向、多人时，列方程（组）是更稳妥的策略。设追及时间为x，根据等量关系列出方程。例如：快者速度×x=慢者速度×x+初始路程差。

第五步：检验与作答

计算出结果后，要进行简单的检验。

1、合理性检验：时间是否为非负数？路程是否符合常理？（例如，在环形跑道中，求出的时间是否能保证快者确实多跑了一圈或多跑了几圈？）

2、代入原题检验：将求得的结果代入题目描述的情境中，看是否符合所有条件。最后，清晰、完整地写出答案。

四、追及问题的常见易错点与避坑指南

在学习和考试中，学生在追及问题上常常出现一些典型的错误。识别并理解这些易错点，是通向满分的必经之路。

【易错点一】对路程差判断失误

这是追及问题中最常见、也是最致命的错误。

1、混淆“相距距离”与“路程差”：在环形跑道上从不同点出发，有的题目会直接给出“两人相距100米”。但这个100米未必就是追及所需的路程差。如果快者在后面追慢者，这个100米就是路程差；如果快者在前面，慢者在后面，那么快者要追上慢者，需要先跑完一圈减去100米。必须结合运动方向来判断。

2、忽略“先行路程”：在同地不同时问题中，忘记计算慢者先走的路程，直接用总路程作为路程差。

3、错误计算“追上时的路程差”：例如，在直线中点追及问题中，错误地认为快者比慢者多走的路程是全长的一半，而实际上需要根据追及点具体分析。

【易错点二】单位不统一

速度的单位是“米/秒”或“千米/时”，时间单位是“秒”或“时”，路程单位是“米”或“千米”。在列式计算前，必须将所有数据的单位统一。例如，速度是米/分，时间是小时，就需要将小时转化为分钟，或者将速度转化为米/时。

【易错点三】环形跑道问题中的“圈数”概念不清

1、第n次追上与第n次相遇混淆：“追上”是同向而行的结果，“相遇”是反向而行的结果。

2、多跑圈数理解不清：对于从同一地点出发，第一次追上多跑一圈，第二次追上再多跑一圈，总共多跑两圈。但有的学生会错误地认为第二次追上时多跑的还是只有一圈。

【易错点四】运动过程分析不全

在多人或多阶段的追及问题中，学生往往只关注了整体，忽略了中间过程。例如，甲先追乙，甲追上乙后返回，又与丙相遇等。必须一步一步地分析，不能跳跃。

【解答要点与避坑策略】

1、勤画图：把抽象的文字转化为直观的图形，是避免一切判断失误的根本方法。

2、标注时间点：对于不同时出发的问题，在图上标注出快者出发的时刻，此时慢者已经到达的位置，这个位置差就是初始路程差。

3、统一单位：解题前，第一时间检查并统一所有物理量的单位。

4、分步列式：不要试图用一个超级复杂的综合算式解决问题。多使用分步算式，每一步都有明确的物理意义，既清晰又不易出错。

5、回代检验：求出答案后，将答案代入题目，模拟整个运动过程，看是否自洽。

五、追及问题与其他知识模块的综合应用

作为奥数体系中的核心内容，追及问题很少孤立存在，它常常与分数、百分数、比例、方程、几何初步知识等结合在一起进行综合考查。

（一）与分数、百分数结合

题目中的速度、路程或时间会以分数或百分数的形式给出。

【考向】已知甲的速度比乙的速度快几分之几，或甲行完全程的时间比乙少百分之几，再结合追及问题求解。

【解题策略】通常需要将分数或百分数转化为比例，利用比例思想来解题。例如，若甲的速度比乙的速度快1/5，则甲、乙的速度比为6:5。在时间相同的情况下，路程比等于速度比。在路程相同的情况下，时间比等于速度的反比。利用这些比例关系，可以巧妙地绕开具体数值，直接通过份数来解题。

【例题思维】客车和货车同时从A、B两地相对开出，相遇后继续前进，当客车到达B地时，货车距离A地还有全程的1/4。已知客车比货车每小时快15千米，求A、B两地的距离。这虽然是相遇问题与分数问题的结合，但其背后蕴含的速度差与路程差的关系，与追及问题的思想是相通的。

（二）与比例问题结合

用比例来解追及问题是一种非常高阶的数学思维，尤其在处理变速问题或已知路程比、时间比的问题时，显示出极大的优越性。

【核心原理】当速度一定时，路程与时间成正比例；当时间一定时，路程与速度成正比例；当路程一定时，速度与时间成反比例。

【解题策略】在追及问题中，从开始到追上的这段时间，对于快者和慢者是“时间相同”的。因此，他们在这段时间内所走的路程比，就等于他们的速度比。如果知道他们的速度比，又知道他们的路程差（即初始路程差），就可以按比例分配求出各自走的路程。

【高频考点】利用速度比求路程比，或利用路程比求速度比。

（三）与列方程解应用题结合

方程是解决复杂追及问题的万能工具。

【重要性】对于包含变速、变向、多人参与等复杂因素的问题，算术方法往往头绪繁杂，难以直接列式。此时，列方程解应用题的优势就凸显出来。它通过设未知数，将题目中隐藏的等量关系直接翻译成数学方程，极大地简化了思维过程。

【常见题型】

1、求速度：设其中一个物体的速度为x，根据追及时间或路程差的关系列出方程。

2、求路程：设两地距离为x，根据追及过程或相遇与追及相结合的关系列出方程。

3、求时间：设追及时间为x，这是最直接的方程应用。

（四）与几何初步知识结合

在涉及正方形、长方形等几何图形的边长、周长的行程问题中，追及问题与几何知识相结合。

【解题策略】首先要清楚几何图形的特点，例如沿着正方形花坛走一圈的周长是多少，或者沿着长方形跑道的长边和宽边行走时速度与方向的关系。这类问题本质还是行程问题，只是运动路径是几何图形。

六、追及问题中的高阶思维与思想方法

顶尖的复习不仅仅停留在会做题，更要提炼出解决问题背后的数学思想，以应对未来更复杂的学习挑战。

（一）转化与化归思想

这是解决所有数学问题的核心思想。在追及问题中，我们始终在实践这一思想：

1、将“不同地”转化为“同地”：通过计算先行路程，把不同地出发的问题转化为同时不同地的问题。

2、将“环形”转化为“直线”：第一次追及问题，可以将环形跑道“剪开”，拉直成一条直线，此时一圈的长度就变成了直线上的路程差。

3、将“变速”转化为“匀速”：通过分段，将变速运动分解为多个匀速运动的阶段。

学生需要有意识地培养这种将未知问题转化为已知模型的能力。

（二）方程思想

方程思想是代数思维的萌芽。它让我们从“正向求解”的算术思维，转向“设未知数列等式”的代数思维。在复杂追及问题中，方程思想让“找关系”变成了“翻译句子”，大大降低了思维难度。它是连接小学算术与初中代数的桥梁，【非常重要】。

（三）函数与对应思想

虽然五年级不涉及函数概念，但追及问题中已经蕴含了函数思想的雏形。例如，在速度差固定的情况下，追及时间与路程差是成正比例的关系。让学生体会到，当一个量变化时，另一个量也随着有规律地变化，这种变量之间的依赖关系就是函数思想的萌芽。

（四）数形结合思想

画线段图是数形结合思想的最直观体现。它将抽象的数量关系（数）与直观的空间图形（形）结合起来，以形助数，以数解形。这是贯穿整个中小学数学学习的重要思想方法，【★重要性极高】。解决任何追及问题，都应首先想到画图。

（五）模型意识

追及问题是数学建模的典型案例。从现实生活中的跑步、行车、追赶等现象中，抽象出“路程差、速度差、时间”这三个核心要素，并建立“路程差=速度差×时间”这个数学模型。当学生掌握了这个模型，就能用它来解释和解决生活中大量的同向运动问题。

七、追及问题考点、考向与题型预测

在五年级上册的各类测评中，追及问题通常是区分度较高的一类题目。了解其考查方式，有助于进行有针对性的复习。

【高频考点】

1、直接套用公式计算：求追及时间、求速度差、求路程差。这是所有考查的基础，要求公式熟练、计算准确。

2、同地不同时的追及问题：必考题型之一，重点在于正确计算先行路程。

3、环形跑道上的第一次追及问题：重点考查对“路程差是一圈”的理解。

4、线段图辅助解题：很多题目会直接要求“根据题意画出线段图再解答”，这是对解题过程和思维方法的考查。

5、列方程解复杂的追及问题：当题目条件较多或关系复杂时，列方程是首选的解题策略。

【常见题型与考向】

1、基础计算题：直接给出两个速度和初始距离，求追及时间；或给出追及时间和路程差，求其中一个速度。

2、文字应用题：结合生活情境，如上学追同学、警察追小偷、快车追慢车等，考查学生从实际问题中抽象出数学模型的能力。

3、图表信息题：给出两人运动的图像（如路程-时间图），要求学生从图中读取速度、追及点等信息。这【热点】趋势，考查学生的信息获取和处理能力。

4、开放探究题：给出一个追及情境，但条件不完整，要求学生自己添加条件并解答；或者提出“在什么情况下快者永远追不上慢者”等问题，考查思维的严密性。

5、综合实践题：将追及问题与测量、估算等实践活动结合，例如，让学生设计一个方案，测量自己和同伴走路的速度，并计算在什么位置能追上对方。

【考查方式】

1、填空、选择：考查基本概念和简单计算。

2、解答题：考查完整的解题过程，要求有步骤、有图示、有说明。这是最主要的考查方式。

3、操作题：要求画出运动示意图。

4、说理题：要求学生解释某一现象或结论背后的追及原理。

八、经典追及问题解析与思维拓展

通过对一些经典题目的剖析，可以更深刻地理解追及问题的精髓。

【经典例题1】基础直线型

甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行60千米，乙车每小时行48千米，两车在距中点30千米处相遇。求A、B两地相距多少千米？

【解析】此题是相遇问题，但其核心思想与追及相通。两车在距中点30千米处相遇，说明甲车比乙车多走了两个30千米，即60千米。这正是甲车比乙车多走的路程，也就是路程差。速度差为60-48=12千米/时。所以相遇时间为60÷12=5小时。两地距离为(60+48)×5=540千米。

【思维拓展】此题的关键是理解“距中点30千米相遇”与“路程差”之间的转化。这是数形结合思想的绝佳体现。

【经典例题2】环形追及变式

在300米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地同向起跑。甲每秒跑5米，乙每秒跑4.4米。两人起跑后的第一次相遇地点在起跑线前多少米？

【解析】第一次相遇即甲第一次追上乙。路程差为300米，速度差为5-4.4=0.6米/秒，追及时间=300÷0.6=500秒。此时甲跑的路程=5×500=2500米。2500÷300=8（圈）……100（米）。所以第一次相遇地点在起跑线前100米。

【思维拓展】问题不仅要求追及时间，还要求具体位置。这需要将总路程转化为圈数和余数，考查了周期思想。

【经典例题3】变速与方程结合

小明从家去学校，如果每分钟走50米，则要迟到3分钟；如果每分钟走60米，则比上课时间提前2分钟到校。小明家到学校的距离是多少米？

【解析】这是典型的盈亏问题与行程问题的结合，本质是在路程一定的情况下，速度与时间的反比关系。可以设小明从家到学校的准确上课时间为x分钟。根据两种走法，家到学校的距离是不变的，列方程：

50×(x+3)=60×(x-2)

50x+150=60x-120

270=10x

x=27（分钟）

距离=50×(27+3)=50×30=1500米。

【思维拓展】此题虽然并非标准的追及问题，但其中涉及的“迟到时间”和“提前时间”本质上可以看作是两种速度下，在标准时间内所走路程与总路程的路程差。它很好地训练了