2026届湖北省楚天协作体高三上学期11月期中考试数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省楚天协作体2026届高三上学期11月期中考试数学试题一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.2.在中，已知，，则的面积为（）A. B.2 C. D.3.已知实数a，b，c，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数则，已知复数则（）A. B. C. D.5.已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.6.与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（）A.2条 B.3条 C.4条 D.6条7.有四个半径为的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四个小球放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切.在四个小球之间有一个小球，与这四个小球均外切.则球的半径为（）A. B.C. D.8.已知函数，，则在下列哪个区间上一定存在极值点（）A. B. C. D.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.数据，，3，7，8，9，11，15的下四分位数是1B.若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好C.已知随机变量，若，，则D.依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联10.中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（）A.B.若且有唯一解，则C.若，则D.若，则面积最大值为11.数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（）A. B. C. D.三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.5名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他4名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有________种排法.13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率________.14.已知数列共有项，其中项为，项为.若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为__________，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为__________.四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列满足，.（1）证明：为等比数列；（2）求数列的前项和.

16.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.

17.欲从甲、乙两个无线通信设备中选出一个稳定设备作为应急通信设备，现对这两个设备轮流发送信号进行测试，每次发送一组信号.已知甲设备每次发送信号成功的概率为，乙设备每次发送信号成功的概率为，且每次信号发送结果互不影响.约定1：任选一个设备发送一组信号，若信号发送成功，便成为稳定设备；约定2：从甲设备开始发送信号，轮流发送进行测试，先发送信号成功的设备为稳定设备，当决定出稳定设备或两设备都发送信号3次均失败，结束测试.（1）按照约定1，求在发送一次信号就成功的条件下，甲设备成为稳定设备的概率；（2）按照约定2，（i）两个设备共发送信号不超过4次时，求甲设备成为稳定设备的概率；（ii）测试结束时，求乙设备发送信号次数的分布列与数学期望.

18.已知椭圆：过点，长轴长为4.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，.证明：为定值.

19.已知函数.（1）若对任意的，，求实数的取值范围；（2）设，（i）对任意正整数，证明：函数有唯一的零点；（ii）证明：.湖北省楚天协作体2026届高三上学期11月期中考试数学试题一.单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.2.在中，已知，，则的面积为（）A. B.2 C. D.3.已知实数a，b，c，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.任意一个复数都可以表示成三角形式，即.法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数则，已知复数则（）A. B. C. D.5.已知向量，满足，，，则在方向上的投影向量是（）A. B. C. D.6.与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有（）A.2条 B.3条 C.4条 D.6条7.有四个半径为的小球，球，球，球放置在水平桌面上，第四个小球放在这三个小球的上方，且四个小球两两外切.在四个小球之间有一个小球，与这四个小球均外切.则球的半径为（）A. B.C. D.8.已知函数，，则在下列哪个区间上一定存在极值点（）A. B. C. D.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.数据，，3，7，8，9，11，15的下四分位数是1B.若用不同的模型拟合同一组数据，则决定系数越大的模型，拟合效果越好C.已知随机变量，若，，则D.依据分类变量与的成对样本数据，计算得到，则依据的独立性检验，可以认为两个变量没有关联10.中，角，，所对的边分别为，，且，下列说法正确的是（）A.B.若且有唯一解，则C.若，则D.若，则面积最大值为11.数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取两项，它们的和为奇数的概率为，数列的前项积为，则（）A. B. C. D.三.填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.5名同学站成一排，甲身高最高，排在中间，其他4名同学身高均不相等，甲的左边和右边均由高到低排列，共有________种排法.13.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，，则双曲线的离心率________.14.已知数列共有项，其中项为，项为.若数列满足对任意中的的个数不少于的个数，则称数列为“规范数列”.当，时，“规范数列”的个数为__________，记表示数列是“规范数列”的概率，则的最小值为__________.四.解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列满足，.（1）证明：为等比数列；（2）求数列的前项和.

16.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.

17.欲从甲、乙两个无线通信设备中选出一个稳定设备作为应急通信设备，现对这两个设备轮流发送信号进行测试，每次发送一组信号.已知甲设备每次发送信号成功的概率为，乙设备每次发送信号成功的概率为，且每次信号发送结果互不影响.约定1：任选一个设备发送一组信号，若信号发送成功，便成为稳定设备；约定2：从甲设备开始发送信号，轮流发送进行测试，先发送信号成功的设备为稳定设备，当决定出稳定设备或两设备都发送信号3次均失败，结束测试.（1）按照约定1，求在发送一次信号就成功的条件下，甲设备成为稳定设备的概率；（2）按照约定2，（i）两个设备共发送信号不超过4次时，求甲设备成为