角平分线第课时课件北师大版数学八年级下册

1.5角平分线（第一课时）学习目标1.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2.

证明角平分线的性质定理，探索并证明角平分线的判定定理，进一步发展推理能力．3.能运用角平分线的性质定理和判定定理解决简单问题.我们曾经学过与角平分线相关的哪些知识？角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相等的角，这条射线就叫这个角的角平分线.角平分线的性质定理你能尝试证明这一性质吗？角平分线上的点到这个角的两边的距离相等探究一:证明“角平分线上的点到角两边的距离相等”已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．求证：PD=PE．证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∵∠1=∠2，OP=OP，∴△PDO≌△PEO（AAS）.∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.角平分线的性质定理结论应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）距离（垂直）.BADOPEC定理的作用：证明线段相等.几何语言：∵OP

是∠AOB的平分线，∴PD=PE.PD⊥OA,PE⊥OB，前提有三个，必须写完整，不能少了任何一个.（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）特别提醒1.该定理简记为“两垂直+一平分→线段相等”。2.利用角平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”。例1.如图，点P是∠AOC的角平分线上一点，PD⊥OA，垂足为点D，且PD=3，点M是射线OC上一动点，则PM的最小值为

.3如图1.5-2，

OD

平分∠EOF，

在

OE，

OF

上分别取点

A，

B，

使

OA=OB，

P为

OD上一点，

PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为

M，

N.求证：

PM=PN.考向：

利用角平分线的性质解与垂线段相关的题题型利用角平分线的性质证明线段相等

如图1.5-4，

BD是△

ABC

的角平分线，

DE⊥AB

于

E，S

△

ABC=90cm2，

AB=18cm，

BC=12cm，求

DE

的长.

题型利用角平分线的性质求线段长角平分线上的点到这个角的两边的距离相等它是真命题吗？探究二：到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。你能说出这个定理的逆命题吗？条件结论猜想:你能尝试证明这一猜想吗？在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上证明：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上已知：如图，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD=PE.求证：OP平分∠AOB.证明：∴OP平分∠AOB.

在Rt△PDO和Rt△PEO

中，（全等三角形的对应角相等）.OP=OP（公共边），PD=PE（已知

），∵PD⊥OA,PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.∴∠1=∠2在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.角平分线的判定定理结论应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.BADOPEC判断点是否在角平分线上.几何语言：∵PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)特别提醒1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部.2.角平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线).3.角平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据。图形已知条件结论PCPCOP平分∠AOBPE⊥OB于EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于DPE⊥OB于E角的平分线的判定角的平分线的性质PD⊥OA于D如图1.5-6，BE=CF，

BF⊥AC

于点

F，

CE⊥AB于点

E，

BF

和

CE

交于点

D.求证：

AD

平分∠BAC.考向：利用角平分线的判定定理解决问题题型1利用角平分线的判定定理证明角平分线

如图1.5-7，∠MAC和∠NCA

是△

ABC的外角，∠ABC

的平分线

BD与∠MAC的平分线

AD交于点

D.求证：

CD

平分∠ACN.题型2角平分线的性质定理与判定定理的综合应用解题秘方：紧扣“到

CA，

CN

的距离相等的点在∠ACN

的平分线上”进行证明.证明：如图1.5-7，过点

D作

DE⊥BM于点

E，

DF⊥BN于点

F，

DG⊥AC于点

G.∵BD

平分∠ABC，∴DE=DF.∵AD

平分∠MAC，∴DE=DG.∴DG=DF.∴CD平分∠CAN.由此例的结论可知，三角形的一条内角平分线与另外两条外角平分线也相交于一点。拓展提升例.已知：如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．连接CD，作CD的垂直平