2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学试卷附答案

2025绵阳市绵阳中学自主招生考试数学试卷附答案一、选择题（每题5分，共30分）

1.已知函数$f(x)=2x^33x^212x+5$，则$f(1)$的值为（）

A.2

B.4

C.6

D.10

答案：B

解析：将$x=1$代入函数$f(x)$中，得到$f(1)=2(1)^33(1)^212(1)+5=23+12+5=12$。故选B。

2.若$a^2+b^2=1$，则$a+b$的最大值为（）

A.1

B.√2

C.2

D.√3

答案：B

解析：根据柯西不等式，$(a+b)^2\leq(1^2+1^2)(a^2+b^2)=2$，所以$a+b$的最大值为$\sqrt{2}$。故选B。

3.已知等差数列$\{a_n\}$的通项公式为$a_n=2n+1$，则该数列的前10项和为（）

A.110

B.120

C.130

D.140

答案：A

解析：等差数列的前$n$项和公式为$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，将$a_1=3$，$a_{10}=21$代入公式，得到$S_{10}=\frac{10}{2}(3+21)=110$。故选A。

4.在三角形$ABC$中，$BC=6$，$AC=8$，$AB=10$，则$\cosA$的值为（）

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{6}$

D.$\frac{3}{4}$

答案：B

解析：根据余弦定理，$\cosA=\frac{b^2+c^2a^2}{2bc}=\frac{6^2+8^210^2}{2\cdot6\cdot8}=\frac{4}{5}$。故选B。

5.已知函数$f(x)=x^24x+3$，则$f(x)$在区间$[1,3]$上的最小值为（）

A.3

B.0

C.1

D.3

答案：A

解析：将$f(x)$写成完全平方形式，得$f(x)=(x2)^21$。在区间$[1,3]$上，$(x2)^2$的最小值为0，此时$f(x)$的最小值为1。故选A。

6.已知函数$g(x)=x^36x^2+9x+1$，则$g(x)$的单调增区间为（）

A.$(\infty,1]$

B.$[1,3]$

C.$[3,+\infty)$

D.$(\infty,3]$

答案：C

解析：求导得$g'(x)=3x^212x+9$，令$g'(x)>0$，解得$x>3$或$x<1$。故$g(x)$的单调增区间为$[3,+\infty)$。故选C。

二、填空题（每题5分，共20分）

7.已知函数$h(x)=x^22x+1$，则$h(x)$的顶点坐标为_________。

答案：$(1,0)$

解析：将$h(x)$写成完全平方形式，得$h(x)=(x1)^2$，所以顶点坐标为$(1,0)$。

8.若直线$y=kx+b$与圆$x^2+y^2=1$相切，则$k^2+b^2$的最小值为_________。

答案：1

解析：根据圆的切线性质，圆心到直线的距离等于半径，即$\frac{|k\cdot0+b0|}{\sqrt{k^2+1}}=1$，解得$k^2+b^2=1$。

9.已知等比数列$\{b_n\}$的前$n$项和为$S_n=2^n1$，则该数列的通项公式为_________。

答案：$b_n=2^{n1}$

解析：由$S_n=2^n1$得$S_{n1}=2^{n1}1$，所以$b_n=S_nS_{n1}=2^{n1}$。

10.已知三角形$ABC$的面积为$6$，且$BC=4$，$AC=5$，则$\sinA$的值为_________。

答案：$\frac{3}{5}$

解析：由面积公式$S=\frac{1}{2}bc\sinA$，得$\sinA=\frac{2S}{bc}=\frac{2\cdot6}{4\cdot5}=\frac{3}{5}$。

三、解答题（共50分）

11.（本题10分）已知函数$f(x)=x^33x+1$。

（1）求$f(x)$的单调区间；

（2）求$f(x)$的极值。

答案：

（1）$f'(x)=3x^23$，令$f'(x)>0$，解得$x>1$或$x<1$；令$f'(x)<0$，解得$1<x<1$。所以$f(x)$的单调增区间为$(\infty,1]$和$[1,+\infty)$，单调减区间为$[1,1]$。

（2）由（1）可知，$f(x)$在$x=1$处取得极大值，$f(x)$在$x=1$处取得极小值。计算得$f(1)=3$，$f(1)=1$。

12.（本题15分）已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n=2n^2+n$。

（1）求$\{a_n\}$的首项和公差；

（2）求$\{a_n\}$的前10项和。

答案：

（1）由$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$，得$a_1+a_n=\frac{2S_n}{n}=4n+2$。又因为$a_n=a_1+(n1)d$，联立解得$a_1=3$，$d=4$。

（2）$S_{10}=\frac{10}{2}(a_1+a_{10})=\frac{10}{2}(3+37)=200$。

13.（本题15分）在三角形$ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，且$a^2+b^2c^2=ab$。

（1）求$\cosC$的值；

（2）若$\sinA=\frac{3}{5}$，求$\sinB$的值。

答案：

（1）由余弦定理得$\cosC=\frac{a^2+b^2c^2}{2ab}=\frac{1}{2}$。

（2）由正弦定理得$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}$，代入$\sinA=\frac{3}{5}$，得$\sinB=\frac{4}{5}$。

14.（本题10分）已知函数$g(x)=x