2026年高二数学寒假自学课（沪教版）第06讲 圆的方程（解析版）

第06讲圆的方程

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第三步：测

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知识点1：圆的标准方程

1.基本要素：当圆心的位置与半径的大小确定后，圆就唯一确定了，因此，确定一个圆的基本要素是圆心和

半径.

2.标准方程：圆心为C（a，b），半径为r的圆的标准方程是（）（）.

22

2

3.图例：�−�+�−�=�

若点M(x,y)在圆C上，则点M的坐标适合方程(xa)2(yb)2r2；反之，若点M(x,y)的坐标适

合方程(xa)2(yb)2r2，则点M在圆C上.

知识点2：圆的标准方程的推导

如图，设圆的圆心坐标为C（a，b），半径长为r(其中a，b，r都是常数，r>0).设M（x，y）为该圆上任意

一点，那么圆心为C的圆就是集合P=.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M的坐标(x,y)

�|𝑀=�

满足的关系式为（）（）=r①，①式两边平方，得（）（）

2222

2

�−�+�−��−�+�−�=�

知识点3：求圆的标准方程

求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．

（1）几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦

的垂直平分线的交点一定是圆心．

（2）圆的标准方程中含有三个参数a，b，r，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确

定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a，b）是圆的定位条件，半径r是圆的

定形条件．

知识点4：点与圆的位置关系

圆：222，其圆心为，半径为，点，

C(xa)(yb)r(r0)C(a,b)rP(x0,y0)

设22

d|PC|(x0a)(y0b).

位置关系d与r的大小图示点P的坐标的特点

点在圆外222

dr(x0a)(y0b)r

点在圆上222

dr(x0a)(y0b)r

点在圆内222

dr(x0a)(y0b)r

知识点5：圆的一般方程

1．定义

当＞时，方程表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其

2222

中圆心为�（+�−，4�0），半径r�=+�+��+��+.�=0

��122

2．推导过程−2−22�+�−4�

把圆的标准方程(xa)2(yb)2r2展开，并整理得x2y22ax2bya2b2r20.取

D2a,E2b,Fa2b2r2，

得：x2y2DxEyF0①.

DED2E24F

把①的左边配方，并把常数项移到右边，得(x)2(y)2.

224

DE1

当且仅当D2E24F0时，方程表示圆，且圆心为(,)，半径长为D2E24F；

222

DEDE

当D2E24F0时，方程只有实数解x,y，所以它表示一个点(,)；

2222

当D2E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

知识点6：待定系数法求圆的一般方程

求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：

①根据题意，选择标准方程或一般方程；

②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程．

【题型1圆的标准方程】

例1（22-23高二下·上海徐汇·期中）已知一个圆的方程满足：圆心在点3,4，且过原点，则它的方程为（）

2222

A．x3y45B．x3y425

2222

C．x3y45D．x3y425

【答案】D

【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解.

【详解】设圆的半径为r，因为圆心是C3,4，且过点(0,0)，所以r9165，所以半圆的方程为

2

x3(y4)225，

故选：D.

222

例2（24-25高二下·上海徐汇·期中）曲线C1:ysinx，C2:xyrrr0公共点的个数（）

A．没有B．有，且为奇数个C．有，且为偶数个D．有，但不能确定几个

【答案】D

【分析】根据圆的方程可得圆心与半径，由半径的值不能确定，可得答案.

222

【详解】由曲线C2:xyrr，则曲线为圆，即圆心为0,r，半径为r，如下图示，

易知曲线C1与曲线C2共同过原点，由半径r不能确定，则交点个数不能确定.

故选：D.

变式1（25-26高二上·上海·期中）已知圆M的圆心在直线2xy10上，且点3,0和0,1均在圆M上，

则圆M的标准方程为．

22

【答案】x1y15

【分析】由待定系数法即可求解方程组得解.

22

【详解】设圆的标准方程为xaybr2，r0，

2ab10

22

由题意可得3a0br2，解得a1,b1,r25，

222

0a1br

22

故圆的标准方程为x1y15，

22

故答案为：x1y15

变式2（23-24高二上·上海·月考）以A0,1,B2,1为直径端点的圆的标准方程为.

2

【答案】x1y22

【分析】根据题意求出圆心坐标和半径即可得解.

11

【详解】由题意知圆心为1,0，半径为AB22222，

22

2

则以A,B为直径端点的圆的标准方程为x1y22.

2

故答案为：x1y22.

变式3（22-23高二上·上海奉贤·月考）已知圆心C1,1且经过点A1,3圆的标准方程为．

22

【答案】x1y18

【分析】求得圆的半径，从而求得圆的标准方程.

【详解】圆的半径rAC222222，

22

所以圆的标准方程为x1y18.

22

故答案为：x1y18

【题型2点与圆的位置关系】

例3（22-23高二上·上海长宁·期末）已知点1,1在圆x2y2axa0外，则实数a的取值范围为（）

A．1,B．1,0

C．1,04,D．,04,

【答案】C

【分析】利用点在圆外，列不等式组，即可解得.

【详解】因为点1,1在圆x2y2axa0外，

a2

a0

所以4，解得：a1,04,.

22

11a1a0

故选：C

例4（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点P(1,5)，则该点与圆x2y225的位置关系是．

【答案】在圆的外部

【分析】由点到圆心的距离与圆的半径比较大小即得.

【详解】由圆x2y225的圆心(0,0)到点P(1,5)的距离为d12(5)2265r，

知点P(1,5)在圆的外部.

故答案为：在圆的外部.

变式1（22-23高二上·上海杨浦·期中）已知点P（2，1）在圆x²+y²+（λ-1）x+2λy+λ=0外，则实数λ的取值

范围是

31

【答案】，1，

55

【分析】P点坐标代入方程左边所得值应大于0，还要考虑方程是表示圆，两者结合可得结论．

1

【详解】由题意题设方程表示圆，则(1)24240，或1，

5

3

点P在圆外，则412(1)20，>-，

5

31

综上，的范围是(,)(1,)．

55

31

故答案为：(,)(1,)．

55

变式2（20-21高二上·上海浦东新·月考）若过点M(1,1)可作圆x2(y2m)210的两条切线，则实数m的

取值范围为.

【答案】,12,.

【分析】由题意可知点M在圆外，可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围.

【详解】由于过点M1,1可作圆x2(y2m)210的两条切线，则点M在圆外，

可得12(12m)210，解得m1或m2，

综上所述，实数m的取值范围是,12,.

故答案为：,12,.

【点睛】关键点睛：此题考查了点与圆的位置关系，一元二次不等式的解法，理解过已知点总可以作圆的

两条切线，得到把点坐标代入圆方程其值大于0是解本题的关键.

变式3（23-24高二下·上海·期末）已知圆C经过点A(2,3)和B(2,5)，且圆心在直线l:x2y30上，求

圆C的方程．

15325

【答案】(x)2(y)2

2416

【分析】根据题意，设圆的方程为(x2b3)2(yb)2r2，由A、B两点在圆上建立关于b、r的方程组，

解出b、r的值即可得出所求圆的方程．

【详解】设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，

∵圆心在直线x2y30上，得a2b3，

可得圆的方程为(x2b3)2(yb)2r2，

∵圆经过点A(2,3)和B(2,5)

22

12b3br2

所以，

222

52b5br

5325

解得b，r2，

416

15325

因此，所求圆的方程为(x)2(y)2．

2416

【题型3圆的一般方程】

例5（20-21高二上·上海徐汇·月考）已知圆x2y22mx(4m2)y4m24m10的圆心在直线

xy70上，则该圆的面积为（）

A．4B．2C．D．

2

【答案】A

【分析】将圆的一般方程化为标准方程，求得圆心，根据已知条件求得参数m，再求得圆的半径，即可求

得结果.

222222

【详解】xy2mx(4m2)y4m4m10，即xmy2m1m，

则m0，其表示圆心为m,2m1，半径为m的圆，

根据题意可得：m2m170，解得m2，故该圆的半径为2，则其面积S4.

故选：A.

例6（25-26高二上·上海青浦·月考）方程x2y22x4ya0表示圆，则a的取值范围为

【答案】a5

【分析】将方程化为(x1)2(y2)25a，根据其表示圆列不等式求参数范围.

【详解】由题设(x1)2(y2)25a表示圆，则5a0，即a5.

故答案为：a5

变式1（21-22高二上·上海奉贤·月考）直角坐标平面xoy中，若定点A（1，2）与动点P（x，y）满足OPAP4，

则点P的轨迹方程是.

【答案】x2y2x2y40

【分析】设点P(x,y)，则OP(x,y)，由A(1,2)，所以AP(x1,y2)，代入OPAP4，即可求解.

【详解】设点P(x,y)，

∵A(1,2)，

∴OP(x,y),AP(x1,y2)

∵OPAP4，

∴(x,y)(x1,y2）4，

∴x(x1)y(y2)4，

即x2y2x2y40.

因此点P的轨迹方程是x2y2x2y40.

故答案为：x2y2x2y40

变式2（23-24高二上·上海·课后作业）求经过A3,2、B1,1、C2,1三点的圆的方程．

【答案】x2y25xy40

【分析】设过A(3,2),B(1,1),C(2,1)三点的圆的方程为：x2y2DxEyF0，代入求解即可.

【详解】设过A(3,2),B(1,1),C(2,1)三点的圆的方程为：x2y2DxEyF0,D2E24F0，

133D2EF0D5

则2DEF0,解得E1,

52DEF0F4

所求圆的方程为x2y25xy40.

变式3（23-24高二上·上海·课后作业）求圆C:x2y24x2y30关于点M1,1对称的圆的方程．

22

【答案】x4y38

【分析】将圆C的方程配成标准式，得到圆心坐标与半径，求出圆心C2,1关于点M1,1对称的点的坐

标，即可求出对称的圆的方程.

22

【详解】圆C:x2y24x2y30，即x2y18，圆心C2,1，半径r22，

圆心C2,1关于点M1,1对称的点为C212,211，即C4,3，

22

所以圆C关于点M1,1对称的圆的方程为x4y38.

【题型4求参数范围】

例7（22-23高二上·上海闵行·月考）当m变化时，不在直线1m2x2my23m20上的点所成区域

33

xy

G,Px,y是区域G内的任意一点.则22的取值范围是（）

3x2y2

33

A．,1B．1,2C．,1D．2,3

22

【答案】A

2

22

【分析】原方程化为关于m的方程xm2y23mx20，得x1y31，OM，ON夹角

记作，直线OP与圆相切，进而得0,30，即可求解

【详解】原方程化为关于m的方程xm22y23mx20，

x0时，

22

0，得x1y31，

当x0，y3时，点0，3不在直线my3m10上，

所以区域G是以点A1,3为圆心，半径为1的圆的内部（除0，3外不包括圆上点），

33

OM,，OPx,y，OM，OP夹角记作，

22

由A,M坐标可知O,A,M三点共线，且AOx60，

当直线OP与圆相切于点P，Q时，APAQ1,OA2，

所以此时AOPAOQ30，

33

xy

因此0,30，3．

22cos,1

3x2y22

故选：A

例8（24-25高二下·上海浦东新·期中）若圆C的方程为x2y22xt0，则实数t的取值范围为.

【答案】,1

【分析】由圆的一般方程可得出关于t的不等式，解之即可.

2

【详解】因为圆C的方程为x2y22xt0，则24t0，解得t1，

因此，实数t的取值范围是,1.

故答案为：,1.

变式1（25-26高二上·上海徐汇·月考）若方程x2y22xmy50表示圆，则m的取值范围为.

【答案】(,4)(4,)

【分析】根据圆的标准方程直接计算可得.

m1

【详解】因为方程x2y22xmy50表示圆，即(x1)2(y)2(m216)表示圆，

24

1

所以(m216)0，解得m4或m4.

4

m1

所以当m(,4)(4,)时，方程x2y22xmy50表示圆心为(1,)，半径为m216的一个圆.

22

故答案为：(,4)(4,).

变式2（25-26高二上·上海·期中）若方程x2y22x3ym0表示圆，则实数m的取值范围是

13

【答案】,

4

13

【分析】将方程配成标准式，即可得到m0，解得即可.

4

2

222313

【详解】方程xy2x3ym0，即x1ym，

24

因为方程x2y22x3ym0表示圆，

131313

所以m0，解得m，即实数m的取值范围是,.

444

13

故答案为：,

4

变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程x2y22ax4ay6a10表示圆，求a的取值范围，并求

出圆心坐标和半径．

1

【答案】a1或a．圆心坐标为a,2a，半径为5a26a1

5

【分析】配方后根据方程表示圆得出圆心，半径，由半径建立不等式求出a的范围.

22

【详解】原方程可化为xay2a5a26a1．

1

由5a26a10，得5a1a10，解得a1或a，

5

1

所以a的取值范围是a1或a，圆心坐标为a,2a，半径为5a26a1．

5

一、填空题

1．（24-25高二下·上海·月考）圆x24xy20的半径为

【答案】2

【分析】根据圆的一般方程半径公式求解.

22

224040

【详解】圆x4xy0的半径为r2.

2

故答案为：2.

2．（22-23高二下·上海杨浦·期末）以C1,1为圆心，且经过M2,3的圆的方程是.

22

【答案】x1y15

【分析】设出圆的标准方程，把M2,3代入圆方程即可求出参数，从而得圆的标准方程.

22

【详解】因为圆心C1,1，故可设圆的标准方程为x1y1r2，

22

因为点M2,3在圆上，所以r221315，

22

所以所求圆的方程为x1y15.

22

故答案为：x1y15

3．（23-24高二上·上海浦东新·期中）方程x2y22ax2y50表示圆，则实数a的取值范围为．

【答案】,22,

【分析】将圆的方程化为标准形式，从而可列不等式，求解即可.

22

【详解】将圆的方程化为xay1a24，

所以a240，解得a2或a2.

所以实数a的取值范围为,22,.

故答案为：,22,.

4．（23-24高二下·上海·月考）已知圆心为C1,3，半径r3，写出圆的标准方程．

22

【答案】x1y33

【分析】根据圆的标准方程求解即可.

【详解】已知圆心为C1,3，半径r3，

22

则圆的标准方程为：x1y33.

22

故答案为：x1y33.

5．（24-25高二上·上海·期末）以C3,4为圆心，3为半径的圆的一般方程是.

【答案】x2y26x8y160

【分析】求得圆的标准方程化为一般式即可.

【详解】由题意可知圆的标准方程为(x3)2(y4)29，

化圆的一般式得x2y26x8y160.

故答案为：x2y26x8y160.

6．（22-23高二下·上海宝山·期末）若2x2m2my22mxm0表示圆，则实数m的值为.

【答案】2

【分析】

依题意可得m2m2，解得m，再代入检验.

222

【详解】因为2xmmy2mxm0表示圆，所以m2m2，

解得m1或m2，

2

22121

当m1时方程2x2y2x10，即xy，不表示任何图形，故舍去；

24

2

当m2时方程2x22y24x20，即x1y22，表示以1,0为圆心，2为半径的圆，符合题意；

故答案为：2

7．（22-23高二下·上海浦东新·期末）圆x2y22x2y10的圆心到直线xy10的距离是．

【答案】2

2

【分析】根据圆的方程和点到直线的距离公式求解即可.

【详解】x2y22x2y10，

22

即：x1y11，

故圆心为：(1,-1)

1112

所以圆心到直线xy10的距离：d.

22

故答案为：2

2

8．（25-26高二上·上海·期中）设A2,1,B4,1，则以线段AB为直径的圆的方程

是.

2

【答案】x3y22

AB

【分析】AB的中点即为圆心，即为半径，再结合中点坐标公式和两点的距离公式即可所求圆的标准方

2

程

22

【详解】AB421122，所以半径r2，

又∵A2,1,B4,1，

∴线段AB的中点坐标为3,0，即圆心为3,0.

2

所以圆的方程为x3y22.

2

故答案为：x3y22.

9．（22-23高二上·上海宝山·期中）方程x2y22aya0表示圆，则实数a的取值范围是.

【答案】a1或a0

【分析】根据圆方程的判断方法：形如x2y2DxEyF0的方程表示圆的条件为D2E24F0，列

出不等式，解之即可.

【详解】因为方程x2y22aya0表示圆，则4a24a0，

解得：a1或a0，

故答案为：a1或a0.

10．（24-25高二下·上海·期末）已知圆C:x2y26x2y150，则圆C的圆心坐标为.

【答案】3,1

【分析】应用圆的一般方程圆心坐标公式计算求解.

【详解】由圆C:x2y26x2y150，则圆C的圆心坐标为3,1.

故答案为：3,1.

11．（22-23高二下·上海浦东新·月考）若点1,1在圆x2y2xay10外，则实数a的取值范围是.

【答案】4,33,

【分析】由题意可得关于a的不等式，求解得答案．

【详解】点(1,1)在圆x2y2xay10外，

12a2410，且12121a10，

解得4a3或a3．

实数a的取值范围为4,33,．

故答案为：4,33,.

12．（25-26高二上·上海·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，

在建造时，每隔3m需要一个吊杆吊起桥面，则吊杆A2P2的长为（精确到0.01m）．

【答案】5.39m

【分析】建立平面直角坐标系，分别设圆的一般式方程以及标准式方程，代入计算，即可得到结果.

【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy，

易知点A，B，P的坐标分别为18,0,18,0,0,6．

方法一：设圆拱所在的圆的方程是x2y2DxEyF0.

因为点A，B，P在所求的圆上，

18218DF0D0

所以18218DF0，解得E48

2

66EF0F324

故圆拱所在的圆的方程是x2y248y3240.

2

方法二：设圆的半径为r，则r6182r2，得r30.

2

则圆心纵坐标为6r24，x2y24900.

将点P2的横坐标x6代入上述方程，解得y241265.39（负值舍去）；

即吊杆A2P2的长约为5.39m.

故答案为：5.39m

二、单选题

13．（23-24高二下·上海·期中）方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是（）

111

A．m1B．m1C．mD．m或m1

444

【答案】D

【分析】根据圆的一般式方程的充要条件为D2E4F0，代入运算求解即可.

21

【详解】由题意可得：4m420m0，解得m或m1，

4

1

所以方程x2y24mx2y5m0表示圆的充要条件是m或m1.

4

故选：D.

．（高二上上海浦东新期末）已知点，，曲线22，2，则点，

1420-21··P(ab)C1:xy1C2:y1x“P(ab)

在曲线C1上”是“点P(a，b)在曲线C2上”的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件D．既非充分又非必要条件

【答案】B

【解析】根据两曲线的几何图形及充分、必要条件的定义，即可得答案.

22

【详解】曲线C1:xy1，x,y[1,1]，表示圆心在原点，半径为1的圆，

曲线2，x[1,1],y[0,1]，表示圆心在原点，半径为的上半圆，

C2:y1x1

2222

若点P(a，b)在曲线C1上，则ab1，若点P(a，b)在曲线C2上，则ab1,b[0,1]，

所以“点P(a，b)在曲线C1上”是“点P(a，b)在曲线C2上”的必要不充分条件.

故选：B

15．（24-25高二下·上海嘉定·期中）已知2a2x2a1y22x10表示圆，则实数a的值为（）

11

A．1B．1C．D．

22

【答案】D

【分析】将方程变形，利用方程表示的曲线为圆可得出关于a的等式，求出a的值，然后代值检验即可得解.

2

222a1yx1

【详解】由题意知a0，由2axa1y2x10可得x20，

2a2a22a2

a11

所以1，即2a2a10，解得a1或a，

2a22

2

221121

当a1时，方程为xyx0，可化为xy，不合题意；

224

12

当a时，方程为x2y24x20，可化为x2y22，符合题意，

2

1

所以a.

2

故选：D.

2

16．（24-25高二上·上海·期中）在商场A正东3公里处新落成一家商场B，其占地面积是A面积的，研究

3

表明，在仅考虑A和B两家商场相互影响的情况下，其对周边住户的吸引程度F受其面积S，及住户家离商

kS

场距离d的影响，满足关系：F，其中k是大于0的常数，则相比于商场A，商场B对周边住户吸引

d2

力更强区域的形状为（）

A．椭圆的内部B．双曲线右支的开口侧C．抛物线的开口侧D．圆的内部

【答案】D

d23

A(x,y)

【分析】根据已知得到2，令A(0,0),B(3,0)，住户坐标为，应用两点距离公式即可得区域形状.

dB2

【详解】令A的面积为3S1，则B的面积为2S1，

若住户到A距离为dA，则到B的距离为dB，

3kS2kSd23

11A

要使FA2FB2，且k0，即2，

dAdBdB2

令A(0,0),B(3,0)，住户坐标为(x,y)，

22

xy322

所以2x9y54，

x3y22

故商场B对周边住户吸引力更强区域的形状为圆的内部.

故选：D

三、解答题

17．（23-24高二上·上海·课后作业）求圆C:x2y24x2y30关于直线l:xy0对称的圆的方程．

22

【答案】x1y28

【分析】根据题意，求得圆心C关于直线l的对称点，即可得到结果.

22

【详解】将圆C方程变形可得，x2y18，则圆心C2,1，半径r22，

则圆心C关于直线l:xy0对称点坐标为1,2，且对称圆的半径为22，

22

则对称圆的方程为x1y28.

22

18．（24-25高二下·上海徐汇·期中）已知圆C1:x1y28关于直线l1:yx3对称的图形为圆C，

求圆C的方程．

22

【答案】x1y48

【分析】求出圆心关于直线的对称点坐标，可求出对称后的圆的方程.

22

【详解】易知圆C1:x1y28的圆心为C11,2，

设圆心C11,2关于直线l1:yx3对称的点坐标为a,b，

b2

1

a1a1

可得，解得，

b2a1b4

3

22

即圆C的圆心坐标为1,4，对称后半径不变，

22

所以圆C的方程为x1y48.

19．（23-24高二上·上海·课后作业）求过点2,1，圆心在直线2xy0上，且与直线xy10相切的圆

的方程．

【答案】(x1)2(y2)22或(x9)2(y18)2338

【分析】利用待定系数法，根据圆心的位置、圆上的点坐标及直线与圆的相切关系，得到相关参数的方程

组，从而得解.

【详解】依题意，设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，则圆心坐标为(a,b)，半径为rr0，

2ab0

由题意得：(2a)2(1b)2r2，

ab1

r

2

由2ab0得2ab，

将b2a代入(2a)2(1b)2r2，得(2a)2(12a)2r2，

ab12

将b2a代入r，同时平方，得3a12r2，

2

2

从而有2(2a)22(12a)23a1，解得a1或a9，

当a1时，b2，r2，则圆的方程为(x1)2(y2)22；

当a9时，b18，r132，则圆的方程为(x9)2(y18)2338；

综上：所求圆的方程为(x1)2(y2)22或(x9)2(y18)2338．

20．（25-26高二上·上海青浦·月考）已知直线l:yx1与圆C:x2y2DxEyF0

(1)求点A2,5到直线l的距离；

(2)若0,0,2,0,1,3三个点在圆上，求该圆的圆心和半径．

【答案】(1)2；

45

(2)圆心为(1,)，半径为.

33

【分析】（1）应用点线距离公式求距离；

（2）将点坐标代入方程求出参数值，再把圆化为标准方程，即可得圆心和半径.

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【详解】（1）由题设，点A2,5到直线l:xy10的距离为2；