2026届浙江省金华十校高三上学期一模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省金华十校2026届高三上学期一模考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，，则.故选：D.2.已知等差数列满足，则（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】由题设，而，所以.故选：B.3.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.4.已知，则（）A.3 B.9 C.27 D.81【答案】C【解析】，所以，则，解得.故选：C.5.已知随机变量，且，则的值为（）A.0.2 B.0.4 C.0.7 D.0.35【答案】B【解析】由题设，且，则，由正态分布曲线关于对称，则.故选：B.6.若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时，所以一定存在A、B及P，使得；当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得；当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有，另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示，由图可知，，CP最短时，即等于圆心C到直线的距离d，最大，也最大，同时最大，所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则必有，解得，又因为圆的半径，圆心到直线的距离，所以，解得．故选：A．7.设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】令，如下图示，即为线段的长度，由对任意，的最小值为，即，而，显然时，线段最短，此时，所以，又，故或.故选：C.8.若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得，假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，，则，，由点，在双曲线上，得，两式作差得，所以，因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点，则，也即，所以，则．故选：C．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（）A.底面半径为1 B.表面积为C.体积为 D.外接球与内切球半径比值为3【答案】AC【解析】由题意，圆锥的母线长为2，底面周长为，若底面半径为，则，A对，表面积为，B错，由上，圆锥的高，则圆锥体积为，C对，由上，圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，其外接圆和内切圆半径，分别为圆锥的外接球和内切球半径，所以圆锥的外接球半径为，内切球半径为，所以外接球与内切球半径比值为2，D错.故选：AC.10.已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（）A. B.C.的解集为 D.【答案】ACD【解析】对于A，，由题意可知，解得，此时，故A正确；对于B，由，其为二次函数，开口向上，对称轴为，则到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，结合开口向上的二次函数图像特点可知，离对称轴较远的点函数值更大，也即，即，故B错误；对于C，解不等式，即，整理为，因式分解得，解得，故解集为，故C正确；对于D，对于，有，当且仅当时取等号，同时，由于，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，，所以，故D正确．故选：ACD．11.在中，若，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】根据与在上的图象，如下图示，显然与在上有且仅有唯一交点，即在上有且仅有一个根，而，，由，所以，且，A对，又，，则所以，即，B对，C错，由，则，而中，由在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，只需，可得，令且，则，对于且，则，故在上单调递增，所以，即，则，所以在上单调递增，故，即，所以，而，则，即，所以，故，即，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中项的系数为_____________．【答案】【解析】的展开式中项的系数为.故答案为：.13.的三个内角的对边分别为，满足，且，则的面积为____________．【答案】1【解析】由余弦定理可得：，又，得，解得，所以的面积为；故答案为：.14.平面直角坐标系中，原点处有一只蚂蚁，每过1秒，该蚂蚁都会随机地选择上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点的距离等于的概率为___________．【答案】【解析】蚂蚁每一秒有4种移动方向，共移动6秒，根据分步乘法计数原理，总路径数为，若蚂蚁到原点O的距离为，原点到该点的距离满足，设蚂蚁右移a次、左移b次，则，上移c次、下移d次，则，总步数，要满足，即，由于都是非负整数，可能的组合必须满足，，此时，，，且，设左右移动总次数为，上下移动总次数为，则，由于，需为整数，则m与同奇偶，所以m为奇数，同理，n也为奇数，又，可能的组合有、、，当，时，左右移动1次，满足的方式有2种，即左或右，上下移动5次，满足的方式有，或，，共种，即选3次上移，剩下2次下移，或选2次上移，剩下3次下移，其次，在6步中选1步用于左右移动，其余5步用于上下移动，种，因此，此情况的路径数为；当，时，左右移动3次，满足的方式有，或，，共种，上下移动3次，满足的方式同理，共种，此外，6步中选择3步左右移动，剩余上下移动，共种，因此，此情况的路径数为；当，时，与，对称，路径数为240；满足条件的总路径数有，概率为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，长方体中，，，，三等分．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小．（1）证明：根据题意，六面体为长方体，所以，，，如图，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，因为，，，为的三等分点，得各点坐标，，，，，则，，所以，即.（2）解：因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，结合，设直线与平面所成角为,，则，所以直线与平面所成角为.16.近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）年份2021202220232024年份代号1234销量336993129附：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，（1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001）（2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．解：（1）已知，，则，，则，，，所以，已知，故，又，代入相关系数公式，可得，因为，所以与具有较强的线性相关关系．（2）根据，由（1）可知，，所以，由，已知，，，则，所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程（千辆）．17.已知数列，满足()，且．（1）证明：数列与均为等比数列；（2）求数列的前25项和．(其中表示不超过的最大整数，如)（1）证明：由，可得，又，所以与均为等比数列；（2）解：由（1）知，，所以，则，，.18.已知函数．（1）求在处的切线方程；（2）若恒成立，求实数的取值范围；（3）当时，讨论在区间上零点的个数．解：（1）由，则，显然，所以切线方程为；（2），此时，法一：分离参数法，从而，令，则，所以，，所以在单调递减，在单调递增，因此，故的取值范围为；法二：必要性探路，，令，，下证：，时，恒成立，由一次函数在上递减，则，在和上恒成立，且时，所以恒成立，故的取值范围为；（3）在区间上有3个零点，理由如下：由于，所以是函数的一个零点，，当时，此时恒成立，又由（1）知恒成立，从而恒成立，所以在区间上没有零点；当时，此时，，若是的导数，则，由于恒成立，所以，即在上单调递增，从而存在使得，且，，即在区间上递减，区间上递增，从而，又，所以在有唯一零点，即在上有唯一零点；当时，此时，从而，由于时，，所以，又，从而恒成立，即在上恒成立，所以在区间上单调递增，因为，，因此在区间上有唯一零点，综上所述，函数在区间上有3个零点.19.如图，已知点到两点，距离的乘积为8，点的轨迹记为曲线，与轴交点分别记为．（1）求曲线的方程；（2）求的周长的取值范围；（3）过作直线分别交于两点，且，若的面积为18，求的最小值．解：（1）设，则，得，所以；（2）由（1）知，令，由（1），以为主元直接求根公式知，则，则，且，，令，则，其中，所以时，时，则在上单调递增，在上单调递减，所以，即，而，所以的周长的取值范围为；（3）设，则，则，由题知，则，代入曲线得：，令，则：①当时，，解得，则；②当时，，解得，则．综上所述：的最小值为.浙江省金华十校2026届高三上学期一模考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则集合（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，，则.故选：D.2.已知等差数列满足，则（）A.4 B.6 C.8 D.10【答案】B【解析】由题设，而，所以.故选：B.3.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.4.已知，则（）A.3 B.9 C.27 D.81【答案】C【解析】，所以，则，解得.故选：C.5.已知随机变量，且，则的值为（）A.0.2 B.0.4 C.0.7 D.0.35【答案】B【解析】由题设，且，则，由正态分布曲线关于对称，则.故选：B.6.若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当直线与圆相交时，如图所示，若A、B离直线越近时，直至与直线和圆C的两交点重合，此时，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合，此时，所以一定存在A、B及P，使得；当直线与圆相切时，同直线与圆相交分析可知，一定存在A、B及P，使得；当直线与圆没有公共点时，对直线上的任一点P，若A、B相距越来越近时，直至A、B两点重合时，仍有，另一方面，若PB与圆C相切于B，PA与圆C相切于A，此时必为该P点所能达到的最大情况，如图所示，由图可知，，CP最短时，即等于圆心C到直线的距离d，最大，也最大，同时最大，所以若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则必有，解得，又因为圆的半径，圆心到直线的距离，所以，解得．故选：A．7.设为两个非零向量所成的角，已知对任意，的最小值为，则（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】令，如下图示，即为线段的长度，由对任意，的最小值为，即，而，显然时，线段最短，此时，所以，又，故或.故选：C.8.若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得，假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，，则，，由点，在双曲线上，得，两式作差得，所以，因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点，则，也即，所以，则．故选：C．二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．9.已知圆锥的侧面展开图是半径等于2的半圆，则圆锥的（）A.底面半径为1 B.表面积为C.体积为 D.外接球与内切球半径比值为3【答案】AC【解析】由题意，圆锥的母线长为2，底面周长为，若底面半径为，则，A对，表面积为，B错，由上，圆锥的高，则圆锥体积为，C对，由上，圆锥轴截面是边长为2的等边三角形，其外接圆和内切圆半径，分别为圆锥的外接球和内切球半径，所以圆锥的外接球半径为，内切球半径为，所以外接球与内切球半径比值为2，D错.故选：AC.10.已知函数在处取得极小值，为其导函数，则（）A. B.C.的解集为 D.【答案】ACD【解析】对于A，，由题意可知，解得，此时，故A正确；对于B，由，其为二次函数，开口向上，对称轴为，则到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，结合开口向上的二次函数图像特点可知，离对称轴较远的点函数值更大，也即，即，故B错误；对于C，解不等式，即，整理为，因式分解得，解得，故解集为，故C正确；对于D，对于，有，当且仅当时取等号，同时，由于，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，，所以，故D正确．故选：ACD．11.在中，若，则（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】根据与在上的图象，如下图示，显然与在上有且仅有唯一交点，即在上有且仅有一个根，而，，由，所以，且，A对，又，，则所以，即，B对，C错，由，则，而中，由在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，只需，可得，令且，则，对于且，则，故在上单调递增，所以，即，则，所以在上单调递增，故，即，所以，而，则，即，所以，故，即，D对.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中项的系数为_____________．【答案】【解析】的展开式中项的系数为.故答案为：.13.的三个内角的对边分别为，满足，且，则的面积为____________．【答案】1【解析】由余弦定理可得：，又，得，解得，所以的面积为；故答案为：.14.平面直角坐标系中，原点处有一只蚂蚁，每过1秒，该蚂蚁都会随机地选择上、下、左、右四个方向之一移动一个单位长度，那么在6秒后，蚂蚁到原点的距离等于的概率为___________．【答案】【解析】蚂蚁每一秒有4种移动方向，共移动6秒，根据分步乘法计数原理，总路径数为，若蚂蚁到原点O的距离为，原点到该点的距离满足，设蚂蚁右移a次、左移b次，则，上移c次、下移d次，则，总步数，要满足，即，由于都是非负整数，可能的组合必须满足，，此时，，，且，设左右移动总次数为，上下移动总次数为，则，由于，需为整数，则m与同奇偶，所以m为奇数，同理，n也为奇数，又，可能的组合有、、，当，时，左右移动1次，满足的方式有2种，即左或右，上下移动5次，满足的方式有，或，，共种，即选3次上移，剩下2次下移，或选2次上移，剩下3次下移，其次，在6步中选1步用于左右移动，其余5步用于上下移动，种，因此，此情况的路径数为；当，时，左右移动3次，满足的方式有，或，，共种，上下移动3次，满足的方式同理，共种，此外，6步中选择3步左右移动，剩余上下移动，共种，因此，此情况的路径数为；当，时，与，对称，路径数为240；满足条件的总路径数有，概率为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.如图，长方体中，，，，三等分．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的大小．（1）证明：根据题意，六面体为长方体，所以，，，如图，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，因为，，，为的三等分点，得各点坐标，，，，，则，，所以，即.（2）解：因为平面，平面，所以，又因为，，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，结合，设直线与平面所成角为,，则，所以直线与平面所成角为.16.近些年汽车市场发生了翻天覆地的变化，新能源汽车发展迅速，下表统计了2021年到2024年某地新能源汽车销量（单位：千辆）年份2021202220232024年份代号1234销量336993129附：相关系数；回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，（1）试根据样本相关系数的值判断该地汽车销量与年份代号的线性相关性强弱（，则认为与的线性相关性较强，，则认为与的线性相关性较弱）；（精确到0.001）（2）建立关于的线性回归方程，并预测该地2025年的新能源汽车销量．解：（1）已知，，则，，则，，，所以，已知，故，又，代入相关系数公式，可得，因为，所以与具有较强的线性相关关系．（2）根据，由（1）可知，，所以，由，已知，，，则，所以关于的线性回归方程为，将代入线性回归方程（千辆）．17.