第01讲 平面直角坐标系与函数（复习讲义）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第三章函数第01讲平面直角坐标系与函数目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接）01·TOC\o"1-1"\h\z\u考情剖析·命题前瞻 102·知识导航·网络构建 303·考点解析·知识通关 304·命题洞悉·题型预测 9命题点一平面直角坐标系题型01坐标的确定与读写题型02象限与坐标轴上点的特征判断题型03关于坐标轴、原点对称的点的坐标变换题型04图形平移、旋转、轴对称的坐标变化规律应用题型05坐标与几何图形的面积计算题型06坐标与函数图象的结合题型07用坐标表示地理位置命题点二函数题型01求自变量的取值范围题型02实际问题中的函数关系建立题型03从函数图像中提取信息05·重难突破·思维进阶 42突破一平面直角坐标系中动点的坐标规律探究突破二函数图像的分析与判断（在实际问题中分析、判断函数图像）突破三函数图像的分析与判断（分析几何问题判断函数图像）突破四函数图像的分析与判断（由函数图像解决几何问题）考点课标要求考法分析平面直角坐标系认识平面直角坐标系，掌握点的坐标特征（象限、坐标轴上点的坐标）；理解点的平移、对称的坐标变化规律。考查点的坐标确定（如2025・浙江杭州卷）；点的平移/对称后坐标的计算（如2025・湖北武汉卷）；结合几何图形确定点的坐标（如2025・广东深圳卷）。函数的概念与表示理解函数的定义，能识别函数关系；掌握函数的三种表示方法（解析式、图像、列表）。判断变量间的函数关系（如2025・山东济南卷）；根据函数图像/列表分析变量变化（如2025・江苏南京卷）；结合实际情境写函数解析式（如2025・四川成都卷）。命题预测命题趋势：平面直角坐标系与函数是中考数学的核心内容之一，考查形式以选择题、填空题、解答题为主，难度覆盖基础到中档。其中，函数的图像与性质、函数的实际应用是重点，常与几何图形（如三角形、四边形）、方程、不等式综合考查，侧重考查学生的图像分析能力、模型构建能力；同时，函数与实际生活情境的结合（如行程、经济问题）逐渐增多，强调数学的应用价值，部分地区会涉及函数与坐标系的创新题型（如动态点的坐标变化），考查学生的动态思维与数形结合能力。备考建议：夯实坐标系基础：熟练掌握点的坐标特征（象限、对称、平移），通过画图、列表等方式强化坐标与图形的对应关系，确保基础题全对。深化函数图像理解：针对一次函数、反比例函数，重点训练“由图像得性质、由性质画图像”的双向能力，结合图像分析自变量、函数值的范围，提升数形结合的敏感度。强化实际应用建模：多练习函数与实际情境结合的题目（如行程、利润问题），总结“审题→找变量关系→列函数解析式→分析图像/求解”的解题流程，熟练用函数模型解决最值、方案选择等问题。突破综合题型训练：针对性练习函数与几何、方程、不等式综合的题目，掌握“以坐标系为载体，用函数表示几何量关系”的解题思路，提升知识迁移与综合应用能力。考点一平面直角坐标系1.各象限内点的坐标特征1）点P(x，y)在第一象限x＞0，y＞0，即（+，+）；2）点P(x，y)在第二象限x＜0，y＞0，即（-，+）；3）点P(x，y)在第三象限x＜0，y＜0，即（-，-）；4）点P(x，y)在第四象限x＞0，y＜0，即（+，-）.2.特殊位置上点的坐标特征点M（x，y）所处的位置坐标特征坐标轴上的点点M在x轴上在x轴正半轴上M（正，0）在x轴负半轴上M（负，0）点M在y轴上在y轴正半轴上M（0，正）在y轴负半轴上M（0，负）点M在原点M（0，0）象限角平分线上的点点M在第一、三象限角平分线上x＝y点M在第二、四象限角平分线上x＝-y两点连线与坐标轴平行MN∥x轴（或MN⊥y轴）M、N两点纵坐标相等且横坐标不相等MN∥y轴（或MN⊥x轴）M、N两点横坐标相等且纵坐标不相等3.点的平移特征（n＞0）口诀：点的平移左减右加，上加下减.4.对称点的坐标特征口诀：关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.5.平面直角坐标系中的距离点到坐标轴及原点的距离已知点P(a，b)，则1）点P到x轴的距离为b；2）点P到y轴的距离为a；3）点P到原点O的距离为P＝a2+平行于坐标轴的直线上两点间的距离若AB∥x轴，则A(xA，若AB∥y轴，则A(x，y拓展坐标系中有两点M与点N，则M，N两点之间的距离：MN=（x2−x11．（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为−1,0、1,1，则“强”的坐标为（

）A．3,3 B．2,3 C．4,3 D．4,5【答案】B【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可．【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为−1,0、1,1，∴建立直角坐标系如下：，∴“强”的坐标为2,3，故选：B2．（2025·江苏宿迁·中考真题）点P1,a+2在第一象限，则实数a的取值范围是【答案】a>−2【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可．【详解】解：∵点P1,a+2∴a+2>0，解得a>−2，故答案为：a>−23．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点P1,2关于y轴对称的点在（

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于y轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限．先根据关于y轴对称的点的坐标规律，求出点P(1,2)的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限．【详解】解：根据“关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，

已知点P(1,2)，则其关于y轴对称的点的坐标为(−1,2)故选：B．4．（2025·广西·模拟预测）在平面直角坐标系中，点Pa+3,a到y轴的距离是5，则a的值为（

A．−4 B．2或−8 C．2 D．8【答案】B【分析】本题考查了点的坐标，因为点P(a+3,a)到y轴的距离是5，则a+3=5【详解】解：∵点P(a+3,a)到y轴的距离是5，则a+3=5∴a+3=5或a+3=−5，∴a=2或a=−8故选：B．5．（2025·山东聊城·三模）如图，已知A12,0,A2【答案】(1352,−2)【分析】观察点的坐标，寻找循环规律，确定周期，通过计算2025除以周期的余数，判断A2025本题主要考查坐标规律探索，熟练掌握“找循环周期、算余数定位置”的解题思路，是解决此类规律题的关键．【详解】解：A1(2,0)即A2(2,−2)即A3(4,−2)即A4(4,0)即A5(4,2)即A6(6,2)即A7(6,0)即A8(6,−2)即A9(8,−2)即……观察坐标序列，发现每6个点为一组循环，每组对应规律：A6n+1A6n+2A6n+3A6n+4A6n+5A6n+6……，2025÷6=337⋯⋯3，说明A2025是第338对于第338组第3个点，横坐标为4×338=1352，纵坐标为−2．∴A2025的坐标为故答案为：(1352,−2)．考点二函数1.函数的有关概念及表示方法变量与常量在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量.函数一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数.函数值如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值.表示方法列表法、解析式法、图像法2.函数自变量的取值范围【热考】类型取值范围举例自变量的取值范围整式型全体实数全体实数分式型分母不能为零二次根式型被开方式大于或等于零负整数(零)指数幂型底数不能为零x≠0分式+根式型开方式大于零注意：分母不能为01．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数y=2x−7中，自变量x的取值范围是【答案】x≠7【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得x−7≠0，即可求解．【详解】解：根据题意，得x−7≠0，解得x≠7，故答案为：x≠7．2．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为8km，小明回家所需时间th随平均速度vkmh的变化而变化，则t与vA．t=8v B．t=18v C．t=【答案】C【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解．【详解】解：依题意，t与v的函数表达式是t=8故选：C．3．（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从A地出发前往B地，在整个行程中，汽车离开A地的路程ykm与时刻t之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（

A．乙车先到达B地 B．A、B两地相距300C．甲车的平均速度为100km/h D．在8【答案】C【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可．【详解】解：由图象可知，A，B两城相距300km，甲车先出发，乙车先到达B故选项A、B不符合题意；甲的速度为：300÷11−6乙的速度为：300÷10−7故选项C错误，符合题意；由交点的横坐标可知，乙车在8：故D不符合题意．故选：C．4．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（

）A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化【答案】B【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果．【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽，∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快；故选B．命题点一平面直角坐标系►题型01坐标的确定与读写【典例1】（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点（网格线的交点）．已知点A和A1的坐标分别为−1,−3和(1)在所给的网格图中描出边AB的中点D，并写出点D的坐标；(2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点【答案】(1)图见解析；−2,−1(2)图见解析【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键．（1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可；（2）根据点A和点A1的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以−2即可得到B1、C1【详解】（1）解：如图所示，点D即为边AB的中点，∵A−1,−3∴点D的坐标为−2,−1．（2）解：如图所示，△A【变式1】（2025·四川巴中·中考真题）综合与实践如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为0,4，M是x轴上一点，连接AM，作线段AM的垂直平分线l1，过点M作x轴的垂线l2，记l1，l【操作与发现】（1）当M为0,0时，点P的坐标为______；当M为4,0时，点P的坐标为______．【猜想与证明】（2）在x轴上多次改变点M的位置，得到相应的点P，把这些点连接起来形成图象L，猜想L为我们学过的______图象．（请填序号：①一次函数②二次函数）（3）设点P的坐标是x,y，根据PA与PM的关系，确定x，【实践与运用】（4）运用所学知识，要使△AMP为钝角三角形，直接写出x的取值范围．【答案】（1）0,2；4,4；（2）②；（3）y=18x2【分析】（1）结合图形找出点P的位置即可求解；（2）根据点P位置的分布即可判断；（3）利用勾股定理及线段垂直平分线的性质解答即可求解；（4）结合图形性质，根据正方形的性质解答即可．【详解】解：（1）当M为0,0时，线段AM的垂直平分线为直线y=2，过点M垂直于x轴的垂线l2即为y∴点P的坐标为0,2；当M为4,0时，如图所示，点P的坐标为4,4，故答案为：0,2，4,4；（2）由对称性可知，当M为−4,0时，如图所示，点P的坐标为−4,4，∴由点P的位置变化可猜想L为我们学过的二次函数，故答案为：②；（3）由勾股定理得，PA2=∵PA=PM，∴x2∴y=1（4）如图，当x=4时，点P4,4，此时∠APM=90°，四边形AOMP当−4<x<4时，可知∠AM'O>45°∴∠AP即△AMP为钝角三角形，又由（1）可知当M为0,0时，点P的坐标为0,2，点A、M、P三点共线构成不了三角形，∴x≠0，综上，要使△AMP为钝角三角形，x的取值范围为−4<x<4且x≠0．【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理，二次函数的图象，线段垂直平分线的性质，正方形的性质等，理解题意是解题的关键．【变式2】（2025·四川广元·一模）如图，每个小正方形的边长表示1cm(1)在方格图中画△ABC．三个顶点的位置分别是A(1,1)、B(5,1)、C(2,5)；(2)请画出△ABC绕B点顺时针旋转90°后的图形△A1B(3)在以上旋转过程中，求出点C经过的路线长．【答案】(1)见解析(2)见解析；8(3)52π【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中的图形绘制、图形的旋转、三角形面积计算、弧长公式，熟练掌握图形旋转的性质和弧长公式是解题的关键．（1）在方格图中找到A(1,1)、B(5,1)、（2）按旋转规则画出旋转后的图形，利用旋转不改变图形面积的性质，结合三角形面积公式计算面积；（3）先求点C到旋转中心B的距离（即弧的半径），再根据弧长公式计算点C经过的路线长．【详解】（1）解：如图，△ABC即为所求；（2）解：如图，△AS△A（3）解：∵B(5,1)、C(2,5)，∴BC=∴点C经过的路线长（弧长）：l=90►题型02

象限与坐标轴上点的特征判断详见讲义内容【典例1】（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点Pa−2,1+a在第三象限，则a的取值范围是【答案】a<−1【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可．【详解】解：∵点Pa−2,1+a∴a−2<01+a<0解得a<−1，即a的取值范围是a<−1，故答案为：a<−1．【变式1】（2025·河北·中考真题）若一元二次方程x(x+2)−3=0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点(m,n)在平面直角坐标系中位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．【详解】解：原方程xx+2−3=0其中a=1，b=2，c=−3．∴m=−ba=−∴点m,n即−2,−3的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．故选：C．【变式2】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知点A2m−9，m−3到两条坐标轴的距离相等，则点AA．(3,3)和(−1,1) B．(3,−3)和(−1,1)C．(3,3)和(1,−1) D．(3,3)和(−1,−1)【答案】A【分析】本题考查了点到坐标轴的距离；根据点到坐标轴的距离相等，得到横纵坐标绝对值相等的方程，解方程求出m的值，再代入得到点A的坐标，即可求解．【详解】解：∵点A的坐标为2m−9,m−3，到两坐标轴的距离相等，∴2m−9=解得：m=6或m=4当m=6时，2m−9=3，m−3=3，则点A的坐标为(3,3)当m=4时，2m−9=−1，m−3=1，则点A的坐标为(−1,1)故选：A．【变式3】（2025·吉林长春·模拟预测）若点P3m+1,1−m在x轴上，则点P的坐标是【答案】4,0【分析】本题考查了点的坐标，根据在x轴上的点的纵坐标为0，进行列式计算得出m的值，再代入点P的横坐标，即可作答．【详解】解：∵点P3m+1,1−m在x∴1−m=0，解得m=1，把m=1代入3m+1，得3m+1=3×1+1=4∴P故答案为：4,0．【变式4】（2025·安徽蚌埠·模拟预测）如图，线段MN的端点M，N的坐标分别为3,9，12,9，BN⊥MN，AB∥MN，且AB=12BN=13A．15,4 B．16,4 C．15,3 D．12,3【答案】C【分析】本题主要考查了坐标与图形，结合图形求解是解题关键由图形可得MN∥x轴，MN=9，BN∥y轴，得出AB=3，BN=6，结合图形即可求解．【详解】解：∵M、N的坐标分别为3，9、∴MN∥x轴，MN=12−3=9，BN∥y轴，∵AB=1∴AB=1∴BN=6，∵AB∥MN，∴AB∥x轴，∴A12+3,9−6即15,3故选：C．【变式5】（2025·湖南娄底·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P2a−2,2a+4在第二象限，下列结论错误的是（

A．−2<a<1B．点P关于y轴的对称点的坐标为−2a+2,2a+4C．点P到两坐标轴的距离之和等于6D．点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后所得点P'的坐标为【答案】D【分析】本题考查了坐标与图形变化——平移，坐标确定位置，解元一次不等式组，根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组是解题的关键．根据第二象限内点的坐标特征列出不等式组，求出a的取值范围，即可判断A；根据关于y轴对称的点的坐标特征即可判断B；根据点到坐标轴的距离的定义即可判断C，根据平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减即可判断D．【详解】解：A、∵点P2a−2,2a+4∴2a−2<02a+4>0，解得：−2<a<1B、∵点P2a−2,2a+4∴点P关于y轴的对称点的坐标为−2a+2,2a+4，原选项正确，不符合题意；C、∵点P2a−2,2a+4∴点P到x轴的距离等于2a+4，点P到y轴的距离等于2−2a，∴点P到两坐标轴的距离之和等于2a+4+2−2a=6，原选项正确，不符合题意；D、∵点P2a−2,2a+4∴点P向上平移2个单位，再向左平移3个单位后所得点P'的坐标为2a−2−3,2a+4+2，即2a−5,2a+6故选：D．►题型03关于坐标轴、原点对称的点的坐标变换关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.【典例3】（2025·山东滨州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P1,2关于原点的对称点P'到x轴的距离是【答案】2【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，得出坐标，进而根据纵坐标的绝对值是到x轴的距离，即可得答案．【详解】解：点P1,2关于原点的对称点P'的坐标是−1,−2，点P'到x故答案为：2．【变式1】（2025·宁夏·中考真题）下列判断正确的是（

）A．若点Pa,b关于x轴的对称点在第二象限，则B．夜晚，小明走向一盏路灯，他在地面上的影长由短变长C．4的平方根是2D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】A【分析】本题考查了关于x轴对称点的坐标特征、中心投影的特点、平方根的定义以及垂线的性质，解题的关键是逐一分析每个选项所涉及的知识点，判断其正确性．分别对各选项涉及的知识点进行分析：根据关于x轴对称点的坐标变化规律判断选项A；结合中心投影中物体与光源距离对影长的影响分析选项B；依据平方根的定义判断选项C；根据垂线的性质（强调“在同一平面内”的前提）判断选项D，进而选出正确选项．【详解】解：选项A:点Pa,b关于x轴的对称点坐标为(a,−b)．若对称点在第二象限，则横坐标a<0，纵坐标−b>0，即选项B:夜晚走向路灯时，人与光源的距离逐渐减小，根据中心投影特点，影长应由长变短，而非由短变长，该选项错误．选项C:4的平方根是±2选项D:垂线的性质为“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，选项中未强调“同一平面内”，表述不严谨，该选项错误．故选：A．【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A1,−8关于x轴的对称点的坐标为（

A．1,−8 B．1,8 C．−1,8 D．−1,−8【答案】B【分析】此题主要考查了坐标的对称，利用关于x轴的对称点的坐标特点可得答案，解题的关键是熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．【详解】解：点A1,−8关于x轴的对称点的坐标为1,8故选：B．【变式3】（2025曲靖市一模）已知点M1−2m,m−1关于原点的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（

A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法，以及关于原点对称的两点坐标之间的关系以及一元一次不等式组的解法．先确定出点M在第三象限，然后根据第三象限内点的坐标特征列出不等式组，然后求解得到m的取值范围，从而得解．【详解】解：∵点M1−2m,m−1∴点M1−2m,m−1∴1−2m<0①解不等式①得，m>1解不等式②得，m<1，在数轴上表示如下：．故选：C．►题型04图形平移、旋转、轴对称的坐标变化规律应用1）点的平移左减右加，上加下减.2）关于谁对称谁不变，关于原点对称都改变.【典例4】（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿y轴翻折；②沿函数y=x+2的图像翻折；③绕原点按顺时针方向旋转45°；④绕点1,−1按顺时针方向旋转90°．其中，能使函数y=2x+4的图像经过一种变换后过点P2,2的个数是（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先求出A−2,0，F0,4，再分析得A−2,0沿y轴翻折得E2,0，求出EF的解析式，然后判断y=2x+4沿y轴翻折不过点P2,2；再求出y=x+2经过点A−2,0，H2,4，则AF=25，AP=25，FH=2,PH=2，得AH是FP的垂直平分线，即P与F关于直线y=x+2对称，故y=2x+4沿函数y=x+2的图像翻折过点P2,2；点P绕着原点按逆时针方向旋转45°，与y轴交于点T，得出OT=OP=22，经过分析，得T0,22不在y=2x+4，即y=2x+4绕原点按顺时针方向旋转45°不经过点P2,2；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得△ATP是等腰直角三角形，即点A绕点【详解】解：令y=0,则0=2x+4，∴x=−2，即A−2,0令x=0，则y=2x+4=0+4=4，即F0,4∵y=2x+4沿y轴翻折，∴A−2,0沿y轴翻折得设EF的解析式为y=kx+bk≠0把E2,0，F0,4得0=2k+b4=b∴y=−2x+4，则y=−2×2+4=0≠2，∴y=2x+4沿y轴翻折不过点P2,2∴①不符合题意；②令y=0,则0=x+2，解得x=−2，即y=x+2经过点A−2,0令x=2，则y=2+2=4即y=x+2经过点H2,4连接FH,HP,AP，如图所示：∵F0,4，P2,2，则AF=2−02+∴AF=AP，∵H2,4∴FH=2,PH=2，∴AH是FP的垂直平分线，∴P与F关于直线y=x+2对称，故y=2x+4沿函数y=x+2的图像翻折过点P2,2∴②符合题意；③PO=依题意，点P绕着原点按逆时针方向旋转45°，与y轴交于点T，当点T在y=2x+4上，则y=2x+4绕原点按顺时针方向旋转45°经过点P2,2当点T不在y=2x+4上，则y=2x+4绕原点按顺时针方向旋转45°不经过点P2,2过程如下：∴OT=OP=22此时点T0,2把T0,22代入得y=2×0+4=4≠2∴T0,22不在即y=2x+4绕原点按顺时针方向旋转45°不经过点P2,2故③不符合题意；∵y=2x+4绕点1,−1按顺时针方向旋转90°，且A−2,0，∴记1,−1为T点，连接AT,TP，∴AT=−2−12∴AT=PT=10则AP=−2−2∴AP∴△ATP是等腰直角三角形，∴点A绕点1,−1按顺时针方向旋转90°，与点P重合，故函数y=2x+4的图像绕点1,−1按顺时针方向旋转90°过点P2,2∴④符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．【变式1】（山西省运城市平陆县部分学校2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷）如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(−3,4)，B−4,1(1)将△ABC各顶点的横、纵坐标都乘−1，得到点A1，B1，C1的坐标，点A，B，C(2)将△ABC向下平移3个单位长度，向右平移2个单位长度，得到△A2B2C2，点A，B，C的对应点分别为(3)将△A1B1C1绕点P顺时针旋转【答案】(1)A1(2)图见解析，面积为13(3)(1,−1.5)【分析】本题考查作图——平移变换、旋转变换，熟练掌握平移的性质、旋转的性质是解答本题的关键．（1）根据题意可得点A1，B1，（2）根据平移的性质作图即可得到△A（3）连接A1A2，B1B2，C1【详解】（1）解：∵A(−3,4)，B−4,1，C(−1,3)，△ABC各顶点的横、纵坐标都乘−1∴A画出△A（2）画出△ABC边扫过的面积为SBB（3）连接A1A2，B1B2，C1C2∴点P的坐标为1+12,0+−32，即点【变式2】（2025·安徽芜湖·三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC为格点（网格线的交点）三角形．(1)将△ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，得△A1B(2)画出△ABC关于y轴对称的△A(3)用无刻度直尺在AC边上作一点F，使∠ABF=45°（保留作图痕迹）．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析．【分析】本题考查作图−平移变换、作图−轴对称变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．（1）根据平移的性质作图即可；（2）根据轴对称的性质作图即可；（3）在AB的右侧作AG⊥AB，且AG=AB，连接BG交AC于点F，则点F即为所求．【详解】（1）如图，△A（2）如图，△A（3）如图，在AB的右侧作AG⊥AB，且AG=AB，连接BG交AC于点F，此时△ABG为等腰直角三角形，∴∠ABG=45°，即∠ABF=45°，则点F即为所求．►题型05坐标与几何图形的面积计算求平面直角坐标系中几何图形的面积，常见的图形是三角形和四边形.1）如图1，当三角形有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，直接应用三角形的面积公式进行计算；2）如图2，当三角形没有一条边平行于坐标轴或落在坐标轴上时，要用割补法，将三角形的面积转化为其他图形面积的和或差；3）如图3，当求不规则多边形的面积时，一般采用割补法，将不规则的多边形割补为规则图形，进而求出其面积.一般地，过图形的顶点向x轴或y轴作垂线，找出不规则图形与规则图形之间的联系.【典例5】（2025南宁市二模）已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示(1)写出A、B、C三点的坐标；(2)求△ABC的面积；(3)△ABC中任意一点Px0,y0经平移后对应点为P1x【答案】(1)A−2,3，B−6,2(2)11.5(3)见解析【分析】（1）根据平面坐标系得出A、B、C三点的坐标即可；（2）根据各点坐标，利用梯形面积与三角形面积公式求出即可；（3）根据点Px0,y0【详解】（1）如图所示：A、B、C三点的坐标分别为：−2,3，−6,2，−9,7；（2）△ABC的面积==1（3）∵点Px0,∴把△ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位得△A如图，【点睛】此题考查了平移的性质，以及平移图形的画法和三角形面积求法，根据平移的性质正确平移对应顶点是解题关键．【变式1】（2025武汉书模拟预测）如图，已知四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标是3,1，点C的坐标是4,6，请根据要求解答下列问题：(1)在图中补全平面直角坐标系，并直接写出点B的坐标；(2)平移四边形ABCD，使点A的对应点A1的坐标是−4,0①在图中画出平移后的四边形A1②四边形ABCD平移到四边形A1(3)若将四边形ABCD各顶点的横坐标减去1，纵坐标减去7，则四边形ABCD在坐标系中的位置就会发生变化，把变化后的四边形记作四边形A2B2【答案】(1)图见解析，B6,3(2)①图见解析；②7；向下平移1；(3)图见解析，S四边形【分析】本题考查的知识点是作图和平移变换，解题关键是正确描出平移后的点．（1）根据题目所给的点A和点C的坐标确定原点位置并作出平面直角坐标系，再由平面直角坐标系的位置即可得出点B的坐标；（2）根据题意平移画图，由平移后的位置写出平移过程即可；（3）先根据题意得出变化后的各点坐标，在平面直角坐标系中描点相连即可得到四边形A2B2C2【详解】（1）解：如下图：∴B6,3（2）解：①平移后的四边形A1②依图得：四边形ABCD平移到四边形A1B1C1故答案为：7；向下平移1．（3）解：A3,1，B6,3，C4,6将四边形ABCD各顶点的横坐标减去1，纵坐标减去7，则A22,−6，B25,−4，四边形A2∴S【变式2】（2025北京模拟预测）如下图，在平面直角坐标系中，直线AB与坐标轴交于A−4,0,B0,m两点，且点C2,3，P−【问题探究】（1）请阅读并填空：过点C作CN⊥x轴于点N，我们可以由点A，C的坐标，直接得出三角形AOC的面积为_____________．过点C作CQ⊥y轴于点Q，S△AOB∵S∴可得关于m的一元一次方程为_____________，解这个方程，可得点B的坐标为_____________；【问题迁移】（2）请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标；【问题拓展】（3）若点Hk,h在直线AB上，且△BOH的面积等于3，请直接写出点H【答案】（1）6，m，2m+m=6，0,2（2）点P的纵坐标为54（3）点H的坐标为3,3.5或−3,0.5．【分析】本题主要考查了坐标与图形的综合题、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握在平面直角坐标系内求三角形的面积的方法是解题的关键．（1）根据给定的点坐标分别表示出△AOC的面积、△BOC的面积、△AOB的面积，根据S△AOC（2）根据给定的点坐标分别表示出△AOB的面积、△AOP的面积、△BOP的面积，根据S△AOB（3）根据△BOH的面积等于3，可得k的值，分情况讨论：①当点H在y轴右侧的直线AB上时，根据S△AOH=S△AOB+S△BOH列方程求解即可；②当点H【详解】解：（1）∵A−4,0,B0,m∴OA=4，∴△AOC的面积为12×4×3=6，△BOC的面积为∵△AOB的面积=1又∵S△AOC∴2m+m=6，解得∶m=2，∴点B坐标为0,2，故答案为：6，m，2m+m=6，0,2．（2）过点P作PG⊥x轴于点G，PM⊥y轴于点M，连接PO，则△AOB的面积为12×OA×OB=12×4×2=4，△AOP的面积为1∵S△AOB∴4=32+2n∴点P纵坐标为54（3）∵△BOH的面积为=1∵△BOH的面积等于3，，∴k=3∴k=±3，如图：当点H在y轴右侧的直线AB上时，则△AOB的面积为4，△BOH的面积为3，△AOH的面积为12∵S△AOH∴2h=4+3，解得h=3.5，∴点H坐标为3,3.5；②如图：当点H在y轴左侧的直线AB上时，则△AOB的面积为4，△BOH的面积为3，△AOH的面积为12∵S△AOH∴2h=4−3，解得h=0.5，∴点H坐标为−3,0.5，综上所述，点H坐标为3,3.5或−3,0.5．►题型06坐标与函数图象的结合【典例6】（2025·广西·中考真题）已知一次函数y=−x+b的图象经过点P(4,3)，则b=（

）A．3 B．4 C．6 D．7【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点P4,3代入一次函数解析式，解方程即可求出b【详解】解：∵一次函数y=−x+b的图象经过点P4,3∴将x=4，y=3代入解析式，得：3=−4+b，解得：b=3+4=7，故选：D．【变式1】（2025·重庆·中考真题）反比例函数y=−12x的图象一定经过的点是（A．(2,6) B．(−4,−3) C．(−3,−4) D．(6,−2)【答案】D【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可．【详解】解：反比例函数y=−12x的∵点(6,−2)所在的反比例函数的k=6×−2∴反比例函数y=−12x的图象一定经过的点是故选：D．【变式2】（2025·安徽·中考真题）已知一次函数y=kx+bk≠0的图象经过点M1,2，且y随x的增大而增大．若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是（

A．−2,2 B．2,1 C．−1,3 D．3,4【答案】D【分析】根据一次函数过点M(1,2)得出b与k的关系，再结合y随x增大而增大得k>0，然后将各选项坐标代入函数，判断k是否符合条件．本题主要考查了一次函数的性质与图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数y=kx+b中k的意义及点坐标与函数解析式的关系是解题的关键．【详解】∵一次函数y=kx+b(k≠0)过M(1,2)，∴把(1,2)代入y=kx+b得2=k×1+b，即b=2−k．又∵y随x的增大而增大，∴k>0．选项A：点(−2,2)，代入y=kx+b得2=k×(−2)+b，把b=2−k代入得2=−2k+2−k，化简得3k=0，解得k=0，不满足k>0，舍去．选项B：点(2,1)，代入y=kx+b得1=k×2+b，把b=2−k代入得1=2k+2−k，化简得k=−1，不满足k>0，舍去．选项C：点(−1,3)，代入y=kx+b得3=k×(−1)+b，把b=2−k代入得3=−k+2−k，化简得2k=−1，解得k=−0.5，不满足k>0，舍去．选项D：点(3,4)，代入y=kx+b得4=k×3+b，把b=2−k代入得4=3k+2−k，化简得2k=2，解得k=1，满足k>0．综上，只有选项D符合条件，故选：D．【变式3】（2025·安徽亳州·一模）若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可由抛物线y=−2x2平移得到，且顶点坐标为−1,−3A．−11 B．−5 C．−3 D．2【答案】A【分析】本题考查二次函数的顶点式：由平移性质得a=−2，再根据顶点坐标写出顶点式函数，展开得一般式后求值．【详解】∵抛物线可由y=−2x∴a=−2.又∵顶点坐标为(−1,−3)，∴抛物线为y=−2(x+1)展开得y=−2x∴b=−4,c=−5,∴a+b+c=−2−4−5=−11.故选：A。►题型07用坐标表示地理位置1）根据已知点的坐标建立直角坐标系，并确定x轴、y轴的正方向；2）通过直角坐标系，确定其它点的坐标.【典例7】（2025·贵州·模拟预测）在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点A(2,3)和B(1,−1)，并且知道藏宝地点的坐标是(3,2)，则藏宝处应为图中的点．【答案】M【分析】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置，建立坐标系是解题关键．直接利用已知点坐标得出原点位置，进而建立平面直角坐标系，进而得出藏宝位置．【详解】解：建立平面直角坐标系，如图所示：故答案为M【变式1】（2025·山西太原·二模）2025年4月在北京亦庄，全球首场人形机器人半程马拉松震撼上演．如图是本次马拉松的宣传LOGO，将其放在平面直角坐标系中，若B，C两点的坐标分别为−3,−1，1,−2，则点A的坐标为．【答案】3,0【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据点B和点C的位置可确定原点和坐标轴的位置，据此建立坐标系即可得到答案．【详解】解：根据题意，可建立如下坐标系，则点A的坐标为3,0，故答案为：3,0．【变式2】（2025·浙江杭州·一模）如图为冰壶比赛场地示意图，由以P为圆心、半径分别为a，2a，3a，4a的同心圆组成．三只冰壶A,B,C的位置如图所示，∠APB=120°，CP的延长线平分∠APB，冰壶A,B分别表示为4a,0°，2a,120°，则冰壶C可表示为（

）A．3a,120° B．4a,200° C．3a,240° D．3a,300°【答案】C【分析】本题考查了坐标表示位置，理解坐标表示方法是关键．如图所示，延长CP到点D，则∠CPE=∠APD=60°，点C所在的角度为180°+60°=240°，所以C3a,240°【详解】解：如图所示，延长CP到点D，∴∠APD=∠DPB=60°，∴∠CPE=∠APD=60°，∴点C所在的角度为180°+60°=240°，∴C3a,240°故选：C．【变式3】（2025·辽宁葫芦岛·一模）2025年第九届亚洲冬季运动会在哈尔滨举行．如图是本届亚冬会的会徽“超越”，将其放在平面直角坐标系中，若A，C两点的坐标分别为1,1，−1,2，则点B的坐标为．【答案】−2,−2【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，C两点的坐标建立好坐标系，即可确定点B的坐标．【详解】解：∵A，C两点的坐标分别为1,1，−1,2，∴建立坐标系如图所示：∴点B的坐标为−2,−2．故答案为：−2,−2．命题点二函数►题型01求自变量的取值范围详见讲义内容【典例1】（2025·云南·中考真题）函数y=1x−1的自变量x的取值范围为（A．x≠4 B．x≠3 C．x≠2 D．x≠1【答案】D【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解．根据分母不等于0得到x−1≠0，求解即可．【详解】解：∵函数y=1x−1的分母为∴当分母x−1=0时，分式无意义，∴x−1≠0．解得x≠1，故自变量x的取值范围是x≠1，故选：D．【变式1】（2025·四川内江·中考真题）在函数y=x−2中，自变量x的取值范围是（

A．x≥2 B．x≤2 C．x>2 D．x<2【答案】A【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据题意得出x−2≥0，即可求解．【详解】解：根据题意得：x−2≥0，解得：x≥2故选：A．【变式2】（2025·云南·模拟预测）函数y=22−x+1x−1中自变量【答案】x≤2且x≠1【分析】本题考查了函数自变量的范围，根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可．【详解】解：由题可得2−x≥0x−1≠0解得x≤2且x≠1，故答案为：x≤2且x≠1．►题型02实际问题中的函数关系建立探求实际问题中的函数关系式，与列方程相类似，关键是依照题意，找出两个变量之间的等量关系而建立函数关系式.在列函数关系式时，一般应指出自变量的取值范围.而对函数自变量取值范围的确定，应视实际问题的具体情况而定，但一般而言，自变量的起点值和令因变量为0而求得的自变量的相应值是两个具有重要意义的参考数据.【典例2】（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为8km，小明回家所需时间th随平均速度vkmh的变化而变化，则t与vA．t=8v B．t=18v C．t=【答案】C【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解．【详解】解：依题意，t与v的函数表达式是t=8故选：C．【变式1】（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量yg与分解的水的质量xg满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（水的质量x4.59183645氢气的质量y0.51245A．y=9x B．y=9x C．y=1【答案】C【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得y是x的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键．【详解】解：∵xy∴y与x成正比例，即y是x的正比例函数，∴y=1故选：C．【变式2】（2025·广东广州·二模）受台风“摩羯”外围环流影响，珠江口某大型水库水位持续上升，防汛部门监测到近10小时内水位将保持上涨趋势．下表记录了台风影响初期3小时内5个时间点的水位数据，其中x表示时间（单位：小时），y表示水位高度（单位：米）请根据表中数据，写出y关于x的函数解析式，用于合理预估台风影响下的水位变化规律（不写自变量取值范围）．x（小时）00.512.53y（米）4.04.24.45.05.2【答案】y=0.4x+4.0【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据x每增加0.5，y就增加0.2列式求解即可．【详解】解：由表格可知，x每增加0.5，y就增加0.2，∴y=4.0+x−0故答案为：y=0.4x+4.0．►题型03

从函数图像中提取信息根据图像读取信息时，要把握以下三个方面：1）横、纵轴的意义，以及横、纵轴分别表示的量；2）关于图像上的某个点，可以过该点分别向横纵轴作垂线来求得该点的坐标；3）在实际问题中，要注意图像与横、纵轴的交点代表的具体含义.【典例3】（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量yW⋅h与骑行里程xkm之间的关系如图．当电池剩余能量小于100WA．电池能量最多可充400B．摩托车每行驶10km消耗能量C．一次性充满电后，摩托车最多行驶25D．摩托车充满电后，行驶18km【答案】C【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可．【详解】由图象可得，当x=0km时，y=500∴电池能量最多可充500W500÷25=20W⋅∴摩托车每行驶10km消耗能量200由图象可得，当x=25km时，y=0∴一次性充满电后，摩托车最多行驶25km500−100∴摩托车充满电后，行驶20km将自动报警，故D错误；故选：C．【变式1】（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（

）A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同【答案】B【分析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论．【详解】解：A.第5天的种群数量在300<y<400之间，选项说法错误，故不符合题意；B.前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意；C.第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意；D.由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意；故选：B．【变式2】（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x（单位：km）(0≤x≤n),PQ2为y（单位：km2）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m,81)，且经过E(1,225)和F(n,225)A．m=12 B．n=24C．点C的纵坐标为240 D．点(15,85)在该函数图象上【答案】D【分析】作PG⊥AB，当x=1时，动点Q运动到点H的位置，得到PH2=225，当点Q运动到点G的时候，PQ2最小为81，HG=m−1，勾股定理求出m的值，判断A；当x=n时，点Q运动到点B，根据三线合一，得到BG=HG，进而求出n的值，判断B；连接AP，勾股定理求出AP2的长，确定C【详解】解：如图，作PG⊥AB，当x=1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知PH2=225，当点Q运动到点G的时候，PQ2在Rt△PGH中，由勾股定理，得：225=81+解得：m=13，故选项A错误；∴AG=m=13，HG=m−1=12，当x=n时，点Q运动到点B，则PB∴PB=PH，∵PG⊥AB，∴BG=HG=12，∴AB=13+12=25，故选项B错误；∴当x=0，即点Q在A点时，∴AP∴点C的纵坐标为250；故选项C错误；当x=15时，点Q运动到点K，则：AK=15，∴GK=AK−AG=2，∴PK∴点(15,85)在该函数图象上，故选项D正确；故选D．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点Q的位置，是解题的关键．【变式3】（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速vkmh之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60D．若车速从25km/h增大到【答案】C【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数μ与车速vkm【详解】解：A、由图象可知，当v=0时，μ=0.9，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9，原说法正确，不符合题意；B、由图象可知，当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意；C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不高于60kmD、由图象可知，当v=25时，μ=0.75；当v=60时，μ=0.71，即车速从25km/h增大到60故选：C【变式4】（2025·新疆·中考真题）一辆快车从A地匀速驶向B地，一辆慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离skm与行驶时间th之间的函数关系如图所示，下列结论错误的是（A．两车出发2h后相遇B．A，B两地相距280kmC．快车比慢车早32D．快车的速度为80km/h，慢车的速度为60km/h【答案】C【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，根据t=0时，s=280，t=2时，s=0可判断A、B；根据函数图象可得快车出发72h到达目的地，慢车出发【详解】解：∵t=0时，s=280，∴A，B两地相距280km，故B结论正确，不符合题意；∵t=2时，s=0，∴两车出发2h后相遇，故A结论正确，不符合题意；由函数图象可得快车出发72h到达目的地，慢车出发∴快车比慢车早143280÷72=80∴快车的速度为80km/h，慢车的速度为60km/h，故D结论正确，不符合题意；故选：C．突破一平面直角坐标系中动点的坐标规律探究【典例1】（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为1,1，其右边瓷砖的位置记为2,1，其上面瓷砖的位置记为1,2，按照这样的规律，下列说法正确的是（）A．2024,2025位置是B种瓷砖 B．2025,2025位置是B种瓷砖C．2026,2026位置是A种瓷砖 D．2025,2026位置是B种瓷砖【答案】B【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键；根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可.【详解】解：A种瓷砖的位置：1,2，2,1，2,3，B种瓷砖的位置：1,1，2,2，2,4，由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）；∴2024,2025位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意；2025,2025位置是B种瓷砖，故B选项符合题意；2026,2026位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意；2025,2026位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意；故选：B.【变式1】（2025·安徽亳州·一模）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，并按此方法无限地作下去，……，若OA=1，∠OAA(1)填空：①点A3的坐标是_____；②点A6的坐标是______；③点A9(2)观察（1）中的结果，发现规律，求点A2025【答案】(1)①0,−2333；②−(2)0,【分析】本题考查了余弦函数，相似三角形的性质，点的坐标规律探索，找到各直角三角形斜边长度的规律是解题的关键．（1）由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似，则得每个三角形中以O为顶点的内角均为30°，利用三角函数得OA1=OAcos30°=（2）根据（1）中的规律，即可求点A2025【详解】（1）解：由题意知，12个以点O为公共顶点的直角三角形相似，∴每个三角形中以O为顶点的内角均为360°12在Rt△OAA1在Rt△OA1在Rt△OA2在Rt△OA3…，一般地：OA∴点A3的坐标是0,−2333；点A6的坐标是−233故答案为：①0,−2333；②−2（2）解：由（1）知，OA2025÷12=168⋯9，则点A2025与点A9一样落在y轴正半轴上，∴点A2025的坐标为0,【变式2】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5AA．−1012,0 B．1014,0 C．2,−507 D．1,506【答案】B【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，观察图形可以看出每4个为一组，由于2025÷4=506⋯1，A2025在x【详解】解：由图象可以发现，各个点的坐标在四条射线上，∵△A1A2A3，∴A54,0，A9∵2025÷4=506⋯1，∴点A2025在x轴正半轴，纵坐标是0，横坐标是2025+3∴A2025的坐标为1014,0故选：B．【变式3】（2025·河北邯郸·模拟预测）如图，已知A11,−3，A23,−【答案】31,−【分析】本题考查了点的坐标规律的变化问题，由函数图象可知点的纵坐标每7个点一个循环，横坐标每7个点增加10个单位长度，据此解答即可求解，由题意找出点坐标的变化规律是解题的关键．【详解】解：由函数图象可知，点的纵坐标每7个点一个循环，横坐标每7个点增加10个单位长度，∵22÷7=3⋯1，∴点A22的纵坐标为−3，横坐标为∴点A22的坐标为31,−故答案为：31,−3【变式4】（2025·宁夏银川·三模）如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，P1，P2，P3，……均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：P10,0，P20,1，P31,1，【答案】−506,−506【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得点P4n在第四象限的角平分线上，点P4n+1在第三象限的角平分线上，点P4n+2在直线y=−x+1x<0的图象上，点【详解】解：∵P10,0，P20,1，P31,1，P41,−1，P5−1,−1，P6−1,2，由此发现：点P4n在第四象限的角平分线上，点P4n+1在第三象限的角平分线上，点P4n+2在直线y=−x+1∵2025÷4=506⋅⋅⋅1，∴点P2025∴点P2025故答案为：−506,−506．突破二函数图像的分析与判断（在实际问题中分析、判断函数图像）【典例2】（2025·江苏常州·中考真题）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以54v1米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为1500米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出v1=65v2，可得现在小华开始的速度为32v2（米/分钟）,设小华t【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为1800−300=1500（米），∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v∴1800v∴v1∴现在小华开始的速度为54设小华t分钟后与小丽相遇，由题意得32得v2则相遇时小华到图书馆的距离为1800−3剩余路程为1800−900=900（米），再结合小华开始的速度为32v2则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，可知只有选项A符合题意，故选：A．【变式1】（2024·湖北武汉·中考真题）如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了函数图象；根据题意，分3段分析，即可求解．【详解】解：下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢，所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓．故选：D．【变式2】（2025·河南·模拟预测）小强家距学校2000m，某天小强以80m/min的速度去学校，出发9min后，小强爸爸发现小强忘记带数学课本，于是，爸爸立即以320m/min的速度跑步去追小强，追上后，两人停留了1min，为了按时到校，小强以104m/min的速度慢跑前进，爸爸以原速返回，下列选项中，能正确反映小强和爸爸距离家的路程y1A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了函数图象，分析每个过程路程、速度与时间的关系，即可确定函数的大致图象．【详解】解：设爸爸出发amin则320a=80(a+9)，解得a=3，∴9+3=12min即爸爸在小强离开家12min此时，离家的路程为3×320=960m停留1min∴12+1+3=16min即爸爸在小强离开家16min停留后，小强以104m/min则小强共用时12+1+2000−960∴D选项正确．故选：D．【变式3】（2025·吉林长春·二模）如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度h（厘米）与注水时间t（分）的函数关系的图象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题考查了函数的图象．根据将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，即可求出圆柱形水杯内水面的高度h(cm)与注水时间【详解】解：将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，直到水槽注满为止．圆柱形水杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，沿水槽内壁向水橧内匀速注水，水开始时不会流入圆柱形水杯，因而这段时间h不变，当水槽内的水面与圆柱形水杯水平时，开始向圆柱形水杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满圆柱形水杯后，圆柱形水杯内水面的高度h不再变化，故C正确，B错误．故选：C．【变式4】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图是两个高度相同的圆柱连通器型空水箱（连通处体积忽略不计），其中甲水箱的底面积大于乙水箱的底面积．若向甲水箱持续匀速缓慢的注水，当两个水箱注满水时，停止注水．下列图象能大致反映甲水箱的水面高度h与注水时间t的函数关系的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是根据题意，结合图象来解答．根据两个圆柱形容器的中间连通，得到在一段时间内，甲容器的水面高度会保持不变，结合图象即可进行判断．【详解】解：∵两个圆柱形容器的中间连通，∴甲容器的水面高度会有保持不变的情况；∴前面第一段的图象上升较快，中间一段图象的水面高度不变，后一段的图象上升较慢，故选：A．突破三函数图像的分析与判断（分析几何问题判断函数图像）【典例3】（2025·山东东营·中考真题）如图，在同一平面内放置的Rt△EFG和矩形ABCD，EG与AB重合，FG=3cm，AB=4cm，BC=5cm，Rt△EFG以1cms的速度沿BC方向匀速运动，当点F与点C重合时停止．在运动过程中，Rt△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积S（cmA．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意得△FBS∽△FGE和AB=GE=4cm，则FBFG=BSGE，分三种情况求解，当0≤t≤3时，结合题意求得BF=3−t和BS=433−t，利用面积公式S=12FG×EG−12【详解】解：如图，由题意知，AB∥EG，AB=GE=4cm则△FBS∽△FGE，∴FBFG①当0≤t≤3时，∵Rt△EFG以1cms∴BF=3−t，∵FG=3cm，AB=4cm，∴3−t3即BS=4S===6−2②当3<t≤5时，S===6；③当5<t≤8时，如图，则FC=8−t，同理，CS=4S===2故选：B．【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定和性质以及二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和动态思想的应用．【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点E从点A出发沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止，过点E作AD的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为x(x>0)．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（

）A．B． C．D．【答案】A【分析】分三种情况：点E在AB上时，点E在BC上且l与AD相交时，点E在BC上且l与CD相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解．【详解】解：当点E在AB上时，如图，∵∠A=60°，l⊥AD，∴∠AEF=30°，∴AF=12AE=∴y=1∴此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项；当点E在BC上且l与AD相交时，作BH⊥AD，如图，∵∠A=60°，BH⊥AD，∴∠ABH=30°，∴AH=12AB=2∴y=S∴此时图象为直线一部分；当点E在BC上且l与CD相交时，如图，∵∠C=∠A=60°，l⊥BC，CE=AB+BC−x=8−x，∴EF=CE⋅tan∴S△CEF∴y=S∴此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项；故选A．【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键．【变式2】（2025·天津和平·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，△OAB是直角三角形，A4,0，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点B在y轴正半轴，等边△OCD的顶点D−4,0，点C在第二象限，将△OCD沿x轴向右平移，得到△O'C'D'，点O，C，D的对应点分别为O'，C'，D'．设OO'=x，△OA．B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了平移变换的性质，等边三角形的性质，解直角三角形的应用，二次函数的性质，三角形面积等，熟练掌握次函数的性质，三角形的面积的知识点是解题的关键．根据已知条件求出△OCD和△OAB的相关边长和角度等信息．然后，分不同阶段分析△O'C'D'沿x轴平移过程中与【详解】解：①当0<x≤2时，△O'C'D由平移得：∠C'∴OM=OO∴S=S图象为开口向上的抛物线，A选项不符合题意；②当2<x≤4时，△O'C'D由平移得：O'D'=OD=4，∠∵∠ABO=30°，∴∠BAO=60°=∠C∴O在Rt△D'∴S=S图象为开口向下的抛物线；C选项不符合题意；③当4<x≤8时，△O'C'D则AD'=8−x，且∴△AD'N是等边三角形，作NQ⊥OA∴AQ=D∴NQ=AQ⋅tanS=S图象为开口向上的抛物线，B选项符合题意；故选：B．【变式3】（2025·安徽芜湖·二模）如图，O为正方形ABCD的中心，E,F分别为BC,CD的中点，AB=4，点P从点A出发沿A→B→E方向匀速运动，同时点Q从点D出发沿D→F→O→E方向匀速运动，两点运动速度相等，当点P运动到点E时，两点同时停止运动．设点P运动的路程为x,△APQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．当0<x≤2时，点P在AB上，点Q在DF上，求得y=2x，故图象是正比例函数，当2<x≤4时，点P在AB上，点Q在FO上，求得y=−12x2+3x，图象是开口向下的抛物线，当4<x≤6时，点P在OE上，点Q【详解】解：∵两点运动速度相等，∴两点的运动路程相等，当0<x≤2时，点P在AB上，点Q在DF上，如图，

∵AP=DQ=x，PQ=AD=AB=4，∴y=1当2<x≤4时，点P在AB上，点Q在FO上，如图，

此时DF+QF=x，∵F为DC中点，∴DF=2，∴QF=x−2，∴点Q到AB的距离为4−(x−2)=6−x，∴y=1图象是开口向下的抛物线，当4<x≤6时，点P在OE上，点Q在BE上，如图，

此时DF+FO+OQ=x，∴QE=6−x，∵AB+BP=x，∴PE=6−x，BP=x−4，∴y===−1据此判断A正确，故选：A．【变式4】（2025·河南郑州·一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查动点问题函数图象，解题关键是利用相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分情况讨论．①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的性质列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．【详解】①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3<x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴ABDE即3y∴y=12只有B选项图形符合，故选：B．突破四函数图像的分析与判断（由函数图像解决几何问题）【典例4】（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形EFGH，点D为FG的中点，等腰△ABC满足顶点A，B在同一水平线上且CA=CB，点B与HE的中点重合．等腰△ABC以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动