重难点08 最值模型之隐圆模型（8种题型）（复习讲义）（原卷版）-【数学】2026年中考一轮复习讲练测

1/10重难点08最值模型之隐圆模型目录01TOC\o"1-1"\h\z\u深挖重难·固根基 102分层锤炼·验成效 17固·重难考点拓·创新能力题型名称核心原理常见考点典型场景定点定长得圆到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心、定长为半径的圆1.识别动点轨迹为圆2.结合“两点之间线段最短”“垂线段最短”求最值动点到某定点距离为定值，求线段/角度最值直角的对边是直径直径所对的圆周角是直角；直角三角形的外接圆直径为斜边1.确定直角三角形外接圆的圆心和半径2.结合圆的性质求线段长度、角度题目中出现直角三角形，或需要构造直角三角形确定圆的直径对角互补得圆对角互补的四边形内接于圆（四点共圆）；圆内接四边形对角互补1.利用“对角互补”判定四点共圆2.结合圆内接四边形的外角等于内对角解题四边形中出现两组对角互补，或需要证明四点共圆转化角度定弦定角得圆同弦所对的圆周角相等；定弦定角的顶点轨迹是一段圆弧1.确定动点的轨迹圆弧（找圆心、半径）2.结合“圆外一点到圆上点的距离最值”求线段最值题目中出现“定弦+定角”条件，求动点到某点的距离最值四点共圆满足“对角互补”“外角等于内对角”“同弦所对圆周角相等”等条件的四点共圆1.判定四点共圆的方法2.利用圆周角定理、相交弦定理等推导线段/角度关系需要转化角度或线段关系时，通过四点共圆集中条件相切时取到最值直线或圆与另一个圆相切时，圆心距等于两圆半径之和（外切）或差（内切），此时常取到线段最值1.利用“圆心距与半径的关系”判定相切2.结合“点到圆的距离最值”求线段最值动点轨迹为圆，求该动点到某直线/另一圆的距离最值定角定高面积最小、周长最小问题三角形中，定角定高时，等腰三角形面积最小、周长最小1.利用“定角定高”确定三角形的外接圆/内切圆性质2.结合“垂线段最短”“轴对称”求面积/周长最值题目中出现“定角+定高”条件，求三角形面积或周长的最小值米勒角（最大张角）模型当△PAB的外接圆与直线AB相切于点P时，∠APB取得最大值1.利用“定角定高”确定三角形的外接圆/内切圆性质2.结合“垂线段最短”“轴对称”求面积/周长最值求直线外一点到直线上两点的张角的最大值题型01定点定长得圆1）根据圆的定义，当出现到定点的距离等于定长的点(或动点)时，可考虑该模型.当涉及折叠或旋转时.有时也会利用该模型确定动点的运动轨迹.2）辅助圆主要用于求动点相关的最值问题，这里圆心的位置是解题的关键，且要注意动点的轨迹不一定是完整的圆，可能只是圆中的一段圆弧，最后根据“点、线、圆最值”模型来解决问题.1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB=1，则△APQ的最大面积是（

）A．14 B．2−32 C．22．（2025·四川资阳·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AB=4，AD=DC=2，E是线段AD的中点，F是线段AB上的一个动点．现将△AEF沿EF所在直线翻折得到△A'EF（如图的所有点在同一平面内），连接A'B，AA．2−2 B．3−2 C．10−3．（2025·福建·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=AC=AD=5，BC=2，则对角线BD的长为（

）A．7 B．223 C．226 4．（2025·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6．将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA1，在射线CA1上取一点D，连结AD，使得△ACD面积为24，连结BD，则BD5．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=43，点E是BC边上的动点，将△ABE沿直线AE翻折得到△APE，过点P作PF⊥AD，垂足为F，点Q是线段AP上一点，且AQ=12PF．当点E从点B运动到点C时，点6．（2025·江苏连云港·中考真题）综合与实践【问题情境】如图，小昕同学在正方形纸板ABCD的边AB、BC上分别取点E、F，且AE=BF，AF交DE于点O．连接AC，过点F作FG⊥AC，垂足为G，连接GD、GE，DE交AC于点P，GE交AF于点Q．【活动猜想】（1）GD与GE的数量关系是_______，位置关系是_______；【探索发现】（2）证明（1）中的结论；【实践应用】（3）若AD=3，AE=1，求QF的长；【综合探究】（4）若AD=3，则当AP=_______时，△DPG的面积最小．题型02直角的对边是直径前世（圆的性质）：在圆⊙O中，若AB是直径，则直径所对的圆周角∠ACB恒为90∘。今生（轨迹判定）：反过来，若有一条固定线段AB，且动点C满足∠ACB=90∘，那么点C的轨迹就是以AB为直径的圆（A,B两点除外）。【补充】这种情况本质上是“定弦定角”的特例，但因为其判定和应用都非常典型，所以单独作为一类。7．（2025·四川巴中·中考真题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=42，D为AB中点，点E在线段CD上，满足CE=2DE，连接AE并延长交BC于点F，当△ABC面积最大时，线段CF等于（A．2 B．2 C．22 D．48．（2025·四川自贡·中考真题）如图，正方形ABCD边长为6，以对角线BD为斜边作Rt△BED、∠E=90°，点F在DE上．连接BF．若2BE=3DF．则BF的最小值为（

A．6 B．62−5 C．35 9．（2025·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D在边AB上（不与A，B重合），过点A作AE⊥CD，垂足为点10．（2025·海南·中考真题）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB=90°，AB=4，BC=7．（1）△AEB面积的最大值为；（2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD=120°，则线段MN长度的最小值为．题型03对角互补得圆11．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若∠ADB=∠ACB，则A,B,C,D四点共圆；或若∠ADC+∠ABC=180°，则A,B,C,D四点共圆．(1)如图1，已知∠ADB=∠ACB=60°，∠BAD=65°，则∠ACD=_____；(2)如图2，若D为等腰Rt△ABC的边BC上一点，且DE⊥AD,BE⊥AB,AD=2，求AE(3)如图3，正方形ABCD的边长为4，等边△EFG内接于此正方形，且E，F，G分别在边AB，AD，BC上，若AE=3，求EF的长．12．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上P118引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆．例如，如图1，四边形ABCD，若∠ABC+∠ADC=180°，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得：引理2线段同旁张等角，四点共圆．例如，如图1，C、D在线段AB同旁，若∠ACB=∠ADB，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点M6,−23，⊙M过原点O和x轴上另一点D，有动点Cx,02≤x≤8，点A在第一象限，且△OAC为等边三角形，连接AD交⊙M于F，过D作AC的平行线与射线OF交于点E，连接CE交AD于H，AC与OE交于(1)可求得∠ODM=______°，∠AFO=______°；(2)请判断△DEC的形状并证明；(3)记y=FA+FC+FE（即三线段长度和），请求出y关于x（2≤x≤8）的函数关系式，并求出y最小时劣弧OF的长度；(4)在图2中作出OA、DE的延长线交于点B，连接BF，请直接写出BF:FD的最小值为______．题型04定弦定角得圆定弦定角问题常应用于求线段的“最值”，问题的关键就在于找到运动过程中必存在的定线段，及这条线段关于某一动点的张角为定值，由张角的变化，去寻找这三点所构成的定圆.13．（2025·山东烟台·中考真题）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，对角线AC=6cm．点M从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以3cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P．在此过程中，点14．（2025·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴，且过坐标原点O及点A23,3，过点A作射线AM平行于y轴（点M在点A上方），点F坐标为0,1，连接AF并延长交抛物线于点E，射线AB平分∠FAM，过点A作AB的垂线(1)求二次函数的表达式；(2)判断直线l与二次函数y=ax(3)点Pm,0为x轴上的一个动点，且∠APE为钝角，请直接写出实数m15．（2025·青海西宁·中考真题）综合与实践【问题提出】原题呈现（人教版九年级下册85页第14题）如图1，在锐角△ABC中，探究asin∠BAC，bsin【问题探究】将下列探究过程补充完整：（1）如图1，过点A作AD⊥BC，垂足为D，过点B作BE⊥AC，垂足为E．在Rt△ABD中，sin∠ABC=∴AD=c⋅sin在Rt△ADC中，sin∠ACB=∴AD=b⋅sin∴c⋅sin∠ABC=b⋅sin同理，在Rt△AEB中，BE=在Rt△BEC中，BE=∴______=_____，即asin∴asin【结论应用】（2）如图2，在△ABC中，AB=23，∠A=70°，∠B=50°．求AC，BC的长．（结果保留小数点后一位；参考数据：sin50°≈0.77，【深度探究】（3）如图3，⊙O是锐角△ABC的外接圆，半径为R．求证：asin【拓展应用】（4）如图4，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AB=22，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径的⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF．则线段EF16．（2025·江苏淮安·中考真题）探究与应用【问题初探】（1）在等腰三角形ABC的底边BC上任取一点P（不与端点重合），连接AP，线段AB、AP、BP、CP有何数量关系？下面是小刚的部分思路和方法，请完成填空：如图（1），过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∴AB2=A在Rt△APD中，∵∠ADP=90°，∴AP2=由①－②得：AB∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=．∴BD−PD=CD−PD=CP．……根据小刚的方法，可以得到线段AB、AP、BP、CP的数量关系是．【简单应用】（2）如图（2），在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边AB上，AD=AC=2，以CD为边构造正方形CDEF，利用（1）中的结论求正方形CDEF的面积．【灵活应用】（3）如图（3），⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交AC于点D，连接OB、OD，若OB=9，OD=5，CDBC=1【深度思考】（4）如图（4），在△ABC中，∠C=120°，点D、E分别在边AC、BC上，且满足AD=DE=BE，AE、BD交于点P，若tan∠CAE=15，则PB−PD题型05四点共圆判定方法1：若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）.判定方法2：同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆.判定方法3：若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆.判定方法4：若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆.判定方法5：共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆.17．（2025·广东广州·中考真题）如图1，AC=4，O为AC中点，点B在AC上方，连接AB，BC．(1)尺规作图：作点B关于点O的对称点D（保留作图痕迹，不写作法），连接AD，DC，并证明：四边形ABCD为平行四边形；(2)如图2，延长AC至点F，使得CF=AC，当点B在直线AC的上方运动，直线AC的上方有异于点B的动点E，连接EA，EB，EC，EF，若∠AEC=45°，且△ABC∽△FCE．①求证：△ABC∽△CBE；②CB的长是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．18．（22-23九年级下·福建南平·自主招生）如图，在四边形ABCD中AB=AC=AD=3，且AG⊥BD，垂足为G，AG延长线交CD于F，交BC的延长线于E

(1)求证：A，B，C，F四点共圆；(2)求证：AE⋅AF为定值．19．（23-24九年级上·江苏扬州·月考）阅读理解：

（1）问题初现：如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，则∠BDC=°；思路：若以点A为圆心，AB为半径画⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC的度数；（2）问题解决：如图2，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°,∠BDC=25°，求∠BAC的度数；思路：可以通过证明A、B、C、D四点共圆，再利用圆周角的性质求出∠BAC的度数．请写出详细的解题过程．（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，∠BAC=45°，AD是BC边上的高，且BD=4,CD=2，则AD=．20．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90∘，求证：A、B、C、D四点共圆．小明认为：连接AC，取AC的中点O，连接OB、【尝试应用】（2）如图②，在正方形ABCD中，点E是边AB上任意一点，连接DE，交AC于点F，请利用无刻度的直尺与圆规在线段CF上确定点P，使△DEP是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹）【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若AB=3，BE=2AE，求线段DP的长．题型06相切时取到最值21．（2025·广东广州·中考真题）如图，⊙O的直径AB=4，C为AB中点，点D在弧BC上，BD=13BC，点P是AB上的一个动点，则A．2+7 B．2+23 C．3+722．（2025·四川南充·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点，若CD=4，则PE+PF的最小值是（

）A．4 B．27 C．6 D．23．（2025·福建·中考真题）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=4，AD=1．点O是边CD上一点，如果以O为圆心，OD为半径的圆与边BC有交点，那么OD的取值范围是．24．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（60°<α<180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点题型07定角定高面积最小、周长最小问题定角定高模型是一类独立的最值模型，其根本原理是“定角动弦，找圆最值”，即圆中的圆周角(或圆心角)固定，则圆的大小(即r的大小)决定了该角所对的弦(或弧)的大小.25．（2025·陕西汉中·模拟预测）“问题提出”如图①，凉宫春日有一片果园，其形状为△ABC，已知AB=AC，BD为AC边上的中线，AE⊥BC，垂足为E，经她测量tan∠ABD=12“问题探究”如图②友利奈绪为果园修建了圆形花圃，△ABC是果园，其余的地方是草地．若BD⊥AC，∠ABC=45°，AD=30m，CD=20m，则草地的面积是多少？(结果保留“问题应用”受此启发，薇尔莉特打算修建自己的大型花园ABCD，如图③，依照设计，在CD边取点E，建造一条小径AE(路宽省略不计)，在AE上取点F，修建小路DF，且DF⊥AE．她计划在AE上再取点P，连接BP，CP，则△BPC为休息区．若∠BCD=105°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=BC=402m．为了使花园的观赏性最大，则休息区面积最小，则是否存在一点P使△PBC有最小值？若有，请你计算26．（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（1）如图①，△ABC内接于⊙O，BC边上的高AD经过圆心O，若BC=8，⊙O的半径为5，求△ABC的面积；问题解决（2）为培养学生的劳动实践能力，某校计划在学校东南角开辟出一块四边形劳动实践基地，将其分成三个三角形区域用于种植不同的果蔬，并将四边形的四周用栅栏保护，如图②，劳动实践基地为▱ABCD，∠ABC=60°，BM平分∠ABC交对角线AC于点M，在点M处安装喷灌装置，且BM=24m，为了尽可能地减少栅栏的使用，需使四边形ABCD的周长最小，你认为该学校的想法能否实现？若能，请求出四边形ABCD27．（2025·陕西西安·一模）问题提出（1）如图1，在正方形ABCD中，点E是其内部一点，连接BE，CE，且∠BEC=90°．若AB=4，求DE的最小值；问题解决（2）如图2，是某公园的一块四边形ABCD空地的平面图，其中∠ADC=120°，∠B=∠C=90°，CD=200m，BC=4003m，园区管理员计划在空地中找一点E，修建四条观光小路EA，EB，EC，ED（小路宽度不计），将其分成四个区域，用来种植不同的花卉．根据实际要求：∠BEC=120°，且△AED的面积最小，请问是否存在这样的点E，使得∠BEC=120°，且△AED的面积最小？若存在，请确定出点E28．（2025·山东滨州·中考真题）【背景资料】最小覆盖圆在几何学和计算机科学中有着广泛的应用．我们把能完全覆盖某平面图形的最小的圆称为该平面图形的最小覆盖圆．如线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆，锐角三角形的最小覆盖圆是这个三角形的外接圆，直角三角形的最小覆盖圆是以斜边为直径的圆，钝角三角形的最小覆盖圆是以最长边为直径的圆，正方形的最小覆盖圆是以对角线为直径的圆．【动手操作】如图1，△ABC中，∠BAC>90°，请作出△ABC的最小覆盖圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．）【迁移运用】正方形ABCD的边长为7，在边CD上截取CE=2，以CE为边向外作正方形CEFG．（1）如图2，连接AF,DF，求△ADF的最小覆盖圆的直径；（2）将图2中的正方形CEFG绕点C逆时针旋转90°（如图3），⊙O经过A，D，F三点，且与边AB,CD分别交于点I，L，求△ADF的最小覆盖圆的直径；（3）将正方形CEFG绕点C旋转，分别取DB,BG,GE,ED的中点M，N，P，Q，顺次连接各中点，得到四边形MNPQ（如图4）．在旋转过程中，四边形MNPQ的最小覆盖圆的直径d的值是否发生变化？如果不变，请直接写出d的值；如果变化，请直接写出d的取值范围．题型08米勒角（最大张角）模型29．（2025·陕西·中考真题）问题探究（1）如图①，在△ABC中，请画出一个▱BDEF，使得点D，E，F分别在边AB，AC，BC上；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P为矩形ABCD内一点，且满足S△BPC=9，问题解决（3）为了进一步提升游客的体验感，某公园管理部门准备在花海边沿与游客服务中心之间的草地上选址修建一条笔直的步道及一个观景台．如图③所示，△ABC区域为草地，线段BC为花海边沿，点A为游客服务中心，线段PQ为步道，点P和点Q为步道口，点O为观景台．按照设计要求，点P，Q分别在边AB，AC上，且满足BP:AQ=2:3，O为PQ的中点，为保证观赏花海的最佳效果，还需使∠BOC最大．已知AB=120m，AC=BC=180m，请你帮助公园管理部门确定观景台的位置（在图中画出符合条件的点），并计算此时步道口P与游客服务中心A之间的距离30．（2025·广东梅州·一模）综合与实践【主题】足球最佳射门位置【素材】某足球场上，运动员在练习选择适合的位置射门．线段PQ表示球门，∠PAQ、∠PBQ为射门张角．理论上当射门张角越大时，进球的可能性越大．如图1，∠PAQ___________∠PBQ．（用“>”、“<”或“=”填空）【实践探索】假设运动员沿着直线l带球跑动，寻找最佳射门位置．如图2，以线段PQ为弦作⊙O，恰与直线l相切，切点为A．若点M是l上一个异于点A的动点，求证：当运动员跑动到切点A处时，射门张角最大，即∠PAQ>∠PMQ．【迁移应用】如图3，点P3,0，点Q9,0，点A为y轴正半轴上的一个动点，当∠PAQ最大时，请求出点31．（2023·湖南永州·二模）问题探究与应用实践（一）问题探究：如图（1），已知直线l与水平视线m互相垂直，A，B在l上，C在m上，∠ACB叫做“视角”，点C叫做“视点”，⊙M是过A，B，C三点的圆.当视点C在直线m上移动时，视角∠ACB的大小会发生改变,可以证明：当视点C恰是⊙M的切点时，视角∠ACB最大，此时观察AB的效果最佳.当视角∠ACB最大时：分别以直线m，l为x轴和y轴建立平面直角坐标系，如图（2）.

(1)如果此时点A的坐标为0，4，点B的坐标为0，1，试求圆心M的坐标及tan∠ACB(2)如果此时点A，B的坐标分别为（0，a），（0，b），请求出视点C的坐标.（用a，b的代数式表示）（二）应用实践：应用上述结论，让我们解决如下问题：(3)如图（3），AB是广场上挂的一个大屏幕电视，直线CE是水平视线，屏幕最高点A和最低点B到水平视线CE的距离分别为8米和4米.小明在水平视线上观看电视节目，当他的视角最大时，视点（在水平视线CE上）到直线AB的距离约是多少？（结果保留一位小数，参考数据：2≈1.414,32．（2024·河南·中考真题）如图1，塑像AB在底座BC上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的圆与水平视线DE相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时∠APB为最大视角．(1)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB．(2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点P到塑像的水平距离PH为6m．求塑像AB的高（结果精确到0.1m．参考数据：33．（2025·四川遂宁·中考真题）如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE=15°，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF=BC，CF与AB相交于点H．有下列结论：①AE=CE；②BE+AE=EF；③AHHB=23−1；④点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q，连结DQ，则DQ的最小值为34．（2025·吉林长春·中考真题）如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．点E在线段OA上．连接BE，作CF⊥BE于点F，交OB于点P．给出下面四个结论：①∠OCP=∠OBE；②OE=OP；③当CE=CB时，BP=EF；④点A与点F之间的距离的最小值为25−2．上述结论中，正确结论的序号有35．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上．（1）线段PA的长为；（2）直线PA与△ABC的外接圆相切于点A,AB=BC．点M在射线BC上，点N在线段BA的延长线上，满足CM=2AN，且MN与射线BA垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）．36．（2025·陕西咸阳·一模）问题提出（1）如图①，△ABC内接于⊙O，过点C作⊙O的切线l，在l上任取一点P，连接BP,AP，则∠BCA______∠BPA．（填写“>”“<”或“=”）问题探究（2）如图②，在矩形ABCD中（AB>12AD），点P为AD边上任意一点，试问当点P位于边AD问题解决（3）如图③，五边形ABCDE为展览馆的平面示意图，其中AE=DE=50m，AB=CD=40m，∠A=∠E=∠D=90°出于安全考虑，负责人想在DE上选一点P安装监控装置，用来监视边BC，现只要使∠BPC最大，就可以让监控装置的效果达到最佳，问在线段DE上是否存在点P使∠BPC最大．若存在，请求出符合条件的37．（2025·福建·中考真题）已知，AB是半径为2的⊙O的弦，⊙O的另一条弦CD满足CD=AB，且CD⊥AB于点H（其中点H在圆内，且AH>BH，CH>DH）．(1)在图1中用尺规作出弦CD与点H（不写作法，保留作图痕迹）．(2)连接AD，猜想，当弦AB的长度发生变化时，线段AD的长度是否变化？若发生变化，说明理由：若不变，求出AD的长度；(3)如图2，延长AH至点F，