重难点01 三角形热考模型（复习讲义）（解析版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10第四章三角形重难点01三角形热考模型目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 77固·重难考点拓·创新能力一、三角形双角平分线模型核心特征：三角形中两个内角（或内角与外角）的角平分线相交，形成特定角度关系。考法：1）求角平分线夹角的度数（如△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，求∠BOC与∠A的关系：）；2）结合三角形内角和，推导角的数量关系。二、三角形面积比问题核心特征：通过三角形的底、高关系，分析不同三角形的面积比例。考法：1）同高三角形：面积比=底边长的比（如△ABC中，D是BC中点，则）；同底三角形：面积比=高的比；2)不规则三角形：用“割补法”拆分后，结合底/高比求面积比。三、双腰上的高求定值核心特征：等腰三角形中，两腰上的高存在固定数量关系（与腰长相关）。考法：1)已知等腰△ABC（AB=AC），腰AB、AC上的高分别为h1、h2，证明AB·h1=AC·h2（面积定值推导）；2)结合三角形面积公式，求高的长度或腰长。四、等边三角形类弦图模型核心特征：以等边三角形的边为基础，构造类似“弦图”的对称图形（多为等边三角形的拼接/拆分）。考法：1)求拼接后图形的边长、周长；2)分析图形的面积关系（如4个等边三角形拼成大等边三角形，面积比为1:4）。五、A字模型（不含相似）核心特征：三角形内一条线段平行于底边，将三角形分割为“小三角形+梯形”（仅从图形结构定义，不涉及相似）。考法：1)求分割后图形的周长、边长关系；2)结合三角形面积公式，求小三角形与梯形的面积。六、8字模型（不含相似）核心特征：两条线段相交，形成“8”字形的对顶三角形（仅从图形结构定义，不涉及相似）。考法：1)利用对顶角相等、三角形内角和，推导角的关系；2)求对顶三角形的周长、边长之和。七、飞镖模型核心特征：由三角形的一个顶点向外延伸线段，形成“飞镖”状的不规则图形（由多个三角形拼接而成）。考法：1)利用三角形内角和，推导飞镖图形的内角关系（如飞镖形ABCD中，∠BDC=∠A+∠B+∠C）；2)求飞镖图形的周长、面积。八、老鹰抓小鸡模型核心特征：三角形一边延长，形成“老鹰抓小鸡”状的外角结构（由原三角形与外角三角形组成）。考法：1)利用三角形外角性质，推导角的关系（如外角=不相邻两内角之和）；2)求延长线相关的线段长度、角度。九、三角形翻折模型核心特征：三角形沿某条线段翻折，翻折前后线段、角对应相等（仅从翻折变换定义，不涉及全等）。考法：1)求翻折后线段的长度、角的度数；2)求翻折后重叠部分的周长、面积。题型01A字模型1．（2023·广东广州·一模）在“玩转数学”活动中，小林剪掉等边三角形纸片的一角，如图所示，发现得到的∠1与∠2的和总是一个定值．则∠1+∠2=度．【答案】240【分析】由等边三角形的性质可得∠A=60°，再根据三角形外角的性质和内角和定理即可求解．【详解】解：如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°，∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，∴∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∵∠AED+∠A+∠ADE=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°=60°+180°=240°，故答案为：240．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．2．（2020·四川广安·中考真题）如图，在五边形ABCDE中，若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN，则∠l+∠2的度数为（）A．210° B．110° C．150° D．100°【答案】A【分析】根据三角形的内角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根据平角的定义可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，从而求出结论．【详解】解：∵∠A=30°，∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°故选A．【点睛】此题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和定理是解题关键．3．（2025·宁夏固原·三模）如图，直线l与正五边形ABCDE的边BC，DE分别相交于点M、N，则∠1+∠2的度数为°．【答案】216【分析】本题主要考查了正五边形的内角、多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．首先根据正多边形内角和公式确定∠C=∠D=108°，进而可得∠CMN+∠DNM的值，再根据邻补角求出∠1+∠2=360°−∠CMN+∠DNM【详解】解：∵五边形ABCDE为正五边形，∴∠C=∠D=180°×∴∠CMN+∠DNM=360°−∠C−∠D=144°，∵∠1+∠CMN=180°，∠2+∠DNM=180°，∴∠1+∠2=180°−∠CMN+180°−∠DNM=360°−∠CMN+∠DNM故答案为：216．4．（2021九年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．【详解】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°−65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°−115°=245°，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．5．（2021九年级·全国·专题练习）如图所示，∠DAE的两边上各有一点B,C，连接BC，求证∠DBC+∠ECB=180°+∠A．【答案】见解析【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和证明即可．【详解】解：∵∠DBC和∠ECB是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB,∠ECB=∠A+∠ABC．又∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠DBC+∠ECB=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A．【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．题型028字模型1．（2020·辽宁葫芦岛·三模）如图，多边形ABCDEFG中，∠E=∠F=∠G=108°,∠C=∠D=72°，则∠A+∠B的值为（

）A．108° B．72° C．54° D．36°【答案】B【分析】连接CD，设AD与BC交于点O，根据多边形的内角和公式即可求出∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD，根据各角的关系即可求出∠ODC＋∠OCD，然后根据对顶角的相等和三角形的内角和定义即可求出结论．【详解】解：连接CD，设AD与BC交于点O∵∠E＋∠F＋∠G＋∠EDC＋∠GCD=180°×（5－2）=540°，∠E=∠F=∠G=108°，∠GCB=∠EDA=72°，∴108°＋108°＋108°＋72°＋∠ODC＋72°＋∠OCD=540°∴∠ODC＋∠OCD=72°∵∠AOB=∠COD∴∠A＋∠B=180°－∠AOB=180°－∠COD=∠ODC＋∠OCD=72°故选B．【点睛】此题考查的是多边形的内角和公式和对顶角的性质，掌握多边形的内角和公式和对顶角相等是解决此题的关键．2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则∠A+∠D=∠B+∠C，如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，若∠B=30°，∠D=40°，则∠P的度数是．

【答案】35°/35度【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键；由“8字形”结论可知∠DAO+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠OCP+∠P，结合∠D=40°，∠B=30°得到∠OCB−∠DAO=10°，再由角平分线得到∠DAM=12∠DAO，∠OCP=【详解】解：由“8字形”结论得到∠DAO+∠D=∠OCB+∠B，∠DAM+∠D=∠OCP+∠P，∵∠D=40°，∠B=30°，∴∠DAO+40°=∠OCB+30°，∴∠OCB−∠DAO=10°，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAM=12∠DAO∵∠DAM+∠D=∠OCP+∠P，∴∠P=∠DAM+∠D−∠OCP==40°−=40°−=35°．故答案为：35°．3．【模型探究】（1）如图①，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，则有∠A+∠B=∠C+∠D．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下：甲同学证明：∵∠A+∠B+∠AOB=180°（①______），∴∠A+∠B=180°−∠AOB同理可得，∠C+∠D=180°−∠COD，又∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．乙同学证明：∵∠AOC=∠A+∠B（②______），∠AOC=∠C+∠D，∴∠A+∠B=∠C+∠D．甲同学证明过程的理论依据是：①______；乙同学证明过程的理论依据是：②______．【模型应用】（2）如图②，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD．①若∠B=30°，∠D=20°，求∠P的度数．补全下面求解过程．解：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4．由“八字”模型知，求解过程缺失②若∠B=α，∠D=β，直接写出∠P=______（用含有α和β的代数式表示）．【模型拓展】（3）如图③，已知线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，AP、CP分别为∠BAD、∠BCD的三等分线，∠PAD=13∠BAD，∠PCB=13∠BCD，若∠B=25°，∠D=38°，【答案】（1）①三角形内角和等于180°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；（2）①25°，过程见解析；②α+β2；（3）49°【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键．（1）①甲同学：根据∠A+∠B+∠AOB=180°，则∠A+∠B=180°−∠AOB，同理得∠C+∠D=180°−∠COD，再根据∠AOB=∠COD得∠A+∠B=∠C+∠D；②乙同学：根据三角形外角性质得∠AOC=∠A+∠B，∠AOC=∠C+∠D，由此得∠A+∠B=∠C+∠D；（2）①设AD与CP交于点Q，根据角平分线性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则∠OAB=2∠2，∠OCD=2∠4，在△OAB和△OCD构成的“八字”模型中，2∠2+∠B=2∠4+∠D，进而得∠4−∠2=12∠B−∠D=5°，在△QAP和△QCD构成的“八字”模型中，②由①可知：∠4−∠2=12∠B−∠D=α−β（3）设AD与CP交于点H，设∠PAD=α，∠PCB=β，则∠BAD=3∠PAD=3α，∠BCD=3∠PCB=3β，∠PCD=2β，由∠BAD+∠BCD=105°得3α+3β=105°①，在△OAB和△OCD构成的“八字”模型中，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，则3α+25°=3β+38°，进而得3α−3β=13°②，由①②解得α=59°3，β=46°3，在△HAP和【详解】解：（1）甲同学证明：∵∠A+∠B+∠AOB=180°，（三角形内角和等于180°），∴∠A+∠B=180°−∠AOB同理可得，∠C+∠D=180°−∠COD，又∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．乙同学证明：∵∠AOC=∠A+∠B，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和），∠AOC=∠C+∠D，∴∠A+∠B=∠C+∠D．甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于180°，故答案为：三角形内角和等于180°；乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；（2）①设AD于CP交于点Q，如图②所示：∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠OAB=2∠2，∠OCD=2∠4，在△OAB和△OCD构成的“八字”模型中，∠OAB+∠B=∠OCD+∠D，∴2∠2+∠B=2∠4+∠D，∴∠4−∠2=1∵∠B=30°，∠D=20°，∴∠4−∠2=5°，在△QAP和△QCD构成的“八字”模型中，∠2+∠P=∠4+∠D，∴∠P=∠4−∠2+∠D=5°+20°=25°，故答案为：25°；②∵∠B=α，∠D=β，由①可知：∠4−∠2=12∠B−∠D∴∠4−∠2=α−β∴∠P=α−β故答案为：α+β2（3）设AD与CP交于点H，如图③所示：设∠PAD=α，∠PCB=β，∵∠PAD=13∠BAD∴∠BAD=3∠PAD=3α，∠BCD=3∠PCB=3β，∴∠PCD=∠BCD−∠PCB=3β−β=2β，∵∠BAD+∠BCD=105°，∴3α+3β=105°①在△OAB和△OCD构成的“八字”模型中，∠BAD+∠B=∠BCD+∠D，∵∠B=25°，∠D=38°，∴3α+25°=3β+38°，∴3α−3β=13°②由①，②解得：α=59°3，在△HAP和△HCD构成的“八字”模型中，∠PAD+∠P=∠PCD+∠D，∴α+∠P=2β+38°，∴∠P=2β−α+38°=2×46°故答案为：49°．4．（2020九年级·全国·专题练习）阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；（3）连接BH、DE，由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根据五边形的内角和定理得出结论；（4）连接ND、NE，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六边形的内角和定理得出结论．【详解】解：（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）连接BH、DE，∵由对顶角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五边形CDEFG的内角和＋△ABH的内角和＝540°＋180°＝720°；（4）连接ND、NE，∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六边形BCFGHM的内角和＋△AND的内角和＋△NDE的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案为：360°；540°；720°；1080°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD和△BOC叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．题型03飞镖模型1．【问题呈现】如图①，四边形ABCD形似“飞镖”，我们形象地称它为“飞镖图”．它实际上是凹四边形，通过探究发现：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个内角之和，即∠BDC=∠A+∠B+∠C．【探究推理】方法一：如图②，连结BC．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+∠1+∠2+∠3+∠4=180°．又∵在△BDC中，∠2+∠4+∠BDC=180°，∴∠2+∠4=180°−∠BDC，∴∠A+∠1+∠3+180°−∠BDC=180°，∴∠BDC=∠A+∠1+∠3．即∠BDC=∠A+∠ABD+∠ACD．方法二：如图③，连结AD并延长至F．∵∠3与∠4分别为△ABD和△ACD的外角，…（1）“方法一”主要依据的数学定理是；（2）根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出余下的推理过程．【迁移应用】（3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=；（4）如图⑤是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD=110°，则图中∠E应【答案】（1）三角形的内角和等于180°；（2）推理过程见解析；（3）180°；（4）减少，10【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键．（1）根据三角形内角和定理，即可得出结论；（2）根据三角形的外角的性质，即可得出结论；（3）根据三角形的外角性质，可以得到∠A+∠B=∠2，∠D+∠E=∠1，再结合三角形的内角和定理，可以得到∠1+∠2+∠C=180°，即可得到答案；（4）延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，利用∠EFD=110°得到∠DGF的度数，可得∠E的度数，从而得出结论．【详解】解：（1）三角形的内角和等于180°，故答案为：三角形的内角和等于180°；（2）∵∠3=∠B+∠1，∴∠3+∠4=∠B+∠1+∠2+∠C，∵∠3+∠4=∠BDC，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C；（3）如图，延长BE交AC于点F，∵∠A+∠B=∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠2+∠C+∠1=180°，故答案为：180°；（4）延长EF，交CD于点G，如图：∵∠ACB=180°−50°−60°=70°，∴∠ECD=∠ACB=70°．∵∠EFD=110°，∴∠DGF=90°．∵∠DGF=∠DCE+∠E，∴∠DGF=70°+∠E=90°，∴∠E=20而图中∠E=30°，∴∠E应减少10°．故答案为：减少，10．2．（25-26八年级上·河南安阳·月考）请阅读下列材料，并完成相应的任务：如图①，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证∠ADB=∠A+∠B+∠C，在探究∠A，∠B，∠C与∠ADB之间的关系时，小明同学提供了下面两种方法．方法一：如图②，连接AB．在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C=∠CAD+∠CBD+∠C方法二：如图③，连接CD并延长至点F．解答下列问题：(1)根据“方法二”中添加的辅助线，补全方法二的推理过程；(2)如图①，当∠A=30°，∠B=40°，∠ADB=120°时，∠C的度数为_________．(3)拓展：如图④，∠ABC=100°，∠DEF=130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．【答案】(1)见解析；(2)50°；(3)230°．【分析】主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，作出辅助线构造出三角形是解本题的关键．1根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，列式，结合角的等量代换和运算，即可作答；2由1可知∠ADB=∠A+∠B+∠ACB，把∠A=30°，∠B=40°，∠ADB=120°代入式子中求值即可；3连接AD，把多边形分成两个“飞镖图”，根据1中得到的“飞镖图”中角之间的关系即可得到结果．【详解】（1）证明：∵∠1是△ADC的外角，∴∠1=∠2+∠A，∴∠3是△BDC的外角，∴∠3=∠4+∠B，∴∠1+∠3=∠2+∠A+∠4+∠B=∠A+∠ACB+∠B，∴∠ADB=∠A+∠B+∠ACB；（2）解：由1可知∠ADB=∠A+∠B+∠ACB，∵∠A=30°，∠B=40°，∠ADB=120°，∴120°=30°+40°+∠ACB，∴∠ACB=120°−30°−40°=50°，故答案为：50°；（3）解：如下图所示，连接AD，在四边形ABCD中，∠BAD+∠ADC+∠DCA=∠ABC=100°，在四边形AFED中，∠AFE+∠ADE+∠DAF=∠FED=130°，∠BAD+∠ADC+∠DCA+∠AFE+∠ADE+∠DAF=∠FED+∠ABC=100°+130°=230°，∴∠BAD+∠F+∠EDC+∠C=230°，即∠A+∠C+∠D+∠F=230°．3．（25-26八年级上·河北保定·期中）【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，我们可以把飞镖抽象成图1的形状，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系．【解决问题】（1）如图1，探究∠ABC∠ABC<180°与∠A，∠D，∠C小明得出的结论是∠ABC=∠A+∠D+∠C，他的证明过程如下：证明：连接DB，并延长到点P．……请你将小明的证明过程补充完整．【类比探究】（2）如图2，∠A+∠C+∠E=90°，∠B+∠D=150°，求∠AFE的度数．【拓展延伸】（3）如图3，AM∥EN，∠B+∠D=150°，∠C+∠E=50°，则∠MAB的度数为．【答案】（1）见解析；（2）60°；（3）100°．【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题．（1）连接DB，并延长至点E，利用三角形的外角求解即可；（2）连接CF，利用（1）中结论可得∠B=∠A+∠AFC+∠BCF，∠D=∠E+∠EFC+∠DCF，结合已知可求解；（3）在直线EN上取一点P，连接AP，利用（2）中结论可得∠1+∠3=100°，再利用平行线的性质可得∠2=∠3，进而得到∠1+∠2=100°即可求解．【详解】解：（1）∠ABC=∠A+∠D+∠C．证明：如图，连接DB，并延长至点E，∵∠A+∠ADB=∠ABE，∠C+∠CDB=∠CBE，∵∠ABC=∠ABE+∠CBE，∴∠ABC=∠A+∠ADB+∠CDB+∠C，∴∠ABC=∠A+∠ADC+∠C；（2）如图，连接CF，由（1）可知∠B=∠A+∠AFC+∠BCF，∠D=∠E+∠EFC+∠DCF，∵∠B+∠D=150°，∠A+∠BCD+∠E=90°，∴150°=∠A+∠AFC+∠BCF+∠E+∠EFC+∠DCF，∴150°=90°+∠AFC+∠EFC=90°+∠AFE，∴∠AFE=60°；（3）如图，在直线EN上取一点P，连接AP，由（2）可知∠B+∠D=150°=∠1+∠3+∠C＋∵∠C+∠E=50°，∴∠1+∠3=100°，∵AM∥EN，∴∠2=∠3，∴∠1+∠2=100°，∴∠MAB=100°．故答案为：100°．4．（20-21八年级上·安徽亳州·月考）如图①所示是一个飞镖图案，连接AB，BC，我们把四边形ABCD叫做“飞镖模型”．（1）求证：∠ADC=∠DAB+∠DCB+∠ABC；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图案，CE与BF交于点D，若∠EDF=120°，求∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度数．【答案】（1）见解析；（2）240°【分析】（1）延长CD交AB于点E，根据三角形外角性质可证∠ADC=∠DAE+∠AED，∠AED=∠DCB+∠ABC，运用角的等量转换即可证明．（2）根据三角形外角性质，运用第（1）题的方法可证∠A+∠B+∠C=∠BDC，∠E+∠G+∠F=∠EDF，∠BDC和∠EDF是对顶角，可推出∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度数等于2倍∠EDF的度数，计算得出答案．【详解】（1）证明：延长CD交AB于点E，如图：∵∠ADC是△ADE的外角，∴∠ADC=∠DAE+∠AED．∵∠AED是△CEB的外角，∴∠AED=∠DCB+∠ABC，∴∠ADC=∠DAE+∠DCB+∠ABC=∠DAB+∠DCB+∠ABC．（2）解：∵∠EDF和∠BDC是对顶角，∴∠BDC=∠EDF=120°．由（1）的结论可知∠BDC=∠A+∠B+∠C，∠EDF=∠E+∠G+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠E+∠G+∠F=∠DCB+∠EDF=240°．【点睛】本题考查了三角形外角性质，灵活运用三角形外角性质是解题关键．题型04三角形翻折模型1．（2024·山东德州·一模）将△ABC按如图所翻折，DE为折痕，若∠A+∠B=130°，则∠1+∠2=．【答案】100°/100度【分析】本题考查图形的折叠和三角形的内角和定理的应用，根据折叠的性质得出∠B=∠B'，【详解】解：设A'B'交CD于点F，交CE由折叠得：∠B=∠B'，∵∠C+∠CFG+∠CGF=180°，且∠CFG=∠A'FD∴∠C+∠A∵∠A'FD=180°−∠1−∠∴∠C+180°−∠1−∠A∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=130°，∴∠C=180°−∠A−∠B=50°，∴∠C+∠C−∠1+180°−∠2=180°，∴2∠C=∠1+∠2=100°．故答案为：100°．2．（2022·安徽·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BF与∠ACB的平分线CF交于点F．若将△ABC沿DE翻折，使得点A与点F重合，则（

）A．∠A=∠1+∠2 B．∠3=90°+C．∠A=180°−∠1+∠2 D．【答案】D【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理．根据角平分线的定义，推出∠BCF=12∠ACB，∠CBF=【详解】解：∵BF，CF分别是∠ABC，∴∠3=180°−∠BCF−∠CBF=180°−1由翻折可知∠AED=∠FED，∠ADE=∠FDE，∴∠1+∠2=180°−2∠AED+180°−2∠ADE=360°−2∠AED+∠ADE=360°−2∴∠A=1∴∠3=90°+1故选：D．3．（2024·浙江宁波·模拟预测）贝贝在学习三角形章节内容时，对于三角形中的角度计算问题进行了如下探究：在△ABC中，已知∠ABC=18°，∠C>∠B．(1)如图1，若D为BC上一点．连接AD，将△ABD沿着AD进行翻折后得到△AB1D，若∠ADC=47°(2)如图2，将△BEF沿EF翻折得到△B1EF，探究∠1(3)如图3，若D为直线BC上的动点，连接AD，将△ABD沿AD进行翻折后得到△AB1D，连接BB1．若△BD【答案】(1)∠BD(2)∠1−∠2=36°，理由见解析(3)22°或137°或7°或122°【分析】（1）∠ADC=47°，求出∠ADB=180°−47°=133°，根据折叠得出∠ADB=180°−47°=133°，求出∠CDB（2）根据折叠得出∠B1=∠ABC=18°，∠BEF=∠B1EF，∠BFE=∠B（3）分情况讨论：当点D在线段BC上，当点D在线段CB延长线上时，当点D在线段BC延长线上，分别画出图形求出结果即可；本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．【详解】（1）∵将△ABD沿着AD进行翻折后得到，△AB1D∴∠ADB=180°−47°=133°，∴∠ADB∴∠CDB∴∠BDB（2）∠1−∠2=36°，理由如下：∵将△BEF沿EF翻折得到△B∴∠B1=∠ABC=18°，∠BEF=∠∴∠BFE+∠B∴∠BFE=∠B∴∠BEF=∠B∴∠1=180°−2∠BEF=180°−272°−即∠1−∠2=36°；（3）将△ABD沿AD进行翻折后得到△AB1D连接BB1，根据折叠可知BD=∴∠DBB1=∠DB若△BDB1中存在当点D在线段BC上，∠DBB∴∠AB∴∠BAB∵∠BAD=∠B∴∠BAD=∠B当点D在线段BC上，∠BDB∴∠DBB∴∠AB∴∠BAB∴∠BAD=∠B当点D在线段CB延长线上时，如图所示：∵∠ADB<∠ABC，∴∠ADB<18°，根据折叠可知，∠ADB=∠ADB∴∠BDB∴∠DBB∴此时△DBB1中的角不存在当点D在线段BC延长线上，∠BDB根据折叠可知，∠ADB=∠ADB∴∠BDA=∴∠BAD=180°−∠BDA−∠ABD=180°−25°−18°=137°，当点D在线段BC延长线上，∠BB∴∠DBB∴∠BDB根据折叠可知，∠ADB=∠ADB∴∠ABD=1∴∠BAD=180°−∠BDA−∠ABD=180°−40°−18°=122°；综上分析可知，∠BAD的值为22°或137°或7°或122°．故答案为：22°或137°或7°或122°．4．（2024·贵州贵阳·二模）综合与实践问题情境：在综合与实践课上，老师要求同学们以“折纸中的数学”为主题开展活动．独立思考：（1）如图①，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE内点A'的位置，则∠A与∠1+∠2之间的数量关系为深入探究：（2）如图②，若点A'落在四边形BCDE的边CD下方时，试猜想此时∠A与∠1，∠2结论运用：（3）如图③，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，E，F分别是AB，CD边上的一点，沿EF将四边形ABCD折叠，点A的对应点G恰好落在BC边上，且∠1=75°，∠2=15°．①∠B的度数为；②若BE=22，AD=12AE，求点【答案】（1）2∠A=∠1+∠2，理由见解析；（2）2∠A=∠1−∠2，理由见解析；（3）①60°；②6【分析】（1）连接AA'，由折叠的性质得出（2）由三角形外角的性质得出∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A（3）①延长BA交CD的延长线于L，由（2）中结论可知∠1−∠2=2∠L，求出∠L=30°即可得出答案；②过点E作EI⊥BC交BC于点I，过点H作HM⊥BC交BC的延长线于点M，求出BI=2，EI=6．求出∠HGM=45°，得出【详解】解：（1）2∠A=∠1+∠2，理由如下：连接AA∵将三角形纸片ABC沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内点A'的位置，∴∠DAE=∠DA'E．∵∠1=∠EA'A+∠EA∴∠1+∠2=∠EA即2∠A=∠1+∠2；故答案为：2∠A=∠1+∠2；（2）2∠A=∠1−∠2，理由如下：设EA'与AC交于点∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠2+∠A'∴∠1=∠A+∠A∴2∠A=∠1−∠2；（3）①延长BA交CD的延长线于L，由（2）中结论可知∠1−∠2=2∠L，如图③，∴2∠L=75°−15°=60°，∴∠L=30°．∵∠BCD=90°，∴∠B=90°−30°=60°．故答案为：60°；②过点E作EI⊥BC交BC于点I，过点H作HM⊥BC交BC的延长线于点M，如图，∵BE=22，∠B=60∴BI=2，EI=∵∠EGI=180°−60°−75°=45°，∴EG=2∴AE=EG=23∴AD=1∴GH=AD=3∵∠EGH=∠BAD=90°，∴∠HGM=45°，∴HM=22GH=62，即点H【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，勾股定理及直角三角形的相关性质等内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．5．（22-23七年级下·山西临汾·期末）综合与探究一张直角三角形纸片ABC，∠BAC=90°，其中∠ACB=∠ABC=45°，D，E分别是BC，AC边上一点．将△CDE沿DE折叠，点C的对应点为点(1)如图1，若C'D∥AB，则∠1=______°，∠2=______°．(2)如图2，若点C'落在直角三角形纸片ABC上，请探究∠1与∠2的数量关系，并说明理由．(3)如图3，若点C'落在直角三角形纸片ABC外，（2）中∠1与∠2的数量关系还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请求出∠1与∠2的数量关系．【答案】(1)45，135(2)∠1+∠2=90°，理由见解析(3)不成立，∠1−∠2=90°【分析】（1）如图1，记C'D与AC的交点为M，由折叠的性质可得∠C'=∠C=45°，由C'D∥AB，可得∠2+∠B=180°（2）由折叠的性质可得∠CED=∠C'ED，∠CDE=∠C'DE，∠C'=∠C=45°，由题意知，∠1+∠CED+∠C'（3）由折叠的性质可得∠CED=∠C'ED，∠CDE=∠C'DE，∠C'=∠C=45°，由题意知，∠1+∠CED+∠C'【详解】（1）解：如图1，记C'D与AC的交点为由折叠的性质可得∠C∵C'∴∠2+∠B=180°，∠C∴∠2=135°，∠1=∠C故答案为：45，135；（2）解：∠1+∠2=90°，理由如下：由折叠的性质可得∠CED=∠C'ED，∠CDE=∠由题意知，∠1+∠CED+∠C'ED=180°∵∠CED+∠C∴∠CED+∠C①+②整理得，∴∠1+∠2=90°；（3）解：不成立，∠1−∠2=90°；由折叠的性质可得∠CED=∠C'ED，∠CDE=∠由题意知，∠1+∠CED+∠C'ED=180°∵∠CED+∠C∴∠CED+∠C①+②整理得，∴∠1−∠2=90°．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．6．（2025·湖北十堰·三模）（1）如图1，已知，△ABC中，∠A=60°，D，E分别是AB，AC边上的点，将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'，则∠A'（2）若当（1）中的点A'落在BC边上时，恰好A①△A②求证：DE（3）若（1）中的△ABC为边长为12的等边三角形，点A'落在BC边上（如图3），且A'C=8【答案】（1）120；（2）①等边三角形；②见解析；（3）49【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握是以上知识是解题的关键；（1）根据折叠的性质可得∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠（2）①根据平行线的性质∠A'EC=60°，根据折叠的性质可得∠ADE=∠②证明△BA（3）证明△EA'C∽△A'DB，根据相似三角形的性质得出CE=5，BD=325，过点A,D,E分别作【详解】解：（1）∵将△ABC沿DE折叠，点A的对应点为A'∴∠ADE=∠A∵∠A=60°，∴∠ADE+∠AED=180°−∠A=120°，∴∠故答案为：120．（2）①∵折叠，∴∠DA∵A'E∴∠BD∴∠AD∴∠ADE=∠A∴∠DA∴△A②∵A∴∠A'∴∠BD又∵∠D∴∠EA∴△B∴BD又∵△A∴A∴BD∴DE（3）∵△ABC是边长为12的等边三角形，∴∠B=∠C=∠A=60°，AB=BC=AC=12∵A'∴A∵折叠，∴∠D∵∠D∴∠E∴△E∴A设BD=a，则AD=A∴4解得：CE=5∴BD=过点A,D,E分别作BC的垂线，垂足分别为F,G,H，如图，∴AF=ABsin60°=32×12=6∴△A'==49题型05三角形双角平分线模型1．（2025·陕西西安·模拟预测）已知△ABC，P是平面内任意一点．(1)如图1，若∠ABC=50°，∠ACB=70°，BP，CP为角平分线．①∠BPC=________度；②将条件“∠ABC=50°，∠ACB=70°”改为“∠BAC=α”，求∠BPC的度数（用含α的式子表示）；(2)如图2，若点P位于△ABC的外部且在∠MAN的内部，连接BP，CP，用∠1，∠2，∠3表示∠BPC；(3)如图3，若∠ABC=45°，∠ACB=75°，AP平分∠BAC交BC于点P，D为射线AB上一点（不与点A，B重合）．①当△APD为钝角三角形时，请直接写出∠ADP度数的取值范围；②当PD⊥AB时，将△APD绕点A逆时针旋转180°，旋转过程中当PD与△ABC的一边平行时，请直接写出旋转的度数．【答案】(1)①120；②90°+(2)∠BPC=∠1+∠2−∠3(3)①0<∠ADP<60°或90°<∠ADP<150°；②30°或90°135°【分析】（1）①根据角平分线的定义得∠PBC=12∠ABC=25°，∠PCB=②根据角平分线的定义得∠ABC+∠ACB=180°−α，根据角平分线定义得∠PBC=12∠ABC，∠PCB=（2）根据邻补角定义得∠ABP=180°−∠1，∠ACP=180°−∠2，在四边形ABPC中，得∠BPC=360°−∠A+∠ABP+∠ACP（3）①根据三角形内角和定理得∠BAC=180°−∠ABC+∠ACB=60°，根据角平分线的定义得∠DAP=∠CAP=12∠BAC=30°②根据直角三角形两锐角互余得∠APD=90°−∠DAP=60°，根据旋转的性质得∠AD'P'=∠ADP=90°，∠D'AP【详解】（1）解：①∵∠ABC=50°，∠ACB=70°，BP，CP为角平分线．∴∠PBC=12∠ABC=∴∠BPC=180°−∠PBC+∠PCB故答案为：120；②∵在△ABC中，∠BAC=α，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠BAC=180°−α，∵BP，CP为角平分线．∴∠PBC=12∠ABC∴∠PBC+∠PCB=1∴∠BPC=180°−∠PBC+∠PCB∴∠BPC的度数为90°+1（2）∵∠ABP=180°−∠1，∠ACP=180°−∠2，在四边形ABPC中，∠A+∠ABP+∠BPC+∠ACP=360°，∴∠BPC=360°−=360°−=∠1+∠2−∠3，即∠BPC=∠1+∠2−∠3；（3）①∵在△ABC中，∠ABC=45°，∠ACB=75°，∴∠BAC=180°−∠ABC+∠ACB∵AP平分∠BAC，∴∠DAP=∠CAP=1当∠ADP=90°时，则∠APD=90°−∠DAP=90°−30°=60°，∵△APD为钝角三角形，当∠ADP>90°时，则0<∠APD<60°，∴0<180°−30°−∠ADP<60°，∴90°<∠ADP<150°；当∠APD=90°时，则∠ADP=90°−∠DAP=90°−30°=60°，∵△APD为钝角三角形，当∠APD>90°时，则0<∠ADP<60°；综上所述，△APD为钝角三角形时，∠ADP度数的取值范围为0<∠ADP<60°或90°<∠ADP<150°；②∵PD⊥AB，∠DAP=∠CAP=30°，∴∠ADP=90°，∴∠APD=90°−∠DAP=90°−30°=60°，设△APD绕点A逆时针旋转后得到△AP'D'，其中点P'是点P∴∠AD'P'=∠ADP=90°若D'∴∠AP∴∠P此时旋转的度数为30°；若D'∴∠P∴∠P此时旋转的度数为90°；若P'D'∥BC，如图，延长D∴∠AEC=∠AD∴∠BAE=90°−∠ABE=90°−45°=45°，∴∠PAE=∠BAE−∠BAP=45°−30°=15°，∴∠P此时旋转的度数为135°；综上所述，旋转过程中当PD与△ABC的一边平行时，旋转的度数为30°或90°135°．【点睛】本题考查三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，四边形的内角和，旋转的性质，平行线的性质等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．2．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题探究一】（1）已知：如图1，在△ABC中，∠A=60°，BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，∠BPC的度数是_____．（2）问题提出：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？结合图1猜想：∠P与∠A的数量关系是______．【问题探究二】（3）已知：如图2，∠DBC与∠ECB分别是△ABC的两个外角，且∠DBC+∠ECB=210°，则∠A=______．（4）问题提出：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，那么三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？结合图2猜想：∠DBC+∠ECB与∠A的数量关系是______．【拓展与应用】（5）如图3，四边形ABCD中，∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，若设∠A=α，∠D=β，则∠F=_____．（用含α，β的式子表示）（6）如图4，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，则∠BIC=_____．【答案】（1）120°；（2）∠P=90°+12∠A；证明见解析；（3）30°；（4）∠A=∠DBC+∠ECB−180°；（5）【分析】本题考查的是角平分线的定义，三角形的内角和定理，四边形的内角和定理的应用，轴对称的性质；（1）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°，结合角平分线的含义可得∠PBC+∠PCB=1（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，求解∠PBC+∠PCB=1（3）求解∠ABC+∠ACB=180°+180°−∠DBC+∠ECB（4）证明∠ABC+∠ACB=360°−∠DBC+∠ECB，可得∠A=∠DBC+∠ECB−180°（5）延长BA，CD交于点O，由（4）可得：∠Q=α+β−180°，证明∠FBE=12∠QBC，∠FCE=12∠DCE，结合外角的性质可得（6）求解∠ADI+AEI=180°+180°−∠1+∠2=230°，∠A=∠DIE，可得∠A=∠DIE=1【详解】解：（1）在△ABC中，∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°−60°=120°，∵BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC∴∠PBC+∠PCB=1∴∠BPC=180°−∠PBC+∠PCB（2）猜想：∠P=90°+1在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°−∠A，∵BP，CP分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC∴∠PBC+∠PCB=1∴∠BPC=180°−90°−（3）∵∠DBC与∠ECB分别是△ABC的两个外角，且∠DBC+∠ECB=210°，∴∠ABC+∠ACB=180°+180°−∠DBC+∠ECB∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB（4）∠A=∠DBC+∠ECB−180°，理由如下：∵∠DBC与∠ECB分别是△ABC的两个外角，∴∠ABC+∠ACB=180°+180°−∠DBC+∠ECB∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB（5）延长BA，CD交于点Q，∵∠BAD=α，∠ADC=β，由（4）可得：∠Q=α+β−180°，∵∠F为四边形ABCD的∠ABC的平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的锐角，∴∠FBE=12∠QBC∵∠DCE=∠QBC+∠Q，∠FCE=∠FBC+∠F，∴∠Q=∠DCE−∠QBC，2∠F=2∠FCE−2∠FBC=∠DCE−∠QBC，∴∠Q=2∠F，∴∠F=1（6）∵∠1+∠2=130°，结合折叠，∴∠ADI+AEI=180°+180°−∠1+∠2=230°，∴∠A=∠DIE=1∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，由（2）得：∠BIC=90°+13．（24-25八年级上·山东济南·期末）【提出问题】小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，CE平分∠ACB，BE平分外角∠ABD．请猜想∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．【解决问题】（1）小东阅读题目后，没有任何思路去发现∠E与∠A之间的数量关系，同桌小明提醒小东可以先尝试代入一些∠A的特殊度数求出∠E的度数，然后就可以根据结果猜想∠E与∠A之间的数量关系．①如果∠A=50°，则∠E的度数为______；如果∠A=140°，则∠E的度数为______．②聪明的同学们，你们能根据上面的结果，猜想出∠E与∠A之间的数量关系吗？请写出你们的猜想并利用图1证明你们的猜想．【应用拓展】（2）小东继续探究，如图2，在四边形ABCD中，CF平分∠BCD，且与四边形ABCD的外角∠ABE的平分线BF交于点F．若∠A=80°，∠D=140°，求∠F的度数．【答案】（1）①25°；70°；②∠E=12【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握角平分线定义．（1）①根据角平分线定义得出∠ECD=12∠ACD，∠EBD=12∠ABD，根据三角形外角性质得出∠ABD=∠A+∠ACD=50°+∠ACD，∠EBD=∠E+∠ECD=∠E+12∠ACD②根据①的方法进行证明即可；（2）延长BA，CD，交于点G，根据解析（1）的结果得出答案即可．【详解】解：（1）①∵CE平分∠ACB，BE平分外角∠ABD，∴∠ECD=12∠ACD当∠A=50°时，∵∠ABD=∠A+∠ACD=50°+∠ACD，∠EBD=∠E+∠ECD=∠E+1∴∠EBD=1∴25°+1∴∠E=25°；当∠A=140°时，∵∠ABD=∠A+∠ACD=140°+∠ACD，∠EBD=∠E+∠ECD=∠E+1∴∠EBD=1∴70°+1∴∠E=70°；②猜想∠E=1∵CE平分∠ACB，BE平分外角∠ABD，∴∠ECD=12∠ACD∵∠ABD=∠A+∠ACD，∠EBD=∠E+∠ECD=∠E+1∴∠EBD=1∴12∴∠E=1（2）延长BA，CD，交于点G，如图所示：∵∠A=80°，∠D=140°，∴∠DAG=180°−80°=100°，∠ADG=180°−140°=40°，∴∠G=180°−100°−40°=40°，∵CF平分∠BCD，BF平分∠ABE，∴根据解析（1）可知：∠F=124．（2025·广东东莞·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC=48°，∠ACB=84°，点D，E分别在BA，BC的延长线上，BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，连接AP，若BC=3，则PC的长度为（

）A．4 B．3 C．5 D．5【答案】B【分析】先根据三角形内角和及角平分线性质，求出相关角的度数，再推导角之间的关系，判断三角形的形状，进而得出PC的长度．本题主要考查三角形内角和定理、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键．【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC=48∘∴∠BAC=∴AC=BC．∴∠∵CP平分∠ACE，BP平分∠∴∠PCE=1∵∠PCE=∴∠∴∠∴PC=BC=3．故选：B．题型06三角形面积比问题1．（2025·甘肃兰州·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，小明在刚学完“角平分线的性质”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△ACD面积的比值与AB、AC两边比值的关系，他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，根据角平分线的性质来证明△ABD和△ACD的高相等，进一步得到△ABD和△ACD的面积之比等于∠BAC（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，垂足为点H（保留作图痕迹，不写作法，不下结论），（2）证明：∵∠ABD=90°，∴AB①BD又∵DH⊥AC，AD平分∠BAC，∴②∵S∴S小明再进一步研究发现，只要任意一个三角形被其一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论，请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】本题主要考查了尺规作图-作垂线，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，掌握三角形全等的判定和性质和角平分线的性质是解题的关键．（1）根据尺规基本作图-经过直线外一点作直线的垂线作法，作图即可；（2）根据推理过程，结合角平分线的性质填空即可；根据命题写出已知，求证，然后根据角平分线的性质得出DE=DF，进而将面积之比转化为相应边的比，即可求解．【详解】解：（1）如图，DH即为所求，；（2）证明：∵∠ABD=90°，∴AB⊥BD，又∵DH⊥AC，AD平分∠BAC，∴DB=DH，∵S∴S已知：在△ABC中，AD是△ABC的内角平分线，求证：S△ABD证明：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，∵AD是△ABC的角平分线，∴DE=DF，∴S△ABD2．（2025·山东青岛·二模）【模型】同高的两个三角形面积之比等于底边长度之比．已知，如图1，△ABC中，D为线段BC上任意一点，连接AD，则有：S△ABD【模型应用】(1)如图2，任意四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD边的中点，连接CE、AF，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形(2)如图3，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点A和点C最近的三等分点，连接AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形(3)如图4，在任意四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、CD上离点B和点D最近的n等分点，连接AF、CE，若四边形ABCD的面积为S，则S四边形【答案】(1)S2(2)S3(3)n−1n【分析】本题考查了四边形面积，三角形面积，三角形的中线性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．（1）由三角形的中线性质得S△AEC=1（2）连接AC，由模型得S△AEC=1（3）连接AC，由模型得，S△BEC=1nS△ABC，【详解】（1）解：∵E、F分别是AB、CD边的中点，∴AE=12AB∴S△AEC=∵S四边形ABCD∴S四边形故答案为：S2（2）解：如图3，连接AC，∵点E、F分别是边AB、CD上离点A和点C最近的三等分点，∴AE=13AB∴S△AEC=∵S四边形ABCD∴S故答案为：S3（3）解：如图4，连接AC，∵点E、F分别是边AB、CD上离点B和点D最近的n等分点，∴BE=1nAB∴S△BEC=∵S四边形ABCD∴===S−=n−1故答案为：n−1n3．（2024·上海浦东新·三模）爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：(1)【问题发现】如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：ABAC小李的解法如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴．∵S△ABDS△ADC∴ABAC(2)【类比探究】如图2所示，若AD是∠BAC的外角平分线，AD与BC的延长线交于点D．求证：ABAC(3)【直接应用】如图3所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，且交BC于D，若BD=15，CD=9，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出AB(4)【拓展应用】如图4所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=9，BC=12，将△ABC先沿∠BAC的平分线AD折叠，B点刚好落在AC上的E点，剪掉重叠部分（即四边形ABDE），再将余下部分（△ABC）沿∠DEC的平分线EF折叠，再剪掉重叠部分（即四边形DEGF），直接写出剩余部分的面积为．【答案】(1)DE=DF(2)见解析(3)AB=30；(4)27【分析】（1）根据角的平分线性质定理解答即可；（2）过点D作DN⊥AB于N，过点D作DM⊥AC于M．过点A作AP⊥BD于点P．仿照第一问的解答求解即可；（3）利用（1）的结论，求得ABAC=53，设（4）先算AC=A【详解】（1）解：∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，故答案为：DE=DF；（2）证明：过点D作DN⊥AB于N，DM⊥AC于M．过点A作AP⊥BD于点P．∵AD是∠NAC的角平分线，∴DM=DN．∴S△ABDS△ADC∴ABAC（3）解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，且交BC于D∴ABAC∵BD=15，CD=9，∴ABAC设AB=5a，则AC=3a，由勾股定理得AB2=A解得a=±6（负值舍去），∴AB=5×6=30；（4）解：∵∠ABC=90°，AB=9，BC=12，∴AC=A∵将△ABC先沿∠BAC的平分线AD折叠，∴AB=AE=9，∠BAD=∠EAD，∠B=∠AED=90°，BD=DE，∴EC=AC−AE=6，由（1）可得ABAC∴BD=DE=4.5，DC=12−4.5=7.5，∴S△DEC同理可求：EDEC∴S△DEF∴S△FCG故答案为：2714【点睛】本题考查了角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形面积的性质，熟练掌握角的平分线的性质定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理是解题的关键．4．（23-24九年级上·江西南昌·期中）【教材呈现】以下是人教版八年级下册数学教材第50页的部分内容，如图，直线l1∥l2，【基础巩固】如图1，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥【尝试应用】如图2，在半径为5的⊙O中，BD=CD,∠ACO=2∠BDO,AB=4，求S△ABC【拓展提高】如图3，AB是⊙O的直径，点P是OB上一点，过点P作弦CD⊥AB于点P，点F是⊙O上的点，且满足CF=CB，连接BF交CD于点E，若BF=8EP，S△CEF=102【答案】【教材呈现】△ABC与△DBC的面积相等，理由见解析【基础巩固】14【尝试应用】2【分析】教材呈现：利用平行线的性质和同底等高的三角形的面积相等的性质解答即可；基础巩固：连接OD,OC，设圆的半径为r，利用教材呈现的结论得到S阴影部分尝试应用：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，利用全等三角形的判定与性质和圆周角定理以平行线的判定定理得到AB∥OC，利用教材呈现的结论得到：拓展提高：连接OC，交BE于点G，设EP=a，则BF=8a，利用垂径定理的推论得到：CP=PD=12CD,OC⊥BF,GF=BG=12BF=4a，利用全等三角形的判定与性质得到【详解】解：教材呈现：△ABC与△DBC的面积相等，理由：∵l1∴点A，D到BC的距离相等，∴△ABC与△DBC中BC边上的高相等，即：△ABC与△DBC是同底等高的三角形，根据三角形的面积公式为：12×底∴△ABC与△DBC的面积相等；基础巩固：连接OD,OC，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥∵MN∥∴AD∥由教材呈现可知：S△AON∴S阴影部分∴阴影面积=90π×∵圆的面积为πr∴阴影面积与圆面积的比值为14尝试应用：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，则AE=BE=1在△OBD和△OCD中，OD=ODOB=OC∴△OBD≌∴∠BDO=∠CDO，∴∠BDC=2∠BDO．∵∠ACO=2∠BDO，∴∠ACO=∠BDC．∵∠BDC=∠BAC，∴∠BAC=∠ACO，∴AB∥∴由教材呈现可知：S△ABC在Rt△OAEOE=O∴S△ABC拓展提高：连接OC，交BE于点G，设EP=a，则BF=8a，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB于点P，∴CP=PD=1∵CF=CB，∴CF=∴OC⊥BF,GF=BG=1在△OBG和△OCP中，∠BOG=∠COP∠OGB=∠OPC=90°∴△OBG≌∴BG=CP=4a,OG=OP，∴CG=BP．同理可证△CEG≌∴GE=EP=a，∴EF=FG+GE=5a，∵CE=CP−EP=3a，∴CG=C∵S△CEF∴12∴a=2∴CG=4,CP=42∵∠GCE=∠PCO,∠CGE=∠CPO=90°，∴△CGE∽∴CGCP∴44∴OC=6．∴⊙O的半径为6．【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，平行线的性质，三角形的面积，扇形的面积，圆的面积，圆周角定理，垂径定理及其推论，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题是阅读型题目，正确理解并熟练运用教材呈现的结论是解题的关键．题型07双腰上的高求定值1．（2025·四川达州·中考真题）综合与实践问题提出：探究图形中线段之间的数量关系，通常将一个图形分割成几个图形，根据面积不变，获得线段之间的数量关系．探究发现：如图1，在△ABC中，AC=BC，P是AB边上一点，过点P作PD⊥AC于D，PE⊥BC于E，过点A作AF⊥BC于F．连结CP，由图形面积分割法得：S△ABC=S△APC+实践应用：如图2，△ABC是等边三角形，AC=3，点G是AB边上一点，连结CG．将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，连结GF交BC于P，过点P作PD⊥GC于D，PE⊥CF于E，当AG=1时，求PD+PE的值．拓展延伸：如图3，已知AB是半圆O的直径，AC，BE是弦，AC=BE，P是AB上一点，PD⊥AC，垂足为D，AB=10，AD=2，【答案】探究发现：S△BPC，DP，EP；实践应用：212【分析】探究发现：图形面积分割法得出S△ABC=S△APC+S实践应用：过点C,F分别作AB,CG的垂线，垂足分别为M,N，根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理分别求得AM，CG，进而根据旋转的性质可得△CGF是等边三角形，同理求得NF的长，进而根据探究发现的结论，即可求解；拓展延伸：延长AC,BE交于点T，过点P作PS⊥BE于点S，设CD=x，根据圆周角定理，得出∠ACB=90°，在Rt△ABC，Rt△BCD中，根据勾股定理，求得x=4，进而根据弧与圆周角的关系，得出【详解】解：探究发现：∵PD⊥AC，PE⊥BC，AF⊥BC∴S△ABC=S∴12∵AC=BC，∴AF=DP+PE；故答案为：S△BPC，DP，PE实践应用：如图，过点C,F分别作AB,CG的垂线，垂足分别为M,N，∵△ABC是等边三角形，AC=3，∴AB=AC=3，∵CM⊥AB，∴AM=BM=32，∴CM=A∵AG=1，则BG=AB−AG=3−1=2，∴MG=BG−BM=2−3在Rt△CMG中，CG=∵将线段CG绕点C逆时针旋转60°得CF，∴CG=CF,∠GCF=60°∴△CGF是等边三角形，∴CN=GN=12CG=∴由探究发现可得：PD+PE=FN=21拓展延伸：如图，延长AC,BE交于点T，过点P作PS⊥BE于点S，连接BC，设CD=x，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=10，在Rt△ABC中，B在Rt△BCD中，B∴45解得：x=4，∴BE=AC=AD+CD=2+4=6，∴AC=∴AE=∴∠ABT=∠BAT，∴TA=TB．∴由探究发现可得：BC=PD+PS，∵BC=A∴PD+PS=8，∵AC=BE，∴S△PAC+==1【点睛】本题考查了勾股定理，点到直线的距离，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，弧与圆周角的关系，熟练掌握等面积法求线段长是解题的关键．2．（2025·广西南宁·三模）综合与探究【阅读理解】面积法是一种重要的数学解题方法．如例图，在等腰△ABC中，CD是AB边上的高，点P是BC上不与点B，C重合的一个动点，连接AP，过点P分别作AB和AC的垂线，垂足分别为点M，N，即S△ABC∴12∵AB=AC，∴CD=PM+PN．又∵CD是AB边上的高，且为定值，∴PM+PN为定值．【类比探究】（1）如图1，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点P是AD上不与点A，D重合的一个动点，连接PO，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为点E，F，可求PE+PF的值，请写出求解过程．【深入探究】（2）如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C1处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作BM和BC的垂线，垂足分别为点E，F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEQF，若DM=13【拓展探究】（3）如图3，当点P是等边△ABC外一点时，过点P分别作直线AB，AC，BC的垂线，垂足分别为点E，D，F．若【答案】（1）PE+PF=245【分析】本题考查四边形的综合应用，掌握矩形的性质和判定、折叠的性质、平行四边形的性质、勾股定理、三角形面积等知识是解题的关键．（1）由矩形的性质得出S矩形ABCD=48，OA=OC=OB=OD，S△ABD=S△BCD，∠ABC=90°（2）连接BP，过点M作MH⊥BC于H，证DM=BM=BN=13，则AD=BC=18，再由勾股定理得AB=12，然后由三角形面积求出PE+PF=12，即可解决问题；（3）连接AP，BP，CP，由S△ABC=S△ABP+S△BCP【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴S矩形ABCD=AB⋅BC=48，OA=OC=OB=OD，S△ABD∴AC=AB2∴S△AOD=∴S解得PE+PF=24（2）∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠A=∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠DMN=∠BNM，连接BP，过点M作MH⊥BC于H，如图所示：则四边形ABHM是矩形，∴MH=AB，由折叠的性质得：DM=BM，∠DMN=∠BMN，∴∠BNM=∠BMN，∴DM=BM=BN=13，∴AD=BC=BN+CN=13+5=18，∴AM=AD−DM=18−13=5，在Rt△ABM由勾股定理得：AB=M∴MH=12，∵S△BMN=S△PBM∴12∵BM=BN，∴PE+PF=MH=12，∴▱PEGF的周长=2(PE+PF)=2×12=24；（3）如图，连接AP，BP，CP，过点A作AG⊥BC，∵△ABC为等边三角形，∴BG=CG=12BC，∠CAG=30°∴AG=3∴S∵S∴34∴32∵PE+PF−PD=6，∴AB=43∴S3．（2025·河南郑州·二模）如图（1），点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究AF+BD+CE与△ABC周长的关系．记l=AF+BD+CE，c=△ABC的周长．(1)从特殊情形入手：①若点P在△ABC的重心，如图（2），此时l与c的关系为_________；②若点P在△ABC的一条高AG上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由．(2)若点P不在△ABC的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程．【答案】(1)①l=1(2)见解析【分析】（1）①由三角形重心的性质可得AF=12AB，BD=12BC，CE=12AC，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得∠FAD=∠EAD，BD=CD（2）过点A作AG⊥BC于G，交PE于点H，过点H作HK⊥AB于K，过点P分别作PN⊥HK于点N，PM⊥AG于点M，由（1）可得AK+BG+CE=12c，由图可得四边形KNPF和四边形PMGD是矩形，由矩形的性质可得∠FPN=∠MPD=90°，FK=PN，PM=DG，证明△PNH≌△PMHAAS，得出【详解】（1）解：①∵点P在△ABC的重心，∴点P为三角形三条中线的交点，∴AF=12AB，BD=∴l=AF+BD+CE=1②成立，理由如下：∵△ABC为等边三角形，AG是△ABC的高，∴∠FAD=∠EAD，BD=CD，AB=AC，∵PF⊥AB，PE⊥AC，∴∠AFP=∠AEP=90°，∵AP=AP，∴△AFP≌∴AF=AE，∴AB−AF=AC−AE，即BF=CE，∴l=AF+BD+CE=1（2）解：如图，过点A作AG⊥BC于G，交PE于点H，过点H作HK⊥AB于K，过点P分别作PN⊥HK于点N，PM⊥AG于点M，由（1）可得AK+BG+CE=1由图可得四边形KNPF和四边形PMGD是矩形，∴∠FPN=∠MPD=90°，FK=PN，PM=DG，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠C=60°，∴∠FPE=∠EPD=120°，∴∠HPN=∠MPH=30°，∴△PNH≌∴PM=PN，∴FK=DG，∴AF+BD=AK+FK+BD=AK+DG+BD=AK+BG，∴l=AF+BD+CE=AK+BG+CE=1【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的重心的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．4．（2025·山西临汾·二模）下面是小明的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．维维亚尼（VincenzoViviani1622−1703）意大利数学家、物理学家．下面是维维亚尼发现的关于等边三角形的一个定理：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于等边三角形的高．如图1，P是等边△ABC内任意一点，过点P分别作PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥AC，垂足分别为E，F，G，过点A作AH⊥BC于点H，则PE+PG+PF=AH．证明：如图2，设等边△ABC的边长为a，连接PA，PB，PC，∵S△ABC=12BC⋅AH，思考：如图3，图4，当P是平面上任意一点时，点P到AB，BC，AC三边的距离分别为PE，PF，PG．若等边三角形的高为h，则点P到三边的距离与等边三角形的高存在特定的数量关系．

任务：(1)请完成该定理证明的剩余部分；(2)请直接写出思考部分PE，PF，PG与h的数量关系；图3中的数量关系：_____，图4中的数量关系：_____．(3)如图5，在四边形BCDE中，∠B=∠C=60°，BC∥DE，BC=6，DE=2，P是BC边上一点，则点P到其他三边的距离之和为_____．

【答案】(1)AH=PE+PF+PG(2)h=PE+PF−PG；h=PF−PE−PG(3)5【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，矩形的性