汽车电子电工技术课件 项目三 交流电路的分析与测量

项目三交流电路的分析与测量项目二分析了直流电路。在很多实际应用中,电路中的电压、电流并非恒定不变,而是随时间的变化不断改变大小和方向,这类电压和电流称为交变电压和交变电流,相应的电路称为交流电路。应用最广泛的交流电路是正弦交流电路。正弦交流电路是指由正弦波电源激励,电路中各部分电压和电流的稳态响应均按同频率正弦波规律变换的电路。处于这种稳定状态的电路又称为正弦稳态电路。研究正弦交流电路有极其重要的意义。首先,正弦波信号容易产生,应用广泛。目前世界上电能的生产、传输和应用大多采用正弦交流形式,通信技术所采用的载波信号也是正弦波,这其中的大多数问题都可以按正弦交流电路来分析处理。其次,从信号分析的角度来看,正弦波信号进行的各种运算,如加、减、积分、微分后仍为同频率正弦波信号。因此,当多个同频率正弦波电源作用于线性电路时,根据线性电路的叠加性质,电路的全部稳态响应皆为同一频率的正弦量。本项目介绍正弦量的基本概念、表示方法及运算,分析单相正弦交流电路中电压与电流的关系及功率问题。任务一PARTONE正弦量的基本概念一、正弦量及正弦量的三要素电路中随时间按照正弦波规律变化的电压或电流,统称为正弦量。正弦量可以用正弦函数表示,也可以用余弦函数表示,本书统一采用余弦函数。图3-1(a)表示流过正弦电流i1的一条支路,在指定电流参考方向和坐标原点(计时起点)后,可画出正弦量随时间变化的波形,称为正弦波,如图3-1(b)所示。该电流瞬时值的表达式为式中,i(t)表示电流在任意时刻t的值,称为电流的瞬时值。此正弦量的特征需用振幅Im、初相位φi和角频率三个量来描述,这三个量称为正弦量的三要素,由它们可以完全确定一个正弦量。1.振幅式(3-1)中,Im称为正弦量的振幅或幅值,表示正弦量在整个变化过程中的最大值,它反映了正弦量的大小。通常用大写英文字母带小写下标m表示,如用Um表示正弦电压的振幅,Im表示正弦电流的振幅。2.初相式(3-1)中,φi称为正弦量的初相位,简称初相。正弦量变化的进程取决于角度(ωt+φi),这个角度称为正弦量的相位或相角。t=0时的相位为φi,故称φi为初相,它反映正弦量的初始值,单位为弧度或度。初相的大小与计时起点的选择有关,习惯上在主值范围内取值,即|φi|≤180°。图3-2表示正弦信号在三种典型初相情况下的波形,图3-2(a)表示初相为0,图3-2(b)表示初相小于0,图3-2(c)表示初相大于0。3.角频率式(3-1)中,称为正弦量的角频率,是单位时间内正弦量的相位(ωt+φi)变动的角度,又称角速度,它反映了正弦量变化的快慢,单位为弧度/秒(rad/s)。与正弦量的频率f和周期T有以下关系:频率f和周期T互为倒数:f和T也可以表示正弦量变化的快慢。我国和大多数国家的电力系统所用的标准频率为50Hz,称为工频,有些国家(如日本、美国等)采用60Hz。不同工程技术领域中使用各种不同的频率,如收音机的波段的频率通常是530Hz~1600kHz;短波段是2.3Hz~23MHz,我国GSM手机的频率是900/1800MHz双频。【例3-1】已知一正弦电流的Im=20A,频率f=50Hz,初相φi=π4。求t=0时电流i的瞬时值、t=2ms时电流i的瞬时值。解：所以知识拓展二、有效值正弦量的瞬时值是随时间变化的,工程上为了衡量其效应、表征其大小,引入有效值的概念。有效值是通过电流的热效应来表述的。设一交流电流i和一直流电流I流过相同的电阻R,如果在交流电的一个周期时间内交流电和直流电产生的热量相等,则交流电流的有效值就等于这个直流电流I,即 由此得出周期电流有效值(有效值均用大写字母表示)的定义式为 由上式可知,周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内的平均值再取平方根,因此有效值又称为均方根值。对于正弦电流i(t)=Imcos(ωt+φi),其有效值为同理,可得正弦电压的有效值为 因此,正弦量的有效值等于其振幅除以2,与角频率和初相位无关,不随时间变化。引入有效值的概念后,正弦量i的瞬时值表达式可写成 幅值和有效值均可表征正弦量值的大小,但有效值的应用更加广泛。在工程上,在未特别指明的情况下,一般所说的正弦电压、电流的大小都是指有效值。例如,用万用表等仪表测量交流电时所指示的读数、交流电气设备铭牌上的额定值都是有效值。我国所使用的单相正弦电源的电压U=220V,就是正弦电压的有效值,它的最大值Um=2U=1.414×220=311V。应当指出,在工程实践中,并非在一切场合都按有效值来考虑。例如,在确定各种交流电气设备的耐压及绝缘值时,就应按电压的最大值来考虑,否则会发生危及人身和设备的安全事故。【例3-2】某电容器的耐压值为250V,能否用在220V的单相交流电源上?为什么?解不能。220V的电源,其最大值为311V,大于电容器的耐压值。【例3-3】若某电路的u=314cos314t+π4V,求其频率、周期、角频率、最大值、有效值及初相位。解由题意可知,ω=314rad/s,f=50Hz,T=0.02s,Um=314V,则有效值及初相位为三、相位差相位差就是两个同频率的正弦量的相位之差,它用来描述同频率正弦量之间的相位关系。图3-3所示为同频率的正弦电压u和正弦电流i的波形,计时起点选在位置①时,它们的瞬时表达式分别为用φ表示它们之间的相位差,即由上式可见:两个同频率的正弦量的相位差等于它们初相之差,是一个与时间无关的常数。如果改变计时起点,两个正弦量的初相也会随着改变,但它们的相位差始终是一恒定值。现将图3-3中计时起点选在位置②,则u和i的瞬时值表达式分别为

这样,它们的相位差还是φu-φi。所以相位差与计时起点的选取、变动无关。同频率正弦量的几种相位关系如图3-4所示。(1)超前关系,φ12=φ1-φ2>0且φ12≤π弧度,称i1超前i2(2)同相关系,φ12=φ1-φ2=0,称这两个正弦量同相。(3)反相关系,φ12=φ1-φ2=π,称这两个正弦量反相。(4)正交关系,φ12=φ1-φ2=π2,称这两个正弦量正交。注意:对于不同频率的正弦量,其相位差随时间不断变化。因此,“相位差”这一概念只对同频率的正弦量才有意义。【例3-4】现有两个同频率的正弦压,u1=311cos(100πt+60°)V,u2=311cos(100πt-60°)V,求两个正弦电压的相位差。解已知φ1=60°,φ2=-60°,则即u1超前u2120°,或者u2滞后u1120°。【例3-5】已知u=2202cos(ωt+235°)V,i=102cos(ωt+45°)A,求u和i的初相及两者间的相位关系。解因为u=2202cos(ωt+235°)V=2202cos(ωt-125°)V,故电压u的初相为-125°,电流i的初相为45°。表明电压u滞后于电流i170°。【例3-6】已知u1=2202cos(ωt+120°)V,u2=2202cos(ωt-90°)V,试分析二者的相位关系。解u1的初相为φ1=120°,u2的初相为φ2=-90°,u1和u2的相位差为考虑到正弦量的一个周期为360,故可以将φ12=210°表示为φ12=-150°<0,表明u1滞后于u2150°。知识拓展任务二PARTTWO正弦量的相量表示法写出正弦量的三角函数表达式或画出波形图,都可以将其三要素形象地表示出来,但以此进行正弦量的运算比较烦琐。例如,在并联的两支路分别流过电流求总电流i。利用三角函数运算得到i=i1+i2=14.55cos(ωt+50.1°)A。可见,总电流i的频率与i1、i2相同,但求得i的幅值及初相这两个要素不是很方便。为了能快捷地计算出i的振幅及初相,引入正弦量的相量表示法。相量表示法的基础是复数,就是采用数学中的复数来表示正弦电压和电流,将三角函数运算变换为复数运算,这是分析正弦交流电路的一种简便的计算方法。一、复数及运算一个复数F可用下面四种形式来表示。复数F的代数形式为F=a+jb式中,a为复数F的实部;b为虚部;j=-1称为虚数单位,因为在电路中i表示电流,故虚数单位用j表示,以防混淆。在实际应用中,有时只需取复数的实部或只需取虚部,这时可采用如下表示方法。取实部ReF=Rea+jb=a取虚部lmF=lma+jb=b复数F在复数平面上可以用F对应坐标的点表示,也可以用从坐标原点O指向该点的有向线段表示,如图3-5所示。有向线段的长度|F|称为复数的模;线段与实轴的夹角θ称为复数的辐角。它们分别为复数的模|F|和辐角θ与其实部a和虚部b的关系为这样得到复数F的三角函数形式为根据欧拉公式可以将复数F的三角函数形式变换为指数形式。一个复数F的指数形式为在电路理论中,复数的指数形式常写为极坐标形式,即在对相量进行运算时,采用不同的表达方式会更方便,因此复数的以上几种表示形式希望同学们都能够熟悉并能相互转换。最常用的复数运算是复数的加减和乘除运算。复数的加减运算一般用代数形式进行。例如,两个复数F1=a1+jb1与F2=a2+jb2,则即两个复数相加或相减等于将其实部和虚部分别相加或相减。复数的加减运算也可以在复平面上采用平行四边形法则来进行,如图3-6所示。复数的乘除运算在工程上通常是采用其指数或极坐标形式进行。例如,有两个复数F1=|F1|ejθ1=|F1|∠θ1,F2=|F2|ejθ2=|F2|∠θ2。这两个复数相乘,有即复数相乘时,模相乘,辐角相加。这两个复数相除,有即复数相除时,模相除,辐角相减。复数ejθ称为旋转因子,它的模为1,辐角为θ。任一复数乘以ejθ,等于该复数在复平面上逆时针方向旋转一个θ角度,而其模保持不变。例如,复数F1=|F1|ejθ1,乘以旋转因子ejθ后得到了新复数F'1=|F1|ej(θ1+θ),模仍然是|F1|,辐角变为(θ1+θ)。由欧拉公式可知,ejπ2=j,e-jπ2=-j,ejπ=-1。±j和-1也可看成旋转因子。例如,一个复数乘以j,等于把这个复数在复平面上逆时针旋转π2;一个复数乘以-1,则等于把这个复数在复平面上顺(逆)时针旋转π。二、正弦量的相量表示设复指数函数F=Fmej(ωt+φ),根据欧拉公式,有可见,一个正弦量可以与一个复指数函数的实部一一对应起来,即这样,正弦量就可以用对应的复指数函数来描述。根据复变函数的运算规律,可以先对复指数函数进行数学运算,再对运算结果取实部,就可以得到正弦量的计算结果。设正弦电压u=Umcos(ωt+φu),则式中,Uejψu是一个与时间无关的复常数,其模为正弦电压的有效值,辐角为正弦电压的初相。它包含正弦电压三要素中的两个要素。在正弦交流电路中,Uejφu足以表征正弦电压。为了与一般的复数相区别,把这个表示正弦量的复常数称为相量,用上面带点的大写字母表示,于是表示正弦电压u=Umcos(ωt+φu)的相量为

或式中,U·称为电压的有效值相量;U·m称为电压的振幅相量。同一正弦量的振幅相量和有效值相量之间亦为2倍的关系,如U·m=2U·。在实际应用中,可以直接根据正弦量确定与之对应的相量。相反,若已知相量和角频率ω,也可以确定该相量所表示的正弦量。例如,已知正弦电流i=1002cos(ωt-30°)A,该电流的有效值相量就是I·m=100∠-30°A。注意:正弦量不是复数,相量只是用于表示正弦量,而不是等于正弦量。如果用中学解三角函数的方法对正弦量进行计算,将十分烦琐。因此,借用相量表示正弦量仅仅是为了对正弦量进行计算时更加方便和快捷。相量作为一个复数,也可以在复平面上用有向线段来表示。图3-7中,复平面上的有向线段就是用来表示电流相量I·=I∠φi的,它的长度等于相量的模,它与实轴正方向的夹角等于相量的辐角。按照一定的大小比例和相位关系在复平面上画出若干相量的图,称为相量图。在相量图上能够形象地看出各个正弦量的大小和相互之间的相位关系。注意:只有同频率的正弦量才能画在同一个相量图上。下面讨论正弦量与相量关系的几何意义。式(3-3)所表示的复指数函数2Uej(ωt+φu)=2Uejφu中,2Uejφu是电压的振幅相量,在复平面上可以用一个有向线段来表示,如图3-7所示。而ejωt是一个模为1、辐角为ωt的旋转因子,随时间变化,以原点为中心、以角速度ω沿逆时针方向旋转。因此,复指数函数2Uej(ωt+φu)实际上是一个以角速度ω逆时针方向旋转的相量,称之为旋转相量。旋转相量与正弦量波形的对应关系如图3-8所示。对于任一时刻t,旋转相量与实轴的夹角为(ωt+φu),该时刻旋转相量与正弦量在实轴上的投影等于与其对应的正弦量在同一时刻的瞬时值,这就是式(3-3)中对应关系的几何意义。旋转相量旋转一周,正弦波也变化一个周期。为了便于绘制正弦波形,图3-8中将复平面的坐标逆时针旋转了90°。【例3-7】已知u1(t)=62cos(314t+30°)V,u2(t)=42cos(314t+60°)V,试求u=u1+u2,并绘出相量图。解相量图如图3-9所示。【例3-8】已知u1=42cos(ωt)V,u2=5cos(ωt-150°)V,i1=62sin(ωt+30°)A,i2=-2202cos(ωt-80°)A,分别写出以上各正弦电压和电流的相量。解根据相量的定义,可直接写出u1、u2的有效值相量为【例3-9】已知i1=52cos(100t+30°)A,i2=102cos(100t+60°)A,电流i=i1+i2,求电流i。解将正弦量的运算转化为相量运算,首先求得则上述计算也可以根据平行四边形法则在相量图上进行。任务三PARTTHREER、L、C元件的交流电特性在一般实际电路中,无源元件电阻、电感(包括互感)和电容同时存在。在直流稳态电路中,电感相当于短路,电容相当于断路,只有电阻R一种元件模型。在正弦稳态电路中,电压、电流随时间变化,无源元件除电阻R外,还有电感L(包括互感)和电容C。分析电路的正弦稳态响应,必须掌握这些元件的交流电特性。一、电阻元件的交流电特性1.电阻元件在交流电路中的伏安特性如图3-10所示,对于线性电阻元件,它的伏安特性表述为欧姆定律,即uR=Ri,图3-10(a)中,设电阻R中的电流为 则电阻两端的电压为 上式表明,正弦电流流过电阻R,在R上产生一个与电流同频率、同相位的正弦电压,且有效值之间的关系为UR=RI电阻元件欧姆定律的相量形式为U·R=RI·电阻元件的相量模型如图3-10(b)所示,图3-10(c)是电阻中正弦电流和正弦电压的相量图。2.电阻的功率下面讨论正弦交流电路中电阻元件的功率问题。在任一瞬间,电压u与电流i瞬时值的乘积,表示电路在该瞬间吸收或发出的功率,称为瞬时功率,通常用小写字母p表示,即p=ui对于图3-10(a)所示的线性电阻元件R,其电压u、电流i取关联参考方向,则R吸收的瞬时功率为pR由两部分构成:一部分是与时间无关的常数,另一部分是随时间做两倍频率变化的周期量。pR随时间变化的曲线如图3-11所示,由于电压和电流同相,瞬时功率恒为正值,这说明电阻元件总是吸收(消耗)能量的,同时电阻吸收的功率是随时间变化的。瞬时功率不能反映电路中总的功率情况,在交流电路中,功率通常指的是平均功率。平均功率是瞬时功率在一个周期内的平均值,用大写字母P表示,即将式(3-4)代入式(3-5),得电阻元件吸收的平均功率为由此可见,如果用电阻元件上的电压、电流的有效值来计算它的平均功率,则计算公式与直流电路完全一样,单位为瓦特(W)。因为平均功率表现了元件实际消耗电能的情况,所以又称为有功功率,简称功率。在日常工作和生活中所说的功率,未特别指明都是指平均功率,即有功功率。常用电器设备铭牌上的额定功率,如教室日光灯的功率通常为40W、电饭煲的功率通常为700W、电梯的功率通常为20kW等,都是指平均功率(有功功率)。【例3-10】将阻值为100Ω的电阻接在电压为u=2002cos(ωt+60°)V的电源上,求:(1)通过电阻的电流iR和其有效值IR;(2)消耗的功率P。解(1)u=2002cos(ωt+60°)V,其相量为而所以(2)P=UIR=200×2W=400W。二、电感元件的交流电特性电感元件是一种通过磁场储能的元件。电感元件的原始模型为导线绕成的圆柱线圈,当线圈中通以电流i,在线圈中就会产生磁通量Φ,并储存能量。如果一个二端元件在任一时刻,其磁通量与电流之间的关系由i-φ平面上的一条曲线所确定,则称此二端元件为电感元件。电感元件的符号如图3-12(a)所示,特性曲线如图3-12(b)所示。我们将特性曲线是通过坐标原点的一条直线的电感元件称为线性电感元件,否则称为非线性电感元件。线性时不变电感元件的符号如图3-13(a)所示,特性曲线如图3-13(b)所示,它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线,其数学表达式为φ=Li式中,系数L为常量,与直线的斜率成正比,称为电感。电感单位为亨利,简称亨,符号为H,1μH=1Wb/A。通常还用毫亨(mH)和微亨(μH),它们的换算关系为1.电感元件的伏安特性图3-14(a)所示为线性电感元件L,在电压、电流取关联参考方向时,其伏安特性为当通过电感L的电流为时,则上式表明,正弦电流流过电感L,在L上产生一同频率的正弦电压,此电压的相位超前电流90°,且有效值之间关系为式中,XL=ULILωL=2πfL,称为感抗,单位为Ω。XL与工作频率f成正比,频率越高,则感抗越大。直流电可以看成频率f=0的正弦电流,即XL=2πfL=0,电感元件相当于短路。注意:根据以上推导,如果一个电阻很小的线圈接入直流电路中将产生很大的电流,可能将线圈烧毁。电感元件的相量模型如图3-14(b)所示,图3-14(c)是电感中正弦电流和电压的相量图。2.电感元件的功率及储存的磁场能量为了简化分析,设流过图3-14(a)所示电感L的电流为iL=ILmcosωt,则电感两端的电压为uL=ULmcosωt+π2。电感L是一个储能元件,它的储能与电流之间的关系为其瞬时功率为由上式可知,瞬时功率pL以2ω角频率随时间按正弦规律变化,其波形如图3-15所示。瞬时功率做正、负交替变化。这是因为电感是储能元件,其储存的磁场能量为LI2Lcos2(ωt)。当电流的绝对值|iL|增大时,电流建立的磁场增强,电感吸收能量,pL>0;而|iL|减小时,电感释放出原先储存的能量,pL<0。电感周期性地从外部电路吸取能量继而又将能量送回电路,这说明在交流电路中,电感与外电路不断地交换能量。瞬时功率的最大值反映了电感元件与外界进行能量交换的最大规模,称为电感元件的无功功率(QL=PLm),用QL表示,单位为乏(var),工程中还常用千乏(kvar)。电感元件吸收的平均功率为从pL的波形图中也容易看出,电感元件的功率平均值为零,这说明线性电感元件并不消耗功率,而是起着储存和释放能量的作用,即不断与外电路(或电源)进行能量交换。其能量为把uL=Ldildt代入上式,得磁场能量的单位为焦耳(J)。实际的电感线圈是用导线绕制成的,由于导线存在电阻,当电流通过时,有一定损耗(发热)。所以一个实际电感元件的电路模型由一个电感L和一个电阻R串联组成(低频,不考虑匝间电阻)。【例3-11】iL=102cos(314t+30°)A为流过电感元件中的电流,无功功率QL=500var。求:(1)XL和L;(2)电感元件中储存的最大磁场能量WLm。解【例3-12】已知一个电感L=2H,接在uL=2202cos(314t-60°)的电源上。求:(1)XL;(2)通过电感的电流iL;(3)电感上的无功功率QL。解三、电容元件的交流电特性电容元件是一种通过电荷储存能量的元件,其原始模型为中间用绝缘介质隔开的两块金属极板。当在两极板上加上电压后,极板上分别积聚等量的正、负电荷,在两个极板之间产生电场。积聚的电荷越多,所形成的电场就越强,电容元件所储存的电场能也就越大。如果一个二端元件在任一时刻,其电荷与电压之间的关系由u-q平面上的一条曲线所确定,则称此二端元件为电容元件。电容元件的符号及特性曲线如图3-16所示。若特性曲线是通过坐标原点一条直线的电容元件,称为线性电容元件,否则称为非线性电容元件。线性时不变电容元件的符号及特性曲线如图3-17所示。它的特性曲线是一条通过原点不随时间变化的直线,其数学表达式为q=Cu(3-7)式中,系数C为常量,与直线的斜率成正比,称为电容,单位是法拉,简称法,符号为F。常用单位还用毫法(mF)和微法(μF)。1.电容元件的伏安特性如图3-18所示,对于线性电容元件C,在电压、电流取关联参考方向时,其伏安特性为图3-18(a)中,设加在电容C两端的电压为则上式表明,电容元件在外加正弦交流电压的作用下产生同频率的正弦交流电流,此电流的相位超前电压90°,且有效值之间的关系为得电容元件伏安特性的相量形式为式中,XC=UCIC=1ωC=12πfC,称为容抗,单位为Ω。XC与工作频率成反比,频率越高,容抗越小。在直流工作条件下,f=0,XC→∞,电容元件相当于开路。电容元件的相量模型如图3-18(b)所示。图3-18(c)是电容中正弦电流和电压的相量图。2.电容元件的功率及储存的电场能量正弦交流电路中,电容元件的功率、能量关系与电感元件相似。为了简化分析,设加在图3-18(a)所示电容C两端的电压为uC=UCmcosωt,则流过电容元件的电流为iC=ICmcosωt+π2。电容元件也是一个储能元件,它的储能与电流之间的关系为其瞬时功率为由上式可知,瞬时功率pC也是以2ω的角频率随时间按正弦规律变化,其波形如图3-19所示。瞬时功率做正、负交替变化。当|uC|增大时,瞬时功率为正,表示电容吸收功率,其储能增加;当|uC|减小时,瞬时功率为负,则表示电容发出功率,其储能减少。电容元件也与外部电路不断进行能量交换。电容元件上尽管平均功率为零,但瞬时功率并不为零。将电容元件的瞬时功率的最大值定义为无功功率,它表示电源能量与电场能量交换的最大程度,用符号QC表示,即QC=PCm,单位为乏(var)。电容元件吸收的平均功率PC也为零,说明电容元件和电感元件一样,是一个储能元件,不消耗能量,只是与外部电路(或电源)交换能量。注意:虽然电感和电容都几乎不消耗电网的能量(一个周期内平均功率为零),但由于它们要不断地与电源进行能量交换(消耗无功功率),因此它们仍然会增加电网的负担。在选择电网的变压器、输电线、开关等器材的大小时不仅要考虑有功功率,同时还必须考虑无功功率。当电容元件上的电压从零上升到某个数值uC时,电容元件从电源吸取的能量为电场能量的单位为焦耳(J)。实际的电容元件在交流电的作用下也是有损耗的(主要时介质损耗),它的电路模型可以用电阻R和电容C并联组成,也可以采用R与C串联的形式,一般常采用前一种形式。【例3-13】设一电容C=100F,接在u=2202cos(314t+45°)V的电源上。求iC、QC,并作相量图。 相量图如图3-20所示。解则电阻、电感和电容是交流电路中最基本的无源元件,它们的交流电特性是分析正弦电流电路的基本依据,是学习后续课程的理论基础,同时能为工作中分析及解决工程实际问题提供重要的理论依据及方法思路,是每个从事电类工作人员必备的知识。为了便于记忆和比较,将它们的交流电特性列于表3-1中。任务四PARTFOUR电路定律的相量形式前面介绍的基尔霍夫定律和各种元件的特性方程是分析电路问题的基本依据。这些方程中的变量一般都是时间t的函数,故称为时域形式的方程。正弦交流电路中也必须遵循这种时域形式的方程。当采用相量法来分析正弦电路时,必须将时域形式的方程转换成相量形式,即电压相量和电流相量所遵循的方程。基尔霍夫电流定律方程的时域形式为∑nk=1ik(t)=0,在正弦稳态电路中,所有支路电流都是同频率的正弦量,可以将其转换为相量形式,即∑nk=1I·k=0文字表述为:在集中参数正弦稳态电路中,流出(或流入)任一节点(或闭合面)的各支路电流相量的代数和为零。同理,基尔霍夫电压定律方程的时域形式为∑nk=1uk(t)=0,在正弦稳态电路中,所有支路电压都是同频率的正弦量,可以将其转换为相量形式,即∑nk=1U·k=0文字表述为:在集中参数正弦稳态电路中,沿任一回路的所有支路电压相量的代数和为零。【例3-14】图3-21所示为正弦交流电路,已知u1=52cos(ωt-120°)V,u2=82cos(ωt+45°)V,求节点②、④之间的电压u24。解设表示电压u1、u2的相量分别为U·1、U·2,由已知得对支路1、2、3、4构成的回路,按顺时针方向列写相量形式的KVL方程为可得

既知识拓展知识拓展知识拓展知识拓展知识拓展知识拓展知识拓展知识拓展任务五PARTFIVE阻抗与导纳一、阻抗与导纳的概念欧姆定律是用来表示线性电阻元件上的电压、电流关系的,对于电感和电容元件上的瞬时电压、电流,也存在类似于线性电阻元件欧姆定律的关系。在电压、电流为正弦量的情况下,R、L、C元件伏安特性的相量形式分别为可见,这三种元件伏安特性的相量形式可统一表示为该式称为欧姆定律的相量形式,其中把元件两端的电压相量与流过元件的电流相量之比Z定义为元件的复阻抗,简称阻抗,单位为欧姆(Ω)。根据阻抗的定义,R、L、C元件的阻抗分别为在正弦交流电路中,电路的相量模型可以看成是R、L、C这三个基本元件相量模型的串、并联组合。图3-22(a)所示为一个不含独立源的一端口网络,在外施加正弦电源的激励下,端口的电压和电流为同频率的正弦量。设端口电压相量和电流相量分别为U·=U∠φu和I·=I∠φi,它们的比值定义为该一端口网络的阻抗Z,即式中,Z为阻抗模,它等于端口电压有效值和电流有效值之比;φZ为阻抗角,它等于电压和电流的初相之差,即电压超前(或滞后)电流的相位。可见,欧姆定律的相量形式以一个复数方程同时给出了阻抗端口的电压与电流的大小关系和相位关系。阻抗Z只是一个为方便计算而使用的复数,并不代表阻抗是正弦量,也不可将阻抗视为相量。阻抗Z用代数形式表示为其实部ReZ=ZcosφZ=R称为电阻,虚部ImZ=X=ZsinφZ称为电抗。从电路构成来看,阻抗由电阻和电抗串联组成,可看成一个电路元件,其参数为复数Z,电路符号如图3-22(b)所示。阻抗Z的实部R、虚部X和阻抗模Z之间的关系可以用一个直角三角形表示,如图3-23所示,这个三角形称为阻抗三角形,图中各参数的计算遵循中学数学解三角函数的方法。如同在电阻电路中,电阻R的电特性可以用它的倒数———电导G来表示一样,在正弦交流电路中,一个交流电路元件的电特性也可以用阻抗Z的倒数来表示。阻抗的倒数称为导纳,用符号Y表示,单位为西门子。R、L、C元件的导纳分别为二、阻抗与导纳的串联和并联阻抗的串、并联电路的计算,在形式上与电阻的串、并联电路相似。1.阻抗串联的电路对于n个阻抗串联的电路,其等效阻抗为Z=∑nk=1Zk各串联阻抗流过相同的电流相量,串联支路的总电压相量等于各串联阻抗的电压相量之和,各个阻抗上的电压分配为U·k=ZkZU·(k=1,2,3,…,n)式中,U·为串联阻抗的总电压;U·k为第k个阻抗Zk的电压。图3-24(a)所示的RLC串联电路的相量模型如图3-24(b)所示。电路的等效阻抗Z为Z的模和阻抗角分别为当XL>XC时,阻抗角φZ>0,电压U·超前电流I·,阻抗Z呈感性;当XL<XC时,阻抗角φZ<0,电压U·滞后电流I·,阻抗Z呈容性;当XL=XC时,电压U·和电流I·同相,阻抗Z呈纯电阻性。RLC串联电路的相量图如图3-25所示,其中设XL=XC,即为阻性电路。从相量图中可以直观地看出各相量间的相位和大小关系。相量在相量图上的位置是根据各相量的相位相对确定的,由于各相量间的相位差与计时起点的选择无关,通常选择某一相量作为参考相量,其他相量根据与参考相量的相位关系画出,并按比例反映出各相量的模。一般设参考相量的初相为零,把它画在水平方向上,如果参考相量的初相已经确定,可按其初相画出。为了简化,相量图中可以不画出实轴和虚轴,以参考相量为坐标轴,画在水平位置或竖直位置。在串联电路中,因为各元件流过同一电流,经常取电流相量I·为参考相量。图3-25(a)中,将I·画在水平方向,U·R=RI·与I·同相,也画在水平方向,U·L=jωLI·L画在比I·超前90°的位置,U·C=-jI·CωC画在比I·滞后90°的位置。根据串联回路的KVL方程,U·=U·R+U·L+U·C,应用求相量和的多边形法则画出回路上的电压相量图,从相量图上可以求出各电压有效值的关系,即2.导纳并联的电路同理,对于n个导纳并联的电路,其等效导纳为Y=∑nk=1Yk各并联导纳具有相同的电压相量,并联支路的总电流相量等于各并联导纳的电流相量之和,各个导纳上的电流分配为I·k=YkYI·(k=1,2,3,…,n)式中,I·为并联导纳的总电流;I·k为第k个导纳Yk的电流。图3-26(a)所示RLC并联电路的相量模型如图3-26(b)所示,电路的等效导纳Y为导纳Y的模和导纳角分别为当BC>BL时,导纳角φY>0,电压U·滞后电流I·,导纳Y呈容性;当BC<BL时,导纳角φY<0,电压U·超前电流I·,导纳Y呈感性;当BC=BL时,电压U·与电流I·同相,导纳Y呈纯电阻性。根据KCL方程,I·=I·R+I·L+I·C,画出电路的相量图如图3-26(c)所示,其中设BC>BL,即容性电路,故电流I·超前电压U·。从相量图中可以直观地看出电流有效值的计算式为I=I2R+(IC-IL)2。【例3-15】设图3-24(a)中正弦电压U=141V,ω=103rad/s,R=50Ω,L=50mH,C=10μF。试求此RLC串联电路的阻抗、电流和各元件的电压,并画出相量图。解采用相量法,电路的相量模型如图3-24(b)所示。设电压相量为参考相量,即U·=141∠0°V,RLC串联电路的阻抗为电流为各元件的电压相量分别为各元件的电压瞬时值分别为根据U·=U·R+U·L+U·C,画出相量图如图3-27所示。【例3-16】已知图3-28中,iS=600cos100tA,R=2Ω,L=50mH,试求电压u和电流iR、iL。解电源电流的振幅相量为U·,I·sm=6∠0°A,R、L并联的等效导纳为电压为流过R、L的电流相量分别为故电流iR、iL为任务六PARTSIX正弦稳态电路的功率知识拓展前面讨论了单个元件的功率问题,本节讨论由它们组成的正弦稳态电路的功率。一、有功功率、无功功率和视在功率1.有功功率设图3-29(a)所示一端口网络的端口电压、电流分别为电压u和电流i为关联参考方向,则输入一端口网络的瞬时功率为根据2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(α-β),将上式改写成式中,φ=φu-φi,即端口电压u和电流i的相位差。由式(3-9)可见,瞬时功率由两个分量组成,一个是恒定分量,一个是两倍于电压(或电流)频率的正弦量。瞬时功率的波形如图3-29(b)所示,可以看出,瞬时功率有时正、有时负,正值表示一端口网络从外电路吸收功率,负值表示一端口网络向外电路释放功率,这表明一端口和外电路之间有能量交换,显然是一端口网络中有储能元件L或C存在的原因。式(3-9)等号右端第二项中余弦函数可进一步展开为再代入式(3-9),得上式等号右端第二项是正弦量,反映一端口网络与外部电路交换的能量,这一项在一个周期内的平均值等于零;第一项是非负的,反映一端口网络吸收功率的能力,一端口网络吸收的平均功率取决于这一项,即平均功率又称有功功率,代表一端口实际消耗的功率。由式(3-11)可见,有功功率就等于瞬时功率p中的恒定分量,它不仅与端口电压、电流有效值的大小有关,而且和它们的相位差有关。式(3-11)中λ=cosφ,称为一端口网络的功率因数,φ称为功率因数角。对于纯电阻网络,电压和电流同相,cosφ=1,PR=URI;对于纯电感或电容网络,电压和电流的相位差为±π/2,cosφ=0,P=0,即电感元件或电容元件不消耗能量,这与前面的分析是一致的。2.无功功率为了描述一端口网路与外部电路能量交换的情况,引入无功功率的概念。无功功率用大写字母Q表示,其定义为Q=UIsinφ无功功率的量纲与有功功率的量纲相同,但是因为它不表示实际吸收或发出的功率,为区别,它的单位为无功伏安或乏(var),有时也用千乏(kvar)。理想电阻元件只消耗能量,不能储存能量,它的无功功率为0,也可由电阻的交流电特性得出。电感元件的无功功率为电容元件的无功功率为对于不含独立电源的一端口网络,其等效阻抗可以用Zeq=R+jX表示,阻抗角就是功率因数角。式(3-11)表明,Zeq吸收的平均功率不等于该阻抗上的电压、电流有效值的乘积,而是要乘以功率因数λ。这是因为,Zeq中只有电阻消耗功率,而端口电压是阻抗两端的电压,并非电阻电压。假设等效阻抗为感性,如图3-30(a)所示,取电流I·为参考相量,根据U·=U·R+U·X画出电路的相量图如图3-30(b)所示,此直角三角形称为电压三角形。U·R和U·X是U·的两个分量。U·R和I·同相,称为U·的有功分量。将UR=Ucosφ代入式(3-11),得到Zeq吸收的平均功率,即一端口网络吸收的有功功率,P=UIcosφ=URI=I2R,恰好是电阻吸收的有功功率。U·X与I·正交,称为U·的无功分量,将UX=Usinφ代入式(3-12),得到Zeq吸收的无功功率,即一端口网络吸收的无功功率Q=UIsinφ=UXI,恰好是电抗吸收的无功功率。因为电感和电容不消耗功率,所以一端口吸收的有功功率等于端口内部各电阻吸收的有功功率之和。而电阻元件的无功功率为零,所以一端口吸收的无功功率等于端口内部电感和电容元件吸收的无功功率之和。可以证明,正弦稳态电路中总的有功功率是电路各部分有功功率之和,总的无功功率是电路各部分无功功率之和,即有功功率和无功功率分别守恒。3.视在功率一般电气设备都要规定额定电压和额定电流,工程上用它们的乘积来表示电气设备的容量,因此引入视在功率的概念。视在功率又称表观功率,用大写字母S表示,其定义为S=UI(3-13)为了将其与有功功率相区别,视在功率用伏安(V·A)作单位,有时也用千伏安(kV·A)。由式(3-11)、式(3-12)和式(3-13)可知,P、Q、S之间存在下列关系。可见,P、Q、S之间的关系可以用一个直角三角形表示,如图3-31所示,这个三角形称为功率三角形,图中P、Q、S、φ的计算遵循中学数学解三角函数的方法。【例3-17】已知图3-32所示电路中负载1和负载2的平均功率和功率因数分别为P1=80W,λ1=0.8(感性),P2=30W,λ2=0.6(容性)。试求各负载的无功功率、视在功率及两并联负载的总的有功功率、无功功率、视在功率和功率因数。解依题意,对于负载1,有对于负载2,有两并联负载总的有功功率、无功功率、视在功率分别为Q>0,可知电路呈感性,功率因数和功率分别为【例3-18】图3-33(a)所示正弦交流电路中,已知R=100Ω,U1=UR=100V,U·R滞后U·I60°,求一端口网络N吸收的平均功率。解由已知条件取电流I·为参考量,即令I·=1∠0°A,作相量图如图3-33(b)所示。U·R、U·1和U·N构成等边三角形,U·A超前I·的相角为120°,则网络N吸收的平均功率为二、功率因数的提高下面讨论在电力系统中非常有意义的一个实际问题———功率因数的提高。如前所述,交流电路的有功功率P不但与电压和电流的有效值相关,还要考虑它们的相位差。只有在纯电阻负载(如白炽灯、电炉)的情况下,电压和电流才同相,功率因数为1。对其他负载来说,功率因数一般均介于0与1之间,电路中发生能量交换,出现无功功率Q,这会增加电源的负担和输电线路的损耗。各种电源设备,如交流发电机或变压器都标有额定工作电压和额定工作电流,它们的乘积称为额定视在功率。额定视在功率表示电源设备的功率容量。然而,在使用时,能否充分发挥它的功率容量,还与它所接负载的性质有关。例如,某台变压器的额定功率容量为12kV·A,当负载的功率因数cosφ=1时,则变压器输出的有功功率最大,即12kW;若负载的功率因数cosφ=0.85,此时变压器输出的有功功率只能达到12×0.85kW=10.2kW。一般来说,实际负载多为电感性的,感性负载的功率因数小于1,这样负载所得到的有功功率只是电源视在功率的一部分。因此,从充分利用电源设备的功率容量来看,应当尽量提高功率因数。不仅如此,提高功率因数还意味着以同样的电压传输同样的功率,线路传输电流可以减小,这对减少输电线的损耗、提高传输效率是有利的。因此,提高功率因数在电力系统中具有重要的经济意义。要提高功率因数,就要减少电压、电流的相位差。对于无源网络来说,就要减小其阻抗角,即减小φ。我们很容易想到,为减小φ,应采取措施使网络性质向相反的方向转化。因此,对于目前生产和生活中广泛应用的动力设备———各种电动机等感性负载,通常采用并联(并联不改变负载的工作状态)容性设备的方法来提高电路的功率因数。其原理可用图3-34所示的电路和相量图加以说明。图中,RL串联支路代表感性负载,如电动机,假设其功率因数为cosφ,在相量图中,负载电流I·1滞后电压U·的相位差为φ。并联电容后,负载支路电流I·1保持不变,但电容支路将产生一相位超前电源电压90°的电流I·C,此时电源提供的电流变为I·=I·1+I·C。由相量图可以看出,若电容取值适当,可使电源提供的电流减少,即I·<I·1,并使电源电压U·与总电流I·的相位差减小为φ',于是电路功率因数变为cosφ',较原来负载的功率因数cosφ提高了。从理论上讲,用这种方法可使功率因数提高到1。【例3-19】图3-35(a)所示电路中有一电感性负载,其功率P=10kW,功率因数λ=0.6,外加电压U=220V,工作频率f=50Hz。求:(1)工作时电源供给的电流I。(2)为使功率因数提高到0.95,需并联的电容值及此时电源供给的电流。解(1)由有功功率定义得PL=UILλL,则(2)并联电容后,电容的无功功率“补偿”了感性负载的无功功率,减少了电源与负载之间的能量互换,电容本身无损耗,电源提供的有功功率不变。电容与负载并联,负载的工作状态不受影响,即PL、U、λL均不变。方法一:电路的功率三角形如图3-35(b)所示,并联电容前有并联电容后,cosφ=0.95,有电容的无功功率为所以方法二:取U·为参考相量,画相量图如图3-35(c)所示。由图中相量关系可得又因为所以代入数据得由于并联电容后P1不变,所以I1和I的有功分量相等,即从本例可以看出,并联适当的电容后,电源提供的电流减小了,从而减小了输电线路上的损耗,提高了电源的传输效率。在工程实际中,提高功率因数通常是提高一个电力用户(如一个学校、一家企业、一个住宅小区等)的总功率因数。供电局要求每个电力用户的功率因数应达到0.9以上,否则会加收电费。由于大量用电设备都是感性负载,功率因数达不到0.9,因此,通常每个电力用户都必须采取措施提高功率因数。提高功率因数最常用的方法是在变电所内加装一定容量的电容,这样就减少了电网与负载之间的能量交换。任务七PARTSEVEN正弦电路中的谐振谐振是指含有电感线圈和电容器的电路在某个特定频率的外加电源作用下,容抗与感抗相等,电路对外呈纯电阻性质的现象(即电压与电流同相)。这一特定频率即为该电路的谐振频率。以谐振为主要工作状态的电路称为谐振电路。无线电设备往往应用谐振电路完成调谐、滤波等功能,电力系统则需防止谐振以免引起过电流、过电压。一、串联谐振电路由电感线圈和电容器串联可组成串联谐振电路,如图3-36所示。在角频率为ω的正弦电压下,该电路的复阻抗为1.串联电路谐振的条件如前所述,发生谐振时电路容抗与感抗相等,即谐振时应满足(1)当电源角频率ω=ω0(或f=f0)时,电路产生谐振,由式(3-14)可得即式(3-15)说明,电路发生谐振时的ω0(或f0)仅取决于参数L和C,与电流和电压的大小无关,所以称ω0(f0)为电路的固有角频率(频率)。当电源角频率等于电路固有角频率时,电路产生谐振。(2)当电源角频率ω一定,通过改变L或C的参数使式(3-14)成立时,电路也会产生谐振。通过调节L或C使电路产生谐振的过程称为调谐。由谐振条件可知,调节电感或电容使电路产生谐振的条件为【例3-20】收音机接收信号部分的等效电路如图3-37所示,已知R=20Ω,L=300H,调节电容C收听中波630kHz电台的节目,此时的电容值为多少?解根据式(3-15)可得【例3-20】收音机接收信号部分的等效电路如图3-37所示,已知R=20Ω,L=300H,调节电容C收听中波630kHz电台的节目,此时的电容值为多少?解根据式(3-15)可得2.串联电路谐振的特征1)谐振时的阻抗为纯电阻谐振时电路的电抗X=0,所以此时电路的复阻抗为Z=Z0=R+jX=R因此,电路谐振时,阻抗最小且为纯电阻。谐振时,感抗和容抗分别为ρ称为电路的特性阻抗,单位为Ω。ρ的大小仅由L和C决定。式(3-18)表明,谐振时感抗和容抗相等,并且等于电路的特性阻抗ρ。2.串联电路谐振的特征1)谐振时的阻抗为纯电阻谐振时电路的电抗X=0,所以此时电路的复阻抗为Z=Z0=R+jX=R因此,电路谐振时,阻抗最小且为纯电阻。谐振时,感抗和容抗分别为ρ称为电路的特性阻抗,单位为Ω。ρ的大小仅由L和C决定。式(3-18)表明,谐振时感抗和容抗相等,并且等于电路的特性阻抗ρ。2)谐振时的电流最大谐振时,由于阻抗最小且为纯电阻,因此电路中的电流与电压同向,并且I0为最大,即3)谐振时电感和电容两端的电压是电源电压的Q倍谐振时,L和C上的电压大小分别记为UL0和UC0,则其中Q称为电路的品质因数。在实际电路中,Q的取值范围为几十至几百。由上述推导可知,谐振时,电感两端和电容两端的电压大小相等、相位相反,其大小为电源电压的Q倍,即由于Q值一般较大,因此串联谐振时,电感和电容上的电压往往高出电源电压很多倍,因此串联谐振称为电压谐振。在实际电路中,应特别注意电感、电容元件的耐压问题。在电力系统中,发生谐振时,将出现意料不到的超高电压,所以应尽力避免发生谐振。但在电子线路中正是利用这一特点,在激励信号Us很弱时,可以在电容上获得较强的信号电压UCo。为了达到这一目的,希望品质因数Q大些,所以,收音机磁性天线上线圈所用导线线径不宜过小,以免R太大,降低了品质因数。3.串联电路谐振时的功率串联电路谐振时,因为φ=0,所以电路的无功功率为0,即上式说明,谐振时电感和电容之间进行着能量的相互交换,而与电源之间无能量交换,电源只向电阻提供有功功率P。【例3-21】已知RLC串联电路中R=1kΩ,L=1mH,C=0.4μF,求谐振时的频率f0、回路特性阻抗ρ和品质因数Q。解根据式(3-15),可得根据式(3-20),可得根据式(3-18),可得【例3-22】RLC串联谐振电路如图3-37所示,已知输入电压Us=100mV,角频率ω=105rad/s,调节C的值,使其电路处于谐振状态时,谐振回路电流I0=10mA,UC0=-10V,求电路元件参数R、C、L的值,以及回路的品质因数Q。解根据式(3-21),可得根据式(3-22),可得因为所以故二、并联谐振电路并联谐振电路是由电感线圈和电容器并联组成的,如图3-38所示,其中R和L分别是电感线圈的电阻和电感,电容器损耗较小,故认为电容支路是纯电容。为便于与串联谐振电路比较,对并联谐振电路中的特性阻抗、品质因数的定义如下。1.并联电路谐振的条件由图3-38所示电路可得电路的复导纳为并联谐振时,电压和电流应同相,此时电路为纯阻性,电路中的电纳为零,即复导纳的虚部为零,则谐振的条件为即在实际电路中,由于均满足Q>>1的条件,则ω0L>>R,式(3-24)可以简化为所以,当Q>>1时,并联谐振电路发生谐振时的角频率和频率分别为调节L、C的值,或者改变电源频率,均可使并联电路发生谐振。2.并联电路谐振的特征1)谐振时的阻抗很大谐振时,回路阻抗为纯电阻,回路端电压与总电流同相,在Q>>1时,回路阻抗为最大值,回路导纳为最小值。谐振阻抗的模值记作|Z0|,即在实际电路中,因为Q>>1,所以并联谐振阻抗都很大,一般在几十千欧至几百千欧。2)谐振时电路的端电压最大若并联谐振电路外接电流源,由于谐振时阻抗的模值最大,因此电路的端电压也最大。3)谐振时电容支路和电感支路电流是总电流I0的Q倍图3-38所示电路,设谐振时回路的端电压为U·0,则所以,电感支路和电容支路的电流分别为式(3-27)表明,并联谐振时,在Q>>1的条件下,电容支路电流和电感支路电流的大小近似相等,是总电流I0的Q倍,所以并联谐振又称为电流谐振,两条支路的电流的相位近似相反,即【例3-23】图3-38所示电路,已知R=10Ω,L=0.1mH,C=100μF,求谐振频率f0和谐振阻抗Z0。解由于Q>>1,则知识拓展看懂了吗？习题1.简述正弦量的三要素。2.负载的功率因数低会引起哪些不良后果?3.简述提高功率因数的意义。4.利用相量图说明为什么在感性负载两端并联适当电容就可以提高整个电路的功率因数。5.已知i1=5cos314tA,i2=15cos(942t+90°)A,能说明i2超前i190°吗?为什么?6.正弦量的最大值和有效值是否随时间变化?它们的大小与频率、相位有没有关系?7.将通常在交流电路中使用的220V、100W白炽灯接在220V的直流电源上,试问发光亮度是否相同?为什么?习题8.有一只耐压为220V的交/直流通用电容器,能否把它接在220V交流电源上使用?为什么?9.如图3-39所示,求曲线的频率、初相角、最大值,并写出其瞬时值表达式。10.有一正弦交流电源,已知其频率f=1000Hz。则该交流电源的周期、角频率各为多少?习题11.已知正弦交流电压和电流分别为u=2×220cos(ωt+30°)V,i=8cos(ωt-20°)A,试求:(1)电流、电压的最大值(Im和Um)。(2)电流、电压的初相(φi和φu)。(3)电流、电压的相位差是多少?哪个超前?哪个滞后?(4)电流、电压的波形图。12.若正弦电压u=220cos(ωt+60°)V,则该电压最大值和平均值各为多少?习题13.已知两个正弦电压信号u1=52cos(1000t-30°)V,u2=102cos(1000t+75°)V。试求:(1)u1和u2相对应的最大值相量和有效值相量(2)电压u=u1+u2。(3)电压u1和u2的有效值相量图。14.若已知两个同频正弦电压的相量分别为U·1=80∠60°V,U·2=-100∠-150°V,其频率f=100Hz。求:(1)u1和u2的时域形式。(2)u1和u2的相位差。习题15.写出下列正弦量对应的相量:(1)i1=2×10cos(ωt-20°)A(2)u1=250cos(ωt+30°)V(3)i2=14.1cos(ωt-120°)A(4)u2=2×300cos(ω