向量的数量积2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章

平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积情景导入★如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力的方向与位移的方向的夹角为θ，则力F所做的功为

其中是物体在位移方向上分量的数量，也就是力F在物体位移方向上正投影的数量.

【思考1】在向量的数乘运算中，常数·向量的运算结果是什么？向量·向量的结果呢？物理中的功如何计算？

新课教学

向量的夹角

新课教学平面向量的数量积

【规定】零向量与任一向量的数量积为0（1）在书写数量积时，与之间用实心圆点“·”连接，不能写成“×”,更不能不写.

注意：

典例讲解题型一：平面向量的数量积

定义法求平面向量的数量积若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cosθ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.反思感悟跟踪训练典例讲解

题型二：平面向量的夹角求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.反思感悟A.30° B.60°C.120° D.150°所以∠ABC＝60°，所以∠BAD＝120°.跟踪训练典例讲解

题型三：平面向量的模长反思感悟(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝

，勿忘记开方.(2)求向量的夹角，主要是利用公式cosθ＝

求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____.方法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，巩固训练(2)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.①求|b|；巩固训练解因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.新课教学投影向量

如图①，设和是两个非零向量，AB=，CD=，我们考虑如下的变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1、B1，得到A1B1，我们称上述变换为向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量.

如图②，我们可以在平面内任取一点O，作OM=，ON=.过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则OM1就是向量在向量上的投影向量.

新课教学

新课教学探究：

如图所示,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为θ,

那么OM1与e,a,θ之间有怎样的关系？OM1NMθOM1NMθ新课教学O(M1)NMθOM1NMθ结论：对于任意的θ∈[0,π],都有例4

已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求a在b上的投影向量.解∵|b|＝1，∴b为单位向量.题型四：投影向量典例讲解投影向量的求法(1)向量a在向量b上的投影向量为|a|cosθ

e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其方向由向量a和b的夹角θ的余弦值决定.(2)向量a在向量b上的投影向量为反思感悟跟踪训练已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求a在b上的投影向量.新课教学探究：

从上面的探究我们看到,两个非零向量a与b相互平行或垂直时,向量a在向量b上的投影具有特殊性.这时，它们的数量积又有怎样的特殊性？由向量数量积的定义，可以得到向量数量积的如下重要性质新课教学平面向量数量积的性质设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则因为n·(t

m＋n)＝0，所以t

m·n＋n2＝0，所以t＝－4.典例讲解题型五：与垂直有关的问题解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量).反思感悟已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小.解设a与b的夹角为θ，由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cosθ－8＝0，所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.跟踪训练随堂小测2.已知向量|a|＝10，|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为A.60° B.120°C.135° D.150°B解析设a与b的夹角为θ，又0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.3.(多选)对于任意向量a，b，c，下列命题中不正确的是A.若a·b＝0，则a与b中至少有一个为0B.|a＋b|＝|a|＋|b|C.若a⊥b，则a·b＝0D.|a|＝AB解析a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，知|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；由数量积的性质知，C正确；因为a·a＝|a||a|cos0＝|a|2，5.已知|a|＝2，|b|＝3，且a与b的夹角为60°，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为______.解析设a与b的夹角为θ，a在b上的投影向量为|a|cosθe＝2×

e＝e.e新课教学探究：

类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立：b·aλ(a·b)a·(λb)a·c＋b·c对于向量a，b，c和实数λ，有(1)a·b＝

(交换律).(2)(λa)·b＝

＝

(数乘结合律).(3)(a＋b)·c＝

(分配律).答案不可以.已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.新课教学思考

高中数学必修第二册RJ·A知识点二平面向量数量积的运算性质类比多项式的乘法公式，写出下表中的平面向量数量积的运算性质.多项式乘法向量数量积(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)2＝____________(a－b)2＝a2－2ab＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)(a－b)＝a2－b2(a＋b)·(a－b)＝______(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·aa2＋2a·b＋b2a2－b2高中数学必修第二册RJ·A易错辨析1.a·0＝0.(

)2.λ(a·b)＝λa·b.(

)3.(

)4.若a与b同向，则(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2.(

)5.向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c).(

)√×√√×高中数学必修第二册RJ·A典例剖析一、向量的数量积的运算性质例1

(多选)设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论，正确的是A.a·c－b·c＝(a－b)·cB.(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直C.|a|－|b|<|a－b|D.(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2高中数学必修第二册RJ·A解析根据数量积的分配律知A正确；∵[(b·c)·a－(c·a)·b]·c＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，B错误；∵a，b不共线，∴|a|，|b|，|a－b|组成三角形，∴|a|－|b|<|a－b|成立，C正确；D正确.故正确结论的选项是ACD.高中数学必修第二册RJ·A向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处.例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律.反思感悟高中数学必修第二册RJ·A跟踪训练给出下列结论：①若a·b＝a·c，则b＝c；②(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2；③(a＋b)2＝|a|2＋2|a||b|＋|b|2.其中正确的是_____.(填序号)②解析由向量数量积的性质和运算律知，①③错误，②正确.高中数学必修第二册RJ·A随堂小测1.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是A.e1在e2上的投影向量为cosθe2B.C.(e1＋e2)⊥(e1－e2)D.e1·e2＝1高中数学必修第二册RJ·AABC解析因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2上的投影向量为|e1|cosθe2＝cosθe2，故A正确；故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确；e1·e2＝|e1||e2|cosθ＝cosθ，故D错误.高中数学必修第二册RJ·A2.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于A.－2 B.－1C.1 D.2B解析因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.高中数学必修第二册RJ·A3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为A.2 B.C.6 D.12B解析∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16