初中七年级数学上册（人教版2024）第五章一元一次方程方案选择问题知识清单

初中七年级数学上册（人教版2024）第五章一元一次方程方案选择问题知识清单

一、课程标准与核心素养解读

【课标要求】本部分内容对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第三学段“方程与不等式”。要求学生能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；能解一元一次方程；并能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。

【核心素养聚焦】

1.数学建模：【非常重要】将现实生活中的方案决策问题（如购物、出行、收费、工程等）抽象为数学问题，即建立一元一次方程模型。这是本讲的核心思想，贯穿始终。

2.分类讨论思想：【高频考点】【难点】当问题中存在不确定因素（如时间、数量、范围）导致计费或优惠方式不同时，需要根据不同的取值范围进行分类讨论。分类的关键是找到“临界点”或“平衡点”。

3.最优化思想：【热点】在多个可行方案中，通过计算、比较，选择费用最省、获利最多或最为合算的方案，培养经济意识和决策能力。

4.应用意识：能将所学知识应用于解决生活中的实际问题，体会数学的价值。

二、核心概念与基本原理

1.方案选择问题的本质：给定两个或多个可行的方案，每个方案的费用（或收益）与某个变量（如时间、数量）存在函数关系（七年级阶段表现为一次线性关系）。问题的核心是：在变量取不同值时，比较各方案的结果，选出最优者。

2.基本等量关系：

1.3.总费用=固定费用+可变费用（如：月租费+超时费；起步价+超出部分里程费）。

2.4.总价=单价×数量。

3.5.总价=标价×折扣率（打几折就是乘以十分之几）。

4.6.利润=售价-进价；利润率=利润÷进价×100%。

5.7.工作总量=工作效率×工作时间（常把总量看作“1”）。

8.关键变量识别：【基础】在审题时，首先要准确找出影响方案选择的自变量（通常设为未知数x），如：通话时间、乘车里程、购买数量、使用年限等。其次，要理清每个方案的费用（或因变量）如何随自变量的变化而变化。

三、经典模型与解题通法

根据方案中计费方式的复杂程度，通常分为三个层次。

（一）【基础】两方案费用均为单一表达式型

1.题型特征：两种方案的费用都可以用一个不含分段的一次式表示。例如：方案一：y₁=a₁x+b₁；方案二：y₂=a₂x+b₂。

2.解题步骤：【重要】

1.3.设：设影响方案选择的未知量为x。

2.4.列：根据题意，分别用含x的代数式表示两种方案的费用y₁和y₂。

3.5.比：比较y₁与y₂的大小。

1.4.6.找临界点：令y₁=y₂，解方程得到x=x₀。

2.5.7.定优劣：

1.3.6.8.当x=x₀时，两种方案费用相同，任选其一。

2.4.7.9.当x>x₀时，代入一个大于x₀的值，比较y₁和y₂的大小，小的更优（或大的更优，依题意而定）。

3.5.8.10.当x<x₀时，代入一个小于x₀的值，比较y₁和y₂的大小。

11.示例模型：游泳馆购卡问题（会员卡vs次卡）、复印店选择问题（按页收费vs包月）。

（二）【重点】单一方案分段计费型

1.题型特征：某一方案的费用，在不同范围内有不同的计费标准（如阶梯水价、电价、出租车费）。另一方案可能是固定收费或另一分段收费。

2.解题步骤：【非常重要】

1.3.审清分段点：明确题目给出的分段临界值（如：150分钟、3公里、140度）。【易错点：注意“不超过”“超过”“超过部分”等关键词的含义，弄清是全部按新标准计费，还是仅超出部分按新标准计费】

2.4.列表分析：根据分段点，将自变量x的取值范围划分成若干区间，并列出每个区间内各方案的代数式。【技巧：借助数轴帮助理解分段区间】

3.5.逐段讨论：

a.在第一个区间内（通常是x小于最小分段点），直接判断哪个方案更优。

b.在中间区间（存在两种方案均非固定值的情况），先假设两方案费用相等，解出此时的x值。必须检验该解是否在当前讨论的区间范围内。【高频考点】【易错点】若解不在该区间内，则此区间内两方案费用永不相等。

c.根据解出的分界点，在该区间内进一步划分更小的子区间，判断优劣。

d.在最后一个区间内，重复a或b的步骤。

4.6.综合结论：将所有区间的讨论结果进行汇总，最终给出在自变量x的不同范围内，应该选择哪个方案的完整建议。

7.经典案例：移动电话计费问题（如教材中的主叫超时费）、出租车计费问题、阶梯水价电费问题。

（三）【难点】双方案均需分段讨论型

1.题型特征：两种方案的费用都是随着自变量x的变化而分段计算的，且分段点可能不同。如空调选购问题（价格固定，但后期电费随年限变化，实际上是将两种不同能效的空调在不同使用年限下的总费用进行比较）-3，或两种不同计费规则的打车软件比较-6。

2.解题策略：

1.3.识别“隐形”分段点：此类问题的自变量（如使用年限t）通常没有显式的收费分段，但比较的维度发生了变化。关键在于理解“总费用=初始投入+后期消耗×时间”这一模型。

2.4.构建函数模型：分别写出两种方案的总费用关于自变量（如年限）的代数式。

3.5.方程找平衡：令两个代数式相等，解出临界时间点t₀。

4.6.代入判趋势：取小于t₀和大于t₀的两个特殊值（或进行代数式变形，如作差法），判断在临界点两侧哪种方案更省钱。

7.模型拓展：此模型是后续学习一次函数、不等式的基础，体现了知识的连续性。

四、常见题型与考向分析

考向一：购物优惠方案选择

1.考查方式：【热点】通常以商场促销（打折、送券、满减）、文具店或书店优惠为背景。

2.示例：某班需购买一批乒乓球拍和乒乓球，甲店：买一副球拍送一盒球；乙店：全部九折。设购买乒乓球x盒。问：如何选择更划算？-4

3.解答要点：

1.4.必须注意“送”和“打折”的区别。“送”是赠送实物，不影响已购买物品的费用，但减少了需要购买的物品数量（或相当于降低了总价）；“打折”是按比例降低总价。

2.5.设未知数后，准确表达两种方案的实际付款金额。

3.6.采用“作差法”或“方程法”找到临界点，再结合x的范围（是否取整数）给出建议。

4.7.【易错点】当购买数量较少时，可能“不优惠”的方案反而更省钱，需一并考虑。

考向二：计费方案选择（分段计费）

1.考查方式：【高频考点】【非常重要】常以手机话费、上网流量费、自来水费、电费、出租车费为背景。

2.示例：某市自来水收费实行阶梯水价，用户月用水量不超过10吨的部分按a元/吨收费，超过10吨不超过20吨的部分按b元/吨收费，超过20吨的部分按c元/吨收费。已知某户某月用水18吨，交水费36元，求a、b、c的值或该户下月用水量。-9

3.解答要点：

1.4.先定性，后定量：首先要判断用户的使用量落在了哪一个收费区间。这通常需要根据给出的总费用进行估算。

2.5.分段计算：费用要分区间求和，不能直接用单一单价乘以总量。

3.6.【解题步骤回顾】解此类题的标准步骤是：估算区间→设未知数→列分段方程→求解→检验解是否在假设的区间内。

7.电话计费核心模型（教材母题变式）：月使用费固定，主叫限定时间，超时另计。

1.8.当t≤150时，方案一费用=58，方案二=88，方案一优。

2.9.当150<t<350时，方案一=58+0.25(t-150)，方案二=88。令两者相等得t=270。

1.3.10.150<t<270，方案一优。

2.4.11.t=270，两者相同。

3.5.12.270<t<350，方案二优。

6.13.当t=350时，方案一=108，方案二=88，方案二优。

7.14.当t>350时，方案一=108+0.25(t-350)，方案二=88+0.19(t-350)。令两者相等得t≈...经计算，t>350时，方案二始终优。-1

考向三：生产与销售方案设计

1.考查方式：【难点】涉及产品加工、运输、调配等，不仅需要比较利润，还需要考虑时间、资源限制等条件。

2.示例：某蔬菜公司收购蔬菜140吨，可以进行粗加工或精加工。粗加工每天16吨，利润4500元/吨；精加工每天6吨，利润7500元/吨，公司须在15天内完成。请设计利润最大的方案。-5

3.解答要点：

1.4.此类问题通常有多个约束条件，设计的方案必须满足所有条件（如：总天数≤15天，总加工量=140吨）。

2.5.方案一（全粗）：计算所需天数和总利润。

3.6.方案二（尽量精，剩余粗或直接卖）：注意“尽量多”精加工，即用满15天精加工，剩余的直接销售或粗加工。

4.7.方案三（混合加工）：设未知数（如设精加工x天），利用“两种加工方式总天数=15，总加工量=140”列方程。这是最优解最常见的来源。

5.8.比较各方案的最终利润，选出最高者。

考向四：综合费用与长期决策

1.考查方式：结合环保、节能等热点，如购买不同能效的电器，综合考虑购买价格和长期使用费用。-3

2.示例：买空调，1级能效比3级能效贵400元，但1级能效每小时省电0.16度，电费0.5元/度，问至少使用多少年，买1级能效才划算？

3.解答要点：

1.4.理解“划算”的含义：长期总费用（购买价+电费）更低。

2.5.找到等量关系：1级能效总费用=3级能效总费用，此时的年限即为“平衡点”。

3.6.【思维拓展】此类问题为后续学习不等式“超过多少年更划算”埋下伏笔。

五、高频考点与难点突破

（一）【高频考点】寻找“分界点”

这是所有方案选择问题的核心步骤。无论是哪种模型，最终都要归结为解一个一元一次方程，找到使两种方案费用相等的那个关键值。这个值是将自变量取值范围划分为“选A”和“选B”两部分的黄金分割点。

（二）【易错点】分段计费中的“临界值”归属

在分段计费中，明确规定“不超过某数”和“超过某数”的界限。

1.易错情形：在列方程时，容易将属于“不超过”部分的费用错误地计入“超过”部分，或者在讨论“超过”时，忘记加上“不超过”部分的基础费用。

2.对策：养成画数轴、列表格的习惯。例如，对于主叫时间t，可以明确标出t<150,t=150,150<t<350,t=350,t>350等几个区间，确保不重不漏。

（三）【易错点】解的“有效性”检验

在分段区间内解出的临界点，必须回头检查它是否属于我们假设的这个区间。【重要】

1.经典错误：在150<t<350的区间内，假设两种方式费用相等，解出t=270。这270在(150,350)内，所以有效。如果在某个区间内解出的t不在该区间内，说明在此区间内两种方案费用不可能相等，需要重新审视模型或直接判断优劣。

（四）【难点】含参方案讨论

有些题目中，某个方案的费用含有未知系数（如折扣率未知、收费标准未知），需要反过来根据“选择结果”来求这个未知参数。

1.应对策略：这类题目属于逆向思维。通常先利用“费用相等”建立方程求出参数，再根据参数的值去验证方案选择是否正确。

六、解题规范与答题技巧

1.审题要细：圈出关键词：“超过”“不超过”“打折”“赠送”“合算”“更省”等。

2.表达要准：设未知数后，首先写出两个方案的费用表达式。如果表达式是分段的，必须注明自变量的取值范围。

3.讨论要全：【非常重要】分类讨论时，要做到“不重不漏”。讨论的起点和终点要清晰，中间的分界点要逐一处理。

4.作答要明：最终结论必须清晰明了，通常以“所以，当……时，选择方案一；当……时，选择方案二；当……时，两种方案均可”的形