第04讲 二次根式（专项训练）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第一章数与式第04讲二次根式目录01·趋势领航练02·考点通关练03·真题诊断练基础通关题型01二次根式有意义的条件（★）题型02利用二次根式有意义的条件求参数（★★）题型03利用二次根式的性质化简（★）题型04最简二次根式/同类二次根式的识别（★）题型05二次根式的乘除运算（★）题型06二次根式的加减运算（★）题型07二次根式的化简求值问题（★★）题型08分母有理化（★★）能力通关1．（2025·广东广州·一模）描点法是探究函数图象变化规律的重要方法．请用该方法探究函数y=2−x的图象变化规律．x……y……(1)求函数自变量x的取值范围；(2)请按照描点法的步骤（列表、描点、连线），在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；(3)已知点Am,n是函数图象上的点，若n>32考查知识点：函数自变量取值范围（二次根式有意义条件）、描点法画函数图象、函数增减性、函数图象与不等式。能力要求：确定函数定义域的能力、描点作图的实操能力、通过图象分析函数性质并解不等式的逻辑能力。考法特点：以新函数探究为载体，串联“定义域-作图-性质应用”，考查函数概念与图象法的综合运用。2．（2025山西模拟预测）【阅读下列材料】：若a>0，b>0，则a=a2，b=b2，∴a−b2=a+b−2ab．（注：a⋅b=ab）∵a−【例】：若a>0，b>0，ab=16，求a+b的最小值．解：∵a>0，b>0，ab=16∴a+b−2ab∴a+b≥2ab∴a=b=4时，a+b的最小值为8【解决问题】(1)用篱笆围成一个面积为100m(2)如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOD、△BOC的面积分别为2和3，求四边形ABCD面积的最小值．考查知识点：基本不等式、长方形周长与面积的实际建模、四边形面积的比例推导、完全平方公式。能力要求：基本不等式的应用能力、实际问题的数学建模能力、代数变形与最值求解的结合能力。考法特点：以“阅读材料+实际场景”为形式，先铺垫基本不等式推导，再设几何面积问题，考查知识迁移与实际应用。3．（2025·海南儋州·模拟预测）综合与实践代数推理指设定一定的条件下，依据代数的定义、公式、运算法则、等式与不等式的性质等证明已知结论．【感知问题】小明计算的时候，发现对于任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积q=较小数的平方+较小数的2倍．【举例验证】为验证猜想的正确与否，小明又例举了几组数据：当m=1,n=3时，q=mn=1当m=3,n=5时，q=mn=3当m=5,n=7时，q=mn=5……【推理证明】小明做了如下证明：设两个连续的正奇数分别为m=2k−1（k>0，k为整数）和n=2k+1，则m<n,q=mn=(2k−1)(2k+1)=(2k−1)(2k−1+2)=(2k−1)2+2(2k−1)=m2+2m,m<n，两个连续的正奇数(1)【类比猜想】小红提出：任意两个连续的正奇数m和n，它们的乘积q=较大数的平方−较大数的2倍．请举例验证并推理证明．(2)【深入思考】若p=q+2n+q−2m（m，n为连续的正奇数，q考查知识点：连续正奇数的代数式表示、多项式乘法（平方差公式）、因式分解、二次根式化简。能力要求：代数推理与猜想验证的能力、整式运算与根式化简的运算能力、分析代数式整除性的数论思维能力。考法特点：以“类比猜想+推理证明”为脉络，从范例迁移到新问题，考查代数逻辑与知识迁移。4．（2025·银川·一模）阅读下列材料，并完成相应的任务数形结合解决二次根式求和问题求两个二次根式的和，通常将二次根式化为最简二次根式，然后观察是否能合并同类二次根式，若能则合并，若不能则直接写出结果．但有一些二次根式并不能化为最简二次根式，如何进行求和运算？下面我们讨论一种新的方法——数形结合法【例题】求x2【分析】x2+9=x2+32，将x和3分别作为7−x2+16=7−x2+42，将7−x和4分别作为将Rt△ABC与Rt△DEF如图3所示放置，使点B与点F重合，BC与EF在一条直线上，则AB+DF的最小值为线段任务：(1)直接写出材料中的依据为：_________；(2)写出求解AD长的解题过程；(3)按照材料中例题的方法，直接写出x2考查知识点：两点之间线段最短、勾股定理、矩形性质、二次根式的几何意义。能力要求：代数问题几何化的数形结合能力、用勾股定理与矩形性质计算线段的能力、迁移方法解同类题的能力。考法特点：以“阅读材料+任务递进”为结构，通过例题讲数形结合法，再设同类最值题，考查新方法的理解与应用。5．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是5−1实验操作：第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线DF，并把DF折到图3中FN处；第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出NP，得到矩形CDPN．问题解决：（1）求证：矩形CDPN是黄金矩形；（2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形CDPN”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）；拓展延伸：淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明．考查知识点：黄金矩形的定义、折叠的线段相等性质、勾股定理、尺规作图、矩形的判定与性质。能力要求：利用折叠与勾股定理计算验证黄金矩形的能力、尺规作图的实操能力。考法特点：以“折纸+尺规作图”为情境，从验证黄金矩形到拓展作图，考查几何性质与作图技能的结合。题型01二次根式有意义的条件（★）1．（2025·北京·中考真题）若3x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．2．（2025·黑龙江·一模）若式子12−x在实数范围内有意义，则x的值可以是3．（2025·四川资阳·二模）函数y=x−2+1x−3+A．x≥2 B．x≥2且x≠−1 C．x≥2且x≠3 D．x≥2且x≠3，−14．（2025·广东·模拟预测）如果a−1+b+2=0，那么a+b题型02利用二次根式有意义的条件求参数（★★）1．（2025·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，点Am2+1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2025威远县模拟预测）已知实数a满足a−2014+a−2015=a，则a−题型03利用二次根式的性质化简（★）1．（2025·全国·一模）若3a+22=3a+2，则实数a的取值范围是2．（2025·浙江·模拟预测）若1<a<3，则a−3+1−2a+aA．2a−4 B．4−2a C．2 D．a−43．（2025·河南安阳·模拟预测）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则化简a2−题型04最简二次根式/同类二次根式的识别（★）1．（2025·云南丽江·模拟预测）下列二次根式：5,12A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2025·陕西西安·模拟预测）已知6、9、12、15，与3是同类二次根式的是．3．（2025安顺市一模）已知最简二次根式2a−5与二次根式12能够合并，则a的值为（

）．A．5 B．3 C．4 D．7题型05二次根式的乘除运算（★）1．（2025·广东深圳·模拟预测）下列各式的计算中，正确的是（

）A．−52=−5C．2×122．（2025·吉林·三模）计算：12×3．（2025山西模拟）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（

）填空（每小题4分，共20分）①2的倒数是−2；②−3的绝对值是3；③④8×72÷2A．4分 B．8分 C．12分 D．16分题型06二次根式的加减运算（★）1．（2025·河北·一模）若a+8=18A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上2．（2025·全国·一模）下列运算结果与18−8相等的是（A．2 B．10 C．5×2 3．（2025·广东深圳·模拟预测）计算：6+4．（2025·湖南长沙·一模）计算：−1题型07二次根式的化简求值问题（★★）1．（2025·北京顺义·一模）已知a+b=2，求代数式a−12．（2025·黑龙江大庆·三模）先化简，再求值：a2a+1−a+13．（2025福田区二模）已知：x=23−1(1)1x(2)x24．（2025锡林郭勒三县一模）（1）已知a=2−3，化简求值（2）先化简，再求值：y2−x2题型08分母有理化（★★）1．（2025·甘肃定西·一模）观察下列计算：121212……从以上计算过程中找出规律，并利用这一规律进行计算：12+12．（2025·天津西青·二模）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①25=255⋅3．（2025深圳市一模）在解决问题“已知a=−11+2解：∵a=−1∴a−1请你根据聪聪的分析过程，解决如下问题：(1)化简23(2)若a=12−11．（2025·四川达州·二模）计算：cos0°sin30°2．（2025年浙江省强基计划数学优质模拟卷（一））已知16−x2+9−x3．（2025年湖北省武汉市第三中学九年级数学中考模拟训练试卷）平面直角坐标系内，若点Aa,2a和点B3b,b+1关于直线y=x对称，则a24．（2025·全国·一模）实数m，n满足m−2+n−4=0，则以m，n5．（2025·山东济宁·三模）将一组数2，2，6，22，10，23，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是第一行

2第二行

2

6第三行

22

10

……6．（2025·浙江·模拟预测）已知等腰三角形的底边长为12，一个内角的正切值为43，此三角形的面积为1．（2025·河北·中考真题）计算：(10+6)(10−A．2 B．4 C．6 D．82．（2025·广东广州·中考真题）下列运算正