湖北省楚天协作体2025-2026学年高三下学期开学考试数学试卷（含答案）

高三数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若集合A={x∈ℕ∣A.{0,1,2}2.已知i为虚数单位，则i2026−iA.-1B.1C.iD.−i3.已知sinβ+cosβ=−1A.15B.75C.−4.若平面向量a,b,c两两的夹角相等，且a=A.3B.4C.3或0D.4或15.若函数fx=a−22xA.2B.-2C.-1D.16.已知圆C:x2+y2−2x−4y−20=0与直线l:2m+A.−34B.34C.7.已知四面体ABCD满足∠ABC=90∘,∠BCD=A.24πB.20πC.28π3D.8.若x3exA.x3<C.x2<二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分,部分选对得部分分,有选错得0分。9.下列命题为真命题的是()A.若a>b>0B.若a>b,则C.若a>b,则D.若c>a>b10.下列说法中正确的有()A.一组数据48,49,53,54,55,55,55,57的下四分位数为51B.在成对样本数据分析中相关系数r=0C.经验回归方程为y=0.839x+28.957,D.将总体划分为两层,通过分层抽样,得到两层的样本平均数和样本方差分别为x1,x2和s1​2,11.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0，O为坐标原点，F1、A.I的横坐标为aB.直线PI与双曲线相切C.OI的最大值是cD.若IG//x轴,则三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设曲线y=e2x+b在点0,eb13.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为F1,F2,过右焦点F14.已知2x+122x+123四、解答题:本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C(1)求A；(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.16.(15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥底面ABCD，M是(1)求证:AM⊥平面PCD(2)试问在线段PB上是否存在一点N，使得平面AMN与底面ABCD所成夹角的余弦值为64，若存在求出PNPB17.(15分)2026年被业界公认为“具身智能元年”.得益于硬件成本的雪磨式下降和视觉一语言一动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景,而是开始真实地走进企业和家庭,重新定义人类的工作和生活.新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解,举办知识竞赛活动.活动分两轮进行,第一轮通过后方可进入第二轮,两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为34,通过第一轮后通过第二轮的概率依次为23(1)求这3人中至多有2人通过第一轮的概率:(2)从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率；(3)设这3人中通过第二轮的人数为ξ，求ξ的分布列及期望.18.(17分)已知函数fx=x+(1)求fx在区间1e(2)若fx≥ax−1对∀(3)对于∀n∈N+19.(17分)已知点F是抛物线C:y2=2pxp>0的焦点，P(1)求抛物线C的方程；(2)已知点T3,0，连接P、T并延长交抛物线C于另外一点(i)若抛物线C上有且仅有3个点M1、M2、M3使得△M1PQ、△M2PQ、△M(ii)已知点A、B是抛物线C上异于P、Q的两点,且PQ是∠APB的角平分线.请问直线AB是否过定点G高三数学试题参考答案1234567891011CABCDABCBDABCABD三、填空题12题:-113题:23 14题:12.∵13.设AF2=x则BF2=2x,在Δ14.a令x=0,易知令S=则a2=122S−2+四.解答题15、(1)由题意可知acosC由正弦定理及sinB=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC可知∵A∈(2)由(1)及余弦定理可知b2+∴b2+c2=4+bc≥2bc∴∵D是BC的中点,∴AB两边平方可得b2+∵b2所以AD的最大值为3..13分16、(1)由题意可知AM⊥PD，CD⊥AD侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,∴CD⊥平面PAD,又CD∩PD=D,CD∈平面∴AM⊥平面PCD(2)如图，分别取AD、BC的中点O、G，连接OA、OG、OP，已知 OA、OG、OP两两垂直，则以O由题意可知P0MAM=−设PN=λPBλ∈所以AN=λ设平面AMN的法向量为n=x,y,代入数值可得−3不妨令x=λ,则n由题意可知,OP即为平面ABCD的法向量,则有OP⋅∴3λ3解得λ=13或λ=−117、(1)记3人中通过第一轮的人数为η，由题意可知η∼B3,记“3人中至多有2人通过第一轮”为事件M,则PM=(2)记随机选择小明、小华、小方的事件分别为N、R、T,通过第二轮的事件记为DPD∣则PD=∴PD(3)记小明、小华、小方通过第二轮的事件分别为A、B、C，则PA=由A、B、C相互独立可知Pξ=Pξ=Pξ=所以ξ的分布列是ξ0123P53213113则ξ的数学期望是Eξ=18、(1)由fx=x+1lnx，可知f′易知f′x在1e,1单调递减,在∴f′xmin=f′1=2>0所以fxmin(2)构造函数gxg′x=lnx+1x+1则∃x0∈1,+∞使得gx在1,x则g′1≥0,∴a令hx=x+1lnx−2x−1,只需证hx≥0在[1,+∞)∴h′x≥h′1=0,∴hx所以a的取值范围是(−∞,2](3)由(2)可知x+1lnx>2则有lnx>2x−1x+令x=n+1n>1∵ln2=ln∴lnn即证i=n19、(1)由题意可知Fp2,0，则P点的坐标为p2,2，.1分代入抛物线方程解得p=2或p=−(2)(i)由题意可知直线PT的方程为y=−x+3，联立y2=4x可得y2+4y−12=0，解得如图所示,由图象可知,对任意面积S,抛物线位于直线PQ右上方的部分均存在2点使得ΔM2PQ、ΔM3PQ的面积均为定值S,则抛物线在直线PQ的左下方部分存在唯一的一点M1满足条件,此时M1到直线PQ的距离达到最大值,即在M1处的切线于直线PQ所以M11则M1到直线PQ的距离为d=所以定值S=1(ii)∵PQ是∠APB的角