重难点07 最值模型之胡不归、阿氏圆、梯子滑行问题（7种题型）（复习讲义）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10重难点07最值模型之胡不归、阿氏圆、梯子滑行问题目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 13固·重难考点拓·创新能力题型01胡不归模型（几何问题）条件：已知A，B为定点，其中点A在定直线m上，点P在直线m上一动点，求k•PA+PB（k＜1）的最小值.图示：解题步骤：作射线AM使sin∠PAM=k（k＜1），且点M与点B位于直线m的两侧.2）过点P作PC⊥AM于点C，则PC=k•PA，此时k•PA+PB=PC+BP.3）过点B作BD⊥AM于点D，该垂线段长即为所求最小值，计算垂线段的解题大招：即当B，P，C三点共线时，k•PA+PB取最小值，最小值为BD的长度.模型总结：在求形如“k•PA+PB”的式子的最值问题中，关键是构造与k•PA相等的线段，将“k•PA+PB”型问题转化为“PC+PB”型.而这里的PA必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到k•PA的等线段注意：若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可.1．（2025·四川自贡·二模）等腰△ABC中AB=AC=5，tanA=2，CD⊥AB于D，点E是线段CD上一个动点．则BE+55A．25 B．23 C．352．（2025·广东惠州·三模）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为1,2，点Q为直线y=x上一动点，则2PQ+OQ的最小值为（

A．2 B．2 C．3 D．23．（2025·山西晋中·三模）如图，△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC,AB=2，点E为BD上一动点，连接AE，当AE+12BE取最小值时，DEA．1 B．2 C．33 D．4．（22-23九年级上·山东济宁·期末）如图，△ABC中，AB=AC=15，tanA=2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+55

A．35 B．65 C．55．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在菱形ABCD中，∠ADC=60°，CD=4，E是CD边上的一个动点，连接AE，AE的垂直平分线FG交AE于点G，交BD于点F，连接EF，则DF+2EF的最小值为．6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠CAB=30°，AD⊥BC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC．则PA+2PB的最小值为．7．（2025·北京·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若CE=6，AE=2．①求BC的长；②点P为BC上一点，连接PA，PA+1题型02胡不归模型（函数问题）8．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A−1,0，(1)求抛物线的表达式；(2)设P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；(3)若点M是线段OC上的一动点，连接AM，求AM+29．（2025·河北唐山·二模）最值是数学中的常见问题，嘉嘉和淇淇利用所学知识研究如下最值问题.(1)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC和AD的中点，连接EF，P为EF上的一动点.若AB=3，BC=4，则AP+BP得最小值为_______.(2)如图1，抛物线y=ax2+22x+c与x轴交于A，B两点，点B的坐标为①求抛物线的函数解析式.②抛物线的对称轴为直线l，P为直线l上的一动点，求BP+CP的最小值.③如图2，M为直线AC上的一点，连接OM，请直接写出1210．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c关于直线x=−3对称，与x轴交于A−1,0、B两点，与(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转90°，使点B的对应点D恰好落在抛物线上，求此时点P的坐标；(3)在线段OC上是否存在点Q，使2AQ+2CQ存在最小值？若存在，请直接写出点11．（2025·四川德阳·二模）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A1,0，B3,0两点，与y轴交于点(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)点P为抛物线上位于直线BC下方的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；(3)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+312．（2024·四川德阳·中考真题）如图，抛物线y=x2−x+c与x轴交于点A−1,0和点B，与(1)求抛物线的解析式；(2)当0<x≤2时，求y=x(3)将拋物线的顶点向下平移34个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PA+13．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C(1)求抛物线表达式；(2)如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作PF∥y轴，交直线AC于点E，交x轴于点F，连接PC,BE,BC，若S△PECS△BEC(3)如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接AP，求2AP+PM题型03隐圆+胡不归模型14．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC上的动点，且满足AE=BF，AF与DE交于点O，点M是DF的中点，G是边AB上的点，AG=2GB，则OM+1

A．4 B．5 C．8 D．10题型04阿氏圆（系数小于1）15．（2025·广西梧州·二模）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=8，AC=6，点D是线段AB上的一个动点，以AD为直径作圆O．(1)当AD=6时，如图1，求证：圆O与BC相切；(2)如图2，连接CD，CD与圆O相交于点E，连接BE，请你求出BE的最小值并说明理由；(3)如图3，AD=4，若点P是圆O上的一个动点，且点P在△ABC内，连接BP、CP，请你直接写出CP+116．（2025·广东广州·二模）已知抛物线C：y=ax−1x−3的最小值为(1)求a的值；(2)已知直线l：y=kx−4k+6，记mx=maxax−1(3)如图，Ax0,y0为抛物线C上一点，B4−3x0,−3y0，直线AB17．（2025·广东汕头·二模）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A−1,0，B两点，(1)求b，c的值；(2)点P是抛物线上一动点①当∠PAD=45°时，则点P的坐标为______．②当S△ADP=S(3)如图2，以B为圆心，2为半径作圆，N为圆B上任一点，求CN+118．（2025·广东清远·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB=4．抛物线的对称轴直线x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x(1)求抛物线的表达式；(2)若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标；(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，P为☉B上一个动点，请求出PC+题型05阿氏圆（系数大于1）19．（24-25九年级上·广东深圳·月考）在数学探究课上，王宇同学通过作辅助图形的方法，计算动点条件下线段和的最小值，其过程如下：(1)【观察发现】如图1，在等边△ABC中，AC=23，CD=12BC，E，F分别是AB和AC上的动点，且总有∵在等边△ABC中，AC=23，CD=∴点D为BC边上的中点，∠B=∠ACB．∴AD⊥BC．过点A作AG⊥AD，使AG=BD，连接GF．∴AG∥BC．∴∠GAC=∠ACB=∠B．又∵AF=BE，∴△AGF≌△BDE(SAS∴GF=DE．连接DG，DF，当D，F，G三点共线时，GF+DF的最小值等于线段DG的长．连接GC，可证四边形ADCG是矩形，∴DG=AC．∴DE+DF的最小值为．(2)【类比应用】如图2，已知正方形ABCD的边长为6，O为对角线的交点，M，N分别是AB，AD上的动点，且总有BM=DN，连接OM，CN，求OM+CN的最小值．(3)【拓展延伸】如图3，矩形ABCD中，AB=2，AD=22，E是AD的中点，F，G分别是BC和DC上的动点，且总有BF=2DG，求20．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=4，CA=6，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图1，连接CP，在CB上取一点D，使CD=1，连接PD，则CDCP=CPCB=12．又因为∠PCD=∠BCP，所以△PCD∽△BCP，所以PD(2)自主探案：在“问题提出”的条件不变的前提下，求13(3)拓展延伸：如图2，已知在扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，P是CD上一点，求2PA+PB的最小值．题型06隐圆+阿氏圆模型21．（2024·安徽六安·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，BC=6，E为AD边上一动点，将△ABE沿BE翻折到△FBE的位置，点A与点F重合，连接DF，CF，则DF+1A．92 B．132 C．4 22．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，矩形ABCD中AB=8，AD=6，点E是矩形ABCD内部一个动点，且EB=4，连接CE，则DE+三分之二CE的最小值为（

）A．8 B．263 C．233 23．（2025·四川达州·三模）如图，点E为矩形ABCD边CD上一点，连接AE，作点D关于直线AE的对称点F，连接CF，BF，若AB=4，BC=2，则2CF+BF的最小值为．

题型07梯子滑行模型24．（23-24八年级下·湖北荆州·期末）如图，∠MON=90°，矩形ABCD在∠MON的内部，顶点A，B分别在射线OM，ON上，AB=4,BC=2，则点D到点O的最大距离是（

）A．22−12 B．22+225．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=6，BC=2．运动过程中点D到点O的最大距离是．26．（2020·广东·中考真题）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC=90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN=4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为．27．（23-24九年级上·广东佛山·月考）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，将含30°角的Rt△ABC放在第一象限，其中30°角的对边BC长为1，斜边AB的端点A、B分别在y轴的正半轴，x轴的正半轴上滑动，连接OC，则线段OC的长的最大值是

28．（2025·吉林·二模）【问题原型】如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠B=30°,AC=2,P是线段BC上任意一点，试探究PA+【问题探究】如图②，小明首先以BC为一边作∠CBM=30°．然后，作PH⊥BM，由三角函数的定义，将12PB转化为PH．于是求PA+12PB的最小值就转化为求PA+PH的最小值．当点A、P以下是小明的部分求解过程：由【问题探究】的作法可知过点B作射线BM使∠CBM=30°，作PH⊥BM于H∵∠ABC=30°∴∠ABM=∠ABC+∠CBM=60°在Rt△ABC中，求解过程缺失请补全剩余的求解过程；【问题应用】如图③，在▱ABCD中，∠DAB=45°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，直接写出PB+22PD【问题迁移】小明在此基础上想求解x229．（2025·广东潮州·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+4a≠0与x轴交于A(−2,0)、B(8,0)两点，与y轴交于点(1)求抛物线的表达式；(2)点P是抛物线上的一动点，当∠PCB=∠ABC时，求点P的坐标；(3)点D是线段OB上一点，且△BCD的面积是12．①求点D的坐标；②将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD'，旋转角为α0°<a<90°，连接D30．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=−x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E(1)求线段AB的长；(2)点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，当△PBE的面积最大时，求此时P点坐标，并求出最大面积；(3)在（2）的情况下，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F在y轴上一点，求PH+HF+131．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A，B(1)求抛物线的表达式；(2)点P是直线BC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AC交BC于点D，点Q是直线AC上一动点，当PD的长度取最大值时，求(3)在（2）中PQ+55AQ取最小值的条件下，将该抛物线沿射线BC方向平移25个单位长度，点F为点C平移后的对应点，连接CF，点G为平移后的抛物线上一点，若∠GFC+∠DPQ=9032．（2025·重庆开州·二模）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点D在AC边上，连接BD．(1)如图1，若α=30°，BD⊥AC，求tan∠DBC(2)如图2，若α=60°，将线段DB绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接CE，点F为CE的中点，连接AF,DF，请探究并证明线段AF与DF之间的关系；(3)如图3，