阶段检测验收卷 方程（组）与不等式（组）（综合训练）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10阶段检测验收卷第二章方程（组）与不等式（组）（考试时间：100分钟试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．（本题3分）如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（

）A．30克 B．25克 C．20克 D．59克【答案】A【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案．【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克，∴3x+2y=80，3y+2x=70，∴5x+5y=150，∴x+y=30．故选：A．2．（本题3分）设a>b，则下列不等关系正确的是（

）A．a+3<b+3 B．−2a>−2b C．a3>b【答案】C【分析】本题考查不等式的基本性质，掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐一验证选项即可．【详解】解：由a>b，∴a+3>b+3，故选项A错误；−2a<−2b，故选项B错误；a3a−3>b−3，故选项D错误，故选：C．3．（本题3分）已知：不等式1+x2<2x−13的最小整数解是方程A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及一元一次方程的解，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．求出不等式的解集，确定出最小整数解，代入方程计算即可求出a的值．【详解】解：不等式去分母得：31+x去括号得：3+3x<4x−2，移项合并得：−x<−5，解得：x>5，∴不等式最小整数解为6，把x=6代入方程得：36−a−1=8，即整理得：6−a=3，解得：a=3．故选：D．4．（本题3分）已知关于x,y的二元一次方程组3x−y=4m+1x+y=2m−5的解满足x−y=4，则m的值为（

A．−1 B．7 C．1 D．2【答案】C【分析】本题考查解二元一次方程组、二元一次方程组的解，理解方程组的解是解答的关键．通过将方程组的两个方程相减，得到x−y与m的关系式，再代入已知条件x−y=4求解m的值．【详解】解：方程组3x−y=4m+1①①−②∴2x−2y=2m+6∴x−y=m+3又∵x−y=4∴m+3=4∴m=1．故选：C．5．（本题3分）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．以方程x2+4x−21=0，即xx+4=21为例，构造如图所示图形，从图形中可得两种不同面积的计算方法，可知x+x+42=4xx+4+4A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的特殊解法，熟练掌握一元二次方程的几何解法是解题关键．根据方程可得xx−3【详解】解：x2x2−3x=18，即所以在构图中，长方形的长与宽相差3，面积为18，观察四个选项可知，只有选项D符合中间小正方形边长为3，且可划分出四个面积为18的长方形．故选：D．6．（本题3分）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”若设牧童有x人，根据题意，可列方程为（）．A．6x+2=8x+14 B．6x+14=8x−2 C．6x+14=8x+2 D．6x−14=8x+2【答案】B【分析】本题考查了列一元一次方程，根据竹竿总数不变，每人6竿多14竿时竹竿总数为6x+14，每人8竿少2竿时竹竿总数为8x−2，两者相等列方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．【详解】解：设牧童有x人，∵每人6竿多14竿，∴竹竿总数为6x+14；∵每人8竿少2竿，∴竹竿总数为8x−2，∴6x+14=8x−2，故选：B．7．（本题3分）已知关于x的分式方程x+kx−4−2k4−x=3A．k<−4 B．k>−4 C．k<−4且k≠−43 D．k>−4【答案】A【分析】本题考查了分式方程，首先将分式方程转化为整式方程，求出解关于k的表达式，再结合解为负数及分母不为零的条件确定k的范围．【详解】解：x+kx−4得x+3kx−4得x+3k=3x−12，解得：x=3k+12根据题意，解x=3k+12即3k+12<0，解得：k<−4，∵分母x−4≠0，即x≠4，即3k+122解得：k≠−4∴k<−4，故选：A．8．（本题3分）若关于x的一元二次方程a−1x2+2x+1=0有实数根，则实数aA．a≤2 B．a<2 C．a≤2且a≠1 D．a<2且a≠1【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c【详解】解：∵关于x的一元二次方程a−1x∴二次项系数a−1≠0，即a≠1．Δ=22−4⋅a−1解得a≤2．∴a≤2且a≠1故选：C．9．（本题3分）已知两个代数式4a+5与2a−1的值的符号相同，则a的取值范围是（）A．a>−54或a<12 B．a<−54或a>【答案】B【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握以上运算法则．根据两个代数式符号相同得①4a+5>02a−1>0或【详解】解：根据题意，得：①4a+5>02a−1>0或解不等式组①，得：a>1解不等式组②，得：a<−5∴a<−54或故选：B．10．（本题3分）小华家、小丽家与图书馆位于一条笔直的街道上，小丽家位于小华家和图书馆之间，小华家到小丽家、图书馆的距离分别为300米、1800米．若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达．现两人各自从自己家同时出发，小丽仍然以v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，小华先以54v1米/分钟的速度追赶小丽，与小丽相遇后，再以v2A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查函数图象，行程问题，分式方程，熟练根据题意找到等量关系是解题的关键．由题意得小丽家到图书馆的距离为1500米，若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v2米/分钟的速度匀速前往图书馆，则两人恰好同时到达，得出v1=65v2，可得现在小华开始的速度为32v2（米/分钟）,设小华t【详解】解：由题意得小丽家到图书馆的距离为1800−300=1500（米），∵若小华、小丽各自从自己家同时出发，分别以v1米/分钟、v∴1800v∴v1∴现在小华开始的速度为54设小华t分钟后与小丽相遇，由题意得32得v2则相遇时小华到图书馆的距离为1800−3剩余路程为1800−900=900（米），再结合小华开始的速度为32v2则开始的900米所用时间小于后面的900米所用时间，可知只有选项A符合题意，故选：D．二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（本题3分）爱好阅读的小胡购买了一本有关数学之美的课外书．下面是他的三个同学猜测该书价格的对话：小胡在听到他们的对话后说：“你们三个都猜错了．”则这本书的价格x（元）所在的范围是．【答案】50<x<60【分析】本题考查不等式组的应用，根据对话列不等式组，求出解集即可．【详解】解：根据对话可得x>45x>50解得50<x<60，故答案为：50<x<60．12．（本题3分）不等式组x−3>−1−x<−m+1的解集是x>2，则m的取值范围是【答案】m≤3【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键．先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可．【详解】解：x−3>−1解不等式x−3>−1得：x>2，解不等式−x<−m+1得：x>m−1，∵不等式组的解集是x>2，∴m−1≤2，∴m≤3．故答案为：m≤313．（本题3分）若关于x的方程3x+2−2x−2=【答案】6或−4【分析】本题考查了解分式方程．将分式方程两边乘以最简公分母x+2x−2，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m【详解】解：方程两边同乘最简公分母x+2x−2，得3整理得x−10=mx，即m=x−10∵增根是使公分母为零的x值，∴x+2x−2解得：x1当x=−2时，m=x−10当x=2时，m=x−10则m的值为6或−4．故答案为：6或−4．14．（本题3分）设x，y是一个直角三角形两条直角边的长，且x2+y【答案】2【分析】本题考查换元法，解一元二次方程，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设t=x2+【详解】解：设t=x则原方程化为tt−1即t2t−8t+7解得t=8或t=−7，由于x2+y∴x2在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和，故斜边长为8=2故答案为2215．（本题3分）两个非零实数m、n满足m2+3n=5，n2+【答案】−【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到m+n=3，m2+n2【详解】解：由题意可知，m2+3将两式相减得m===m−n∵m≠n，∴m−n≠0，∴m+n−3∴m+n=3将两式相加得m2∴m∴m∴m+n∴3解得：mn=−2，∴m故答案为：−7三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本题7分）（1）解不等式组2x−7<3x−11（2）解分式方程x−22x−1【答案】（1）−4<x≤3，数轴表示见解析；（2）x=0【分析】本题考查了一元一次不等式组和分式方程的解法，熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的方法是解题的关键；（1）先求得不等式组中每个不等式的解集，再取其解集的公共部分即得不等式组的解集，进而在数轴上表示解集即可；（2）分式方程去分母化为整式方程，求得整式方程的解后再检验即得答案．【详解】解：（1）2x−7<3x−1解不等式①，得x>−4，解不等式②，得x≤3，所以不等式组的解集是−4<x≤3，不等式组的解集在数轴上表示为：（2）x−2去分母，得x−2−2x−1解得：x=0，经检验：x=0是原方程的解，所以原方程的解是x=0．17．（本题8分）数学小组同学进行如下操作：把一根长为16cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．设其中较短的一段铁丝长为x(1)如果围成的两个正方形的面积之和等于10 cm2(2)组长小红对组员说：“无论怎么剪，这两个正方形的面积之和不可能为7 【答案】(1)4(2)小红的说法正确，理由见解析【分析】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答本题时找到等量关系建立方程和运用根的判别式是关键．（1）设其中较短一段长为x cm，则另一段长为16−xcm，就可以表示出这两个正方形的面积，根据两个正方形的面积之和等于（2）根据题意x4【详解】（1）解：其中较短一段长为x cm，则另一段长为16−x依题意得x4解得x1因为x是较短的一段，所以x≤16−x，即x≤8，故x=12不合题意，舍去，答：x的值为4 cm时，围成的两个正方形面积之和为10（2）解：小红的说法正确x4整理得，x2∵Δ∴两个正方形的面积之和不可能等于7 答：小红的说法正确．18．（本题8分）幻方起源于中国，月历常用于生活，它们有很多奥秘，探究并完成填空．主题探究月历与幻方的奥秘活动一图1是某月的月历，用方框选取了其中的9个数．（1）移动方框，若方框中的部分数如图2所示，则a是______，b是______；（2）移动方框，若方框中的部分数如图3所示，则c是______，d是______；（注：用含n的代数式表示c和d．）活动二移动方框选取月历中的9个数，调整它们的位置，使其满足“三阶幻方”分布规律：每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等．（3）若方框选取的数如图4所示，调整后，部分数的位置如图5所示，则e是______，f是______；（4）若方框选取的数中最小的数是n，调整后，部分数的位置如图6所示，则g是______（用含n的代数式表示g）．【答案】（1）5,11（2）n+1,n+7（3）11，3（4）n+8【分析】本题考查列代数式，解一元一次方程，找准等量关系，正确的列出代数式和方程，是解题的关键：（1）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可；（2）观察日历表中方框中的数字之间的数量关系，列出算式求解即可；（3）根据幻方的特点，列出算式，进行求解即可；（4）先根据n是最小数，表示出其它的数，根据幻方的特点，列出方程，进行求解即可．【详解】解：（1）由图可知：a=4+1=5,b=4+7=11；故答案为：5,11；（2）由图可知：c=n+1,d=n+7；故答案为：n+1,n+7；（3）由题意，得：e=2+10+18−17−2=11，f=2+10+18−10−17=3；故答案为：11，3；（4）∵最小的数为n，则剩余的数为：n+1,n+2,n+7,n+8,n+9,n+14,n+15,n+16，∴3n+g+n+16解得：g=n+8；故答案为：n+8．19．（本题9分）设x1，x2是关于x的方程(1)当x1=−1时，求x2(2)求证：(x【答案】(1)x2=4，(2)详见解析．【分析】本题主要考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，方程的解，正确理解一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0（1）把x1=−1代入方程求出（2）利用根的判别式，根与系数的关系求解即可．【详解】（1）解：把x1=−1代入方程x−1x−2∴m=±6∴x−1x−2=6，即解方程得，x1=−1，故x2=4，（2）证明：方程x−1x−2=m∵Δ=4∴原方程有两个不相同实数根，由根与系数的关系得x1+x∵x1∵−m∴x120．（本题10分）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的23请根据以上材料，完成下列任务：任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？任务二：有哪几种购买方案？任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？【答案】任务一：A种型号的新型垃圾桶的单价为60元，B种型号的新型垃圾桶的单价为100元；任务二：有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶118个，购买B种型号的新型垃圾桶82个；②购买A种型号的新型垃圾桶119个，购买B种型号的新型垃圾桶81个；③购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个；任务三：购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15200元．【分析】任务一：设A种型号的新型垃圾桶的单价为x元，B种型号的新型垃圾桶的单价为x元，根据题意列出方程组即可求解；任务二：设购买A种型号的新型垃圾桶a个，则购买B种型号的新型垃圾桶200−a个，根据题意列出不等式组，解不等式组求出a的取值范围即可求解；任务三：由A种型号的新型垃圾桶价格更低，可知购买A种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，据此解答即可求解；本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数混合运算的实际应用，理解题意是解题的关键．【详解】解：任务一：设A种型号的新型垃圾桶的单价为x元，B种型号的新型垃圾桶的单价为x元，由题意得，3x+2y=3805x+4y=700解得x=60y=100答：A种型号的新型垃圾桶的单价为60元，B种型号的新型垃圾桶的单价为100元；任务二：设购买A种型号的新型垃圾桶a个，则购买B种型号的新型垃圾桶200−a个，由题意得，60a+100200−a解得117.5≤a≤120，∵a为整数，∴a=118或119或120，∴有三种购买方案：①购买A种型号的新型垃圾桶118个，购买B种型号的新型垃圾桶82个；②购买A种型号的新型垃圾桶119个，购买B种型号的新型垃圾桶81个；③购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个；任务三：∵A种型号的新型垃圾桶价格更低，∴购买A种型号的新型垃圾桶越多，购买费用越低，即购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱，∴最低购买费用为60×120+100×80=15200元，答：购买A种型号的新型垃圾桶120个，购买B种型号的新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15200元．21．（本题10分）编题训练，其中小明同学编的练习题是：设k=3，方程x2−3x+k=0的两个实数根是x1、x小明同学对这道题的解答过程是：解：∵k=3，∴已知方程是x2又∵x1+x∴x2∴x2(1)请你针对以上练习题的解答的正误做出判断，并简述理由．(2)请你对小明同学所编的练习题中的k另取一个适当的正整数，其他条件不变，求x2【答案】(1)错误，理由见解析(2)当k=1时，原式=7或当k=2时，原式=【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握以上知识是解题的关键．（1）根据使用根与系数的关系的前提条件为Δ≥0，而当k=3时，Δ（2）根据题意，分别计算k=1，k=2时，根据根与系数的关系进行计算即可求解．【详解】（1）解：以上练习题的解答是错误的，k=3时，Δ<0故方程x2（2）解：∵方程x2−3x+k=0的两个实数根是x1∴Δ=∴k≤9故k可取1或2，当k=1时，方程为x2−3x+1=0，则x1原式=x2当k=2时，方程为x2−3x+2=0，则x1原式=x2故当k=1时，原式=7，或当k=2时，原式=522．（本题11分）对于m，只有一个实数值x满足xx−1+x−1【答案】78【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键．先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可．【详解】∵原方程是分式方程，∴x≠0且x≠1，两边同时乘以xx−1得：x∴2x∵方程2x若原分式方程有解，∴Δ=b解得：m=7∴2x解得：x1若原分式方程有增根，则