（辅导班）2027年高考数学一轮复习精讲精练 第7章 第03讲 数列的通项公式 讲义+随堂检测（原卷版）

第页第03讲数列的通项公式类型Ⅰ观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项．类型Ⅱ公式法：若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解．用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．类型Ⅲ累加法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相加，可得：=1\*GB3①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；=2\*GB3②若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；=3\*GB3③若是关于的二次函数，累加后可分组求和；=4\*GB3④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和．类型Ⅳ累乘法：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造：将上述个式子两边分别相乘，可得：有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．类型Ⅴ构造数列法：（一）形如（其中均为常数且）型的递推式：（1）若时，数列{}为等差数列；（2）若时，数列{}为等比数列；（3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种：法一：设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：由得两式相减并整理得即构成以为首项，以为公比的等比数列．求出的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求出（二）形如型的递推式：（1）当为一次函数类型（即等差数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公差为时，由递推式得：，两式相减得：，令得：转化为类型Ⅴ㈠求出，再用类型Ⅲ（累加法）便可求出（2）当为指数函数类型（即等比数列）时：法一：设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得法二：当的公比为时，由递推式得：——①，，两边同时乘以得——②，由①②两式相减得，即，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出法三：递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q，r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决．（3）当为任意数列时，可用通法：在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得．类型Ⅵ对数变换法：形如型的递推式：在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）．类型Ⅶ倒数变换法：形如（为常数且）的递推式：两边同除于，转化为形式，化归为型求出的表达式，再求；还有形如的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求．类型Ⅷ形如型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列的形式求解．方法为：设，比较系数得，可解得，于是是公比为的等比数列，这样就化归为型．总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式题型一：观察法【例1】南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，······，则第十层有（

）个球．

A．12B．20C．55D．110【变式1-1】线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构.一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，图中正六边形的个数记为，所有正六边形的周长之和､面积之和分别记为，其中图中每个正六边形的边长是图中每个正六边形边长的，则下列说法正确的是（

）A．B．C．存在正数，使得恒成立D．【变式1-2】大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为，则（

）A．650B．1050C．2550D．5050【变式1-3】大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列的第25项与第24项的差为（

）A．22B．24C．25D．26题型二：叠加法【例2】若，则（

）A．55B．56C．45D．46【变式2-1】在数列中，，，则（

）A．B．C．D．【变式2-2】已知数列满足，，则的通项为(

)A．B．C．D．【变式2-3】已知是数列的前n项和，且对任意的正整数n，都满足：，若，则（

）A．B．C．D．题型三：叠乘法【例3】已知数列满足，，则（

）A．2023B．2024C．4045D．4047【变式3-1】数列中，，（为正整数），则的值为（

）A．B．C．D．【变式3-2】已知，，则数列的通项公式是（

）A．B．C．D．n【变式3-3】已知数列满足，(，)，则数列的通项（

）A．B．C．D．题型四：待定系数法【例4】已知数列满足：求.【变式4-1】已知数列是首项为.(1)求通项公式；(2)求数列的前项和.【变式4-2】已知数列中，，满足，设为数列的前项和．(1)证明：数列是等比数列；(2)若不等式对任意正整数恒成立，求实数的取值范围．题型五：同除以指数【例5】已知数列满足，，求数列的通项公式．【变式5-1】在数列{}中，求通项公式．【变式5-2】已知数列满足，，求数列的通项公式．【变式5-3】已知数列满足，则数列的通项公式为.题型六：取倒数法【例6】在数列中，求．【变式6-1】设，数列满足，，求数列的通项公式．【变式6-2】已知数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)求证：数列的前n项和.题型七：取对数法【例7】已知数列满足，.(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；(2)若，数列的前项和，求证：.【变式7-1】设正项数列满足，，求数列的通项公式．题型八：已知通项公式与前项的和关系求通项问题【例8】数列的前项和为，满足，且，则的通项公式是．【变式8-1】已知数列中，，前n项和为.若，则数列的前2023项和为.【变式8-2】已知各项均为正数的数列满足，其中是数列的前n项和.(1)求数列的通项公式；(2)若对任意，且当时，总有恒成立，求实数的取值范围.【变式8-3】已知数列，为数列的前项和，且满足，．(1)求的通项公式；(2)证明：．题型九：因式分解型求通项【例9】已知正项数列满足，设．（1）求，；（2）判断数列是否为等差数列，并说明理由；（3）的通项公式，并求其前项和为．【变式9-1】已知正项数列满足且（Ⅰ）证明数列为等差数列；（Ⅱ）若记，求数列的前项和．【变式9-2】已知正项数列的前项和满足：，数列满足，且．（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求．第03讲数列的通项公式随堂检测1．已知正项数列的前n项和为，满足，则（

）A．2022B．2023C．2024D．20252．已知数列的前n项和是，则（

）A．9B．16C．31D．333．已知数列的前n项和为，若，，（

）A．B．C．D．4．已知数列的前项和为，若满足，则（

）A．B．C．D．5．已知是各项均为正数的数列的前项和，，，若对恒成立，则实数的最大值为（

）A．B．16C．D．326．在数列中，，则的前项和的最大值为（

）A．64B．53C．42D．257．