（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第2章 第07讲 函数与方程 讲义+随堂检测（教师版）

第页第07讲函数与方程一、函数的零点对于函数，我们把使的实数叫做函数的零点.二、方程的根与函数零点的关系方程有实数根函数的图像与轴有公共点函数有零点.三、零点存在性定理如果函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得也就是方程的根.四、二分法对于区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函数零点的近似值.五、用二分法求函数零点近似值的步骤（1）确定区间，验证，给定精度.（2）求区间的中点.（3）计算.若则就是函数的零点；若，则令（此时零点）.若，则令（此时零点）（4）判断是否达到精确度，即若，则函数零点的近似值为（或）；否则重复第（2）—（4）步.用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.【解题方法总结】函数的零点相关技巧:①若连续不断的函数在定义域上是单调函数，则至多有一个零点.②连续不断的函数，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.③连续不断的函数通过零点时，函数值不一定变号.④连续不断的函数在闭区间上有零点，不一定能推出.【典例例题】题型一：求函数的零点或零点所在区间【例1】已知函数是奇函数，且，若是函数的一个零点，则（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【解析】因为是函数的一个零点，则，于是，即，而函数是奇函数，则有，所以.故选：D【变式1-1】已知是函数的一个零点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为是函数的一个零点，所以，即，故，则．故选：D．【变式1-2】已知函数的零点依次为，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于，显然是增函数，，所以的唯一零点；对于，显然也是增函数，，所以的唯一零点；对于，显然也是增函数，，所以的唯一零点；；故选：A.【变式1-3】已知，若是方程的一个解，则可能存在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，所以，因为是方程的一个解，所以是方程的解，令，则，当时，恒成立，所以单调递增，又，所以.故选：C.【解题总结】求函数零点的方法：（1）代数法，即求方程的实根，适合于宜因式分解的多项式；（2）几何法，即利用函数的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围【例2】函数在区间存在零点．则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由在上单调递增，在上单调递增，得函数在区间上单调递增，因为函数在区间存在零点，所以，即，解得，所以实数m的取值范围是.故选：B.【变式2-1】函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵和在上是增函数，∴在上是增函数，∴只需即可，即，解得.故选：D.【变式2-2】已知函数，若在区间上有零点，则的最大值为__________.【答案】【解析】设，则，此时，则，令，当时，，记，则，所以在上递增，在上递减，故,所以，所以的最大值为.故答案为：.【解题总结】本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题【例3】已知实数，满足，，则________.【答案】4【解析】由，即，即，令，则，即，即.由，得，设函数，显然该函数增函数，又，所以函数在上有唯一的零点，因此，即，所以.故答案为：4.【变式3-1】若曲线有两条过的切线，则a的范围是______.【答案】【解析】设切线切点为，因，则切线方程为：.因过，则，由题函数图象与直线有两个交点.，得在上单调递增，在上单调递减.又，，.据此可得大致图象如下.则由图可得，当时，曲线有两条过的切线.故答案为：【解题总结】方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.题型四：嵌套函数的零点问题【例4】已知函数，则关于的方程有个不同实数解，则实数满足（

）A．且B．且C．且D．且【答案】C【解析】令，作出函数的图象如下图所示：由于方程至多两个实根，设为和，由图象可知，直线与函数图象的交点个数可能为0､2､3､4，由于关于x的方程有7个不同实数解，则关于u的二次方程的一根为，则，则方程的另一根为，直线与函数图象的交点个数必为4，则，解得.所以且.故选：C.【变式4-1】定义在R上函数，若函数关于点对称，且则关于x的方程()有n个不同的实数解，则n的所有可能的值为A．2 B．4C．2或4 D．2或4或6【答案】B【解析】∵函数关于点对称，∴是奇函数，时，在上递减，在上递增，作出函数的图象，如图，由图可知的解的个数是1，2，3.或时，有一个解，时，有两个解，时，有三个解，方程中设，则方程化为，其判别式为恒成立，方程必有两不等实根，，，，两根一正一负，不妨设，若，则，，和都有两个根，原方程有4个根；若，则，，∴，，有三个根，有一个根，原方程共有4个根；若，则，，∴，，有一个根，有三个根，原方程共有4个根．综上原方程有4个根．故选：B.【解题总结】2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎实．题型五：函数的对称问题【例5】已知函数，函数与的图象关于直线对称，若无零点，则实数k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题知，，设，当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以，的图象如下，由图可知，当时，与无交点，即无零点．故选：D．【变式5-1】已知函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且，关于轴对称，则的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数与函数的图象关于x轴对称，根据已知得函数的图象与函数的图象有交点，即方程在上有解，即在上有解．令，，则，可知在上单调递增，在上单调递减，故当时，，由于，，且，所以．故选：A．【变式5-2】已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】设上一点，，且关于轴对称点坐标为，在上，有解，即有解．令，则，，当时，；当时，，在上单调递减；在上单调递增，，，有解等价于与图象有交点，

．故选：B【解题总结】题型六：函数的零点问题之分段分析法模型【例6】设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得函数的定义域为．又，∵函数至少存在一个零点，∴方程有解，即有解．令，则，∴当时，单调递增；当时，单调递减．∴．又当时，；当时，．要使方程有解，则需满足，∴实数的取值范围是．故选D．【变式6-1】若至少存在一个，使得方程成立．则实数的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】原方程化简得:有解,令,,当时,,所以f(x)在单调递减,当x<e时,,所以f(x)在单调递增..所以.选B.【变式6-2】设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意得，函数至少存在一个零点，且，可构造函数和，因为，开口向上，对称轴为，所以为单调递减，为单调递增；而，则，由于，所以为单调递减，为单调递增；可知函数及均在处取最小值，所以在处取最小值，又因为函数至少存在一个零点，只需即可，即：解得：.故选：D.【解题总结】分类讨论数学思想方法题型七：唯一零点求值问题【例7】已知函数有唯一零点，则实数（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【解析】设，定义域为R,∴，故函数为偶函数，则函数的图象关于y轴对称，故函数的图象关于直线对称，∵有唯一零点，∴，即．故选：D．【变式7-1】已知函数有唯一零点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，则，记，则，令则，所以是偶函数，图象关于轴对称，因为只有唯一的零点，所以零点只能是于是故选：C【变式7-2】已知函数有唯一零点，则负实数A． B． C． D．或【答案】A【解析】函数有唯一零点，设则函数有唯一零点，则设∴为偶函数，∵函数有唯一零点，∴与有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，解得或（舍去），故选A．【解题总结】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.题型八：分段函数的零点问题【例8】已知函数，若函数有两个零点，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】存在两个零点，等价于与的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足，解得：故选：A.【变式8-1】已知函数，若函数，则函数的零点个数为（

）A．1 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】当时，，，当时，，，，，且定义域为，关于原点对称，故为奇函数，所以我们求出时零点个数即可，，，令，解得，故在上单调递增，在单调递减，且，而，故在有1零点，，故在上有1零点，图像大致如图所示：故在上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在上也有2个零点，且，故共5个零点，故选：D.【解题总结】已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.题型九：等高线问题【例9】已知函数，若方程有四个不同的解且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】.先作图象，由图象可得因此为，，从而.故选：A【变式9-1】已知函数，若方程有四个不同的实根，，，，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函数的图象，如图所示：方程有四个不同的实根，，，，满足，则，即：，所以，，所以，根据二次函数的对称性可得：，，考虑函数单调递增，，所以时的取值范围为.故选：A第07讲函数与方程1．函数在区间上的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】求函数在区间上的零点个数，转化为方程在区间上的根的个数.由，得或，解得：或或，所以函数在区间上的零点个数为3.故选：A.2．已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】恰有两个零点,即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，令，则，当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，当时，，且单调递增，在直角坐标系中画出的大致图象如图：要使有两个交点，则，故选：D3．函数在区间内的零点个数是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】由，得，又，所以，所以或解得或.所以函数在的零点个数是2.故选：A.4．已知函数，则方程的实根个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】，解得或，当时，，解得，，解得（舍）；当时，，解得或（舍），，解得或（舍）；综上，方程的实根为或或，即方程的实根个数为3个，故选：A.5．已知函数若存在实数，，，，满足，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】画出的图象如下图：由题意可知，，由图象可知关于直线对称，所以，因此，当时，，此时，当时，，此时，当存在，，，使得时，此时，故选：C6.已知幂函数的图像过点，则函数的零点为________．【答案】，，【解析】设幂函数，因为函数的图像过点，所以，解得，所以，则函数的零点为方程的根，