小学五年级数学“掷一掷”综合与实践 核心素养知识清单

小学五年级数学“掷一掷”综合与实践核心素养知识清单

一、核心概念与基本原理【基础】【必考点】

（一）确定性事件与不确定性事件

在掷骰子的游戏中，我们需要准确区分两类事件。同时掷两个骰子，朝上的点数之和最小是1加1等于2，最大是6加6等于12。因此，点数之和为1或13的事件是绝对不可能发生的，这属于确定性事件中的“不可能事件”。而点数之和在2到12之间（包括2和12）的每一个数，都有发生的可能，这属于不确定性事件，也称为随机事件。理解这一区分是进行所有后续概率分析的基础-2-8。

（二）等可能性

对于一个标准的、质地均匀的骰子，掷出1、2、3、4、5、6每个数字的可能性是相等的。这是进行公平性判断和理论概率计算的前提。在由两个骰子产生的11个和中，每个和出现的可能性并不相等，这正是本课题研究的核心所在-5。

（三）可能性的大小

可能性的大小由一个事件发生的次数在总可能出现的情况总数中所占的份额来决定。份额越大，可能性就越大。在“掷一掷”的游戏中，事件发生的可能性大小并非取决于和的种类的多少，而是取决于每个和是由多少种“组合数”构成的。组合数越多，该和出现的可能性就越大-1-3-8。

二、数理模型与理论分析【非常重要】【难点】

（一）所有可能结果的穷举（样本空间）

要揭示游戏背后的数学原理，我们必须运用“有序思考”和“一一列举”的数学方法，将所有可能出现的结果不重复、不遗漏地列出来。

第一个骰子（可以是红色）从1到6，第二个骰子（可以是蓝色）也从1到6。它们配对出现的所有情况共有6×6=36种。这36种结果是整个游戏的“样本空间”，是我们分析所有可能性的总基数-2-3。

（二）各“点数之和”的组合数统计

基于上述36种结果，我们统计每个“和”所对应的组合数量：

和为2：只有1种组合（1+1）。

和为3：有2种组合（1+2，2+1）。

和为4：有3种组合（1+3，2+2，3+1）。

和为5：有4种组合（1+4，2+3，3+2，4+1）。

和为6：有5种组合（1+5，2+4，3+3，4+2，5+1）。

和为7：有6种组合（1+6，2+5，3+4，4+3，5+2，6+1）。

和为8：有5种组合（2+6，3+5，4+4，5+3，6+2）。

和为9：有4种组合（3+6，4+5，5+4，6+3）。

和为10：有3种组合（4+6，5+5，6+4）。

和为11：有2种组合（5+6，6+5）。

和为12：有1种组合（6+6）。

通过这个统计表，我们可以清晰地看到，不同和的组合数呈对称分布，中间大，两头小-3-8。

（三）理论概率的计算

每个和出现的理论概率即为其组合数除以总情况数（36）。

P(和=2)=1/36，P(和=3)=2/36，P(和=4)=3/36，P(和=5)=4/36，P(和=6)=5/36，P(和=7)=6/36，P(和=8)=5/36，P(和=9)=4/36，P(和=10)=3/36，P(和=11)=2/36，P(和=12)=1/36。

由此可以直观地看出，和是7的概率最大，为6/36（约16.7%）；和是2和12的概率最小，为1/36（约2.8%）-3-8。

三、数学思想与方法渗透【核心素养】【热点】

（一）统计思想

本课题的核心是通过实验收集数据（如用画“正”字的方法记录每次掷出的和），绘制简单的统计图，观察数据呈现的规律（如条形统计图的高低起伏），并与理论分析进行对比。这一过程让学生亲身经历从随机现象中寻找规律的过程，理解数据的随机性与规律性之间的关系-2-5。

（二）概率思想

在实验之前进行大胆猜想，实验之后通过理论计算进行严谨验证。学生将直观感受到，虽然每次掷的结果是随机的，但在大量重复实验（或全面分析）下，事件发生的可能性大小是由其内在的数学结构（组合数的多少）决定的，即偶然性中蕴含着必然性-5-8。

（三）模型思想

将生活中的掷骰子游戏抽象为数学问题，通过构建“两个骰子和的分布”这一数学模型，解释了为什么“老师总是赢”。这种将实际问题数学化的过程，是模型思想的具体体现-2。

（四）有序思考与分类讨论

在列举所有36种可能结果时，必须按照一定的顺序（如固定第一个骰子的点数，变化第二个骰子的点数）进行列举，这既是有序思考的体现，也包含了分类讨论的思想。这是保证列举结果不重不漏的关键-2-8。

四、常见题型与考点解析【高频考点】

（一）基础类考点

考查对可能性的基本理解和简单计算。

题型示例1：同时掷两个骰子，朝上的点数之和可能是多少？不可能是多少？

考查方式：填空题或选择题，要求学生列出所有可能的和（2,3,4,...,12），并指出不可能出现的和（如1和13）。

解题步骤：明确最小和为1+1=2，最大和为6+6=12，故和的范围在2到12之间。

易错点：忽略两个骰子点数可以相同的情况，或错误地认为和可以是1或13-1-6。

题型示例2：掷一枚骰子，掷出奇数的可能性大还是偶数的可能性大？

考查方式：简答题或判断题。

解答要点：骰子上奇数有1,3,5共3个，偶数有2,4,6共3个，所以掷出奇数和偶数的可能性相等-1。

（二）统计与读图类考点

考查从实验数据或统计图表中提取信息的能力。

题型示例：右图是某小组掷两个骰子30次，各点数之和出现次数的统计图。请根据统计图回答问题：①哪个和出现的次数最多？②和是5和6一共出现了多少次？

考查方式：填空题或简答题，附带有条形统计图。

解题步骤：直接观察统计图中条形最高的部分对应哪个和，即为出现次数最多；将对应和的次数相加即可。

易错点：读图不仔细，将纵轴次数看错-3。

（三）组合与概率类考点【重要】【高频考点】

考查对两个骰子点数组合的理解及简单概率计算。

题型示例1：同时掷两个骰子，点数之和为7有几种可能？请列举出来。

考查方式：简答题或填空题。

解题步骤：运用有序列举的方法，从（1,6）开始，依次为（2,5）、（3,4）、（4,3）、（5,2）、（6,1），共6种。

解答要点：必须成对列举，体现顺序性-2-8。

题型示例2：同时掷两个骰子，得到点数之和为单数的可能性大，还是双数的可能性大？

考查方式：选择题或判断题，并说明理由。

解题步骤：统计单数和（3,5,7,9,11）的组合总数：2+4+6+4+2=18种；双数和（2,4,6,8,10,12）的组合总数：1+3+5+5+3+1=18种。两者相等，所以可能性一样大。

易错点：想当然地认为单数、双数各占一半，但未能通过具体计算验证-2。

（四）游戏公平性类考点【非常重要】【必考点】

考查运用可能性大小判断游戏规则是否公平的能力。

题型示例：小明和小红玩掷两个骰子的游戏。小明的规则是：和是5、6、7、8、9时小明赢；和是2、3、4、10、11、12时小红赢。这个游戏规则公平吗？为什么？如果不公平，请你设计一个公平的规则。

考查方式：应用题或说理题。

解题步骤：

第一步：计算小明赢的组合数。和为5、6、7、8、9的组合数分别是4、5、6、5、4，总数为4+5+6+5+4=24种。

第二步：计算小红赢的组合数。和为2、3、4、10、11、12的组合数分别是1、2、3、3、2、1，总数为1+2+3+3+2+1=12种。

第三步：比较。因为24>12，所以小明赢的可能性远大于小红，游戏规则不公平。

第四步：设计公平规则（答案不唯一）。例如：规则一，点数和是单数（18种）小明赢，点数和是双数（18种）小红赢。规则二，点数和大于7（即8,9,10,11,12，共5+4+3+2+1=15种）小明赢，点数和小于7（即2,3,4,5,6，共1+2+3+4+5=15种）小红赢，和是7则重掷-2-3-7。

（五）拓展与探究类考点

考查知识的迁移和应用能力。

题型示例1：同时掷三个骰子，朝上的点数之和最小是多少？最大是多少？猜一猜哪个和出现的可能性最大？

考查方式：探究题或思考题。

解题思路：最小和为1+1+1=3，最大和为6+6+6=18。和的可能性从3到18共16种。虽然不要求计算具体概率，但通过“掷一掷”的规律可以推测，和位于中间值（10和11附近）的可能性最大-2-6-8。

五、实验操作与活动指导

（一）实验准备

材料：每小组准备两个质地均匀的骰子（建议颜色不同以便区分）、一支彩笔、一张事先画好的统计图（横轴为和2至12，纵轴为涂色格）-2-8。

（二）实验步骤

猜想阶段：面对老师选择5个数（5-9），学生选择6个数（2,3,4,10,11,12）的规则，让学生猜想谁赢的可能性大，并说出理由（通常学生会认为个数多的赢面大）-1-5。

初步验证：师生共同进行有限次数的投掷，记录结果，发现老师赢的次数反而多，制造认知冲突，激发探究欲望-2。

小组合作探究：学生以小组为单位，轮流投掷，并用涂格子的方式记录和的出现情况，直到某一列被涂满。这个过程旨在积累大量的、直观的实验数据-2-6。

分析归纳：各小组展示统计图，引导学生观察哪个区域（哪几个和）的条形最先被涂满、长得最高。引导学生发现和是5、6、7、8、9的格子普遍涂得快、涂得高-2-9。

理论溯源：教师引导学生探究现象背后的原因，通过列表或枚举的方式，写出每个和的所有组合，从数学原理上解释实验结果的必然性-2-8。

六、易错点辨析与学习建议

（一）混淆“点数”与“点数和”

学生容易关注单个骰子的点数，而忽略研究的是两个点数的“和”。必须反复强调，游戏规则是基于两个骰子的“和”来判定的-2。

（二）组合列举的不完整或不有序

在列举和为某个数的组合时，容易出现遗漏，如写出（1,4）和（4,1）后，遗漏（2,3）和（3,2）；或者在列举和为7时，只写出（1,6）、（2,5）、（3,4），忘记了交换顺序后的重复也是不同的组合。教学时必须强调两个骰子是可区分的（如颜色不同），因此（1,2）和（2,1）是两种不同的结果-2-8。

（三）直观判断的误区

学生常被数字的个数多寡迷惑，认为有6个数的组赢面一定比有5个数的组大。复习中要着力打破这种直观错觉，引导学生深入理解“组合数”才是决定可能性的关键，而非“和”的种类数-2-5。

（四）学习建议

亲历过程：一定要动手掷一掷，感受数据的随机性和规律性。

画图列表：面对复杂问题时，不要空想，要学会用列表或画图的方法将所有的可能性有序地呈现出来。

联系生活：思考生活中还有哪些看似公平实则不公平的游戏或抽奖活动，用所学知识进行分析。

七、跨学科视野拓展

（一）与历史的联系

骰子是人类历史上最