基于运算律的巧算策略与数感培养-有理数混合运算的深化与拓展

基于运算律的巧算策略与数感培养——有理数混合运算的深化与拓展一、教学内容分析  本节课立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域，聚焦于发展学生的运算能力、数感和推理意识。从知识图谱看，本课处于北师大版七年级上册第二章“有理数及其运算”的收官与深化阶段。学生已初步掌握了有理数的加、减、乘、除、乘方运算及运算律（交换律、结合律、分配律），本课的核心任务在于引导学生超越机械计算，灵活运用运算律对复杂混合算式进行结构化观察与策略性重组，实现“巧算”。这不仅是技能层面的熟练，更是从算术思维迈向代数结构化思维的关键阶梯，为后续学习整式运算、方程求解奠定坚实的思维基础。过程方法上，本课强调“观察—猜想—验证—应用”的探究路径，引导学生亲历从具体算例中归纳策略、在变式练习中优化策略的完整过程。素养渗透点在于，通过巧算策略的选择与优化，培育学生的数感（对数与运算的直观感知）和理性精神（追求简洁与最优解的思维品质），体会数学的简洁之美与逻辑力量。  学情研判需立体化。学生已具备运算律的知识储备，但多处于被动记忆和简单套用层面，面对复杂算式时，普遍存在“见子打子”、按部就班计算的思维定势，缺乏主动观察结构、寻求优化路径的意识与能力。认知障碍可能源于：其一，对算式整体结构的“视觉化”分析能力不足；其二，对运算律适用条件的本质理解不深，尤其是分配律逆用及符号处理；其三，缺乏策略选择的元认知。因此，教学中将设计“前测”环节，通过典型算例暴露思维差异；在新授中，通过搭建从“引导观察”到“独立设计”的梯度任务链，提供思维“脚手架”；在巩固环节，实施分层训练与同伴互评，让不同思维层次的学生都能在“最近发展区”获得提升，教师则通过巡视指导与针对性点拨，动态调适教学支持策略。二、教学目标  知识目标：学生能深度理解运算律（特别是分配律及其逆用）在有理数混合运算中的核心作用，不仅能够准确陈述，更能从“改变运算顺序和组合方式以简化计算”的角度阐释其价值，并能在复杂算式中精准识别出适用运算律的算式结构特征，如互为相反数、同分母分数、凑整等。  能力目标：学生能够发展出系统的“观察—分析—重组”巧算能力。具体表现为，面对一个多步骤的有理数混合算式，能够主动暂停机械计算，转而分析其数字特征与运算结构，设计出至少一种合理的巧算方案，并清晰、有条理地书写运算过程，同时具备初步的策略择优意识。  情感态度与价值观目标：通过挑战复杂计算和体验巧算成功带来的成就感，学生能增强克服数学运算困难的信心，初步养成“先观察，后计算”的审题习惯，并在小组交流中乐于分享自己的策略，欣赏他人不同的巧思，感受数学思维的多样性。  科学（学科）思维目标：本节课重点发展数学中的“化归”思想与“优化”思维。引导学生将复杂、冗长的计算问题，通过结构化分析，化归为若干个简单、熟悉的运算组合，并在此过程中，有意识地比较不同化归路径的简洁性，追求思维的经济性与美感。  评价与元认知目标：学生能够依据“观察是否全面、重组是否合理、过程是否简洁”等维度，对同学或自己的巧算方案进行初步评价。在课堂小结时，能反思自己在策略寻找过程中的思维轨迹，说出“我当时是怎么想到的？”或“为什么另一种方法更好？”，提升对自身思维过程的监控与调节能力。三、教学重点与难点  教学重点：灵活运用运算律对有理数混合算式进行观察、分析与策略性重组，形成有效的巧算方案。其确立依据源于课标对“运算能力”的核心要求，即“能够明晰运算的对象，理解算法与算理之间的关系，能够寻求合理简洁的运算途径解决问题”。此能力是学生从“会算”到“善算”的质变点，也是中考等学业评价中考查学生数学思维灵活性的高频考点。它统摄了本单元的所有运算知识，是体现数学素养的关键。  教学难点：对算式整体结构的敏锐洞察力以及巧算策略的主动生成与优化选择。难点成因在于，这需要学生克服按顺序计算的线性思维惯性，将算式视为一个可分解、可重组的整体对象进行“俯瞰式”分析。这涉及较高的思维抽象水平。同时，策略的生成依赖于对数字特征（如相反数、倒数、凑整、同分母）和运算结构的综合识别，并需在多种可能路径中做出判断，对学生来说是综合性的认知挑战。预设突破方向是：提供从“教师引导分析”到“半独立模仿”再到“独立创造”的阶梯式任务，并运用对比教学，展示不同策略的思维过程，让学生在辨析中领悟优化之道。四、教学准备清单1.1.教师准备1.2.1.1媒体与教具：多媒体课件（内含引导性问题、典型例题、分层练习题及动画演示）；几何画板或类似工具（用于动态展示算式的重组过程）；实物投影仪。2.3.1.2学习材料：设计并印制《学习任务单》（包含前测题、探究任务记录区、分层巩固练习、课堂小结框架）；制作用于小组展示的磁性算式卡片。4.2.学生准备1.5.复习有理数加、减、乘、除、乘方运算法则及运算律；准备好笔、练习本及《学习任务单》。6.3.环境布置1.7.将课桌调整为适合4人小组合作学习的布局；前后黑板划分出“常规计算区”与“巧算策略展示区”。五、教学过程第一、导入环节1.情境创设与冲突激发：同学们，我们先来做一个小挑战。请大家在心里快速估算一下这道题的结果：8+32+7。是不是感觉有点快？好，现在请看这道题：计算：8+32+75+41+6。别急动笔，我们先观察。“看到这道长长的加减混合运算，你的第一感觉是什么？是不是想从左到右‘硬算’下去？”（等待学生反应）有的同学可能已经眉头紧锁了。老师观察到，有几位同学眼神一亮，似乎发现了什么。让我们听听他们的想法。2.问题提出与路径明晰：同样是有理数加减，为什么第一题快，第二题就感觉“沉重”了呢？核心驱动问题由此产生：面对复杂的混合运算，我们能否像解决第一题那样，找到一条“捷径”，让计算变得轻松又准确？这就是我们今天要探究的主题——“巧算”的策略。本节课，我们将化身“算式侦探”，学习如何观察算式的“骨骼”（结构），运用我们已有的法宝（运算律），对它进行“整形手术”（重组），从而快速、优雅地解决问题。我们将从回顾运算律开始，通过几个层层递进的任务，一起揭开巧算的神秘面纱。第二、新授环节  本环节采用支架式教学，通过一系列探究任务，引导学生主动建构巧算策略。任务一：唤醒旧知——运算律的再认识1.教师活动：教师不直接罗列运算律，而是在投影上出示一组正反对比的简单算例。如：①计算：5+(3)+7与②计算：5+[(3)+7]。提问：“同学们，这两道题的结果一样吗？计算过程感受有何不同？这背后是哪条运算律在默默工作？”引导学生说出加法结合律及其价值（改变运算顺序，优先计算能凑整的部分）。接着，出示③计算：(1/4+1/61/2)×12与④计算：1/4×12+1/6×121/2×12，提问：“这两题是‘殊途同归’还是‘貌合神离’？这里的‘法宝’又是什么？”重点引导学生辨析分配律正用与逆用的不同形式，并强调符号问题。“大家看，运算律不是躺在课本里的死条文，而是我们手里可以灵活运用的‘工具’。”2.学生活动：学生观察教师提供的对比算例，进行快速口算或心算，比较计算过程的繁简。在教师提问引导下，主动回忆并口头表述加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律以及分配律的内容。针对分配律的逆用，可能需要进行短暂的同伴讨论，以澄清认识。3.即时评价标准：1.4.准确表述：能正确说出运算律的名称和基本内容。2.5.理解本质：能结合具体例子，说明运用该运算律如何改变了计算过程（如分组、拆项）。3.6.符号意识：在讨论分配律时，能特别注意并正确处理算式中的负号。7.形成知识、思维、方法清单：1.8.★核心概念再深化：运算律（交换律、结合律、分配律）不仅是保证运算正确的规则，更是优化运算过程的利器。其核心作用是打破原算式的固定顺序，根据数字特点进行重新组合。2.9.▲关键辨析点（分配律逆用）：a·b+a·c=a·(b+c)。识别关键在于：观察不同项中是否存在相同的因数（a）。这是后续进行因式分解（提取公因数）思想的雏形。3.10.学科方法提示：在运用运算律前，养成先整体观察算式数字特征（有无相反数、倒数、可凑整的数、同分母分数等）和运算结构的习惯。任务二：火眼金睛——发现算式中的“秘密”1.教师活动：出示三道具有典型结构特征的算式：A:5+3+53；B:1/2×(4)+1/3×(4)5/6×(4)；C:3×8+(3)×2。将学生分为三组，每组重点观察一道算式。“请大家做一名‘侦探’，仔细扫描你面前的算式，看看数字之间藏着什么‘秘密关系’？比如，有没有‘好朋友’（互为相反数、可凑整）？有没有‘公共因子’？把你的发现和同组伙伴说一说。”教师巡视，聆听各组的发现，并适时介入引导，例如对A式提问：“5和+5，+3和3，它们见面会发生什么‘化学反应’？”2.学生活动：学生以小组为单位，专注观察指定的算式，进行讨论。他们会指出A式中存在互为相反数的两对数；B式中每一项都有公因数(4)；C式同样有公因数(3)。学生尝试用彩色笔圈画或口头描述这些特征。3.即时评价标准：1.4.观察的敏锐性：能否准确发现算式中的特殊数字关系（相反数、公因数等）。2.5.描述的准确性：能否用规范的数学语言（如“互为相反数”、“公因数”）描述发现。3.6.合作的有效性：小组内是否每位成员都参与了观察与讨论，并达成共识。7.形成知识、思维、方法清单：1.8.★巧算策略的起点——观察特征：巧算非盲目尝试，始于对算式数字与结构的系统性观察。核心观察维度包括：①寻找互为相反数的项；②寻找能凑成整十、整百的项；③寻找同分母的分数项；④寻找各项的公因数（式）。2.9.思维方法提示：训练将算式视为一个整体图形进行“模式识别”的能力，而非线性阅读。这类似于下棋时的“大局观”。3.10.▲易错点预警：在寻找公因数时，需注意连同它前面的符号一起考虑。例如在3×8+(3)×2中，公因数是3，而非3。任务三：庖丁解牛——针对特征，设计策略1.教师活动：承接任务二，教师邀请三个小组的代表上台，将他们讨论的算式（已制成磁性卡片）贴在黑板上，并讲解本组设计的巧算策略。“请‘侦探小组’来汇报你们的‘破案方案’！”针对A式，引导学生明确利用加法交换律、结合律，将相反数配对结合，使它们“同归于尽”（和为0）。针对B式和C式，引导学生明确利用分配律的逆运算（提取公因数），将多个乘积的和差转化为一个乘积，极大简化运算。教师通过追问：“为什么想到把它们俩结合？”“提取4后，括号里剩下的部分你是怎么确定的？”来暴露学生的思维过程，并板书规范的步骤。2.学生活动：小组代表上台展示，一边移动磁性卡片演示重组过程（如将5和+5的卡片挪到一起，用大括号标注），一边向全班讲解思路。台下学生倾听、质疑或补充。全体学生将规范的解题过程记录在任务单上。3.即时评价标准：1.4.策略的合理性：设计的重组方案是否符合算式的结构特征，是否能有效简化计算。2.5.表达的条理性：讲解是否步骤清晰，先说什么，后说什么，有理有据。3.6.操作的规范性：书写步骤是否完整、规范，特别是提取负公因数时，括号内的符号处理是否正确。7.形成知识、思维、方法清单：1.8.★策略一：相反数结合法。适用于加减混合运算。通过交换、结合，将互为相反数的项优先运算，使其和为0，从而迅速减少项数。口诀：“手拉手，一起走，相加得零不用愁。”2.9.★策略二：同分母（或易通分）分数结合法。原理同上，优先计算同分母分数加减，避免反复通分。3.10.★策略三：凑整法。观察并组合能凑成整十、整百、整千……的项，先计算它们。4.11.★策略四：提取公因数法。适用于多个乘积加减的形式。逆用分配律，提取公共的因数（含符号），将原式化为一个乘积。这是将加法运算转化为乘法运算的质变，是简化计算的强大工具。任务四：小试牛刀——综合应用与策略选择1.教师活动：出示一道综合性的例题：计算：(48)×5/6+5/6×345/6×(18)。提问：“这道题看起来比之前的都复杂一些，它混杂了分数和负数。我们的‘策略工具箱’里，哪件工具最适合它？请大家独立思考1分钟，尝试设计你的巧算方案。”巡视中，关注不同层次学生的思路：是否有学生直接按顺序计算？是否有人发现公因数5/6？是否有人对(48)、34、(18)的处理有困惑？请两位思路不同（如一人用提取公因数，一人先算部分乘法）的学生上台板演。2.学生活动：学生独立观察、分析算式，在草稿纸上尝试设计计算路径。完成后，观察黑板上的两种解法，进行比较和思考。3.即时评价标准：1.4.策略迁移能力：能否在稍复杂的陌生算式中，识别出熟悉的特征（此处是公因数5/6），并调用相应策略。2.5.运算的坚韧性：在独立面对稍难问题时，是否愿意坚持尝试，而非轻易放弃。3.6.批判性思维萌芽：能否对不同的解法进行比较，初步判断孰优孰劣。7.形成知识、思维、方法清单：1.8.★策略的综合与优选：一个算式可能同时具备多种特征，允许不同策略。但最优策略往往能最大程度地简化计算。例如本例中，提取公因数5/6显然比先算部分乘法再加减更优。要引导学生建立“追求最简”的优化意识。2.9.方法提炼：面对复杂算式，可遵循“观察特征→匹配策略→实施重组→优化校验”的四步思维流程。3.10.▲深度提示：公因数可以是数，也可以是代数式（未来学习）。提取时，务必保证原式每一项都除以这个公因数后，剩余部分准确无误，特别是符号。任务五：进阶挑战——当没有明显特征时1.教师活动：提出一个更具思维挑战性的问题：“如果一道算式，表面上看没有明显的相反数、凑整或公因数，比如计算：1/21/3+1/41/5+1/6，我们是不是就只能‘硬算’了呢？有没有可能‘创造’条件来巧算？”引导学生思考：能否通过拆项（一种高级技巧的雏形）或重新分组来创造特征？教师可适当提示：“看看1/21/3的结果是多少？1/41/5呢？它们之间有没有新的联系？”此任务主要面向学有余力的学生，旨在打开思维天花板。2.学生活动：学有余力的学生进行深度思考与尝试，可能发现(1/21/3)=1/6，从而与后面的+1/6结合。其他学生聆听、跟想，感受数学思维的深度与奇妙。3.即时评价标准：1.4.思维的创造性与灵活性：能否跳出固有模式，尝试对算式进行主动的变形与构造。2.5.探究的持久性：面对挑战是否表现出浓厚的兴趣和持续的思考。6.形成知识、思维、方法清单：1.7.▲拓展思维：主动构造策略。当直接观察无果时，可通过局部计算、拆项（如1/(n(n+1))=1/n1/(n+1)，此处仅为伏笔）、重新分组等方式，主动创造出有利于简算的新结构。这体现了更高层次的数学能动性。2.8.素养指向：此任务深刻体现数学的创新思维与不满足于现状的探索精神，鼓励学生做知识的主人，而非被动的执行者。第三、当堂巩固训练  设计分层、变式的训练体系，确保所有学生都能在练习中获得提升，并提供即时反馈。1.基础层（全员过关）：1.2.计算：7+(3)+4+(7)+(4)。（考查相反数、凑整结合）2.3.计算：(2/3)×52/3×7+4×(2/3)。（考查提取负公因数）3.4.反馈机制：学生独立完成后，同桌交换批改。教师投影正确答案和关键步骤，针对(4)与+4结合、提取2/3后括号内符号变化等共性易错点进行1分钟精讲。“同桌互相看看，提取公因数后，括号里的符号变对了没有？这是最容易‘掉坑’的地方。”5.综合层（能力提升）：1.6.计算：5/9×(3又1/5)+13/9×(3又1/5)2/3×(3又1/5)。（综合考查带分数处理与提取公因数）2.7.计算：(125)×(2)×8×(5)×1/4。（考查乘法交换律、结合律，寻找凑整配对）3.8.反馈机制：学生完成后，教师请两位学生到讲台用实物投影展示解题过程，并简述自己首先观察到了什么特征。引导全班学生围绕“策略选择是否最优”、“计算过程是否最简”进行点评。“大家觉得他的第一步处理（如将带分数化为假分数）是必须的吗？有没有更直接的办法？”9.挑战层（思维拓展，选做）：1.10.计算：1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(9×10)。（渗透裂项相消思想，作为高阶思维拓展）2.11.反馈机制：在下课前23分钟，教师简要介绍“裂项法”的原理（1/(n(n+1))=1/n1/(n+1)），并展示其惊人的简化效果，激发学生的好奇心和课后探究欲。“想知道这个神奇公式是怎么来的吗？有兴趣的同学课后可以研究一下，下节课我们请小老师来分享。”第四、课堂小结  引导学生进行结构化总结与元认知反思，而非教师单向复述。1.知识整合：“同学们，经过一节课的探索，我们的‘巧算策略工具箱’里多了哪些宝贝？请大家用1分钟时间，在任务单的总结区画一个简单的思维导图或知识树。”随后邀请一位学生分享其知识结构图，教师在其基础上完善板书，形成清晰的知识网络：核心（运算律）→观察（四大特征）→策略（四类方法）→思维流程（四步法）。2.方法提炼与元认知：“回顾今天的学习，你认为最关键的一步是什么？（等待回答：观察）对，是按下‘开始计算’冲动前的那几秒钟观察。请大家闭上眼睛想一想，今天哪道题的巧算过程让你最有成就感？你当时的‘灵光一现’是怎么发生的？”通过这样的提问，引导学生回顾和体悟自己的思维过程。3.作业布置与延伸：1.4.必做（基础+拓展）：《学习任务单》背面精选的5道分层练习题（涵盖本课所有策略）。2.5.选做（探究）：①研究“挑战层”裂项求和问题的完整推导与计算。②寻找生活中（如账目结算、速度计算等）可以运用巧算思想的实例，并简要说明。3.6.预告衔接：“今天我们在‘数’的世界里玩转了巧算。下次课，我们将把这些运算律和策略，迁移到‘字母’的世界——整式的加减中去。想想看，提取公因数5/6和提取公因式a，是不是有异曲同工之妙？”六、作业设计  作业设计遵循分层原则，旨在巩固知识、拓展能力、激发探究兴趣。1.基础性作业（必做）：1.2.计算下列各题，要求尽可能使用简便方法，并写明所依据的运算律或采用的巧算策略：(1)(7)+11+(3)+4+(11)(2)(3/47/8+5/12)×(24)(3)(36)×(7/95/6+3/4)(4)5×8×(2)×0.1252.3.设计意图：巩固本课核心的相反数结合、分配律正逆用、凑整等基本策略，确保全体学生掌握最基础、最重要的巧算技能。4.拓展性作业（建议大多数学生完成）：1.5.情境应用题：小明的妈妈记录了一周的家庭开支（单位：元）：伙食费350，交通费120，网购235，退款+85，奖金收入+500。请用一种简便的方法帮小明妈妈快速计算这一周的总收支情况。2.6.设计意图：将巧算置于真实的生活情境中，让学生体会数学的实用性，并训练其从情境中抽象出数学模型（有理数加法）并进行优化的能力。7.探究性/创造性作业（学有余力学生选做）：1.8.（接课堂挑战层）探究并证明：1/(n(n+1))=1/n1/(n+1)（其中n为正整数）。并利用此公式，计算：1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/(99×100)。2.9.设计意图：为顶尖学生提供触及数学本质和思想方法（裂项相消，一种重要的求和方法）的深度探究机会，培养其自主探究、严谨推理的能力和数学审美。七、本节知识清单及拓展1.★运算律的核心价值再定位：交换律、结合律、分配律不仅是保证运算正确的“法则”，更是实现计算优化、追求思维经济的“策略之源”。其共同本质是：在保证结果不变的前提下，改变运算的顺序与组合方式。2.★巧算的前提：系统性观察。拿到算式，先做“侦察兵”，而非“冲锋兵”。重点扫描：①互为相反数的项（和为0）；②能凑整（整十、百、千…）的项；③同分母或易通分的分数项；④各项的公因数（式）。3.★核心策略一：分组结合法。针对观察到的“好朋友”项，运用加法或乘法的交换律、结合律，将它们优先结合计算。口诀化记忆：“手拉手，一起走，简化计算不用愁。”4.★核心策略二：分配律逆用法（提取公因数）。形式：a·b+a·ca·d=a·(b+cd)。关键在于准确识别公因数a（连同符号），并确定括号内剩余部分。这是简化计算的强力手段。5.运算顺序的灵活性与原则性：巧算鼓励灵活改变运算顺序，但必须遵循两个原则：一、结果不变；二、每一步变换都有理有据（基于某条运算律）。不能随意跳步或改变运算。6.▲符号处理的精确性：在运用运算律，尤其是涉及减法或负公因数时，符号是重中之重。提取负公因数时，括号内每一项的符号都要改变。建议用彩笔标记符号，或默念“带符号搬家”。7.思维流程结构化：推荐“四步巧算法”：一观（整体结构）、二辨（数字特征）、三谋（匹配策略）、四算（执行优化）。养成此思维习惯，受益长远。8.数感的体现：巧算能力是“数感”的重要组成部分。它体现为对数字关系的敏锐直觉（如一眼看出98接近100）、对运算结果的合理估算、以及对计算策略的直觉选择。9.从算术到代数的桥梁：本节课的“提取公因数”策略，是未来代数中“提取公因式”的直观原型。理解数的运算律，是理解式（字母）的运算律的基础。10.▲策略的优化与选择：有时一道题有多种巧算路径。要引导学生比较，选择计算步骤最少、心算难度最低、最不易出错的方案。例如，优先考虑“提取公因数”往往比多次“分组结合”更高效。11.常见错误警示：1.12.错误：5+3+5=(5+5)+3=0+3=3正确，但53+5=(5+5)3=03=3需注意3的符号。2.13.错误：提取公因数2时，2a+2b=2(a+b)（错），应为2(ab)。14.▲高阶思维拓展：主动构造策略。当直接观察无特征时，可尝试通过拆项（如分数裂项）、添项减项（保持恒等变形）等方式，创造有利于简算的条件。这体现了数学的创造性与解题智慧。15.与生活的联系：快速核对账目、估算总价、分配任务等日常活动，其本质都蕴含着优化运算的思想。巧算不仅是为了考试，更是为了培养一种高效、清晰的思维习惯。16.历史与文化视角：古今中的数学家在计算工具不发达的年代，发展了大量巧算、速算的方法（如印度的“吠陀数学”、中国的“珠心算”口诀），其核心智慧之一就是灵活运用运算律。了解这些，可以增进对数学作为人类文化的理解。八、教学反思  （本反思基于假设的课堂教学实况展开）  一、教学目标达成度分析本节课的核心目标是培养学生灵活运用运算律进行巧算的策略性思维。通过课堂观察和随堂练习反馈，约80%的学生能顺利完成后测中的基础与综合层题目，并能清晰说出所使用的策略名称（如“我用了提取公因数法”），表明知识目标与基础能力目标基本达成。在情感态度方面，学生在完成“小试牛刀”和展示环节时，表现出明显的成就感和兴趣，课堂氛围积极。“先观察，后计算”的口头禅被多次提及，表明习惯培养目标初步实现。  二、教学环节有效性评估导入环节的“长短算式对比”成功制造了认知冲突，迅速聚焦了“巧算”主题。新授环节的五个任务链，逻辑递进清晰：“任务一”的回顾为后续提供了“武器库”；“任务二”的“侦探”活动充分激发了学生的观察兴趣，小组讨论热烈；“任务三”的展示与讲解，将观察发现转化为具体策略，实现了从“看到”到“做到”的关键跨越；“任务四”的独立尝试是重要的形成性评价点，暴露了部分学生对“隐含公因数”（如分数5/6）识别不敏感的问题，为教师的即时干预提供了契机；“任务五”作为“天花板”任务，有效满足了学优生的探究欲，虽然大部分学生未能完全掌握，但起到了开阔视野、激发敬畏感的作用。巩固环节的分层设计，确保了不同层次学生的“饱腹感”，同伴互评和投影讲评提高了反馈效率。  三、学生表现深度剖析在小组活动中，大约三分之一的学生能迅速成为“发现者”和“讲解者”，他们是课堂思维的引领者；约一半的学生是积极的“跟随者”和“验证者”，能在同伴启发下理解并