2026年高二数学寒假自学课（沪教版）第11讲 圆锥曲线单元复习（解析版）

第11讲圆锥曲线单元复习

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：圆的标准方程

1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和

半径.

2.标准方程：圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程是(xa)2(yb)2=r2.

3.图例：

若点M(x,y)在圆C上，则点M的坐标适合方程(xa)2(yb)2r2；反之，若点M(x,y)的坐标适

合方程(xa)2(yb)2r2，则点M在圆C上.

知识点2：求圆的标准方程

求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．

（1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦

的垂直平分线的交点一定是圆心．

（2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确

定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的

定形条件．

知识点3：点与圆的位置关系

圆：222，其圆心为，半径为，点，

C(xa)(yb)r(r0)C(a,b)rP(x0,y0)

设22

d|PC|(x0a)(y0b).

位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点

点在圆外222

dr(x0a)(y0b)r

点在圆上222

dr(x0a)(y0b)r

点在圆内222

dr(x0a)(y0b)r

知识点4：圆的一般方程

当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，

DE1

其中圆心为(,)，半径rD2E24F.

222

知识点5：待定系数法求圆的一般方程

求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

①根据题意，选择标准方程或一般方程；

②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．

知识点6：直线与圆的位置关系及判断

位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；

（2）直线与圆相切，只有一个公共点；

（3）直线与圆相离，没有公共点．

判定方法：（1）几何判定法：

设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离：

1d>r圆与直线相离；

2d＝⇔r圆与直线相切；

③d<r圆⇔与直线相交．

（2）⇔代数判定法：

AxByC0

由消元，得到一元二次方程的判别式，则

222

(xa)(yb)r

①0直线与圆相交；

②0⇔直线与圆相切；

3<0⇔直线与圆相离.

知识点7⇔：弦长

设直线的方程为，圆的方程为222，弦长的求法有几何法和代数法：

lykxbC(xx0)(yy0)r

（1）几何法:如图,直线l与圆C交于A,B两点,设弦心距为d,圆的半径为r,弦长为|AB|,则有

|AB|

()2d2r2,即|AB|2r2d2.

2

（）代数法如图将直线方程与圆的方程联立设直线与圆的两交点分别是则

2:,,A(x1,y1),B(x2,y2),

1

|AB|(xx)2(yy)21k2|xx|1|yy|(直线l的斜率k存在).

121212k212

知识点8：直线与圆相切的相关知识点

1.性质：（1）直线与圆有且只有一个公共点

(2)直线所在的方程与圆所在的方程组成的方程组有且只有一组解.

（3）从圆外一点引圆的切线，切线长相等.

(4)过切点过圆心的直线与切线垂直.

2.求切线方程的常用方法：

（）求过圆上一点的圆的切线方程的方法

1(x0,y0)

1

先求切点与圆心的连线所在直线的斜率k，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方

k

程．若或不存在，则可直接得切线方程为或．

k0kxx0yy0

（）求过圆外一点的圆的切线方程的方法：

2(x0,y0)

①几何法．设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，

yy0k(xx0)kxykx0y00

可求得k，切线方程即可求出．

②代数法．设切线方程为，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元

yy0k(xx0)ykxkx0y0x

二次方程，由0，求得k，切线方程即可求出．

注意过圆外一点的切线必有两条.

知识点9：利用直线与圆的位置关系求范围

（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代

数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到

数形结合的思想．

y

（2）若P(x,y)是定圆C：(xa)2(yb)2r2上的一动点，则mxny和这两种形式的最值，一般都

x

有两种求法，分别是几何法和代数法．

|manbt|

①几何法．mxny的最值：设mxnyt，圆心C(a,b)到直线mxnyt的距离为d，

m2n2

由dr即可解得两个t值，一个为最大值，一个为最小值．

yy

的最值：即点P与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值．

xx

②代数法．mxny的最值：设mxnyt，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，

求得t的两个值，一个为最大值，一个为最小值．

yy

的最值：设t，则ytx，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t的两个

xx

值，一个为最大值，一个为最小值．

知识点10：圆与圆位置关系及判断

（1）几何法

位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示

两圆相离

dr1r2

0

两圆内含

dr1r2

两圆相交

2r1r2dr1r2

两圆内切

dr1r2

1

两圆外切

dr1r2

其中和分别是圆和圆的半径

r1r2C1C2,d|C1C2|.

（2）代数法

联立两圆的方程组成方程组,则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:

方程组解的个数210

两圆的公共点个数210

两圆的位置关系相交.外切或内切相离或内含

知识点11：两圆的公共弦

（1）若两圆相交，则有一条公共弦，将两圆的方程相减求两圆公共弦所在的直线方程时，必须注意只有当

两圆方程中二次项的系数相同时，才能如此求解，若二次项的系数不同，需先调整方程中各项的系数．

（2）求两圆公共弦长有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用距离公式求解；二是先求出

两圆公共弦所在直线的方程，再利用圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解．

知识点12：椭圆的定义

1．椭圆的第一定义

平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a＞|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆，其中，这

两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离|F1F2|叫做焦距．

2．椭圆的第二定义

平面内到一个定点的距离和到一条定直线的距离之比是常数e＝（0＜e＜1，其中a是半长轴，c是半

焦距）的点的轨迹叫做椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数e叫椭圆的离心率．

3．注意要点椭圆第一定义中，椭圆动点P满足{P||PF1|+|PF2|＝2a（a＞0）}．

（1）当2a＞|F1F2|时，动点P的轨迹是椭圆；

（2）当2a＝|F1F2|时，动点P的轨迹是线段F1F2；

（3）当2a＜|F1F2|时，动点P没有运动轨迹．

【注意】椭圆定义中的限制条件：只有当平面内动点P与两个定点F1、F2的距离的和2a＞|F1F2|时，其轨

迹才为椭圆．

知识点13：椭圆的标准方程

椭圆标准方程的两种形式：

（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；

（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．

两种形式相同点：a＞b＞0；a2＝b2+c2

两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．

标准方程

（a＞b＞0）（a＞b＞0）

中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上

图形

顶点A（a，0），A′（﹣a，0）A（b，0），A′（﹣b，0）

B（0，b），B′（0，﹣b）B（0，a），B′（0，﹣a）

对称轴x轴、y轴，长轴长2a，短轴长x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b

2b焦点在长轴长上

焦点在长轴长上

焦点F1（﹣c，0），F2（c，0）F1（0，﹣c），F2（0，c）

焦距|F1F2|＝2c（c＞0）|F1F2|＝2c（c＞0）

c2＝a2﹣b2c2＝a2﹣b2

离心率

e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）

准线

x＝±y＝±

知识点14：双曲线的定义

平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数小于的点的轨迹叫做双曲线．这两个定

F1F2(|F1F2|)

点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．

对于双曲线的定义，有以下理解:

在双曲线的定义中，“距离的差”要加绝对值，否则只表示双曲线的一支，如若F1，F2为双曲线的左、

右焦点，则有如下两种情形:

若点满足，则点在双曲线的左支上．

(1)P|PF2||PF1|2a(a>0)P

若点满足，则点在双曲线的右支上．

(2)P|PF1||PF2|2a(a>0)P

知识点15：双曲线的标准方程

x2y2

1．焦点在x轴上的双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)，焦点分别是F(c,0)，F(c,0)．

a2b212

y2x2

2.焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a>0，b>0)，焦点分别是F(0,c)，F(0,c)．

a2b212

222

新疆

王新敞

3.a，b，c三者的关系为cab．且a0,b0,c0奎屯

新疆

王新敞

其中a与b的大小关系:可以为ab,ab,ab奎屯

在双曲线的标准方程中，长度分别为a，b，c的三条线段恰好构成一个直角三角形，且长度为c的线段是

斜边，如图所示．

补充讲解：(1)标准方程中的两个参数a和b确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件．

焦点，的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型，焦点跟着正项走，即若

(2)F1F2

x2的系数为正，则焦点在x轴上；若y2的系数为正，则焦点在y轴上．

(3)当且仅当双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式．

x2y2

(4)双曲线的标准方程的特征是1(数Ⅰ与数Ⅱ异号)，因此方程又可写为

数Ⅰ数Ⅱ

Ax2By21(AB0)，这种形式是当焦点所在的坐标轴不易判断时的统一设法．

椭圆与双曲线的比较如下表：

椭圆双曲线

定义

|MF1||MF2|2a|MF1||MF2|2a

与

2a|F1F2|

2a|F1F2|2a|F1F2|

的关系

a2b2c2c2a2b2

a,b,c的关系

ab0,c0a0,b0,c0

x2y2y2x2x2y2y2x2

标准方程1或1(ab0)1或1(a0,b0)

a2b2a2b2a2b2a2b2

焦点在x轴上焦点在x轴上

图象

知识点16：双曲线的相关性质

x2y2y2x2

－＝1－＝1

标准方程a2b2a2b2

(a>0，b>0)(a>0，b>0)

图形

范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a

对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点

顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)

ba

渐近线y＝±xy＝±x

ab

性质

c

离心率e＝，e∈(1，＋∞)

a

线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做

实虚轴双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b

叫做双曲线的虚半轴长

a，b，c的关系c2＝a2＋b2

补充讲解：1．等轴双曲线

新疆

王新敞

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线奎屯

新疆

王新敞

等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：yx；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率e2奎屯

22

新疆

王新敞

等轴双曲线可以设为：xy(0)，当0时交点在x轴，当0时焦点在y轴上奎屯

2．共渐近线的双曲线系

bkb

如果已知一双曲线的渐近线方程为yxx(k0)，那么此双曲线方程就一定是：

aka

x2y2x2y2

新疆

王新敞

1(k0)或写成奎屯

(ka)2(kb)2a2b2

3．双曲线的草图

具体做法是：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后过这两

点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分，最后利用双曲线的

新疆

王新敞

对称性画出完整的双曲线奎屯

4．离心率

2cc

新疆

王新敞

双曲线的焦距与实轴长的比e，叫做双曲线的离心率奎屯范围：e1

2aa

bc2a2c2

双曲线形状与e的关系：k1e21，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，

aaa2

新疆新疆

王新敞王新敞

这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔奎屯由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔奎屯

5．共轭双曲线

新疆

王新敞

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线奎屯区别：三

新疆

王新敞

量a,b,c中a,b不同（互换）c相同奎屯

新疆新疆

王新敞王新敞

共用一对渐近线奎屯双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上奎屯

新疆

王新敞

确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1奎屯

x2y2

共用同一对渐近线ykx的双曲线的方程具有什么样的特征：可设为(0)，当0时

1k2

新疆

王新敞

交点在x轴，当0时焦点在y轴上奎屯

6.准线方程：

yy

F2

A2

F1A1OA2F2xOx

A1

F1

x2y2a2

对于1来说，相对于左焦点F(c,0)对应着左准线l:x，相对于右焦点F(c,0)对应着

a2b211c2

a2

右准线l:x；

2c

a2b2

新疆新疆

王新敞王新敞

位置关系：xa0奎屯焦点到准线的距离p（也叫焦参数）奎屯

cc

y2x2a2

对于1来说，相对于上焦点F(0,c)对应着上准线l:y；相对于下焦点F(0,c)对应着

a2b211c2

a2

下准线l:y

2c

7．焦点弦：

新疆

王新敞

定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦奎屯

焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到：

设两交点

A(x1,y1)B(x2,y2)

当双曲线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：

新疆

王新敞

过左焦点与左支交于两点时：奎屯

AB2ae(x1x2)

新疆

王新敞

过右焦点与右支交于两点时：奎屯

AB2ae(x1x2)

当双曲线焦点在y轴上时，

新疆

王新敞

过左焦点与左支交于两点时：奎屯

AB2ae(y1y2)

新疆

王新敞

过右焦点与右支交于两点时：奎屯

AB2ae(y1y2)

8．通径：

2b2

新疆新疆

王新敞王新敞

定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦奎屯直接应用焦点弦公式，得到d奎屯

a

知识点17：抛物线的定义

1、定义：我们把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．

2、焦点：定点F叫做抛物线的焦点.

3、准线：直线l叫做抛物线的准线.

4、集合表示：PMMFd,d为点M到准线l的距离.

5、注意事项：

（1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．

（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这

也是利用抛物线定义解题的实质．

知识点18：抛物线的标准方程

根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式

标准方程图形焦点坐标准线方程

pp

y22px(p0),0x

22

pp

y22px(p0),0x

22

pp

x22py(p0)0,y

22

pp

x22py(p0)0,y

22

知识点诠释：

①只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；

②抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如

抛物线x220y的一次项为20y，故其焦点在y轴上，且开口向负方向（向下）

③抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍，比如抛物线x220y的一次项20y的

系数为20，故其焦点坐标是(0,5)．

④从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数．用待定系数法求抛物线的标准方程时，

首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的类型（一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型），

然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论．

⑤在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程

的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要

遗漏某一种情况．

知识点19：抛物线的几何性质

标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)

yy

PP

MM

图象

OFxFOx

PFPMPFPMPFPMPFPM

焦点pppp

F(，0)F(，0)F(0，)F(0，)

2222

准线方程pppp

xxyy

2222

范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0

顶点原点(0，0)

对称轴x轴y轴

通径2p通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．

p刻画了抛物线开口的大小，p值越大，开口越宽；p值越小，开口越窄．

设P(x0，y0)为抛物线上一点

焦半径pppp

PFxPFxPFyPFy

02020202

设过焦点F的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点

焦点弦

ABx1x2pAB(x1x2)pABy1y2pAB(y1y2)p

离心率e1e1e1e1

知识点20：方法技巧

由抛物线方程求焦点与准线方程的基本方法

1、已知抛物线方程求焦点坐标与准线方程时，一般先将所给方程式化为标准形式，由焦点方程准确得到参

数p，从而得焦点坐标与准线方程，要注意p0；

2、焦点所在坐标轴由标准方程的一次项确定，系数为正，焦点在正半轴；系数为负，焦点在负半轴。

直线与抛物线的位置关系

1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：

相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）.

2、以抛物线y22px(p0)与直线的位置关系为例：

（1）直线的斜率k不存在，设直线方程为xa，

若a0，直线与抛物线有两个交点；

若a0，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；

若a0，直线与抛物线没有交点.

（2）直线的斜率k存在.

设直线l:ykxb，抛物线y22px(p0)，

ykxb

直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数，

2

y2px

即二次方程k2x22(kbp)xb20（或k2y22py2bp0）解的个数.

①若k0，

则当0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；

当0时，直线与抛物线相切，有个公共点；

当0时，直线与抛物线相离，无公共点.

②若k0，则直线yb与抛物线y22px(p0)相交，有一个公共点.

知识点21：二级结论

、点与抛物线2的关系

1P(x0,y0)y2px(p0)

（1）P在抛物线内（含焦点）y22px．

00y

（）在抛物线上2．

2Py02px0

MA

（）在抛物线外2．

3Py02px0

α

、的几何意义

2p(p0)OFx

p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大．NB

3、焦点弦

若为抛物线2的焦点弦，，，则有

ABy2px(p0)A(x1,y1)B(x2,y2)

以下结论：

p2

（1）xx．（2）yyp2．

12412

（）焦点弦长公式：，，当时，焦点弦取最小值，即所有

31ABx1x2px1x22x1x2px1x22p

焦点弦中通径最短，其长度为2p．

2p

焦点弦长公式2：AB（为直线AB与对称轴的夹角）．

sin2

p2

（）AOB的面积公式：S（为直线AB与对称轴的夹角）．

4AOB2sin

（5）MFN90；

（6）以弦AB为直径的圆与准线相切，以AF或者BF为直径的圆与y轴相切；

（7）过焦点弦端点的两条切线互相垂直且交点在准线上；

（8）A，O，N三点共线，B，O，M三点共线．

4、抛物线中的点差法

2

已知直线ykxm与y2px(p0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，中点M(x0，y0)

2①

y12px1

将A，B两点代入抛物线方程，，

2②

y22px2

yy2pp

①②12，即k．

x1x2y1y2y0

结论①：在抛物线中，弦中点与斜率的关系式为：p；

M(x0，y0)kk

y0

结论②：抛物线上一点处的切线方程为：，斜率（存在时）p；

P(x0，y0)y0yp(xx0)kP切

y0

结论③：过抛物线外一点引抛物线的两条切线，切点弦的方程为：．

P(x0，y0)y0yp(xx0)

1

结论④弦长公式：AB1k2xx1yy(kk0)

12k212AB

结论直线的方程为p

⑤AByy0(xx0)

y0

y

结论⑥线段AB的垂直平分线方程为yy0(xx)

0p0

【题型1圆的标准方程】

例1某圆经过A0，10，B6，10两点，圆心在直线2xy1上，则该圆的标准方程为（）

2222

A．x3y534B．x3y534

2222

C．x3y534D．x3y534

【答案】D

【分析】根据圆的平面几何性质可知圆心在AB的中垂线上，联立方程可得圆心坐标，再求出半径即可得解.

【详解】因为圆经过A0，10，B6，10两点，

06

所以圆心在中垂线x3上，

2

x3

联立解得圆心(3,5)，所以圆的半径R32(510)234，

2xy1

22

故所求圆的方程为x3y534，

故选：D

例2（25-26高二上·上海·期中）设圆C方程为x2y24x6y100，则圆C的面积为．

【答案】3π

【分析】将方程化为标准式，进而可得半径和面积.

22

【详解】因为圆C方程为x2y24x6y100，即x2y33，

可知圆的半径r3，所以圆C的面积为πr23π.

故答案为；3π.

变式1（25-26高二上·上海·期中）若圆C的半径是3，其圆心与点1,2关于直线yx对称，则圆C的标准

方程为．

22

【答案】x2y19

【分析】先求出点1,2关于直线yx的对称点，即可写出标准方程.

【详解】设点1,2关于直线yx的对称点为a,b，

a1b2b2

则，1，解得a2,b1，则圆心坐标为2,1，

22a1

22

则圆C的标准方程为x2y19.

22

故答案为：x2y19

变式2（2025高二上·上海·专题练习）已知圆方程x2y24x10，则该圆心坐标是

【答案】2,0

【分析】将圆的方程化为标准方程即可看出.

2

【详