九师联盟2025届高三下学期2月开学考试数学+答案

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内

作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若复数,则|z|=

A.1B.√2C.2D.√5

2.已知集合M={x|x²—2x<0},N={x|x≥1},则M∩N=

A.(0,+∞)B.(2,十∞)C.[1,2]D.(1,2)

3.已知向量a=(一2,m),若(a+b)⊥a,则m=

AB.1C.-1D

4.若角θ的终边过点(1,3),则sin2θ=

ABCD

5.已知函数在R上单调递减，则实数a的取值范围为

AB.(0,1)C.[1,2]D

6.已知函数的部分图象如图所示，将

f(x)的图象向左平移·个单位长度得到函数g(x)的图象，则

AB

C.1D.0

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7.在正四棱台ABCD-A′B'C′D’中，A'B′=2,AB=4,高为3√2,则该正四棱台的外接球的体积为

AB.40π

CD.40√10π

8.已知函数f(x)=xe²-2+a,g(x)=x+Inx,若f(x)与g(x)的图象有两个交点，则实数a的取值范围是

A.[-∞,1]B.[-∞,0]

C.(一∞,0)D.(一∞,1)

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.若随机事件A,B满足,P(B|A)=P(B),则

A

D

10.已知抛物线E:y²=2px(p>0)的焦点为F,P为其上一动点，当P运动到点(2,t)时，|PF|=4,直线

l与E相交于A,B两点，点Q(6,-4),则

A.E的准线方程为x=-2

B.|PQl+|PF|的最小值为8

C.若|AB|=8,则I过点F

D.当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切

11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁CD₁中，E,F分别为线段DD₁,BB₁的中点，则

A.点B₁到直线AE的距离

B.直线AB₁与直线EF所成的角为

C.点F到平面AB₁E的距离为·

D.直线EF与平面AB₁E所成角的正弦值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知函数f(x)=-x³+2x²+Inx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

一

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,2a-2bcosC+c=0.

(1)求B;

(2)若a=3,b=7,D为BC边上一点，且△ABD的面积,证明：

16.(本小题满分15分)

在边长为2的正方形ABCD中，将△ACD沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD,如图所示，E,F分

别是AB,AC的中点.

(1)证明：AB⊥平面DEF;

(2)求平面DEF与平面BCD的夹角的余弦值.

17.(本小题满分15分)

动点M(x,y)到定点F(0,√5)的距离与到定直线的距离之比为,记动点M的轨迹为曲

线C.

(1)求C的方程；

(2)已知直线与C交于A,B两点，N为AB的中点.

①求实数m的取值范围；

②证明点N在定直线上.

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18.(本小题满分17分)

已知函数(a∈R)

(1)讨论f(x)的极值点个数；

(2)若关于x的方程有两个不同实根x₁,x₂,求a的取值范围，并证明：xix₂>e².

19.(本小题满分17分)

若数列{an}满足：存在正常数M,对Vn∈N',an≤M恒成立，则称{an}是“有上界数列”,称M为数列

{an}的“上界”.

(1)已知是数列{b折}的前n项和，试判断{Sa}是否是“有上界数列”?若是，请求出其

“上界”的最小值；若不是，请说明理由；

(2)已知{ca}是首项为1024,公比为·的等比数列，记Tn是{ca}的前n项积，证明：{Tn}是“有上界

数列”;

(3)设{A}是公差为d(d∈R)的等差数列，(B.}是首项为正数，公比为q(q∈N*)的等比数列，试求

{|A-B|}是“有上界数列”的充要条件.

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高三数学参考答案、提示及评分细则

1/6

1.D由题意知M={x|2x-x²>0}={x|0<x<2}=(0,2),N=(1,+∞),故M∩N=(1,2).故选D.

,所以|z|=√1²+1²=√2.故选A.

3.D因为f(x)在R上单调递减，所以解得1.故选D.

4.B由(a+b)⊥a,得(a+b)·a=0,即a²+a·b=0,即4+m²-3-2m=0,解得m=1,所以a=(-2,1),所以b在a

上的投影向量

5.C由题意知A(1,3),所以tanθ=3,所以

选C.

6.B由图得f(x)的最小正周期T满足,解得φ=2.由,得

k∈Z又|,所以，,所以,所

.故选B.

7.C正四棱台的对角面的外接圆为其外接球O的大圆，如图，对角面为等腰梯形AA'C′C,且A'C′=

2√2,AC=4√2,高为3√2,由正四棱台的对称性知，球O的球心O在该梯形上、下底的中点连线

O₁O₂所在直线上，设0O₁=d,则OO₂=|3√2-d|,球O的半径为OC′=R=OC,由Rt△OO₁C,

Rt△OO₂C,得R=(3√2-d)²+8=ď+2,解得d=2√2,R=/10,所以正四棱台ABCD-A′B'C′D′的

外接球的体积为.故选C.

8.D令f(x)-g(x)=xe²-x-Inx-2÷a=0,得e+hz—(x+Inx)=2-a.令G(x)=e+hx—(x+Inx),定义域为

(0,十∞),y=2-a,令t=x+Inv.易知1(x)在(0,+∞)上单调递增，且l∈R.令h(t)=e-1,而f(x)与g(x)的图象有

两个交点，等价于关于t的方程e一=2-a有两个实根.h'(t)=e-1,当t<0时，h'(1)·0;当l>0时，h'(t)>0,所以

h(t)=d-t在(一>,0)上单调递减，在(0,十∞)上单调递增，所以h(1)=h(0)=1,当→-∞时，h(t)→+∞;

当→+∞时，h(1)→+~,则2-a>1,解得a<1,即a的取值范围是(一~,1).故选D.

9.AD因为,故A正确；因为事件A与B相互独立，所以A

与B相互独立，所以.故B错误；

,故C错误,故D正确.故选AD.

10.BCD如图，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间

直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(0,0,1),B₁(2,2,2),C₁(0,2,2),

F(2,2,1),对于A,AE=(-2,0,1),AB₁=(0,2,2),所以点B₁到直线AE的距离为

,故A错误；对于B.连接B₁D₁.AD₁,易

知B₁D₁//EF,△AB₁D₁为等边三角形，故AB₁与EF所成的角为·故B正确；对于C,

【高三开学考·数学参考答案第1页(共6页)】

设平面AB₁E的法向量为n=(x,y,z),则令x=1,得y=-2,z=2,所以n=(1,-2,2),因为

AF=(0,2,1),所以点F到平面AB₁E的距离为,故C正确；对于D,E=(2,2,0>,所以cosSEF,n>=

,所以直线EF与平面AB₁E所成角的正弦值为,故D正确.故选BCD.

11.BCD由|MF|=5及抛物线定义，,所以p=2,所以E的方程为x²=4y,F(0,1),E的准线方程为y=-1,

故A错误；由ax-y+1=0,得l过点F,且其方程可化为y=ax+1,代入x²=4y,得x²-4ax-4=0,△=16a²+16

>0,设A(x,yi),B(x₂,y2),则xx₂=-4,由,得,故,所以1,所

以AD⊥BD,所以△ABD为直角三角形，故B正确；直线AD,BD的方程分别为.),y-y2=

),二者联立消去x,得y=-1,故点D在定直线y=-1上，故C

正确；设直线y=1与E交于点I,J,直线y=√5+1与圆N交于点K,L,由

题意知，点P为抛物线弧IOJ上的动点，点Q为圆N劣弧KL上的动点，如

图所示，其中I(-2,1),J(2,1),K(-2,√5+1),L(2,√5+1),过P作直

线y=-1的垂线，垂足为H,则|PF|=|PH|,|QF|=3,所以△FPQ的

周长为P|Fl+IQFI+|PQl=3+|PH|+|PQl≥3+|QH|≥3+√5+

2=5+√5,当点Q在点K,P在点I处，或点Q在点L处，点P在点J处时等

号成立，故△FPQ周长的最小值为5+√5.故D正确。故选BCD.

12.-1,所以了(1)=1-m,又已知切线与直线2x-y+3=0平行，所以1-m=2,可得m=

-1.经验证m=-1符合题意.

13.0因为f(x+2)为偶函数，所以f(-x+2)=f(x+2),所以f(一x)=f(x+4).又f(x+1)为奇函数，所以f(-x+1)=

一f(x+1),则f(一x)=-f(x+2)=—f(一x+2),所以f(x+2)=—f(x),所以f(x+4)=—f(x+2)=f(x),所以

4为f(x)的周期.在f(-x+1)=-f(x+1)中，令x=C.得j(1)=-f(1),所以f(1)=0,所以f(2025)=f(506×4+1)

=f(1)=0.

14.如图，设|BF₂|=1,因为|AF₂'-:AF₁='BF₁I-|BF₂I=2a=10,所以a=

5,|AF₁I=|AF₂I-2a=(1+15)-10=1+5,BF₁|=1+10,在△ABF₁中，

,解得t=3,所以|AF₁|=8,|AF₂I=18,

在△AF₁F₂中，,所以|F₁F₂|=

√8²+18²-8×18=2√61,所以C的离心率

15.(1)解：因为2a-2bcosC+c=0,

由正弦定理，得2sinA-2sinBcosC+sinC=0,……·2分

所以2sin(B+C)-2sinBcosC+sinC=2cosBsinC+sinC=0,…………4分

因为C∈(0,π),所以sinC≠0,所以

又B∈(0,π),所以.

(2)证明：在△ABC中，由余弦定理，得…………………8分

【高三开学考·数学参考答案第2页(共6页)】

又a=3,b=7,所以,解得c=5,或c=-8(舍去)……………………9分

所以…………………11分

因为D为BC边上一点，所

所以……………………13分

16.(1)证明：因为AD=CD,F是AC的中点，所以DF⊥AC………………1分

又平面ABC⊥平面ACD,平面ABC∩平面ACD=AC,DFC平面ACD,

所以DF⊥平面ABC……………………2分

又ABC平面ABC,所以DF⊥AB………………………3分

因为E,F分别是AB,AC的中点，所以EF//BC,

因为AB⊥BC,所以EF⊥AB……………4分

又EF∩DF=F,EF.DFC平面DEF,所以AB⊥平面DEF……………6分

(2)解：因为AB=BC,F是AC的中点，所以BF⊥AC,

因为DF_平面ABC,BFC平面ABC,所以DF⊥BF,所以AF,BF,DF两两垂直…………………7分

以F为坐标原点，以FB,FC,FD所在直线分别为x轴、y轴、≈轴，建立空间直角坐标系Fxyz,

则A(o,—√2,0),B(√2,0,0),C(o,√2,0),D(0,0,√2),

所以AB=(√2,2,0),BC=(一√2,√2,0),CD=(c.—√2,√2)…9分

设平面BCD的一个法向量n=(x,y,z),则即

令x=1,则y=1,z=1,所以n=(1,1,1)…………11分A

由(1)知AB=(√2.2,5)是平面DEF的一个法向量……………12分

设平面DEF与平面BCD的夹角为θ,

所以，

所以平面DEF与平面BCD夹角的余弦值为…………………15分

17.解：(1)由题意，得……………2分

整理，得4y²+9x²=35……………………4分

所以C的方程为…………………………5分

(2)联立消去y并整理，得9x²+6mx+2m²-18=0……………………7分

则△=36m²-36(2m²-18)>0,解得-3√2<m<3√2,所以m的取值范围为(-3√2,3√2).……9分

证明：设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),N(xo,yo),则：

得：…………………………11分

【高三开学考·数学参考答案第3页(共6页)】

将：代入：,得：…………………13分

由.消去m,得.

所以点N在定直线：上.…………15分

18.(1)解：f(x)的定义域为(0,十∞),…………………1分

令g(x)=x²+(2-2a)x+1,则△=(2-2a)²-4=4a²—8a=4a(a-2).

①当△≤0,即O≤a≤2时，g(x)≥0,所以f(x)≥0,此时f(x)在(0,十∞)上单调递增，所以f(x)无极值点.

…………………………2分

②当△>0,即a<0或a>2时，g(x)=x²+(2-2a)x+1有两个零点x,x₂,且x₁+x₂=2a-2,xx₂=1.

若a<0,则x₁+x,=2a-2<0,x₁xz=1>0,所以x₁<0,x₂<0,

而,显然f(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增，f(x)无极值点；……3分

若a>2,则了(x)=0有两个不等正根x₁,x₂(x₁<x₂),当x∈(0,x)或x∈(x₂,+∞)时，f(x)>0;当x∈(x,

x₂)时，f(x)<0,所以f(x)在x=x₁处取得极大值，在x=x2处取得极小值，所以f(x)有两个极值点.

综上，当a>2时，f(x)的极值点个数为2;当a≤2时，f(x)的极值点个数为0.…………………5分

(2)证明：由(1)知，当a=1时，在(0,一∞)上单调递增，且f(1)=0,

所以当x>1时，f(x)>0,即………………6分

令,k∈N',则

即,k∈N·,……………7分

即.…………………………9分

(3)解：由题意，关于x的方程,即Inx—(a+1)x=0有两个不同实根x2·

也即两个不同实根x,x₂.………………………10分

令,则

令h'(x)=0,得x=e,

当x∈(0,e)时，h'(x)>0,h(x)在(0,e)上单调递增，

当x∈(e,+∞)时，h'(x)<0,h(x)在(e,+∞)上单调递减，

所以当x=e时，h(x)取得最大值,且h(1)=0,当x→0时，h(x)→-∞,当x→+∞时，

h(x)→0,可知h(x)的大致图象如图所示，

所以。……………12分

即当1时，关于x的方程.两个不同实根x₁,x₂.

所求a的取值范围为下面证明xx₂>e²:

【高三开学考·数学参考答案第4页(共6页)】

两根满足Inx₁=(a+1)x₁,Inxz₂=(a+1)x₂,

两式相加得In(xx₂)=(a+1)(x₁+x₂),

两式相减得1

上述两式相除得

不妨设x₁<x₂,要证明x₁x₂>e²,

只需证明

即证1……………………14分

设.令

由(1)知，函数F(t)在(1,十∞)上单调递增…………………16分

所以当l>1时，F(L)>F(1)=0,即,所以xx₂e………17分

19.(1)解：(S,}不是“有上界数列”,理由如下：

因为……………2分

法1:显然(S。是递增数列，当→+∞时，S→+∞………………………3分

所以不存在正常数M,对任意的n∈N",均有S,≤M,

所以数列{S。)不是“有上界数列”………………4分

法2:对任意的正常数M,当n>[M]+1时([M]为M的整数部分),……………3分

所以(S。)不是“有上界数列”…………………4分

(2)证明：由题意，………………6分

显然{cn}是递减数列，cn=24≥1=11-n≥0⇔n≤11,

所以q>c₂>…>c>ci=1Cr₂…

所以当n=10或n=11时，T。取最大值，(Ta)mx=a1×a₂×…×a1₀=210+9++…+1=25………………8分

取常数M=255,则Vn∈N,T.≤M,所以《T。)是“有上界数列”…………9分

(3)解：由题知，Aₙ=A₁+(n-1)d=dn+A₁-d,B,=B₁………………10分

设A₁-d=a,,则Aₙ=dn+a,B₀=b·q",

若{|A。-B。|}是“有上界数列”,则存在正常数M,对任意的n∈N',均有|A-B.I≤M……………11分

①当d=0,q=1时，Aₙ=A₁,B₀=B₁,|A-BI=|A₁-B₁|,

取M=|A₁-B₁I,则IA。—BI≤M恒成立，所以(|A-B。|}是“有上界数列”;……12分

②当d=0,q≥2时，

法1:若(|A.-B.|)是“有上界数列”,

则存在正常数M,使得对任意的n∈N,均有|A—BI≤M.

因为|B.I-|A.I≤|A-B.I≤M,所以对任意的n∈N',均有|B„I-|A.I≤M,

【高三开学考·数学参考答案第5页(共6页】

即bq"-IA₁I≤M,,解得；

这与“对