2026年高二数学寒假自学课（沪教版）第04讲 点到直线的距离（原卷版）

第04讲点到直线的距离

内容导航——预习三步曲

第一步：学

析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型·强知识：核心题型举一反三精准练

第二步：记

串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

知识点1：两点间的距离

1.两点间的距离公式

平面上任意两点间的距离公式为22

P1(x1,y1),P2(x2,y2)|P1P2|x2x1y2y1.

特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离|OP|x2y2．

2．两点间距离公式的推导

法一：已知平面上的任意两点，向量，则

P1(x1,y1),P2(x2,y2)P1P2x2x1,y2y1

22

|P1P2|x2x1y2y1.

因此得到平面上的任意两点的距离公式为：22

P1(x1,y1),P2(x2,y2)|P1P2|x2x1y2y1.

法二：已知平面上的任意两点，如何求点间的距离

P1(x1,y1),P2(x2,y2)P1,P2|P1P2|?

如图，过点分别向轴和轴作垂线和，垂足分别为，，直线与

P1,P2yxP1N1P2M2N1(0,y1)M2(x2,0)P1N1

相交于点．

P2M2Q

在△中，222，过点向轴作垂线，垂足为；过点向轴作

RtP1QP2|P1P2||P1Q||QP2|P1xM1(x1,0)P2y

垂线，垂足为，所以，同理可得．

N2(0,y2)|P1Q||M1M2||x2x1||QP2||y2y1|

所以222．

|P1P2||x2x1||y2y1|

由此得到平面上任意两点间的距离公式为22．

P1(x1,y1),P2(x2,y2)|P1P2|(x2x1)(y2y1)

知识点2：对称问题

对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称．

1．点关于点对称

点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种

对称问题．

x0x

a

2x2ax0

设点P(x,y)关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点

00yyy2by

0b0

2

．特别地，点关于坐标原点的对称点为．

P(2ax0,2by0)POP(x0,y0)

2．点关于直线对称

对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为P，则直线l为线段PP的中垂线，于是有

等量关系：

①kPPkl1（直线l的斜率存在且不为零）；

②线段PP的中点在直线l上；

③直线l上任意一点M到P，P的距离相等，即|MP||MP|．

常见的点关于直线的对称点：

1点关于轴的对称点；

P(x0,y0)xP(x0,y0)

2点关于轴的对称点；

P(x0,y0)yP(x0,y0)

3点关于直线的对称点；

P(x0,y0)y=xP(y0,x0)

4点关于直线的对称点；

P(x0,y0)y=−xP(y0,x0)

5点关于直线（）的对称点；

P(x0,y0)x=mm≠0P(2mx0,y0)

6点关于直线（）的对称点．

P(x0,y0)y=nn≠0P(x0,2ny0)

知识点3：点到直线的距离

1．点到直线的距离

点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的

P0lP0lP0QQ

距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值．

2．点到直线的距离公式

|AxByC|

平面上任意一点到直线：（，不同时为）的距离为00．

P0(x0,y0)lAx+By+C=0AB0d

A2B2

3．点到直线的距离公式的推导

如图，设，则直线与轴和轴都相交，过点分别作轴和轴的平行线，交直线于

A0,B0lxyP0xyl

ByC

R和S，则直线PR的方程为yy，R的坐标为(0,y)；直线PS的方程为xx，S的坐

00A000

AxC

标为(x,0)，

0B

ByC|AxByC|AxC|AxByC|

于是有|PR||0x|00，|PS||0y|00，

0A0|A|0B0|B|

A2B2

|RS||PR|2|PS|2|AxByC|．

00|A||B|00

设，由三角形面积公式可得，

|P0Q|dd|RS||P0R||P0S|

|PR||PS||AxByC|

于是得d0000．

|RS|A2B2

|AxByC|

因此，点到直线：的距离00．

P0(x0,y0)lAx+By+C=0d

A2B2

可以验证，当A=0，或B=0时，上述公式也成立．

【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向

量垂直的单位向量为n，则有PQPMn，所以有PQPMn.

知识点4：点到直线的距离问题

（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用

点到直线的距离公式求解即可．

（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点（，）到它们的距离时，既可以用点到

直线的距离公式，也可以直接写成d=或d=。�0�0

（3）若已知点到直线的距离求参数或直�0线−方�程时，�只0−需�根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．

【题型1两点间的距离】

例1（23-24高二上·上海奉贤·期中）设复数52i和复数25i在复平面上分别对应点A和点B，则A,B

两点间的距离为．

例2（21-22高二上·上海普陀·期末）已知三角形OAB顶点O0,0，A2,4，B3,6，则过B点的中线长

为.

变式1（24-25高二下·上海松江·月考）已知点P3,1和直线l:12x13y20，则点P到

直线l的距离最大值为．

变式2（24-25高二上·上海·月考）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三

个内角均小于120时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的张角

相等，均为120，根据以上性质，已知A(2,0),B(2,0),C(0,4)，P为ABC内一点，记

f(P)|PA||PB||PC|，则f(P)的最小值为.

变式3（21-22高二下·上海嘉定·月考）一条直线被两条平行直线3x4y70和3x4y80所截，截得

的线段长为32，且直线经过点P2,3，求直线的方程.

【题型2对称问题】

例3（24-25高二下·上海·月考）点P2,3关于直线l:yx1的对称点为（）

A．3,4B．4,3C．4,3D．3,4

例4（24-25高二下·上海宝山·月考）在等腰直角ABC中，ABAC6，点P是边AB上异于端点的一点，

光线从点P出发经BC、CA边反射后又回到点P，若光线QR经过ABC的重心，则△PQB的面积等于（）

1615

A．B．4C．5D．

34

变式1（24-25高二上·上海·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点2,0与点1,1重合，此时点(m,n)与原点(0,0)

重合，则mn的值是.

变式2（25-26高二上·上海·月考）一条光线经过点A2,3射到直线xy10上，被反射后经过点B1,0，

则入射光线所在直线的方程为.

变式3已知：ABC的顶点A(2,3)和B(1,1),ABC的角平分线所在直线方程为x3y20，求边BC所

在直线方程．

【题型3求点到直线的距离】

例5（20-21高二下·上海浦东新·开学考试）点P(-1，-1)到直线l：xy20的距离为（）

A．0B．1C．2D．2

例6（24-25高二上·上海·随堂练习）若点P3,a到直线x3y40的距离为1，则实数a的值为．

变式1（24-25高二上·上海·月考）直线l过点P4,3，且原点与l距离为5，则直线l的方程为.

变式2（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l过点P2,1，若原点到l的距离为2，求直线l的方程．

变式3（24-25高二上·上海·课堂例题）如图，射线OA、OB所在直线的方向向量分别为d11,k，

d21,kk0，点P在AOB内，PMOA于M，PNOB于N．

31

(1)若k1，P,，求OM的值；

22

6

(2)若P2,1，OMP的面积是，求k的值．

5

【题型4综合应用】

例7（25-26高二上·上海·月考）下列说法正确的是（）

A．直线xy20与两坐标轴围成的三角形的面积是4

B．经过点1,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为xy20

C．点0,2关于直线yx1的对称点为1,1

yyxx

11

D．过x1,y1，x2,y2两点的直线方程为

y2y1x2x1

例8（24-25高二下·上海·月考）点A1,3到直线xcosysin1的距离的最大值是

变式1（24-25高二上·上海奉贤·期中）已知点A2,3，在y轴和直线yx上各取一点B、C，则ABC

的周长最小值为．

变式2（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面xOy中，已知两定点F12,0与F22,0，F1，F2到

直线l的距离之差的绝对值等于22，则平面上不在任何一条直线l上的点组成的图形面积是.

变式3（24-25高二下·上海·月考）已知三条直线l1:2xay30,l2:4x2y10,l3:xy10.

(1)用实数a表示直线l1的倾斜角；

(2)当a1时，能否找到第一象限中的一点P满足以下条件：点P到l2的距离是点P到l1的距离的2倍，且

点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是2:5，若能，求点P的坐标；若不能，说明理由.

一、填空题

1．（20-21高二上·上海浦东新·月考）点cos,sin到直线xcosysin10的距离为.

2．（23-24高二下·上海·月考）已知直线l:xy30，点M(3,m)到直线l的距离等于2，则m

3

3．（24-25高二上·上海·课堂例题）一条光线沿经过点M1,2且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射

4

光线所在的直线方程为．

4．（21-22高二下·上海闵行·开学考试）点A(3,2)关于直线xy40的对称点是．

5．（24-25高二下·上海宝山·期中）点P2,1到直线xy3的距离为．

31

6．（23-24高二上·上海奉贤·月考）点A,2关于直线xy0的对称点为.

23

7．（20-21高二上·上海徐汇·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点0,2与点2,0重合，且点2020,2021

与点m,n重合，则nm

8．（21-22高二下·上海黄浦·月考）一条光线经过点A3,5射到直线xy10上，被反射后经过点B2,1，

则入射光线所在直线的方程为

9．（24-25高二下·上海·月考）已知点A1,3,B5,2，点P在y轴上，则APBP的最小值为.

10．（21-22高二上·上海杨浦·月考）设点A(3,5)，点B和C分别为直线l:x2y20和y轴上的两动点，

则ABC的周长的最小值为．

11．（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏

饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处

出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置

为A(3,0)，若将军从山脚下的点B(1,1)处出发，河岸线所在直线方程为xy1，则“将军饮马”的最短总

路程为．

12．（24-25高二上·上海·期中）已知ABCD是边长为8的菱形，且B=60，若PA平面ABCD，且PA4，

则点P到直线BC的距离为.

二、单选题

13．（25-26高二上·上海浦东新·期中）若点A2,6,B12,6到直线l的距离都等于7，则直线l的不同位置

有（）

A．1种B．2种C．3种D．无数种

14．（20-21高二上·上海宝山·开学考试）已知A(3,0),B(0,3)，从点P0,2射出的光线经x轴反射到直线AB

上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为（）

A．210B．6C．26D．26

axbyc

11

15．（22-23高二上·上海青浦·月考）设M(x1,y1)，N(x2,y2)为不同的两点，直线l:axbyc0，，

ax2by2c

以下命题中正确的序号为（）

①存在实数，使得点N在直线l上；

②若1，则过M、N的直线与直线l平行；

③若1，则直线l经过MN的中点；

④若01，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的反向延长线相交．

A．①②③B．②④C．③④D．②③④

16．（22-23高二上·上海奉贤·期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏

饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处

出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置

为B1,0，若将军从山脚下的点O0,0处